1.5.1 全称量词与存在量词 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·人教A版必修第一册　1.5.1　全称量词与存在量词　课时作业 第一章　集合与常用逻辑用语 1.5.1　全称量词与存在量词 课 时 作 业 （建议用时：45分钟） 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 【学习目标】 1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。 2．能用符号语言正确表述全称量词命题与存在量词命题。 3．会判断全称量词命题与存在量词命题的真假，能根据命题的真假求参数的取值范围。 【知识梳理】 一、全称量词与全称量词命题 1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡是”“所有的”等。 2．全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 3．符号表示：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)。 二、存在量词与存在量词命题 1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”“某个”等。 2．存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 3．符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)。 图1　全称量词命题与存在量词命题的直观理解（实心点表示具有性质p的元素） 三、命题真假的判断 命题 判断为真 判断为假 全称量词命题 ∀x∈M，p(x) 需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)都成立 只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立（举反例） 存在量词命题 ∃x∈M，p(x) 只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立 需证明集合M中的每一个元素x都使p(x)不成立 四、几点说明 （1）有些命题省略了量词，要根据命题的含义判断其类型。例如“正方形是矩形”的含义是“所有的正方形都是矩形”，是全称量词命题；“三角形的内角和是180°”也是全称量词命题。 （2）同一个全称量词（或存在量词），可以通过不同的短语表达，如“∀x∈R，x²≥0”可以表述为“对任意实数x，x²≥0”“所有实数的平方都是非负数”等。 （3）含参数的命题真假问题，常转化为方程有解、不等式恒成立等问题来解决： ①“∀x∈R，x²+bx+c>0”为真命题⇔Δ=b²-4c<0（二次函数图象恒在x轴上方）； ②“∃x∈R，x²+bx+c=0”为真命题⇔Δ=b²-4c≥0（方程有实数根）； ③“∀x∈M，x≥a”为真命题⇔a不大于M中所有元素；“∃x∈M，x≥a”为真命题⇔a不大于M中的某一个元素。 【典型例题】 例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示： （1）每一个实数的平方都是非负数；（2）有的实数是无理数；（3）对任意整数n，2n+1都是奇数；（4）存在一个有理数x，使x²=2。 【解析】（1）全称量词命题，符号表示为∀x∈R，x²≥0； （2）存在量词命题，符号表示为∃x∈R，x是无理数； （3）全称量词命题，符号表示为∀n∈Z，2n+1是奇数； （4）存在量词命题，符号表示为∃x∈Q，x²=2。 【方法总结】判断命题类型的关键是找出命题中的量词（或省略的量词）。用符号表示时，要写清楚变量所在的集合M和需要满足的性质p(x)。 例2　判断下列命题的真假： （1）∀x∈R，x²-2x+2>0；（2）∃x∈Z，x²=3；（3）∀x∈N，x²>0；（4）有些平行四边形是菱形。 【解析】（1）因为x²-2x+2=(x-1)²+1≥1>0恒成立，所以是真命题； （2）由x²=3得x=±，都不是整数，所以不存在整数x使x²=3，是假命题； （3）当x=0时，x²=0，不满足x²>0，所以是假命题； （4）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以是真命题。 【方法总结】全称量词命题要“证明所有”或“举一反例”；存在量词命题要“找到一个”或“证明不存在”。配方法是证明代数式恒正的常用方法。 例3　（1）若命题“∀x∈R，x²-2x+a>0”是真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题“∃x∈R，x²-2x+a=0”是真命题，求实数a的取值范围。 【解析】（1）由题意，二次函数y=x²-2x+a的图象恒在x轴上方（如图中实线），所以方程x²-2x+a=0没有实数根， 即Δ=(-2)²-4a<0，解得a>1。所以a的取值范围是{a | a>1}。 （2）由题意，方程x²-2x+a=0有实数根，所以Δ=(-2)²-4a≥0，解得a≤1。所以a的取值范围是{a | a≤1}。 【方法总结】借助二次函数的图象，可以把“恒成立”问题与“有解”问题转化为判别式Δ的符号问题。 【课时作业】 A组　基础巩固 一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题目要求） 1．下列命题中，是全称量词命题的是（　　） A．有的三角形是直角三角形 B．存在一个实数x，使x²=x C．任何一个正方形的四条边都相等 D．至少有一个整数是偶数 2．下列命题中，是存在量词命题且为真命题的是（　　） A．有些实数没有平方根 B．∀x∈R，x²≥0 C．∃x∈Z，3x=1 D．所有的偶数都是4的倍数 3．下列全称量词命题中，为真命题的是（　　） A．∀x∈R，x²>0 B．∀x∈N，x≥1 C．所有的三角形都是锐角三角形 D．∀x∈R，|x|+1>0 4．下列存在量词命题中，为假命题的是（　　） A．∃x∈R，x²=2 B．∃x∈R，x²+2x+3=0 C．∃x∈Q，x²=4 D．至少有一个整数既是偶数又是质数 5．用量词符号表示“对任意实数x，都有x²+1≥2x”，正确的是（　　） A．∀x∈R，x²+1≥2x B．∃x∈R，x²+1≥2x C．∀x∈R，x²+1<2x D．∃x∈R，x²+1<2x 6．若命题“∃x∈R，x²+2x+m=0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　） A．m<1 B．m≤1 C．m>1 D．m≥1 二、多项选择题（每小题有多个选项符合题目要求） 7．下列命题中，是真命题的有（　　） A．∀x∈R，2x²-x+1>0 B．∃x∈N，x²≤x C．∀x∈Q，x²∈Q D．∃x∈R，x²+1=0 8．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的有（　　） A．矩形的对角线相等 B．∀x∈R，x²+1≥1 C．∃x∈R，x+1=0 D．所有的素数都是奇数 三、填空题 9．将命题“有些实数的绝对值是正数”用量词符号表示为________________，它是________命题（填“真”或“假”）。 10．若命题“∀x∈{x | 1≤x≤3}，x-a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________________。 11．若命题“∃x∈{x | 1≤x≤2}，x-a>0”是真命题，则实数a的取值范围是________________。 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假： （1）每一个四边形的四个顶点都在同一个圆上； （2）存在一个实数x，使x²-x+1=0； （3）对任意x∈Z，2x+1都是奇数； （4）有的无理数的平方是有理数。 13．已知命题p：∀x∈{x | 1≤x≤3}，2x+a≥0；命题q：∃x∈R，x²-2x+a=0。若p和q都是真命题，求实数a的取值范围。 B组　能力提升 五、单项选择题 14．下列命题中，是真命题的是（　　） A．∀x∈R，x²>x B．∃x∈R，x²<x C．∀x∈R，x²≥x D．∃x∈Z，2x-1=0 15．若命题“∀x∈R，ax²+2x+1>0”是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．a>1 B．a≥1 C．0<a<1 D．a≥0 六、多项选择题 16．已知命题p：∃x∈R，x²+2x+a=0。下列选项中，是“p为真命题”的充分不必要条件的有（　　） A．a≤1 B．a<0 C．a≤0 D．a<2 七、填空题 17．若命题“∀x∈{x | 1≤x≤3}，x²-a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________；若命题“∃x∈{x | 1≤x≤3}，x²-a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________。 八、解答题 18．已知集合A={x | 1≤x≤3}，B={x | a≤x≤a+3}。 （1）若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数a的取值范围。 19．已知命题p：∀x∈R，x²-4x+2m≥0，命题q：∃x∈{x | 1≤x≤2}，x-m≥0。若命题p，q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围。 【答案及解析】 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 14 15 16 答案 C A D B A B ABC AB B A BC 1．【答案】C 【解析】A中的“有的”，B中的“存在一个”，D中的“至少有一个”都是存在量词；C中的“任何一个”是全称量词，所以C是全称量词命题。故选C。 2．【答案】A 【解析】B，D是全称量词命题，排除； C：由3x=1得x=∉Z，是假命题； A：负数没有平方根，所以“有些实数没有平方根”是真命题，且是存在量词命题。故选A。 3．【答案】D 【解析】A：x=0时x²=0，假命题；B：x=0时不满足x≥1，假命题； C：直角三角形、钝角三角形不是锐角三角形，假命题； D：因为|x|≥0，所以|x|+1≥1>0，真命题。故选D。 4．【答案】B 【解析】A：x=时x²=2，真命题； B：方程x²+2x+3=0的判别式Δ=4-12=-8<0，没有实数根，假命题； C：x=2时x²=4，真命题；D：2既是偶数又是质数，真命题。故选B。 5．【答案】A 【解析】“对任意实数x”用“∀x∈R”表示，结论“x²+1≥2x”保持不变。故选A。 6．【答案】B 【解析】由题意，方程x²+2x+m=0有实数根，所以Δ=4-4m≥0，解得m≤1。故选B。 7．【答案】ABC 【解析】A：方程2x²-x+1=0的判别式Δ=1-8=-7<0，且二次项系数大于0，所以2x²-x+1>0恒成立，真命题； B：x=0时，0²≤0成立，真命题； C：两个有理数的积仍是有理数，所以x²∈Q，真命题； D：x²+1≥1>0，所以x²+1=0无实数解，假命题。故选ABC。 8．【答案】AB 【解析】A：省略了量词“所有的”，是全称量词命题，且矩形的对角线都相等，真命题； B：是全称量词命题，且x²≥0，所以x²+1≥1，真命题； C：是存在量词命题，不符合； D：是全称量词命题，但2是素数且是偶数，假命题。故选AB。 9．【答案】∃x∈R，|x|>0；真 【解析】“有些”是存在量词，所以命题可表示为∃x∈R，|x|>0。取x=1，|1|=1>0，所以是真命题。 10．【答案】{a | a≤1} 【解析】由题意，对1≤x≤3中的每一个x，都有a≤x成立，所以a不大于x的最小值1，即a≤1。 11．【答案】{a | a<2} 【解析】由题意，存在1≤x≤2中的某个x，使a<x成立，只需a小于x的最大值2，即a<2。 12．【解】（1）全称量词命题。例如，不是正方形的菱形，它的一组对角都是锐角，另一组对角都是钝角，对角不互补，所以它的四个顶点不在同一个圆上，因此该命题是假命题。 （2）存在量词命题。因为x²-x+1=(x-)²+≥>0，所以方程x²-x+1=0没有实数根，是假命题。 （3）全称量词命题。对任意整数x，2x是偶数，2x+1是奇数，是真命题。 （4）存在量词命题。是无理数，而()²=2是有理数，是真命题。 13．【解】若p为真命题，则对1≤x≤3中的每一个x，都有a≥-2x成立。 因为1≤x≤3时，-6≤-2x≤-2，即-2x的最大值为-2，所以a≥-2。 若q为真命题，则方程x²-2x+a=0有实数根，所以Δ=4-4a≥0，解得a≤1。 因为p和q都是真命题，所以-2≤a≤1。 即实数a的取值范围是{a | -2≤a≤1}。 14．【答案】B 【解析】A：x=0时，x²=x，假命题； B：取x=，则x²=<=x，真命题； C：由B知，x=时x²<x，所以C是假命题； D：由2x-1=0得x=∉Z，假命题。故选B。 15．【答案】A 【解析】①当a=0时，不等式为2x+1>0，当x=-1时不成立，不符合题意； ②当a≠0时，要使ax²+2x+1>0对一切实数x恒成立，需二次函数y=ax²+2x+1的图象开口向上且与x轴没有公共点， 即a>0且Δ=4-4a<0，解得a>1。 综上，a>1。故选A。 16．【答案】BC 【解析】p为真命题⇔方程x²+2x+a=0有实数根⇔Δ=4-4a≥0⇔a≤1。 所求的充分不必要条件对应的集合应是{a | a≤1}的真子集。 {a | a<0}⫋{a | a≤1}，{a | a≤0}⫋{a | a≤1}，所以B，C符合； 而a≤1是充要条件，a<2是必要不充分条件，都不符合。故选BC。 17．【答案】{a | a≤1}；{a | a≤9} 【解析】当1≤x≤3时，x²随x的增大而增大，所以1≤x²≤9。 “∀x∈{x | 1≤x≤3}，a≤x²”为真命题，只需a不大于x²的最小值1，即a≤1； “∃x∈{x | 1≤x≤3}，a≤x²”为真命题，只需a不大于x²的最大值9，即a≤9。 18．【解】（1）命题p为真命题，即A⊆B（如图）， 所以a≤1，且a+3≥3，解得0≤a≤1。所以实数a的取值范围是{a | 0≤a≤1}。 （2）命题q为真命题，即A∩B≠∅。因为a<a+3，所以B≠∅。 先求A∩B=∅时a的范围：a+3<1或a>3，即a<-2或a>3。 所以A∩B≠∅时，-2≤a≤3。即实数a的取值范围是{a | -2≤a≤3}。 19．【解】若p为真命题，则Δ=(-4)²-4×2m≤0，即16-8m≤0，解得m≥2。 若q为真命题，则存在1≤x≤2中的某个x使m≤x成立，只需m不大于x的最大值2，即m≤2。 ①若p真q假，则m≥2且m>2，所以m>2； ②若p假q真，则m<2且m≤2，所以m<2。 综上，实数m的取值范围是{m | m<2或m>2}。 点评：当m=2时，p，q都是真命题，不符合“有且只有一个是真命题”的要求，这是本题容易出错的地方。 第 1 页　共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $