3.6 位似 题型专练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

湘教版（2024）九年级上册 3.6 位似 题型专练 【题型1】位似图形的概念和性质 【典例】下列说法中正确的是（　　） A.位似图形一定是相似图形 B.两个位似图形一定在位似中心的同侧 C.相似图形一定是位似图形 D.位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行 【举一反三1】下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：5，则周长的比为16：25，其中正确的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】两个多边形不仅    ，而且        的连线相交于一点，对应边互相    ，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做    ． 【举一反三3】关于对位似图形的表述，下列说法正确的是     ．（填序号） ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 【题型2】判断是否为位似图形 【典例】下列各组图形中，不是位似图形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】在如图所示的网格中，以O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（　　） A.四边形FHRE B.四边形FMRE C.四边形FMNE D.四边形NHRE 【举一反三2】如图，是位似图形的两个图形是    ．（填序号） 【举一反三3】如图，三个全等的正六边形，其中成位似图形关系的有    对． 【举一反三4】下面各组图形中，哪组是位似图形？哪组不是位似图形？如果是，请指出它们各自的位似中心． 【题型3】根据位似求周长（比）或边长（比） 【典例】如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为3：5，则OA与OD之比为（　　） A.2：3 B.3：2 C.2：5 D.3：5 【举一反三1】如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为（　　） A.10 B.15 C.25 D.125 【举一反三2】一个多边形的边长依次为1，2，3，4；5，6，7，8，与它位似的另一个多边形的最大边长为12，那么另一个多边形的周长为　　． 【举一反三3】如果两个位似图形的对应线段长分别为3 cm和5 cm，且较小图形周长为30 cm，则较大图形周长为　　cm． 【题型4】根据位似比求图形的面积或面积比 【典例】如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，已知OD＝1，OA＝3．若△DEF的面积为S，则△ABC的面积为（　　） A.2S B.3S C.4S D.9S 【举一反三1】如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AD，S△ABC＝4，则S△DEF等于（　　） A.6 B.8 C.9 D.12 【举一反三2】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为　　． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）． （1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题： ①若点A（，3），则A′的坐标为　　； ②△ABC与△A′B′C′的相似比为　　； （2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m的代数式表示） 【举一反三4】如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比； （3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5； （4）求出△A1B1C1与△ABC的面积比． 【题型5】根据位似求确定点的坐标 【典例】如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，若点B坐标为（1，1），则点D的坐标是（　　） A.（3，3） B.（4，4） C.（5，5） D.（6，6） 【举一反三1】如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，若两个正方形的面积之比为1：3，点A坐标为（2，0），则E点坐标为（　　） A. B. C. D.（3，3） 【举一反三2】如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（　　） A.（，n） B.（m，n） C.（m，） D.（） 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以原点O为位似中心的位似图形，若AC＝3OA，点B的坐标为（1，3），则点D的坐标为　　． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为　　． 【举一反三5】如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A'B'C'． （1）写出点A'、B'、C'的坐标（点A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'）； （2）求△A'B'C'与△ABC的周长比． 【举一反三6】如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 湘教版（2024）九年级上册 3.6 位似 题型专练（参考答案） 【题型1】位似图形的概念和性质 【典例】下列说法中正确的是（　　） A.位似图形一定是相似图形 B.两个位似图形一定在位似中心的同侧 C.相似图形一定是位似图形 D.位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行 【答案】A 【解析】根据位似图形的定义可知： A.位似图形一定是相似图形，故本选项正确； B.两个位似图形可以在位似中心的同侧或异侧，故本选项错误； C.相似图形不一定是位似图形，故本选项错误； D.位似图形中每对对应点所在的直线必交于一点，故本选项错误． 故选：A． 【举一反三1】下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：5，则周长的比为16：25，其中正确的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】①位似图形都相似，说法正确； ②位似图形是放大（或缩小）得到的，不是平移得到的，故本小题说法错误； ③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2，说法正确； ④两个相似多边形的面积比为4：5，则周长的比为2：，故本小题说法错误； 故选：B． 【举一反三2】两个多边形不仅    ，而且        的连线相交于一点，对应边互相    ，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做    ． 【答案】是相似多边形；对应顶点；平行；位似中心 【解析】两个多边形不仅是相似多边形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 故答案为：是相似多边形，对应顶点，平行，位似中心． 【举一反三3】关于对位似图形的表述，下列说法正确的是     ．（填序号） ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 【答案】② 【解析】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，所以①错误； 位似图形的对应顶点的连线相交于一点，这个点位似中心，所以②正确； 位似图形上任意两对应点与位似中心的距离之比等于位似比，所以③错误． 故答案为：②． 【题型2】判断是否为位似图形 【典例】下列各组图形中，不是位似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据位似图形的定义，可得A，C，D是位似图形，A与C的位似中心是交点，D位似中心是圆心；B不是位似图形． 故选：B． 【举一反三1】在如图所示的网格中，以O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（　　） A.四边形FHRE B.四边形FMRE C.四边形FMNE D.四边形NHRE 【答案】A 【解析】如图，以O为位似中心，四边形ABCD的位似图形为四边形FHRE． 故选：A． 【举一反三2】如图，是位似图形的两个图形是    ．（填序号） 【答案】①④ 【解析】图①、④是位似图形， 故答案为：①④． 【举一反三3】如图，三个全等的正六边形，其中成位似图形关系的有    对． 【答案】3 【解析】图形中的三个正六边形每两个都是位似图形，因而成位似图形关系的有3对． 【举一反三4】下面各组图形中，哪组是位似图形？哪组不是位似图形？如果是，请指出它们各自的位似中心． 【答案】解：如图， ①是位似图形，位似中心是O， ②③不是位似图形． 【题型3】根据位似求周长（比）或边长（比） 【典例】如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为3：5，则OA与OD之比为（　　） A.2：3 B.3：2 C.2：5 D.3：5 【答案】D 【解析】∵△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的， ∴△ABC与△DEF的相似比＝它们的周长比＝3：5， ∴位似比为3：5，即OA：OD＝3：5． 故选：D． 【举一反三1】如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为（　　） A.10 B.15 C.25 D.125 【答案】A 【解析】∵AD＝3OA， ∴OD＝2OA， ∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF，DE∥AB， ∴△ABO∽△DEO， ∴2， ∴△DEF的周长：△ABC的周长＝2， ∵△ABC的周长为5， ∴△DEF的周长为10， 故选：A． 【举一反三2】一个多边形的边长依次为1，2，3，4；5，6，7，8，与它位似的另一个多边形的最大边长为12，那么另一个多边形的周长为　　． 【答案】54 【解析】一个六边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，7，8． 与它相似的另一个多边形最大边长为12， 则这个多边形的周长是36，相似比是8：12＝2：3， 根据周长之比等于相似比， 因而设另一个多边形的周长是x， 则36：x＝2：3， 解得：x＝54， 另一个多边形的周长为54． 故答案为：54． 【举一反三3】如果两个位似图形的对应线段长分别为3 cm和5 cm，且较小图形周长为30 cm，则较大图形周长为　　cm． 【答案】50 【解析】∵相似比是3：5，小图形周长为30 cm ∴较大图形周长为50 cm． 【题型4】根据位似比求图形的面积或面积比 【典例】如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，已知OD＝1，OA＝3．若△DEF的面积为S，则△ABC的面积为（　　） A.2S B.3S C.4S D.9S 【答案】D 【解析】∵△ABC与△DEF位似， ∴（）2， ∴△ABC的面积＝9S． 故选：D． 【举一反三1】如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AD，S△ABC＝4，则S△DEF等于（　　） A.6 B.8 C.9 D.12 【答案】C 【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形且OA＝2AD． ∴两位似图形的位似比为2：3， ∴两位似图形的面积比为4：9， 又∵△ABC的面积为4， 得△A′B′C′的面积为9． 故选：C． 【举一反三2】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为　　． 【答案】18 【解析】∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴， ∵△ABC∽△DEF， ∴， ∴S△DEF＝9S△ABC＝9×2＝18． 故答案为：18． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）． （1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题： ①若点A（，3），则A′的坐标为　　； ②△ABC与△A′B′C′的相似比为　　； （2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m的代数式表示） 【答案】解：（1）①∵点B（3，1），B′（6，2）， ∴位似比为2， ∴若点A（，3），则A′的坐标（5，6）； ②△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2； 故答案为（5，6），1：2； （2）∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2， ∴， 而△ABC的面积为m， ∴△A′B′C′的面积＝4m． 【举一反三4】如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比； （3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5； （4）求出△A1B1C1与△ABC的面积比． 【答案】解：（1）如图，点O为所作； （2）因为OA：OA′＝6：12＝1：2， 所以△ABC与△A′B′C′的位似比为； （3）如图，△A1B1C1为所作； （4）△A1B1C1与△ABC的面积比＝1.52＝2.25． 【题型5】根据位似求确定点的坐标 【典例】如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，若点B坐标为（1，1），则点D的坐标是（　　） A.（3，3） B.（4，4） C.（5，5） D.（6，6） 【答案】A 【解析】如图，过点B作BE⊥OC于E， ∵点B坐标为（1，1）， ∴BE＝OE＝1． ∵△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2， ∴△AOB∽△CDB且相似比为1：2，OA∥CD． ∴OE：EC＝1：2，，，． ∴OC＝OE+2OE＝3，CD＝3BE＝3， ∴D（3，3）． 故选：A． 【举一反三1】如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，若两个正方形的面积之比为1：3，点A坐标为（2，0），则E点坐标为（　　） A. B. C. D.（3，3） 【答案】A 【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形， ∴正方形OABC∽正方形ODEF， ∵两个正方形的面积之比为1：2， ∴两个正方形的相似比为1：， ∵点A的坐标为（2，0），四边形OABC为正方形， ∴点B的坐标为（2，2）， ∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心， ∴E点的坐标为（2，2）， 故选：A． 【举一反三2】如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（　　） A.（，n） B.（m，n） C.（m，） D.（） 【答案】D 【解析】∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上， 即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1）， ∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）． 故选：D． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以原点O为位似中心的位似图形，若AC＝3OA，点B的坐标为（1，3），则点D的坐标为　　． 【答案】（﹣2，﹣6） 【解析】∵AC＝3OA， ∴， ∵△AOB与△COD是以原点为位似中心的位似图形， ∴△AOB∽△COD，且相似比为1：2， ∵B的坐标为（1，3）， ∴点D的坐标为[1×（﹣2），3×（﹣2）]，即（﹣2，﹣6）． 故答案为：（﹣2，﹣6）． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为　　． 【答案】（3，2） 【解析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为． ∴， 而BE＝EF＝6， ∴， ∴BC＝2，OB＝3， ∴C（3，2）． 故答案为（3，2）. 【举一反三5】如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A'B'C'． （1）写出点A'、B'、C'的坐标（点A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'）； （2）求△A'B'C'与△ABC的周长比． 【答案】解：（1）∵以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1）， ∴点A'的坐标为（﹣2×2，4×2），B′的坐标为（﹣3×2，1×2），C′的坐标为（﹣1×2，1×2）， ∴点A'的坐标为（﹣4，8），B′的坐标为（﹣6，2），C′的坐标为（﹣2，2）； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比， ∴△A'B'C'与△ABC的周长比为2． 【举一反三6】如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 【答案】解：连接OD、AC，并延长交点为O′， 则O′为位似中心，由图形知点O′的坐标为（2，2）， ∴，即k＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $