单元集训卷45 计数原理与概率统计(基础)-2027年高考数学一轮复习

单元集训卷45　计数原理与概率统计(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·广东茂名·阶段检测）某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A．85，81.5 B．85，85 C．78，81.5 D．85，79 【答案】A 【详解】这组数据从小到大排列为：， 所以众数是85，中位数是． 2．（25-26高三下·四川遂宁·期中）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、6种荤菜中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理计算. 【详解】由题意可知，分三步完成： 第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法； 第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法， 根据分步计数原理，共有种不同的选取方法， 3．（25-26高三下·全国·课后作业）若的展开式中含有常数项，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式求解判断即可. 【详解】的展开式的通项为． 因为展开式中含有常数项，所以有解，即． 又，，故的最小值为5． 4．（26-27高三上·山东聊城·阶段检测）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至多一次中靶”互斥的是（   ） A．至少一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【答案】B 【分析】写出基本事件，根据互斥事件的定义进行判断 【详解】“至多一次中靶”包含“中靶0次和中靶1次”， A选项，“至少一次中靶”包含“中靶1次和中靶2次”， 故“至多一次中靶”与“至少一次中靶”均包含“中靶1次”，不互斥，A错误； B选项，“至多一次中靶”与“两次都中靶”互斥，B正确； C选项，“至多一次中靶”与“只有一次中靶”均包含“中靶1次”，故不互斥，C错误； D选项，“至多一次中靶”与“两次都没有中靶”均包含“中靶0次”，故不互斥，D错误 5．（25-26高三下·贵州遵义·期中）对于事件A，B，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，. 6．（2026·上海杨浦·模拟预测）若随机变量，，若，，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【详解】由题意可得， 又，所以，所以， 解得，所以， 又因为，所以， 又，所以. 7．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）某科研院校培育新品种西瓜，抽取新培育的西瓜10个，称出各西瓜的质量（单位：）如下：4.8，4.9，4.9，5.0，5.0，5.0，5.0，5.1，5.1，5.2．这10个西瓜中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（     ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】首先计算10个西瓜质量的平均数为5.0，再计算方差为，标准差为，所以1倍标准差范围内为，找出范围内数据即可. 【详解】计算平均数为：， 计算方差为：， 则标准差为：， 所以1倍标准差范围内为，有8个数据在范围内. 8．（26-27高三上·广东广州·开学考试）由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后得到新样本经验回归方程为.在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用回归直线方程过样本中心点，可求得样本中心点为，又根据除去两组样本数据后的样本中心点，可求得经验回归直线方程，进而代入数据可求得的估计值，据此可计算残差. 【详解】因为经验回归方程为，且， 所以，故这组数据的样本中心点为， 去掉，，由于， 所以剩余组数据的样本中心点仍为， 因为新样本经验回归方程为， 所以代入，求得， 所以经验回归直线的方程为：， 将代入经验回归方程，求得的估计值为， 所以样本的残差为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知一组数据，，…，的平均数为5，方差为4.令.则下列结论正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为11 B．数据，，…，的方差为16 C．在原数据中增加一个数据4，所得11个数据的平均数仍为5 D．将原数据中的每个数都增加3，所得数据的方差仍为4 【答案】ABD 【分析】根据平均数及方差的性质计算判断AB，根据平均数计算公式计算判断C，根据方差计算公式计算判断D. 【详解】对于A，，，A正确. 对于B，，，B正确. 对于C，由，得. 所以新数据平均数，C错误. 对于D，每个数都增加3后，数据为，，…，， 平均数为， 所以方差为 ，D正确. 10．（2026高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项 【答案】AB 【分析】设，利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系数的单调性可判断D选项. 【详解】设. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，， 所以，，C错； 对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错. 11．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）箱子中有大小、材质都相同的10个小球，其中有4个红球，现从中不放回地随机摸两次，每次摸出1个小球．设事件表示“第次摸球，摸到红球”，摸到红球个数记为，则下列结论正确的是（     ） A．和互斥 B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用互斥事件定义、条件概率计算、超几何分布的期望与方差，结合对应知识点逐一计算判断即可. 【详解】选项A，互斥事件的定义是两个事件不能同时发生，而“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”是可能发生的，即与可同时发生，因此二者不互斥，错误. 选项B，根据条件概率公式，其中两次都摸到红球的概率， 由抽签原理，不放回摸球时每次摸到红球的概率相等，即，代入得，正确. 选项C，红球个数服从超几何分布，参数（总球数）、（红球数）、（摸球次数），期望公式为，正确. 选项D，因为，，错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三下·辽宁朝阳·期末）下列命题中正确的命题有_________．（填序号） ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②当相关性系数时，两个变量正相关； ③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 【答案】①② 【详解】根据线性回归的性质，线性回归直线一定过样本中心点，故①正确； 相关系数的符号表示相关方向，时两个变量正相关，时两个变量负相关，故②正确； 变量相关性越强，是相关系数的绝对值越接近1，正相关时接近1，负相关时接近，故③错误； 在残差图中，残差点所在带状区域越窄，说明残差波动越小，回归预报精确度越高； 带状区域越宽，说明残差波动越大，预报精确度越低，故④错误． 13．（25-26高三下·广东深圳·期末）甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片．记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为________． 【答案】/ 【分析】先计算甲抽2张、乙抽1张的所有抽卡总事件数，再按甲抽取的2张卡片的较大编号的不同取值分类，枚举得到满足的“默契局”事件数，最后根据古典概型概率公式，用符合条件的事件数除以总事件数得到所求概率. 【详解】甲从6张中抽2张，乙从剩余4张中抽1张，总情况数为： ， 是甲抽取的2张中较大编号，的取值为， 时，由可知仅；甲抽法有1种，共种； 时，由可知符合；甲抽法有2种，共种； 时，由可知符合；甲抽法共3种，共种； 时，由可知仅符合；甲抽法共4种，共种； 时，由可知无符合的； 综上，符合条件的总情况数：. 则一局游戏成为“默契局”的概率. 14．（2027高三·全国·专题练习）《概率论》起源于博弈，掷骰子是其中一种概率游戏．希腊历史学家希罗多德记述：早在公元前1500年，古埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起玩掷骰子的游戏，后来人们将纯天然骨骼制成的骰子改进成了相对面数字之和为7的立方体骰子，并用之于博弈．假定甲、乙两个人掷两个骰子博弈，约定规则如下：第一次由甲开始掷，若掷出的骰子点数之和大于7，则赢得筹码，并可继续掷，直至掷出的骰子点数之和不大于7，就转给乙，乙操作，以此类推……这样一直进行下去．记第n次由甲掷骰子的概率为，已知，则______，______． 【答案】 【分析】第次由甲掷骰子这一事件，包含第n次由甲掷骰子，第次继续由甲掷骰子以及第n次由乙掷骰子，第次由甲掷骰子两种情况，然后得出递推表达式，进而根据等比数列的概念计算即可. 【详解】一次掷两个骰子，点数之和大于7的概率为，不大于7的概率为． 第二次由甲掷骰子的概率为，第三次由甲掷骰子的概率为． 第次由甲掷骰子这一事件，包含两个事件： （1）第n次由甲掷骰子，第次继续由甲掷骰子； （2）第n次由乙掷骰子，第次由甲掷骰子，前一事件发生的概率为， 后一事件发生的概率为，所以，即， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列． 又，所以，即， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）某校为了解高三学生使用“AI错题整理工具”的情况，随机抽取了名学生，统计每名学生单次使用该工具的时长（单位：分钟），并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）. (1)求的值； (2)利用频率分布直方图，估计这名学生单次使用时长的第百分位数； (3)利用频率分布直方图，估计这名学生单次使用时长的平均数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出的值； （2）根据累积频率确定第75百分位数所在区间，再计算第75百分位数； （3）利用各组组中值乘以对应频率求和得到平均数. 【详解】（1）由题意可知：， 解得 （2）前三组的频率和为，前四组的频率和为 所以第百分位数属于区间， 所以第百分位数为 （3）由（1）知，则平均数为 16．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，其中，，，，且的展开式中各二项式系数的和为256． (1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 【答案】(1) ，二项式系数最大项为 (2) 【分析】（1）利用二项式系数和为的性质列方程求，再根据偶数次二项展开式中二项式系数最大项为中间项计算对应项； （2）采用赋值法分别求出常数项和所有项的系数和，两式作差得到所求系数和. 【详解】（1）二项展开式的所有二项式系数之和为，由题意得，解得（）. 因为为偶数，故展开式中二项式系数最大的项为第项. 由二项展开式通项公式（），得 . （2）由（1）知，. 令，代入原式得，解得. 令，代入原式得，即 . 因此. 17．（26-27高三上·天津·阶段检测）某位老师要从第1课至第10课的10篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，若学生至少能背诵出2篇，则视为背诵合格．已知小明同学只会背诵第1课至第3课的3篇课文． (1)设在小明同学抽到的3篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列； (2)小明同学背诵合格的概率； (3)在“小明同学至少抽到1篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率． 【答案】(1)分布列为： 0 1 2 3 (2) (3) 【分析】（1）根据超几何概率公式，求概率，再写出分布列； （2）根据分布列计算，即可求解. （3）根据条件概率计算即可. 【详解】（1）抽到小明能背诵的课文数量为随机变量，则服从超几何分布，可能取值为. 从10篇中抽3篇，小明能背诵出篇，则概率为. 所以，， ，， 因此分布列为： 0 1 2 3 （2）小明能及格的概率. （3）设事件：小明至少1篇会背诵，事件：小明能及格， 由条件概率公式. 事件至少会1篇且可以及格，故，， 因此. 18．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为:学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 (1)先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关; (2)按照短跑成绩是否合格，运用分层抽样的方法从样本中选出5人，再从这5人中随机抽取2人. 记抽取的2人中短跑成绩合格的人数为X，求X的分布列和期望. 参考公式与数据:，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 有关 (2) 0 1 2 【分析】（1）根据题中所给人数和对应概率计算得出列联表，再代入公式求出卡方值，即可得出结论； （2）易知，利用超几何分布公式计算得出相应概率可求出分布列和期望值. 【详解】（1）列联表为 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 零假设学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时相互独立. 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关. （2）由列联表知，选出5人中短跑成绩合格的有3人， 因此，从这5人中随机抽取2人，其中短跑成绩合格的人数； 易知，则， ，， 的分布列为 0 1 2 所以的期望. 19．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表： 星期 一 二 三 四 五 直播时长（小时） 1 2 3 4 5 直播时在线观看人数（千人） 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． (1)试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）； (2)利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数． 【答案】(1)与具有较强的线性相关性. (2)，5.6（千人） 【分析】（1）根据已知数据结合样本相关系数的计算公式，即可求得答案； （2）利用最小二乘法求出，即可得关于的经验回归方程，将代入经验回归方程即可得答案. 【详解】（1）由， ， 所以（或）， 所以与具有较强的线性相关性． （2），， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 由此预测当直播时长为9小时的时候，在线人数约为5.6（千人）． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷45　计数原理与概率统计(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·广东茂名·阶段检测）某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A．85，81.5 B．85，85 C．78，81.5 D．85，79 2．（25-26高三下·四川遂宁·期中）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、6种荤菜中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 3．（25-26高三下·全国·课后作业）若的展开式中含有常数项，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 4．（26-27高三上·山东聊城·阶段检测）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至多一次中靶”互斥的是（   ） A．至少一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 5．（25-26高三下·贵州遵义·期中）对于事件A，B，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·上海杨浦·模拟预测）若随机变量，，若，，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 7．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）某科研院校培育新品种西瓜，抽取新培育的西瓜10个，称出各西瓜的质量（单位：）如下：4.8，4.9，4.9，5.0，5.0，5.0，5.0，5.1，5.1，5.2．这10个西瓜中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（     ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 8．（26-27高三上·广东广州·开学考试）由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后得到新样本经验回归方程为.在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知一组数据，，…，的平均数为5，方差为4.令.则下列结论正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为11 B．数据，，…，的方差为16 C．在原数据中增加一个数据4，所得11个数据的平均数仍为5 D．将原数据中的每个数都增加3，所得数据的方差仍为4 10．（2026高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项 11．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）箱子中有大小、材质都相同的10个小球，其中有4个红球，现从中不放回地随机摸两次，每次摸出1个小球．设事件表示“第次摸球，摸到红球”，摸到红球个数记为，则下列结论正确的是（     ） A．和互斥 B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三下·辽宁朝阳·期末）下列命题中正确的命题有_________．（填序号） ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②当相关性系数时，两个变量正相关； ③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 13．（25-26高三下·广东深圳·期末）甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片．记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为________． 14．（2027高三·全国·专题练习）《概率论》起源于博弈，掷骰子是其中一种概率游戏．希腊历史学家希罗多德记述：早在公元前1500年，古埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起玩掷骰子的游戏，后来人们将纯天然骨骼制成的骰子改进成了相对面数字之和为7的立方体骰子，并用之于博弈．假定甲、乙两个人掷两个骰子博弈，约定规则如下：第一次由甲开始掷，若掷出的骰子点数之和大于7，则赢得筹码，并可继续掷，直至掷出的骰子点数之和不大于7，就转给乙，乙操作，以此类推……这样一直进行下去．记第n次由甲掷骰子的概率为，已知，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）某校为了解高三学生使用“AI错题整理工具”的情况，随机抽取了名学生，统计每名学生单次使用该工具的时长（单位：分钟），并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）. (1)求的值； (2)利用频率分布直方图，估计这名学生单次使用时长的第百分位数； (3)利用频率分布直方图，估计这名学生单次使用时长的平均数. 16．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，其中，，，，且的展开式中各二项式系数的和为256． (1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 17．（26-27高三上·天津·阶段检测）某位老师要从第1课至第10课的10篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，若学生至少能背诵出2篇，则视为背诵合格．已知小明同学只会背诵第1课至第3课的3篇课文． (1)设在小明同学抽到的3篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列； (2)小明同学背诵合格的概率； (3)在“小明同学至少抽到1篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率． 18．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为:学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 (1)先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关; (2)按照短跑成绩是否合格，运用分层抽样的方法从样本中选出5人，再从这5人中随机抽取2人. 记抽取的2人中短跑成绩合格的人数为X，求X的分布列和期望. 参考公式与数据:，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表： 星期 一 二 三 四 五 直播时长（小时） 1 2 3 4 5 直播时在线观看人数（千人） 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． (1)试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）； (2)利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $