单元集训卷44 概率、随机变量及其分布(培优)-2027年高考数学一轮复习

单元集训卷44　概率、随机变量及其分布(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，，若，，则（      ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.1 2．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，事件为“两次抛掷的点数均为偶数”，事件为“第二次抛掷的点数不小于3”，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·河北保定·期末）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 若，则随机变量方差的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 5．（2027高三·全国·专题练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 6．（25-26高三下·全国·课后作业）某品牌新能源汽车续航里程（单位：）服从正态分布.补贴政策为：续航里程不低于的车辆补贴万元，超过的车辆额外再补贴万元.则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 7．（25-26高三下·新疆乌鲁木齐·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（   ） A．和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 8．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）某市四支足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．乙队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（    ） A．事件不互斥 B．事件与事件相互独立 C． D． 10．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为（），收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为（），收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．下列正确的是（     ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 11．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）下列命题正确的是（ ） A．设是两个随机事件，“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 B．若，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 C．若三个事件两两独立，则满足 D．若事件相互独立，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若对任意的，都有，则称非空集合是完美集合．从集合的所有子集中任选1个，该集合是完美集合的概率是________． 13．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒中有3个正品和2个次品．其中正确结论的序号是___________． ①若从甲盒中任取2个产品，这2个产品均为正品的概率为 ②若从甲盒中任取2个产品，这2个产品一个为正品一个为次品的概率为 ③若从甲盒中任取2个产品，这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率为 ④若从甲盒中任取2个产品，乙盒中取1个产品，则取到次品个数的期望为 ⑤若先从甲盒中任取2个产品，将这2个产品放入乙盒，然后从乙盒任取1个产品，则取出的是正品的概率为． 14．（26-27高三上·浙江·阶段检测）如下图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发在数轴上移动，每次向左或向右移动一个单位且相互独立，已知向右移的概率为，向左移的概率为，设该质点移动次后在数轴上对应的数为随机变量，则的方差__________（用含的式子表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）某中学高三年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高三年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. (1)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. (2)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 16．（26-27高三上·广东茂名·阶段检测）某校高三年级举行物理竞赛，甲、乙两个参赛小组各6名同学的成绩（单位：分，满分100分）如下： 甲组：74，83，85，86，88，94；乙组：72，82，85，87，90，94. (1)分别求甲、乙两组成绩的平均数和方差，并判断哪一组的成绩更稳定； (2)从甲组6名同学中随机抽取2人，求这2人的成绩之差的绝对值不小于10的概率； (3)现从甲、乙两组中各随机抽取1名同学，设两次抽取的结果相互独立. 记“甲组抽到的同学成绩不低于85分”为事件A，“乙组抽到的同学成绩不低于85分”为事件B，求概率． 17．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高三学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高三学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 18．（2026高三·全国·专题练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从同一正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据：， 参考公式：若，有，，． 19．（26-27高三上·山西长治·开学考试）现有A、B两个箱子，里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球．A箱有2个红球，1个白球；B箱有1个红球，2个白球．现有甲、乙两人进行摸球游戏，每轮游戏甲从A箱取一球，乙从B箱取一球，每次取球后放回原来箱子（即每次取球时箱中球的总数和颜色保持不变，各轮取球相互独立）．每轮取球得分规则如下： •若两人取出的球颜色相同：各得2分 •若一人取红球，一人取白球：取红球者得3分，取白球者得1分 (1)求第一轮游戏甲与乙得分之差的分布列和期望； (2)若规定游戏进行轮结束（），轮游戏结束后若甲累计得分高于乙，则甲获得最终胜利；若乙累计得分不低于甲，则乙获得最终胜利． ①求时乙获得最终胜利的概率； ②求时在乙获得最终胜利的条件下，甲乙分数相同的概率． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷44　概率、随机变量及其分布(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，，若，，则（      ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【分析】先利用二项分布的方差公式求解，再结合正态分布的对称性计算所求概率. 【详解】对于二项分布，方差公式为，其中，代入得，，解得：. 对于正态分布，分布曲线关于均值对称，故, 由对称性得，， 所以. 2．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，事件为“两次抛掷的点数均为偶数”，事件为“第二次抛掷的点数不小于3”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法结合概率加法公式可得答案. 【详解】设两次抛掷骰子点数分别为，则抛掷两次点数的情况为： 则，，， 3．（25-26高三下·河北保定·期末）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 若，则随机变量方差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据分布列的性质求出的值及的取值范围，再求出，进而求出的表达式，根据导数求其最大值. 【详解】根据分布列的性质可得，即， 所以，解得，所以. 所以， 所以， 又，所以. 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的最大值为. 4．（25-26高三下·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率，全概率公式求解. 【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”, 总采购套数是（套），所以,, 由题意可知， 由全概率公式，得总故障概率是 ， 所以甲供应商责任概率是, 乙供应商责任概率是, 丙供应商责任概率是, 所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为. 5．（2027高三·全国·专题练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质即可得出答案. 【详解】设变量为， 对于A，在正态分布中，当越小，正态图像越“瘦高”，集中在均值10附近，区间在均值10附近，即越小，该物理量在一次测量中在的概率越大正确. 对于B，在正态分布中，对称轴为直线，故，即越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5正确. 对于C，在正态分布中，对称轴为直线，有，且， 所以，即越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等. 对于D，在正态分布中，对称轴为直线，有，且，， 则， 故越小，该物理量在一次测量中落在的概率大于落在的概率，即越小，该物理量在一次测量中落在的概率与落在的概率相等错误. 6．（25-26高三下·全国·课后作业）某品牌新能源汽车续航里程（单位：）服从正态分布.补贴政策为：续航里程不低于的车辆补贴万元，超过的车辆额外再补贴万元.则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】C 【分析】先由正态分布的对称性可得及，再由补贴的数学期望的定义计算可得. 【详解】由，所以均值，标准差，所以. 根据正态分布性质：，即， 所以， 因为：补贴万元；：补贴万元；：补贴万元. 因为每辆车平均补贴即为补贴的数学期望， 所以 ， 因此该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为万元. 7．（25-26高三下·新疆乌鲁木齐·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（   ） A．和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断. 【详解】事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，. 和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误； ，， 事件的基本事件有，，则， 所以和为相互独立事件，B正确； ，， 事件的基本事件有，，则， 故和不为相互独立事件，C错误； 和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误. 8．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）某市四支足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．乙队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 【答案】B 【分析】四支足球队进行单循环比赛，则总场数为,每一支球队要跟另外三支球队进行比赛.对于A，甲队积分为分，则甲胜了场，负场；对于B，乙队积分为分，则乙队胜场，负场或乙队平了场；对于C，如果场比赛全部分出胜负，那么每场比赛产生 分，总积分为 分。如果出现平局，每出现一场平局，总积分就会减少分（因为平局双方共得分，比一胜一负少分）.故四支球队的积分总和可能为分（当所有比赛均分出胜负时）；对于D，甲队胜场且乙队胜场的概率，分为三种情况，情况一：甲队胜乙队一场；情况二：乙队胜甲队一场；情况三，甲乙平局. 【详解】四支足球队进行单循环比赛，则总场数为,每一支球队要跟另外三支球队进行比赛. 对于A，甲队积分为分，则甲在三场比赛中胜了场，负场，，正确； 对于B，乙队积分为分，则乙队胜场，负场或乙队平了场， 则，错误； 对于C，如果场比赛全部分出胜负，那么每场比赛产生分，总积分为分， 如果出现平局，每出现一场平局，总积分就会减少分（因为平局双方共得分，比一胜一负少分）. 故四支球队的积分总和可能为分（当所有比赛均分出胜负时）； 对于D，甲队胜场且乙队胜场的概率， 分为三种情况，情况一：甲队胜乙队一场，甲队胜丙、丁其中一队场，乙队胜丙、丁两队； 情况二：甲队胜丙、丁两队，负于乙队，乙队胜丙、丁其中一队场； 情况三：甲乙平局，甲队胜丙、丁两队，乙队胜丙、丁两队 那么，正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（    ） A．事件不互斥 B．事件与事件相互独立 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用事件和事件是对立事件，通过树状图求得，再通过是否成立判断两事件是否独立. 【详解】对于选项A，甲罐中只有红球和白球，因此随机取出一个球，要么是红球，要么是白球， 事件和不可能同时发生，因此它们是互斥事件，且两事件必然有一个会发生，因此它们是对立事件，选项A错误； 对于选项B，，，画出树状图如下： ，， 因为事件和是对立事件，所以， 故，因此事件和事件不独立，选项B错误； 对于选项C，，选项C正确； 对于选项D，由以上过程可得，选项D错误. 10．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为（），收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为（），收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．下列正确的是（     ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】BD 【详解】对于A，三次都正确的概率为，所以A错误； 对于B，发送收到，说明两次正确一次错误，则概率为，所以B正确； 对于C，采用三次传输方案，发送1，译码为1，有两种情况， 情况一：三次都是，此时概率为， 情况二：两次，一次，此时概率为， 所以译码为1的概率为，，所以C错误； 对于D，当时，发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为， 采用三次传输方案译码为0有两种情况，分别是三次收到和两次一次，此时概率为， 可知，因为，所以， 即，即，所以D正确； 11．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）下列命题正确的是（ ） A．设是两个随机事件，“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 B．若，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 C．若三个事件两两独立，则满足 D．若事件相互独立，，则 【答案】BD 【分析】由对立事件和互斥事件的定义以及充分条件和必要条件即可判断A；由相互独立事件和互斥事件的定义即可判断B；根据独立事件的概率性质即可判断C；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义即可判断D. 【详解】对于A，互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生， 互斥事件是对立事件的必要条件，但对立事件是互斥事件的充分条件， “与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A错误； 对于B， ，若事件相互独立，则； 若事件互斥，则，两者矛盾， 因此事件相互独立与互斥一定不能同时成立，故B正确； 对于C，考虑投掷两个骰子，记事件A为第一个骰子的点数为奇数， 事件B为第二个骰子点数为奇数，事件C为两个骰子的点数之和为奇数， 于是有， ，故C错误； 对于D，若事件相互独立，则 ，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若对任意的，都有，则称非空集合是完美集合．从集合的所有子集中任选1个，该集合是完美集合的概率是________． 【答案】 【分析】首先确定集合的子集个数，再根据“完美集合”的定义，可列举出所有“完美集合”，进而根据古典概型概率公式即可求解． 【详解】由集合共有个元素，则集合有个子集， 根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有， 若，但无意义，无法满足条件，所以完美集合中不能含； 若，但，即不满足，所以完美集合中不能含， 因此，完美集合只能是集合的非空子集， 则完美集合有、、、、、、，共个， 所以集合的所有子集是完美集合的概率是． 13．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒中有3个正品和2个次品．其中正确结论的序号是___________． ①若从甲盒中任取2个产品，这2个产品均为正品的概率为 ②若从甲盒中任取2个产品，这2个产品一个为正品一个为次品的概率为 ③若从甲盒中任取2个产品，这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率为 ④若从甲盒中任取2个产品，乙盒中取1个产品，则取到次品个数的期望为 ⑤若先从甲盒中任取2个产品，将这2个产品放入乙盒，然后从乙盒任取1个产品，则取出的是正品的概率为． 【答案】①③⑤ 【分析】先利用古典概型依次判断①②；再用条件概率公式分析③；④借助期望可加性，拆分随机变量分别求期望再相加；⑤采用全概率公式，先对甲盒取件的所有互斥情况分类，算出各类概率与对应条件概率，最后求和，得到正确结论为①③⑤. 【详解】①2个均为正品：，① 正确； ②一正一次：，② 错误； ③条件概率：已有一个正品，另一个为次品， 设事件 ：至少1个正品；事件 ：一正一次 ∴，③ 正确； ④ 设 ：甲盒取出2件中的次品数；：乙盒取出1件中的次品数， ， ，④ 错误； ⑤ 设：甲取2正品；：甲取1正品1次品；：甲取2次品， ， ，⑤ 正确. 14．（26-27高三上·浙江·阶段检测）如下图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发在数轴上移动，每次向左或向右移动一个单位且相互独立，已知向右移的概率为，向左移的概率为，设该质点移动次后在数轴上对应的数为随机变量，则的方差__________（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】设次移动中向右移动的总次数为随机变量，则，根据 二项分布的方差公式和方差的性质求解即可. 【详解】设次移动中向右移动的总次数为随机变量，由于每次移动相互独立，向右移概率固定为， 因此，根据二项分布的方差公式，可得， 次移动中向左移动的次数为，质点最终的位置等于“向右移动的净步长”， 即， 根据方差的性质：对任意常数，有， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）某中学高三年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高三年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. (1)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. (2)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图求出，进而求出指定的两个区间内抽取的人数，再利用列举法求出古典概率. （2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了（人），记为，在中随机抽取了（人），记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间，共10个样本点， “至少有1名学生的成绩在内”的事件，有7个样本点， 则，所以至少有1名学生的成绩在内的概率为. （2）首场甲、乙比赛，甲获胜有三种情况： ①甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为； ②甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，概率为； ③甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为， 所以最终甲获胜的概率为. 16．（26-27高三上·广东茂名·阶段检测）某校高三年级举行物理竞赛，甲、乙两个参赛小组各6名同学的成绩（单位：分，满分100分）如下： 甲组：74，83，85，86，88，94；乙组：72，82，85，87，90，94. (1)分别求甲、乙两组成绩的平均数和方差，并判断哪一组的成绩更稳定； (2)从甲组6名同学中随机抽取2人，求这2人的成绩之差的绝对值不小于10的概率； (3)现从甲、乙两组中各随机抽取1名同学，设两次抽取的结果相互独立. 记“甲组抽到的同学成绩不低于85分”为事件A，“乙组抽到的同学成绩不低于85分”为事件B，求概率． 【答案】(1)甲、乙两组成绩的平均数均为85分；甲组方差为36，乙组方差为48；甲组成绩更稳定 (2) (3) 【详解】（1）甲组成绩的平均数； 甲方差 ； 乙组成绩的平均数； 乙方差 因为两组平均数相同（都是85分），而甲组的方差36小于乙组的方差48，说明甲组的成绩波动更小，所以甲组的成绩更稳定； （2）从甲组6名同学中随机抽取2人（不放回），所有可能的结果共有15种，且每种结果等可能； 设事件A为“抽到的2人成绩之差的绝对值不小于10”，用(a，b)表示抽到的两位同学的成绩， 则事件A包含：(74，85)，(74，86)，(74，88)，(74，94)，(83，94)，共5种结果； 所以； （3）甲组6名同学中，成绩不低于85分的有94，88，86，85共4人，故； 乙组6名同学中，成绩不低于85分的有94，90，87，85共4人，故，且． 解法一：由一般加法公式得 ； 解法二：“至少有一个发生”型问题可优先考虑对立事件. 设事件A与B的对立事件分别为与， 则，同理. 因为两次抽取相互独立，所以， 故， 即至少有一人成绩不低于85分的概率为． 17．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高三学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高三学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 【答案】(1) (2)分布列为 0 1 2 3 (3) 【详解】（1）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件 由表格可得：从抽出的12名学生中，男生和女生各随机选取一人，即样本空间； 其中男生成绩高于女生成绩的有 ，事件A包含17个样本点， 因此． （2）由数据可知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人，即从该校参加活动的高三学生中随机抽取1人， 该学生成绩优秀的概率为． 因此从该校高三学生中随机抽取3人， 这3人中成绩优秀人数可取，且， 所以 ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 数学期望或者，所以 . （3）男生的平均成绩为，则； 女生的平均成绩为，则； 由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本， 所以， 则；所以 18．（2026高三·全国·专题练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从同一正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据：， 参考公式：若，有，，． 【答案】(1)1587名； (2)， 【分析】（1）考试成绩近似服从正态分布，根据概率公式计算出概率后可得名次； （2）求出事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外的概率，随机变量服从二项分布，即，由公式计算出概率，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩X近似服从正态分布，由题意可得， 因为，所以， 即，解得， 因为甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， 所以， 即学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）设事件B：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为， 又，故，即成绩在之外等价于， 所以， 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以， Y的数学期望为． 19．（26-27高三上·山西长治·开学考试）现有A、B两个箱子，里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球．A箱有2个红球，1个白球；B箱有1个红球，2个白球．现有甲、乙两人进行摸球游戏，每轮游戏甲从A箱取一球，乙从B箱取一球，每次取球后放回原来箱子（即每次取球时箱中球的总数和颜色保持不变，各轮取球相互独立）．每轮取球得分规则如下： •若两人取出的球颜色相同：各得2分 •若一人取红球，一人取白球：取红球者得3分，取白球者得1分 (1)求第一轮游戏甲与乙得分之差的分布列和期望； (2)若规定游戏进行轮结束（），轮游戏结束后若甲累计得分高于乙，则甲获得最终胜利；若乙累计得分不低于甲，则乙获得最终胜利． ①求时乙获得最终胜利的概率； ②求时在乙获得最终胜利的条件下，甲乙分数相同的概率． 【答案】(1)甲与乙得分之差的分布列为 (2)①② 【分析】（1）根据条件可知的所有可能取值为，再根据游戏规则计算所有可能取值对的概率即可列出分布列与计算出期望； (2)①设两轮总差为,那么的可能取值为，由于各轮取球相互独立，所以乙最终胜利当且仅当两轮总差不大于0，通过独立事件的概率计算公式即可计算； ②设三轮总差为变量，甲乙分数相同即,那么的可能取值为，由于各轮取球相互独立，列出的分布列，再通过条件概率公式计算时在乙获得最终胜利的条件下，甲乙分数相同的概率. 【详解】（1）根据题意可知的所有可能取值为， ， 分布列为 （2）①设两轮总差为,那么的可能取值为， , , , 若时乙获得最终胜利的概率，则， 故. ②设三轮总差为变量，甲乙分数相同即，那么 的可能取值为， ,， , 所以时在乙获得最终胜利的条件下，甲乙分数相同的概率为 . 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $