单元集训卷46 计数原理与概率统计(培优)-2027年高考数学一轮复习

单元集训卷46　计数原理与概率统计(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·全国·模拟预测）已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】由已知条件及百分位数的计算方法，即可求得，从而得出解答. 【详解】因为数据中最小数据为9，可得且，将7个数据从小到大排序， 因为，则该组数据的第75百分位数为第6个数据，可得， 所以，则的可能取值有9，10，11，12，13，14，共6个． 2．（2026·山东济南·模拟预测）某单位派出包括甲、乙在内的9名员工参加培训，需要把他们随机平均分成3个小组，那么甲、乙两人分到同一个小组的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】9人平均分成3组的方法数为 ， 甲乙同组的情况：先选1人和甲乙同组，再把剩余6人平均分成2组的方法数为 ， 所以甲、乙两人分到同一个小组的概率为. 3．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）已知随机变量，则下列结论不成立的是（     ） A．越小，则的测量结果在内的概率越大 B．的测量值大于10的概率为0.5 C．的测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D．的测量结果落在内的概率与落在内的概率相等 【答案】D 【分析】结合正态分布的对称性、对曲线形态的影响，逐一判断各选项结论是否成立，选出不成立的选项. 【详解】已知随机变量，即正态分布的均值，正态曲线关于直线对称. 选项A：越小，正态曲线越“瘦高”，数据越集中在均值附近，因此落在内的概率越大，结论成立; 选项B：由正态曲线关于对称，可得，结论成立; 选项C：与关于对称，根据正态分布对称性，，结论成立; 选项D：区间与不关于对称，因此对应概率不相等，结论不成立. 4．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则该音响能听到声音的概率为（     ）    A．0.19738 B．0.80262 C．0.80272 D．0.19728 【答案】B 【详解】由题意得音响能听到声音，需要同时满足：至少一个正常工作，正常工作，至少一个正常工作，且各部件能否正常工作相互独立, ①计算至少有一个正常工作的概率： (故障)(故障)， ②正常工作的概率： , ③计算至少有一个正常工作的概率： (故障)(故障)， 因为以上三部分相互独立，所以音响能听到声音的概率： . 5．（26-27高三上·辽宁·开学考试）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．80 D．100 【答案】C 【分析】由，利用展开式的通项即可求解. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，且， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为80. 6．（26-27高三上·浙江·阶段检测）两个线性相关变量与的统计数据如下表： 3.5 6 7.5 根据表中数据可得，且关于的经验回归直线方程为，则下列说法错误的有（     ） A． B． C．变量和正相关 D．对应的残差为 【答案】B 【分析】根据平均数公式可判断A；根据经验回归直线过点，可求出，进而可判断B；根据经验回归直线方程中的系数可判断C；根据残差定义可判断D. 【详解】对于选项A，由表中数据得，故A正确； 对于选项B，因为经验回归直线过点， 又，所以， 所以，解得，故B错误； 对于选项C，由得的系数为正数，所以变量和正相关，故C正确； 对于选项D，将代入得， 所以点对应的残差为，故D正确. 7．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）给出以下命题，其中错误的命题是（     ） A．若事件互斥，则 B．若事件相互独立，则 C．若事件两两互斥，则 D．若事件两两独立，则 【答案】D 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若事件互斥，则两个事件不可能同时发生， 根据互斥事件的概率加法公式，可得，所以A正确； 对于B，若事件相互独立，则事件发生不影响事件发生的概率， 可得事件发生不影响事件发生的概率，则也相互独立， 所以，所以B正确； 对于C，若事件两两互斥，则任意两个事件都不可能同时发生， 由互斥事件的概率加法公式，可得，所以C正确； 对于D，例如：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件为第一枚硬币正面向上， 事件为第二枚硬币正面向上，事件为两枚硬币结果相同，则事件两两独立， 可得，此时， 事件表示两枚硬币的正面都向上，可得， 则，所以D错误. 8．（25-26高三下·全国·课后作业）某高校调查学生性别和喜欢短视频是否有关联．男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频人数占男生人数的，女生中喜欢短视频人数占女生人数的．若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别有关联，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求得的取值范围得最小值. 【详解】列出列联表： 性别 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 于是． 要依据认为有关联，需，解得． 又，所以的最小值为12． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的有（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．已知事件，互斥，，，则 D．已知事件，相互独立，，，则 【答案】AC 【分析】A、利用二项分布公式即可求解；B、利用正态分布的对称性，求出对称轴；C、由于事件，互斥，直接将两事件概率相加，得到并事件概率；D、由事件，相互独立，得，独立，二者概率相乘即可算出结果． 【详解】对于A、若， 则，故A正确； 对于B、若，且， 则 这表明，故B错误； 对于C、已知事件，互斥，，， 则，故C正确； 对于D、已知事件，相互独立，，， 则，也相互独立，，故D错误． 10．（26-27高三上·广东茂名·阶段检测）某校在高三年级开展了数学建模活动，为评估活动效果，从全年级随机抽取名学生的测试成绩（单位：分，满分100分）进行分析．按、、、、、、、、、分组后，得到如下频数分布表，则（ ） 分组 频数 A．这名学生成绩的众数是 B．这名学生成绩的第百分位数是 C．若用这名学生成绩的频率估计全年级学生成绩不低于分的概率，则该概率的估计值为 D．用分层随机抽样，按与两层的样本量之比，从这两层中共抽取人，再从这人中随机抽取人，则这人来自同一层的概率为 【答案】CD 【分析】对于A：根据众数的定义分析判断即可；对于B：根据百分位数的定义分析可知第百分位数在内，即可判断；对于C：先求对应的人数，进而可求概率；对于D：求各层抽取的人数，结合古典概型运算求解. 【详解】对于选项A：因为学生成绩在内的频数最大，估计这名学生成绩的众数是，故A错误； 对于选项B：因为，， 可知这名学生成绩的第百分位数在内，不为，故B错误； 对于选项C：在样本中，学生成绩不低于分的人数为， 用频率估计概率，则全年级学生成绩不低于分的概率估计值为，故C正确； 对于选项D：学生成绩在内的频数为，学生成绩在内的频数为， 在内应抽取人，设为、、、， 在内应抽取人，设为、， 再从这人中随机抽取人，则有： 、、、、、、、、、 、、、、、，共个基本事件， 这人来自同一层有、、、、、、， 共个基本事件，所以这人来自同一层的概率为，故D正确. 11．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知随机变量，随机变量，则（    ） （若，则，，） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由二项分布、正态分布的数字特征与概率计算，结合两类分布的性质逐一验证选项即可. 【详解】 由已知，，故，； ，故，，，正态曲线关于对称. 选项A：因为， 则，故A正确； 选项B：由， 得，而，二者不相等，故B错误； 选项C：由正态分布对称性，， 移项可得，故C正确； 选项D：； ， 显然，即，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________． 【答案】 【分析】由题意求出，从而得到展开式的通项公式，令，带入即可求出答案. 令，得，则常数项为. 【详解】由题意得，，得， 则的展开式通项为， 令，得，则常数项为. 13．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他投篮命中的次数为，则的期望是________；在已知他至少命中1次的条件下，他恰好命中1次的概率为________． 【答案】 1.2 【详解】由题意，服从二项分布，即， 所以， 设事件“恰好命中1次”， 事件“至少命中1次”， 则， ， ， 所以. 14．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）某超市在春节期间举行抽奖活动，在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球，这些小球除文字外完全相同．顾客从中一次性抽取2个小球，恰好抽出1个“秋绥”和1个“冬禧”视为中奖，其余情况均未中奖．设在连续3次抽奖中（每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖）恰好中奖1次的概率为，则当取到最大值时的值为________． 【答案】20 【分析】根据给定条件，求出单次中奖概率，再求出连续3次中奖1次的概率，构造函数并利用导数求解. 【详解】依题意，单次抽奖中奖的概率， 则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 因此当取最大值时，，解得或， 因为，所以， 所以当取到最大值时的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·广东珠海·阶段检测）随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）.已知样本中评分在内的频率比评分在内的频率多0.2. (1)求a，b的值； (2)现根据频率分布直方图对所有无人快递车划定等级，规定分数不低于70%分位数的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； (3)为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率. 【答案】(1)，. (2)85分 (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，结合两组车辆数量差建立方程组，联立求出； （2）A等车是前 30%，对应求第 70 百分位数，先分段累加频率定位区间，再用百分位数公式算出分数线； （3）先分层抽样确定两组抽取数量，列举全部基本事件，统计符合条件事件数，用古典概型计算概率. 【详解】（1）由频率分布直方图各小矩形面积之和为1，得，即①； 由题意可得，，即②.联立①②，解得，. （2）由题意可知，估计A等车分数线，即求第70百分位数. 各组频率分别为0.15，0.35，0.40，0.10；前2组累计频率为0.50，前3组累计频率为0.90，所以第70百分位数位于内. 设分数线为，则，解得. 故估计A等车的分数线为85分. （3）评分超过80分的车辆共有100辆，其中组80辆，组20辆. 按比例抽取5辆，组抽4辆，组抽1辆. 将组4辆车分别记为，组1辆车记为. 从这5辆车中随机抽取2辆，所有等可能结果共有10个：，，，，，，，，，. 其中“两车评分均不超过90分”的结果有6个：，，，，，. 所以所求概率. 16．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）2026年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温．为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取40份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： (1)从所有参赛学生中抽取1人，估计该学生的成绩低于70分的概率； (2)从所有参赛学生中抽取4人，求其中恰好2人成绩低于70分，2人成绩高于90分的概率； (3)从所有参赛学生中随机抽取20人，记为这20人中成绩低于70分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由频率估计概率，直接求出成绩低于分的频率； （2）把问题看成次独立抽取中恰有次取到低于分、次取到高于分，用乘法公式计算； （3）把看作二项分布，比较相邻两项概率的大小判断增减性，由此求得最大值点. 【详解】（1）由表得成绩低于分的频率为，高于分的频率为， 其余成绩的频率为. 以频率估计概率，从所有参赛学生中抽取人，其成绩低于分的概率为. （2）抽取人，要求其中人成绩低于分、人成绩高于分， 故所求概率为. （3）由题意，则，于是. 由得，即时单调递增、时单调递减， 特别地，时，即； 时，即. 故当时取得最大值. 17．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）首届江苏省城市足球联赛（俗称“苏超”）已于2025年11月1日圆满收官，自开赛以来，“苏超”凭借其独特魅力迅速爆火，关注度甚至超过部分职业联赛.统计显示，继“苏超”之后，“赣超”“湘超”“川超”“渝超”“蒙超”“辽超”“青超”“琼超”“滇超”等不少于10个省、自治区和直辖市也在举行城市联赛，这无疑体现出当前城市联赛的火爆程度.某地组建球队参加业余比赛，该队教练统计了球员的数据.为了调查某球员对球队的贡献，作出如下数据统计（比赛结果中没有平局）： 球员 球队 总计 胜 负 未上场 30 上场 40 总计 50 120 (1)将上表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析球队胜利是否与该球员上场有关； (2)考虑到赛程比较密集，主教练决定在接下来的两场比赛中，第一场安排该球员上场，如果获得胜利，那么第二场比赛该球员不上场，以便能够获得充分的休息，否则第二场继续上场比赛.已知每场比赛是胜是负相互独立，利用频率估计概率，设X表示这两场比赛中该球队胜利的场数，求X的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1) 球员 球队 总计 胜 负 未上场 30 30 60 上场 40 20 60 总计 70 50 120 认为球队胜利与该球员上场有关，该推断犯错的概率不超过0.1 (2) X 0 1 2 P . 【分析】（1）根据列联表各行各列总计与分项的和差关系，计算空缺的数值，进而确定零假设，代入卡方公式计算统计量，将统计量和对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设. （2）分别得到球员上场时球队获胜的概率、球员未上场时球队获胜的概率，再确定的可能取值，分情况计算每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据期望公式计算. 【详解】（1）补充列联表，如下所示： 球员 球队 总计 胜 负 未上场 30 30 60 上场 40 20 60 总计 70 50 120 零假设：球队胜利与该球员上场无关. 则， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为球队胜利与该球员上场有关，该推断犯错的概率不超过0.1. （2）由题意可知，该球员上场时，球队获胜的概率为； 该球员不上场时，球队获胜的概率为. X的可能取值为0，1，2， ， ， . 故X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 18．（25-26高三下·福建福州·阶段检测）随着“碳中和”战略的推进，某市新能源汽车保有量逐年攀升．为了研究该市新能源汽车保有量y（单位：万辆）与年份代码x之间的关系，统计了该市2016年至2025年（年份代码x分别为1至10）的数据．经初步处理，得到如下统计量的值： ，，，，，其中表示的自然对数． (1)根据散点图分析，发现与之间不适宜建立线性回归方程，但与具有较强的线性相关性，请利用最小二乘法，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； (2)该市某社区计划推广“绿色出行”活动，拟从报名的4名燃油车车主和2名新能源车车主中，随机抽取3人组成宣讲团．设抽取的3人新能源车车主的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； (3)为了进一步提升服务质量，该社区对宣讲团成员进行培训考核．已知新能源车车主考核合格的概率为，燃油车车主考核合格的概率为，且各人考核是否合格相互独立．求抽取的宣讲团成员中，恰好有2人考核合格的概率． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， 【答案】(1) (2) 0 1 2 (3) 【分析】（1）对，两边取对数，令，转化为线性回归模型，结合最小二乘法计算公式计算求解即可； （2）列举随机变量可能取值，计算对应概率可得分布列，进而可计算数学期望； （3）根据独立事件的乘法公式以及全概率公式计算即可求解. 【详解】（1）对，两边取对数，令， 则与建立线性回归模型．， ，，，，其中表示的自然对数， 由题意可知：，，， ， 所以，， 所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为：. （2）由题意，总人数为6人（4名燃油车主，2名新能源车主），从中抽取3人， 随机变量表示抽取的新能源车主人数，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望． （3）设事件为“抽取的宣讲团成员中恰好有2人考核合格”，表示抽取的新能源车主人数， 则， ， ， 所以 ， 故抽取的宣讲团成员中恰好有2人考核合格的概率为． 19．（26-27高三上·广东·阶段检测）在某学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行（为正整数）局比赛，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)若，时，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列； (2)记事件表示“乙最终获胜”，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”． （ⅰ）若，，求，； （ⅱ）求． 【答案】(1)随机变量的分布列为： (2)（ⅰ），； （ⅱ） 【分析】（1）先确定的可能取值，再确定取各值的概率，由此可得其分布列； （2）（ⅰ）结合独立事件概率乘法公式求，，再由条件概率公式求结论； （ⅱ）结合条件概率的意义及独立事件概率乘法公式求结论. 【详解】（1）当时，共进行局，是两人所赢局数之差的绝对值，的取值有， 即为甲赢局乙赢局、甲赢局乙赢局， 所以； 即为甲赢局乙赢局、甲赢局乙赢局， 所以； 即为甲赢局乙赢局、甲赢局乙赢局， 所以； 所以随机变量的分布列为： （2）（ⅰ）若，， 则，， ，， 所以，； （ⅱ）事件发生等价于甲赢了局，则乙赢了局， 则剩余局乙需要全部获胜，才能最终总赢局数超过甲，因此， 事件发生等价于甲赢了局，则乙赢了局， 则剩余局中乙至少赢下局，才能最终总赢局数超过甲，因此， 所以． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷46　计数原理与概率统计(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·全国·模拟预测）已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 2．（2026·山东济南·模拟预测）某单位派出包括甲、乙在内的9名员工参加培训，需要把他们随机平均分成3个小组，那么甲、乙两人分到同一个小组的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）已知随机变量，则下列结论不成立的是（     ） A．越小，则的测量结果在内的概率越大 B．的测量值大于10的概率为0.5 C．的测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D．的测量结果落在内的概率与落在内的概率相等 4．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则该音响能听到声音的概率为（     ）    A．0.19738 B．0.80262 C．0.80272 D．0.19728 5．（26-27高三上·辽宁·开学考试）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．80 D．100 6．（26-27高三上·浙江·阶段检测）两个线性相关变量与的统计数据如下表： 3.5 6 7.5 根据表中数据可得，且关于的经验回归直线方程为，则下列说法错误的有（     ） A． B． C．变量和正相关 D．对应的残差为 7．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）给出以下命题，其中错误的命题是（     ） A．若事件互斥，则 B．若事件相互独立，则 C．若事件两两互斥，则 D．若事件两两独立，则 8．（25-26高三下·全国·课后作业）某高校调查学生性别和喜欢短视频是否有关联．男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频人数占男生人数的，女生中喜欢短视频人数占女生人数的．若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别有关联，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 性别 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的有（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．已知事件，互斥，，，则 D．已知事件，相互独立，，，则 10．（26-27高三上·广东茂名·阶段检测）某校在高三年级开展了数学建模活动，为评估活动效果，从全年级随机抽取名学生的测试成绩（单位：分，满分100分）进行分析．按、、、、、、、、、分组后，得到如下频数分布表，则（ ） 分组 频数 A．这名学生成绩的众数是 B．这名学生成绩的第百分位数是 C．若用这名学生成绩的频率估计全年级学生成绩不低于分的概率，则该概率的估计值为 D．用分层随机抽样，按与两层的样本量之比，从这两层中共抽取人，再从这人中随机抽取人，则这人来自同一层的概率为 11．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知随机变量，随机变量，则（    ） （若，则，，） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________． 13．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他投篮命中的次数为，则的期望是________；在已知他至少命中1次的条件下，他恰好命中1次的概率为________． 14．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）某超市在春节期间举行抽奖活动，在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球，这些小球除文字外完全相同．顾客从中一次性抽取2个小球，恰好抽出1个“秋绥”和1个“冬禧”视为中奖，其余情况均未中奖．设在连续3次抽奖中（每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖）恰好中奖1次的概率为，则当取到最大值时的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·广东珠海·阶段检测）随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）.已知样本中评分在内的频率比评分在内的频率多0.2. (1)求a，b的值； (2)现根据频率分布直方图对所有无人快递车划定等级，规定分数不低于70%分位数的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； (3)为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率. 16．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）2026年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温．为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取40份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： (1)从所有参赛学生中抽取1人，估计该学生的成绩低于70分的概率； (2)从所有参赛学生中抽取4人，求其中恰好2人成绩低于70分，2人成绩高于90分的概率； (3)从所有参赛学生中随机抽取20人，记为这20人中成绩低于70分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 17．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）首届江苏省城市足球联赛（俗称“苏超”）已于2025年11月1日圆满收官，自开赛以来，“苏超”凭借其独特魅力迅速爆火，关注度甚至超过部分职业联赛.统计显示，继“苏超”之后，“赣超”“湘超”“川超”“渝超”“蒙超”“辽超”“青超”“琼超”“滇超”等不少于10个省、自治区和直辖市也在举行城市联赛，这无疑体现出当前城市联赛的火爆程度.某地组建球队参加业余比赛，该队教练统计了球员的数据.为了调查某球员对球队的贡献，作出如下数据统计（比赛结果中没有平局）： 球员 球队 总计 胜 负 未上场 30 上场 40 总计 50 120 (1)将上表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析球队胜利是否与该球员上场有关； (2)考虑到赛程比较密集，主教练决定在接下来的两场比赛中，第一场安排该球员上场，如果获得胜利，那么第二场比赛该球员不上场，以便能够获得充分的休息，否则第二场继续上场比赛.已知每场比赛是胜是负相互独立，利用频率估计概率，设X表示这两场比赛中该球队胜利的场数，求X的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18．（25-26高三下·福建福州·阶段检测）随着“碳中和”战略的推进，某市新能源汽车保有量逐年攀升．为了研究该市新能源汽车保有量y（单位：万辆）与年份代码x之间的关系，统计了该市2016年至2025年（年份代码x分别为1至10）的数据．经初步处理，得到如下统计量的值： ，，，，，其中表示的自然对数． (1)根据散点图分析，发现与之间不适宜建立线性回归方程，但与具有较强的线性相关性，请利用最小二乘法，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； (2)该市某社区计划推广“绿色出行”活动，拟从报名的4名燃油车车主和2名新能源车车主中，随机抽取3人组成宣讲团．设抽取的3人新能源车车主的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； (3)为了进一步提升服务质量，该社区对宣讲团成员进行培训考核．已知新能源车车主考核合格的概率为，燃油车车主考核合格的概率为，且各人考核是否合格相互独立．求抽取的宣讲团成员中，恰好有2人考核合格的概率． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， 0 1 2 19．（26-27高三上·广东·阶段检测）在某学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行（为正整数）局比赛，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)若，时，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列； (2)记事件表示“乙最终获胜”，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”． （ⅰ）若，，求，； （ⅱ）求． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $