第2章 实数（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级上册

第2章 实数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断无理数】 2 【题型2 求一个数的平方根】 3 【题型3 求一个数的算术平方根】 4 【题型4 求一个数的立方根】 5 【题型5 判断平方根与立方根的性质】 7 【题型6 利用平方根与立方根求值】 8 【题型7 实数的分类】 10 【题型8 无理数的估算】 12 【题型9 实数与数轴的对应关系】 13 【题型10 实数的相反数与绝对值】 15 【题型11 判断式子是否为二次根式】 16 【题型12 二次根式有意义的条件】 17 【题型13 利用=|a|化简】 18 【题型14 二次根式的非负性求字母值】 19 【题型15 二次根式乘法法则计算】 21 【题型16 二次根式除法法则计算】 22 【题型17 判断最简二次根式】 23 【题型18 化简二次根式】 24 【题型19 判断同类二次根式】 26 【题型20 二次根式加减运算】 28 【题型21 二次根式的混合运算】 29 【进阶拔高】 32 【题型22 平方根与算术平方根的区别】 32 【题型23 已知平方根求这个数】 34 【题型24 已知立方根求这个数】 36 【题型25 利用算术平方根非负性求字母的值】 38 【题型26 实数的大小比较】 39 【题型27 实数在数轴上的位置判断】 41 【题型28 平方根与立方根综合求值】 43 【题型29 无理数估算与整数部分】 45 【题型30 实数的综合运算】 49 【题型31 程序设计与实数运算】 50 【题型32 求二次根式中的参数】 53 【题型33 根号外的因式移入根号内】 55 【题型34 二次根式乘除混合运算】 56 【题型35 二次根式与数轴化简】 58 【题型36 分母有理化】 61 【题型37 已知字母值化简求值】 64 【题型38 已知条件式化简求值】 67 【题型39 利用非负性求多个字母值】 70 【题型40 同类二次根式求参数】 72 【题型41 最简二次根式求参数】 73 【题型42 二次根式大小比较】 75 【创新思辨】 78 【题型43 算术平方根的应用】 78 【题型44 含参平方根与立方根综合】 80 【题型45 实数与数轴综合探究】 83 【题型46 立方根的应用】 89 【题型47 实数中的规律探究问题】 92 【题型48 复杂二次根式化简求值】 94 【题型49 二次根式中的新定义运算】 97 【题型50 复合二次根式化简】 102 【题型51 二次根式实际生活应用】 105 【题型52 二次根式应用（面积）】 107 【夯实基础】 【题型1 判断无理数】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）下列四个实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．   D．2 【答案】C 【分析】需先化简带根号的数，再根据无理数的定义判断各选项． 【详解】解：0，2均为整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 开方开不尽，为无理数． 【变式1-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）请写出一个小于的无理数：________．（写出一个正确答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义，利用算术平方根估算无理数的大小，即可得到符合要求的无理数． 【详解】解：， ， ∴， 又是无理数， 是小于的无理数． 【变式1-2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在实数：，5，，，中，负无理数有_____个． 【答案】2 【分析】先将各数化简，再根据负无理数的定义逐一判断，统计得到负无理数的个数． 【详解】解：是负无理数，是正有理数，是负有理数，是负无理数，是正有理数， 因此负无理数共有个． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【答案】6 【分析】先根据无理数的定义确定无理数的个数得到的值，再根据非负数的定义确定非负数的个数得到的值，最后计算即可． 【详解】解：无理数为：，（相邻的两个2之间依次多一个0），共个，即， 非负数为：，，，，共个，即， 则． 【题型2 求一个数的平方根】 【例2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴13的平方根是． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【答案】D 【分析】根据平方根的性质解答即可. 【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根； B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根； C、>0，∴该数有平方根； D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根； 故选：D. 【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键. 【变式2-3】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：表示的算术平方根. ∵， ∴． 【题型3 求一个数的算术平方根】 【例3】（25-26八年级下·云南德宏·期末）计算：=______． 【答案】2 【分析】利用平方运算，求一个数的算术平方根，或二次根式的运算性质计算即可． 【详解】解：方法一：, 方法二： 【变式3-1】（25-26七年级下·江西宜春·期末）的算术平方根是____________． 【答案】2026 【分析】根据算术平方根的定义，先计算乘方结果，再求出其正的算术平方根即可． 【详解】解：， 所以的算术平方根是2026． 【变式3-2】（25-26八年级下·重庆开州·期末）已知，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质得到的所有可能值，再根据二次根式有意义的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ，即， ，二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ， 解得， 不符合题意，舍去， ∴， 将代入得， ． 【变式3-3】（25-26七年级下·天津津南·期末）计算的结果等于_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和性质，将被开方数写成某个数的立方，即可计算出这个数的立方根． 【详解】解：，， ∴， ∴． 【题型4 求一个数的立方根】 【例4】（25-26七年级下·云南红河·期中）的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【详解】∵， 又， 的立方根是， 即的立方根是． 【变式4-1】（25-26七年级下·山东滨州·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 【答案】D 【分析】先根据新定义运算求出的结果，再根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵负数没有平方根和算术平方根，因此排除A、B选项， 又∵， ∴结果的立方根是，D正确． 【变式4-2】（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】B 【分析】被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 【题型5 判断平方根与立方根的性质】 【例5】（25-26七年级下·新疆巴州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据定义逐一计算判断各选项即可得到正确结果． 【详解】A．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； B．，所以，的立方根是，因此本选项错误，不符合题意； C．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； D．，所以，是的平方根，因此本选项正确，符合题意； 【变式5-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 【变式5-2】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 【变式5-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（     ） 姓名：嘉琪  得分：__________ 填空：（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是 ； ③4的算术平方根为 2 ； ④平方根与立方根相等的数是 0 ； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】先根据倒数、绝对值、算术平方根、平方根、立方根的定义，逐个判断嘉琪的答案是否正确，再计算得分即可． 【详解】解：逐个判断正误： ①的倒数是，嘉琪答案错误； ②负数的绝对值是它的相反数，，嘉琪答案正确； ③算术平方根为非负数，4的算术平方根是，嘉琪答案正确； ④只有0的平方根与立方根相等，嘉琪答案正确； ⑤，嘉琪答案正确； ∴嘉琪共做对4道题，每小题20分，得分为分． 【题型6 利用平方根与立方根求值】 【例6】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式6-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）计算的结果为________． 【答案】 【分析】根据平方、立方的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）若，则x的立方根是_______ 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的定义可求出x的值，再求它的立方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴x的立方根是3． 故答案为：3． 【变式6-3】（25-26七年级下·新疆·期中）已知甲数是的算术平方根，乙数是的立方根，则甲、乙两个数的积是__． 【答案】2 【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果． 【详解】解：∵甲数是的算术平方根 ∴甲数等于； ∵乙数是的立方根， ∴乙数等于． ∴甲、乙两个数的积是×=2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了算术立方根、平方根的定义，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 【题型7 实数的分类】 【例7】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式7-2】（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【答案】⑥⑨；①④；②③⑦⑧⑩ 【分析】逐个分析每个数：如果一个数是像0、绝对值化简后为整数的数，那么它属于整数；如果一个数是小于0的分数（包括可化为分数的有限小数），那么它属于负分数；如果一个数是大于0且无限不循环的小数，那么它属于正无理数． 【详解】解：整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 【变式7-3】（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【答案】(1)，， ， ，， (2)，； (3)， ， ，，； (4)， ，． 【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，负实数是小于0的所有实数；结合，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴有理数集合：｛，，，，，｝ （2）解：无理数集合：｛，｝ （3）解：正实数集合：｛，，，，｝ （4）解：负实数集合：｛，，｝ 【题型8 无理数的估算】 【例8】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级下·天津津南·期末）估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）在与之间的整数是__________． 【答案】7 【详解】解：∵，且， ， 因此与之间的整数是． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖南张家界·期中）规定无理数m的整数部分记为[m]，小数部分记为{m}，例如：，． (1)＝_________；＝_________． (2)求的值． 【答案】(1)3，； (2)1． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求一个数的平方根．解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算． （1）先根据无理数的大小估算办法估算即可； （2）先根据无理数的大小估算办法估算，然后再计算实数的混合运算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3，； （2）∵， ∴，， ∴， ， ∴． 【题型9 实数与数轴的对应关系】 【例9】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴估算无理数的大小，解题关键是先判断和的范围． 由大于的最小整数为，小于的最大整数为，即可确定，两点之间表示整数的点的个数． 【详解】解：∵，， ∴数轴上介于和之间的整数有、、、， ∴在数轴上的点，点之间表示整数的点有4个． 【变式9-1】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 【变式9-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可得，则，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴原式 . 【变式9-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，正方形的边长为， ∵数轴上点对应刻度尺上的“4”， 以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 ∴点在刻度尺上对应的数为． 【题型10 实数的相反数与绝对值】 【例10】（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 【变式10-1】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：，，，故A，B，C选项中的两数均相等，不是相反数； D选项中，，两数互为相反数. 【变式10-2】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 【变式10-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 【题型11 判断式子是否为二次根式】 【例11】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 【变式11-1】（26-27九年级·全国·暑假作业）二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【答案】 / 2 【详解】解：根据二次根式的定义，在中，根号内的式子为被开方数，为二次根式的系数，二次根式的根指数为； ∴由可得被开方数是，系数是，根指数是． 【变式11-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【变式11-3】（25-26八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 【题型12 二次根式有意义的条件】 【例12】（26-27九年级上·全国·单元复习）若二次根式有意义，写出一个满足条件的a的值_______________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，先求出的取值范围，再选取范围内任意一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 因此满足条件的可以取，答案不唯一． 【变式12-1】（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意得，解得． 【变式12-2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：∵且， ∴． 【变式12-3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）当x满足______时，在实数范围内有意义． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式，取所有条件的公共范围即可求解． 【详解】解：∵要使在实数范围内有意义， ∴，且， 解不等式，得； 解不等式，得； ∴当且时，在实数范围内有意义． 【题型13 利用=|a|化简】 【例13】（26-27九年级上·广东广州·开学考试）计算：________． 【答案】 【分析】利用二次根式性质化简，先判断的正负，再去掉绝对值符号得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得． ∵． ∴ ∴ 即原式结果为． 【变式13-1】（25-26八年级下·吉林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 【变式13-2】（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果，那么满足的条件是__________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简可得，再根据绝对值的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 【变式13-3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）化简___________（所有字母为非负数）． 【答案】 【详解】解：． 【题型14 二次根式的非负性求字母值】 【例14】（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）已知，则的值为____________ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义知，被开方数大于等于，据此列出一元一次不等式组，解得，再将代入中求出，将值代入求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 将代入， 解得， ∴． 【变式14-1】（25-26八年级下·甘肃武威·期末）若有意义，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式组求出的值，再代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵要使有意义， ∴， 解得， 将代入得， ∴的平方根为． 【变式14-2】（25-26八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 【变式14-3】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件确定的取值，然后代入二次根式化简． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 【题型15 二次根式乘法法则计算】 【例15】（25-26八年级下·云南红河·期末）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】利用二次根式的运算法则化简所求式子，再确定其中的近似取值范围，从而得到所求式子的取值范围． 【详解】解：， ， ， ． 【变式15-1】（25-26八年级下·四川德阳·期中）计算的结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，利用二次根式乘法法则，先合并被开方数相乘，再化简得到结果． 【详解】解：根据二次根式乘法法则可得 ． 【变式15-2】（25-26八年级下·上海·期中）如果，那么______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式15-3】（25-26八年级下·重庆·期末）已知n为整数，且，则______． 【答案】 【分析】先计算出的结果，再估算所得无理数的大小，即可得到整数的值. 【详解】解：， ，即， n为整数，且， ． 【题型16 二次根式除法法则计算】 【例16】（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 【变式16-1】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 【变式16-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 【变式16-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）把化去分母中的根号后得______． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式 ． 【题型17 判断最简二次根式】 【例17】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义分别对A、B、C、D各选项的二次根式进行判断即可得答案. 【详解】解：A. ，可以化简，不是最简二次根式，故A选项错误. B. ，可以化简，不是最简二次根式，故B选项错误. C. ，可以化简，不是最简二次根式，故C选项错误. D. 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故D选项正确. 【变式17-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】解题思路是先将整数1和3化为二次根式形式，再找出被开方数介于1和9之间的最简二次根式即可． 【详解】解：，， 所求最简二次根式的被开方数只需满足大于1且小于9，且的因数中没有除1以外的完全平方数即可，其中符合条件的一个最简二次根式是(答案不唯一)． 【变式17-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【变式17-3】（25-26八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． 【题型18 化简二次根式】 【例18】（26-27九年级上·全国·单元复习）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算出根号内算式的结果，再把被开方数拆成平方数乘另一个数进行开方化简． 【详解】解：． 【变式18-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）将化成最简二次根式的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的化简，解题思路是先分解被开方数，分离出能开得尽方的完全平方因数，再利用二次根式的性质化简得到结果． 【详解】解：． 【变式18-2】（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式18-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型19 判断同类二次根式】 【例19】（25-26八年级下·重庆江津·期中）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】把各个二次根式化为最简二次根式后，看它们的被开方数是否相同，被开方数相同的二次根式即为同类二次根式． 【详解】解： ，与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； 所以与是同类二次根式的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式化简、同类二次根式判断，解题关键是先化成最简二次根式，再判断同类二次根式． 【变式19-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将化为最简二次根式，再把各选项化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义判断，只有同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式）才能合并； 【详解】解：，化简后被开方数为 A选项 是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； B选项 ，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； C选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； D选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； 【变式19-2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【答案】③④ 【分析】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：① 化简得：，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ② 化简得：为最简二次根式，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ③ 化简得：为最简二次根式，二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； ④ 由二次根式有意义可知，得， 化简得：， 二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； 故化简后其中是同类二次根式的是③④． 【变式19-3】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 【题型20 二次根式加减运算】 【例20】（25-26七年级下·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 【变式20-1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 【变式20-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知： ． 【变式20-3】（25-26八年级上·上海·期中）计算：．（） 【答案】 【详解】解： ． 【题型21 二次根式的混合运算】 【例21】（25-26八年级下·天津东丽·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再加减运算即可解答； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式21-1】（25-26八年级下·山西大同·期末）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内． （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式21-2】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得 ∴ ． 【变式21-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法以及立方根和算术平方根的性质化简，再合并即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可 （3）根据二次根式的运算法则化简即可； （4）根据二次根式的运算法则化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【进阶拔高】 【题型22 平方根与算术平方根的区别】 【例22】（25-26七年级上·山东泰安·期末）下列说法不正确的是（   ） A．4的平方根是 B．的立方根是 C．5没有算术平方根 D．0的平方根和立方根都是0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的基本概念，解题的关键是掌握以上概念． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A. 4的平方根是，该选项正确，不符合题意； B. 的立方根是，该选项正确，不符合题意； C. 5的算术平方根是，该选项错误，符合题意； D. 0的平方根和立方根都是0，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式22-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根的定义依次验证4个选项． 【详解】解：A、算术平方根等于本身的数是0和1，故A项不符合题意； B、平方根等于本身的数只有0，故 B项不符合题意； C、立方根等于本身的数是0和，故C项符合题意； D、负数有立方根，故D项不符合题意． 故答案为C． 【变式22-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）完成下列表格： 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 平方根 【答案】 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方根 0 【分析】对于非负数，若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，据此计算对应值即可 【详解】解：根据定义逐个计算： 当被开方数为时， ∵ ，且是非负数， ∴ 的算术平方根为，平方根为； 当被开方数为时， ∵ ，其中非负平方根为， ∴ 的算术平方根为，平方根为； 当被开方数为时， ∵ ，其中非负平方根为， ∴ 的算术平方根为，平方根为； 同理可推得其余被开方数的结果： 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为 完成表格见答案 【变式22-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是______，这个数的算术平方根是______，两个平方根的和是____． 【答案】 0 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得另一个平方根，再根据算术平方根的非负性可得这个数的算术平方根，最后根据相反数的性质即可解答． 【详解】解：∵一个正数的平方根是m， ∴那么这个数的另一个平方根是； 根据算术平方根的非负性可知，这个正数的算术平方根是； 根据一个正数的两个平方根互为相反数可知，这个正数的0． 故答案为，，0． 【点睛】本题主考查了平方根、算术平方根的意义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键． 【题型23 已知平方根求这个数】 【例23】（25-26七年级下·山东德州·期中）已知一个正数的平方根分别为和，这个正数是___________． 【答案】9 【分析】一个正数的两个平方根是互为相反数的，据此可得，求出，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【详解】解：一个正数的平方根分别为和， ∴，解得：， ∴， ∴这个正数是． 【变式23-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 【变式23-2】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，进而可求出的值； （2）根据（1）所求代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 【变式23-3】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根、算术平方根的概念列式求解得到，再代入计算，最后算出平方根即可． 【详解】解：根据题意，，， 解得， ∴， ∴的平方根是． 【题型24 已知立方根求这个数】 【例24】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 【答案】或1 【分析】设非零实数为 ，根据立方根的定义列出方程 ，通过立方运算和解方程求解． 本题考查了立方根，熟练掌握立方根的相关计算是解题的关键． 【详解】解：设这个非零实数为 ，则 ． 两边立方得 ，即 ． 因式分解得 ． 由于 ， 所以 或 ， 解得 或 ． 经检验， 和 都满足题意． 故答案为 1 或 ． 【变式24-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值是________． 【答案】0或2/2或0 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出x的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值是0或2， 故答案为：0或2． 【变式24-2】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． 【变式24-3】．已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 【答案】 【分析】根据立方根定义和相反数性质列方程组，求解得到，，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵是的立方根， ∴，， ∵是的相反数， ∴， ∴，两边同时立方可得：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴． 【题型25 利用算术平方根非负性求字母的值】 【例25】（25-26七年级下·重庆·期末）已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得， 解不等式组得． 将代入，得． 则． 【变式25-1】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式25-2】（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性确定的取值范围，再化简绝对值，整理等式变形即可求出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得，，即 ， 由， 可得， ， ， ． 【变式25-3】（25-26七年级下·江西新余·期末）设，都是实数，且满足，求式子的算术平方根． 【答案】 【分析】先由平方和算术平方根的非负性求解，然后求解代数式的值，再求解算术平方根． 【详解】解：∵ ∴， 解得， 则    所以的算术平方根为． 【题型26 实数的大小比较】 【例26】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式26-1】（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 【变式26-2】（25-26七年级下·上海·期末）已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 【变式26-3】（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对两个正根式作6次乘方，转化为有理数比较大小． （2）先比较立方根的大小，再推导负数的大小关系． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴，； ∵， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∴． 【题型27 实数在数轴上的位置判断】 【例27】（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的特征，以及两点间的距离的求法，解题的关键是要熟练掌握这些内容． 设表示的数是，根据，求出的值即可． 【详解】解：设表示的数是， ∵， ∴ ∴． 【变式27-1】（2026·陕西渭南·模拟预测）若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 【变式27-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在数轴上有A，B，C，D四个点，则下列说法正确的是（     ） A．点A表示的数可能是 B．点B表示的数可能是 C．点C表示的数可能是 D．点D表示的数可能是 【答案】D 【分析】先估算各选项中无理数的大小，确定其所在的整数区间，再结合数轴上各点的位置进行判断． 【详解】解： ， ， ， 而点在与之间，故A选项错误； ， ， 而点在与之间，故B选项错误； ， ， 而点在与之间，故C选项错误； ， ， 而点在与之间，故D选项正确． 【变式27-3】（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)的值为2； (3)的平方根为． 【分析】（1）根据点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，即可得到的值； （2）根据数轴得到的取值范围，去绝对值化简即可得出答案； （3）根据非负数的性质得到的值，代入求值，再求平方根得出答案． 【详解】（1）解：∵点A表示，蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为：； （2）解：由数轴可知，， ∴，， ． （3）解：与互为相反数， ， ，， 解得：，， ， 的平方根为． 【题型28 平方根与立方根综合求值】 【例28】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于、的方程，联立求解得到、的值； （2）将与的值代入计算，最后根据平方根的定义得到结果． 【详解】（1）解：∵是27的立方根，且的立方根是， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， 整理得， 联立得方程组， 解得； （2）解：把，代入得， ∴的平方根为． 【变式28-1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【变式28-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 【变式28-3】（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解： ，，， ， 的立方根为． 【题型29 无理数估算与整数部分】 【例29】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 【变式29-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 【变式29-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再根据无理数中整数部分与小数部分的关系得到小数部分y，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，即， 的整数部分， 小数部分， 将，代入，得． 【变式29-3】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 【题型30 实数的综合运算】 【例30】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 【变式30-1】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【变式30-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： 移项得：， 直接开平方得：； （3）解： 开立方得：， 解得：． 【变式30-3】（25-26七年级下·广东肇庆·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： 【题型31 程序设计与实数运算】 【例31】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2) 解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）略 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 【变式31-1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【分析】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 【详解】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 【变式31-2】（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 【变式31-3】有一个数值转换器．原理如图． （1）当输入的为81时，输出的是多少？ （2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？ （4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】（1）；（2）0或1； （3）∵负数没有算术平方根， ∴输入的数据可能是负数； （4）不唯一，5和25 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解； （4）找到使得输出值为的两个数即可． 【详解】解：（1）当x=81时， =9，=3，是无理数， 故y=； （2）当x=0或1时，始终输不出y值． 因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； （3） 略 （4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 故输入的值不唯一，例如5和25． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键． 【题型32 求二次根式中的参数】 【例32】（25-26八年级下·北京·期中）若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设为正整数，将等式平方整理得到关于的表达式，根据为正整数，即可找出符合条件的的取值． 【详解】解：设，其中为正整数， 等式两边平方得：， 整理得：， 为正整数， 为正整数，且为的倍数， 令，得，是正整数，符合题意， 正整数可能取值为（答案不唯一）． 【变式32-1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 【变式32-2】（25-26八年级下·河南新乡·阶段检测）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 【变式32-3】（25-26八年级下·全国·期末）已知a为整数，且满足，则a的值为__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解． 【详解】解：， ， ， 又∵为整数， ． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键． 【题型33 根号外的因式移入根号内】 【例33】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）把中根号外的移入根号内得________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再将根号外的因式移入根号化简，注意保留符号． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 【变式33-1】（25-26八年级上·上海·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是___________ 【答案】 【分析】利用二次根式有意义的条件可知：，则即可解答. 【详解】∵二次根号下被开方数≥0 ∴，则 ∴ 故答案为 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的变化，注意符号即可. 【变式33-2】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 【变式33-3】（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）把根号外的因式移入根号内，得________ 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键． 【题型34 二次根式乘除混合运算】 【例34】（25-26八年级下·山东威海·期末）设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分解变形为含有和的形式，再代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：， 又， ， ． 【变式34-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 【变式34-2】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 【变式34-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 【题型35 二次根式与数轴化简】 【例35】（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 【变式35-1】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 【变式35-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ． 【变式35-3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、二次根式的性质、二次根式的非负性、求一个数的平方根等，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据两点间的距离公式即可得解； （2）由可推得，即，再利用绝对值和二次根式的性质化简，即可求解； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：依题意得，蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示， 点所表示的数为； （2）解：， ， ， 即， ，， ， ， ， ； （法二：， ， ， ， ， ， ）； （3）解：由题可知， ，， ，， ， 的平方根为． 【题型36 分母有理化】 【例36】（25-26八年级上·上海·阶段检测）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理化因式，有理化因式是指与给定表达式相乘后结果为有理式的表达式．对于单个平方根表达式 ，其自身即为有理化因式，因为相乘后可得有理式 ． 【详解】∵ （有理式）， ∴ 是自身的一个有理化因式． 故选：D． 【变式36-1】（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式． 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 【变式36-2】（25-26八年级下·河南新乡·期末）定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 【变式36-3】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）例如：像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的（     ）个 ①； ②若是的小数部分，则； ③比较大小：； ④计算：． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查分母有理化的应用，解题关键是掌握分母有理化方法，利用平方差公式化简，裂项相消求和，依次判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①∵ ∴ ①正确； ②∵ ，是的小数部分， ∴ 则 ∴ ②错误； ③对两个式子变形： ∵ ，分子为时，分母越大分数越小， ∴ ，即 ∴ ③错误； ④对通项拆分：每一项可以表示为：， ， ， 与结论一致，∴ ④正确； 综上，正确的结论共2个． 【题型37 已知字母值化简求值】 【例37】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平方差公式对、进行分母有理化，再借助的性质，求出和；接着运用完全平方公式将分子配成，由于、均大于，从而约分，最后将已经求得的的值代入计算即可得到最终结果． （2）先对进行分母有理化，通过移项再两边平方，推导出，随后对四次多项式分组、提取公因式进行降次，把整体替换为，再利用推论进一步降低代数式次数，逐步化简多项式，最后代入化简后的值计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， 移项得， 两边平方得， ， ， ． 【变式37-1】（25-26八年级下·河南许昌·期末）已知，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，再将所求式子进行因式分解，整体代入计算即可得出结果； （2）求出，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ，， ∴ （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴． 【变式37-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先进行开方、分母有理化，再合并同类项，最后代入，即可求解． 【详解】解： 当时，上式． 【变式37-3】（25-26八年级下·河南周口·期末）计算及化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【分析】（1）把括号内的每一项分别除以，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式，最后计算，再整体代入计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴原式. 【题型38 已知条件式化简求值】 【例38】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 【变式38-1】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 【变式38-2】（25-26九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴， 又∵分式有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式38-3】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【答案】， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 【题型39 利用非负性求多个字母值】 【例39】（25-26七年级下·陕西·期末）若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】 7 【分析】解题的关键在于要利用分类讨论思想对等腰三角形三边情况进行分类，并利用三角形三边之间的关系进行验证．先根据的性质化简原等式，再利用绝对值的非负性列式求出a、b的值，最后，分a的值是等腰三角形的腰长还是底边这两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意； 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去； ∴等腰三角形的周长为：． 【变式39-1】（25-26八年级下·广西河池·期中）如果式子，那么______． 【答案】 【分析】先由非负数的性质求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 【变式39-2】若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点为非负数的性质以及解二元一次方程组．本题先依据非负数的性质(算术平方根和绝对值均为非负数，其和为时各自为)列出关于的二元一次方程组，再求解方程组得到的值，最后将其代入结合负数奇次幂的性质算出结果． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴， ①＋②，得：， 把代入方程①： ， 解得：， 将，代入． 故选：A． 【变式39-3】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【题型40 同类二次根式求参数】 【例40】（25-26八年级下·北京西城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【答案】6 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出，的值，最后计算即可. 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 【变式40-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 【变式40-2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【分析】由题意列出方程组，整理得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式， ∴，整理得：， 解得：， ∴， ∴的值为． 【变式40-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）最简二次根式与是同类二次根式，则________，________． 【答案】 1 【分析】根据同类二次根式的定义，得，解答即可． 本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【题型41 最简二次根式求参数】 【例41】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）与最简二次根式能合并，则__________． 【答案】4 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得： 【变式41-1】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 【答案】 【分析】两个最简二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． 移项得． 合并同类项得． 系数化为得． 【变式41-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 【变式41-3】（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 【答案】 4 76 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据可以合并的最简二次根式是同类二次根式，列方程求出a、b，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次方根式与可以合并， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，4，76． 【题型42 二次根式大小比较】 【例42】（25-26八年级下·北京·期末）比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【答案】< 【分析】对于两个正无理数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】，， ， ， 又， ， ． 【变式42-1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式42-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式42-3】（25-26八年级下·广东珠海·期中）比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，． 阅读以上材料，解决下面问题： (1)已知，，则_______（填写“”“”或“”）． (2)比较，的大小，并说明理由． (3)判断，（，且为正整数）的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再结合即可得； （2）先求出，再得出，结合即可得； （3）先求出，再计算可得，结合即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ， 又∵，，且， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． 【创新思辨】 【题型43 算术平方根的应用】 【例43】（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 【变式43-1】（25-26八年级下·山东临沂·期中）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重，h表示身高．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是________ ． 【答案】 【详解】解：设小红的身高为， 由题意得， 整理得， 解得（负值舍去），则她的身高是． 【变式43-2】（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据溢出的水的体积等于圆柱的体积建立方程求解即可．弄清题意并列出方程是解题的关键． 【详解】解：烧杯内部的底面半径为， 根据题意，得： ， ∴， ∴或， ∵， ∴ 即烧杯内部的底面半径为． 故答案为：． 【变式43-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 【答案】(1) (2)这辆汽车刹车前的行驶速度大约是 【分析】（1）由表中数据得到，结合无理数比较大小的方法求解即可； （2）先由题中数据求出，再由表中数据估算出即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知，， ， ； （2）解：根据公式，代入制动距离， 得， 则或（负值，舍去）， 结合表格中的数据，可知，则， 答：这辆汽车刹车前的行驶速度大约是． 【题型44 含参平方根与立方根综合】 【例44】（25-26八年级上·河南郑州·开学考试）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【变式44-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 【变式44-2】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 【变式44-3】（25-26八年级上·贵州毕节·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，一个正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【答案】 【分析】根据立方根、算术平方根、无理数的估算、平方根的定义，先求出a、b、c、d的值，然后代入代数式求值，再计算平方根即可. 【详解】解：根据题意， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根为：. 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是利用性质求出a、b、c、d值，然后再求的平方根，特别是最终求值，是本题的易错点．题目整体较难，适合课后培优训练． 【题型45 实数与数轴综合探究】 【例45】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，将面积分别为10和6的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ，． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示数的整数部分为________，小数部分为________． (3)记的整数部分是x，小数部分是y，求x和y的值． 【答案】(1)；． (2)2； (3)，． 【分析】本题考查了算术平方根、数轴上的点与实数的对应关系、无理数的整数部分与小数部分的求解，解题的关键是利用正方形面积求边长，再结合夹逼法确定无理数的整数部分与小数部分． （1）由正方形面积求边长，再根据数轴上点的位置确定表示的数； （2）用夹逼法估算的范围，确定其整数部分与小数部分； （3）用夹逼法估算的范围，进而确定的整数部分与小数部分． 【详解】（1）解：∵ 面积为10的正方形边长为，点A在原点左侧， ∴ 点A表示的数为． ∵ 面积为6的正方形边长为，点B在原点右侧， ∴ 点B表示的数为． （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为2，小数部分为． （3）解：∵ ， ∴ ， 即， ∴ 的整数部分， 小数部分． ∴ ，． 【变式45-1】（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)2；6 (2)1或2或3 (3)的值为 (4)①；② 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）①同（1）逐项化简，然后求解即可； ②由①归纳规律，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且为整数， ∴或或． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点是的中点， ∴点C表示的数为， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即的值为． （4）解：① ； ②由①得， ， ， ； ∵，， ∴ ． 【变式45-2】（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），， a用点A、用点B、用点C表示． ． （2）规律为周期为（、、、循环），末位数字是； （3）或；或或； （4）；是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）； 不存在，理由如下： ，， 当时， 且， 解得：且， ， 的值不存在． 【分析】此题考查了数轴和实数、绝对值和偶次方的非负性、末位数字的特征，熟练运用这些性质是关键． （1）按乘方公式计算，并表示在数轴上即可； （2）通过观察已知数的个位数字，找到规律，再利用规律求的末位数字即可； （3）设未知数列方程再解即可； （4）根据绝对值和偶次方的非负性计算即可； （5）根据n为正整数时，n和是两个连续的自然数求值即可；根据绝对值和偶次方的非负性计算，判断x的值是否存在即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， 在数轴上原点左侧3个单位处； ，， 在数轴上原点右侧9个单位处； ，， 在原点左侧27个单位处． （2），，，， ，，，，， 周期为（2、4、8、6循环）， ，余数为1，对应周期的第一个数， 故的末位数字是； （3）设数x的平方等于它本身，即： ， 解得：或， 故答案为：0或1； 设数y的立方等于它本身，即： ， 解得：或或， 故答案为：0或1或； （4）， 且， 解得：，， ， 是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）为正整数， 和是两个连续的正整数即：（一奇数一偶数） 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，当n为正整数时，； 不存在整数x，使得， 【变式45-3】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可； （2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， ∴ ． （3）解：∵与互为相反数 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 即的平方根是． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键． 【题型46 立方根的应用】 【例46】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 【变式46-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 【答案】486 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方体的表面积公式即可求解． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为， ∴第二个水箱的表面积为． 【变式46-2】（24-25七年级下·河南商丘·阶段检测）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 【变式46-3】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【答案】(1)2，2，22 (2)26 【分析】（1）根据立方数的个位数字规律和数的大小范围来逐步推导． （2）根据题意，先计算出缩小后模型的体素总数，然后利用（1）中学习的方法求其立方根，即可得到缩小后正方体模型的边长． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是2； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是2； ． （2）解：缩小后模型的体素总数为， 设缩小后正方体模型的边长为， 所以， 因为， 所以是一个两位数， 因为，个位数字是， 所以的个位数字一定是， 划去后面的三位得， 因为， 所以的十位数字一定是， 所以． 答：缩小后该正方体模型的边长为． 【题型47 实数中的规律探究问题】 【例47】（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 【变式47-1】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是：_______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，可得 ，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【变式47-2】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式47-3】（25-26七年级下·上海·期中）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对35进行如下操作：，这样对35只需进行3次操作后变为1．那么对520需进行_____次操作后变为1． 【答案】4 【分析】本题考查取整函数与算术平方根的运算．按照题目定义的操作规则，对520连续进行取平方根后向下取整的操作，直至结果为1，统计操作次数即可． 【详解】由于，∴ 故第1次操作：， 同理，第2次操作：， 第3次操作：， 第4次操作：， 对520进行4次操作后变为1． 【题型48 复杂二次根式化简求值】 【例48】（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 【变式48-1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 【变式48-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 【变式48-3】（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求得，易得，再运用二次根式的混合运算法则化简原式，最后将、代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ． 【题型49 二次根式中的新定义运算】 【例49】（24-25八年级下·山东青岛·期中）定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． (1)请你写出一对共轭实数：________和__________； (2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)， (3) 【分析】本题考查了实数的新定义，二次根式的加法和乘法运算，二次根式的化简求值，理解新定义是解题的关键． （）根据共轭实数的定义解答即可； （）根据二次根式的加法和乘法运算法则计算即可； （）求出和的值，再代入代数式计算即可； 【详解】（1）解：写出的一对共轭实数可以是和， 故答案为：，； （2）解：， ； （3）解：∵， ∴， ， ∴原式 ． 【变式49-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，， 试解决下列问题： ①__________；②__________； ③__________． 【答案】 2 3 /0.9995044599 【分析】①直接根据新定义，即可求解； ②根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ③根据，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：①； ②∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴：， ∴， ∴． ③∵， ∴ ． 故答案为①2；② 3；③ ． 【点睛】解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题③的要点是：当n为正整数时，． 【变式49-2】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 【变式49-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义结合二次根式的性质进行化简即可； （3）①根据新定义推出，进而推出或或，进而得到当的值最小时，有最小值，即可得出结果；②将转化为，根据是整数，得到，得到，再进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； 故满足要求的是①③； （2）解：原式 ； （3）解：① 是“完全平方根式”， ， 又，且为正整数 或或， 当的值最小时，有最小值， ， ， ②， 为正整数，是整数， ，即， ， ， ， ， 当时，，原式； 当时，，原式． 【题型50 复合二次根式化简】 【例50】（25-26七年级下·上海·期末）化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式50-1】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 【变式50-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 【详解】解：， 原式 【变式50-3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）方程的解是______． 【答案】 【分析】先将原方程化为，则，然后换元，分类讨论求解即可． 【详解】解： ， ， 令， 则， 当时，，解得，不满足，舍去； 当时，，即恒成立，此时的符合题意； 当时，，解得，不满足，舍去； ∵， ∴ ， 解得， ∴方程的解是． 【题型51 二次根式实际生活应用】 【例51】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 【答案】 【详解】解：当时，代入中， 可得 ， 当时，代入中， 可得 ， 所以 ， 则是的倍． 【变式51-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将改写为的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算，保留两位小数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，． ，． 将表示为，此时． 若取，则，． 因此取，． 代入近似公式，得： ． 【变式51-2】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示重力加速度，取，表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得，，该汽车的车速（单位：）最接近的数值为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】将已知数值代入公式求出被开方数，再通过比较平方数估算车速即可． 【详解】解：， 将，，代入公式， ， 得， ，， ∴， 最接近． 【变式51-3】（25-26八年级下·广东江门·期末）“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔，这座山顶部到海边的最短距离约为，天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海，理由如下： 当时， ， ∵， ∴天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海． 【分析】（1）把代入中，求解d的值即可； （2）把代入中，求解d的值，再与60比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）略 【题型52 二次根式应用（面积）】 【例52】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 【变式52-1】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，求出两个正方形的边长，进而求出空白矩形的长和宽，利用矩形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， ∴空白矩形的长为，宽为， ∴空白部分的面积为； 故选：A． 【变式52-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； (2)花坛的绿化面积变成平方米． 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简． （1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解； （2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米， 花坛的边长为米． 所以周长一共是：（米） 答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； （2）解：新喷水池的边长为米， 新喷水池的面积为（平方米）， 花坛的绿化面积变成（平方米）， 答：花坛的绿化面积变成平方米． 【变式52-3】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，且， ∴，即， ∴，即， ∴； (3)证明：∵为正整数，且， ∴， 又∵， ∴利用探究的结论可以得到， ∴． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据且可得，再利用探究的结论即可证明； （3）将与进行比较，再根据和已知结论即可证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断无理数】 2 【题型2 求一个数的平方根】 2 【题型3 求一个数的算术平方根】 3 【题型4 求一个数的立方根】 3 【题型5 判断平方根与立方根的性质】 3 【题型6 利用平方根与立方根求值】 4 【题型7 实数的分类】 4 【题型8 无理数的估算】 5 【题型9 实数与数轴的对应关系】 5 【题型10 实数的相反数与绝对值】 6 【题型11 判断式子是否为二次根式】 6 【题型12 二次根式有意义的条件】 7 【题型13 利用=|a|化简】 7 【题型14 二次根式的非负性求字母值】 7 【题型15 二次根式乘法法则计算】 8 【题型16 二次根式除法法则计算】 8 【题型17 判断最简二次根式】 8 【题型18 化简二次根式】 9 【题型19 判断同类二次根式】 9 【题型20 二次根式加减运算】 9 【题型21 二次根式的混合运算】 10 【进阶拔高】 10 【题型22 平方根与算术平方根的区别】 10 【题型23 已知平方根求这个数】 11 【题型24 已知立方根求这个数】 11 【题型25 利用算术平方根非负性求字母的值】 12 【题型26 实数的大小比较】 12 【题型27 实数在数轴上的位置判断】 12 【题型28 平方根与立方根综合求值】 13 【题型29 无理数估算与整数部分】 13 【题型30 实数的综合运算】 15 【题型31 程序设计与实数运算】 15 【题型32 求二次根式中的参数】 16 【题型33 根号外的因式移入根号内】 16 【题型34 二次根式乘除混合运算】 17 【题型35 二次根式与数轴化简】 17 【题型36 分母有理化】 18 【题型37 已知字母值化简求值】 19 【题型38 已知条件式化简求值】 19 【题型39 利用非负性求多个字母值】 20 【题型40 同类二次根式求参数】 20 【题型41 最简二次根式求参数】 20 【题型42 二次根式大小比较】 21 【创新思辨】 21 【题型43 算术平方根的应用】 21 【题型44 含参平方根与立方根综合】 22 【题型45 实数与数轴综合探究】 23 【题型46 立方根的应用】 24 【题型47 实数中的规律探究问题】 25 【题型48 复杂二次根式化简求值】 26 【题型49 二次根式中的新定义运算】 26 【题型50 复合二次根式化简】 27 【题型51 二次根式实际生活应用】 28 【题型52 二次根式应用（面积）】 28 【夯实基础】 【题型1 判断无理数】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）下列四个实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．   D．2 【变式1-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）请写出一个小于的无理数：________．（写出一个正确答案即可） 【变式1-2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在实数：，5，，，中，负无理数有_____个． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【题型2 求一个数的平方根】 【例2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【变式2-3】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）（     ） A． B． C． D． 【题型3 求一个数的算术平方根】 【例3】（25-26八年级下·云南德宏·期末）计算：=______． 【变式3-1】（25-26七年级下·江西宜春·期末）的算术平方根是____________． 【变式3-2】（25-26八年级下·重庆开州·期末）已知，且，则的值为_________． 【变式3-3】（25-26七年级下·天津津南·期末）计算的结果等于_________． 【题型4 求一个数的立方根】 【例4】（25-26七年级下·云南红河·期中）的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【变式4-1】（25-26七年级下·山东滨州·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 【变式4-2】（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【变式4-3】（25-26九年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【题型5 判断平方根与立方根的性质】 【例5】（25-26七年级下·新疆巴州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 【变式5-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【变式5-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（     ） 姓名：嘉琪  得分：__________ 填空：（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是 ； ③4的算术平方根为 2 ； ④平方根与立方根相等的数是 0 ； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【题型6 利用平方根与立方根求值】 【例6】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式6-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）计算的结果为________． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）若，则x的立方根是_______ 【变式6-3】（25-26七年级下·新疆·期中）已知甲数是的算术平方根，乙数是的立方根，则甲、乙两个数的积是__． 【题型7 实数的分类】 【例7】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【变式7-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式7-2】（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【变式7-3】（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【题型8 无理数的估算】 【例8】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26七年级下·天津津南·期末）估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式8-2】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）在与之间的整数是__________． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖南张家界·期中）规定无理数m的整数部分记为[m]，小数部分记为{m}，例如：，． (1)＝_________；＝_________． (2)求的值． 【题型9 实数与数轴的对应关系】 【例9】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 【变式9-1】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 【题型10 实数的相反数与绝对值】 【例10】（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【变式10-1】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【变式10-2】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【变式10-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【题型11 判断式子是否为二次根式】 【例11】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【变式11-1】（26-27九年级·全国·暑假作业）二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【变式11-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【变式11-3】（25-26八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【题型12 二次根式有意义的条件】 【例12】（26-27九年级上·全国·单元复习）若二次根式有意义，写出一个满足条件的a的值_______________． 【变式12-1】（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【变式12-3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）当x满足______时，在实数范围内有意义． 【题型13 利用=|a|化简】 【例13】（26-27九年级上·广东广州·开学考试）计算：________． 【变式13-1】（25-26八年级下·吉林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果，那么满足的条件是__________． 【变式13-3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）化简___________（所有字母为非负数）． 【题型14 二次根式的非负性求字母值】 【例14】（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）已知，则的值为____________ 【变式14-1】（25-26八年级下·甘肃武威·期末）若有意义，则的平方根是______． 【变式14-2】（25-26八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为_____． 【变式14-3】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【题型15 二次根式乘法法则计算】 【例15】（25-26八年级下·云南红河·期末）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式15-1】（25-26八年级下·四川德阳·期中）计算的结果是_____． 【变式15-2】（25-26八年级下·上海·期中）如果，那么______． 【变式15-3】（25-26八年级下·重庆·期末）已知n为整数，且，则______． 【题型16 二次根式除法法则计算】 【例16】（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 【变式16-1】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【变式16-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【变式16-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）把化去分母中的根号后得______． 【题型17 判断最简二次根式】 【例17】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式17-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【变式17-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【变式17-3】（25-26八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型18 化简二次根式】 【例18】（26-27九年级上·全国·单元复习）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式18-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）将化成最简二次根式的结果是________． 【变式18-2】（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【变式18-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 【题型19 判断同类二次根式】 【例19】（25-26八年级下·重庆江津·期中）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，下列各数与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式19-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【变式19-2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【变式19-3】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 【题型20 二次根式加减运算】 【例20】（25-26七年级下·北京丰台·期末）计算：． 【变式20-1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式20-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【变式20-3】（25-26八年级上·上海·期中）计算：．（） 【题型21 二次根式的混合运算】 【例21】（25-26八年级下·天津东丽·期末）计算 (1)； (2)． 【变式21-1】（25-26八年级下·山西大同·期末）计算 (1)． (2)． 【变式21-2】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）计算： (1)； (2) 【变式21-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 【进阶拔高】 【题型22 平方根与算术平方根的区别】 【例22】（25-26七年级上·山东泰安·期末）下列说法不正确的是（   ） A．4的平方根是 B．的立方根是 C．5没有算术平方根 D．0的平方根和立方根都是0 【变式22-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【变式22-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）完成下列表格： 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 平方根 【变式22-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是______，这个数的算术平方根是______，两个平方根的和是____． 【题型23 已知平方根求这个数】 【例23】（25-26七年级下·山东德州·期中）已知一个正数的平方根分别为和，这个正数是___________． 【变式23-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【变式23-2】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【变式23-3】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【题型24 已知立方根求这个数】 【例24】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 【变式24-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值是________． 【变式24-2】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式24-3】．已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 【题型25 利用算术平方根非负性求字母的值】 【例25】（25-26七年级下·重庆·期末）已知实数满足，则的值为_____． 【变式25-1】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式25-2】（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）已知，则的值为________． 【变式25-3】（25-26七年级下·江西新余·期末）设，都是实数，且满足，求式子的算术平方根． 【题型26 实数的大小比较】 【例26】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【变式26-1】（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【变式26-2】（25-26七年级下·上海·期末）已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【变式26-3】（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【题型27 实数在数轴上的位置判断】 【例27】（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 【变式27-1】（2026·陕西渭南·模拟预测）若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【变式27-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在数轴上有A，B，C，D四个点，则下列说法正确的是（     ） A．点A表示的数可能是 B．点B表示的数可能是 C．点C表示的数可能是 D．点D表示的数可能是 【变式27-3】（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【题型28 平方根与立方根综合求值】 【例28】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【变式28-1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【变式28-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【变式28-3】（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【题型29 无理数估算与整数部分】 【例29】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【变式29-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【变式29-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为________． 【变式29-3】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【题型30 实数的综合运算】 【例30】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）计算： 【变式30-1】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式30-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）计算： (1) (2)； (3)． 【变式30-3】（25-26七年级下·广东肇庆·期末）计算：． 【题型31 程序设计与实数运算】 【例31】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【变式31-1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【变式31-2】（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【变式31-3】有一个数值转换器．原理如图． （1）当输入的为81时，输出的是多少？ （2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？ （4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【题型32 求二次根式中的参数】 【例32】（25-26八年级下·北京·期中）若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【变式32-1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式32-2】（25-26八年级下·河南新乡·阶段检测）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【变式32-3】（25-26八年级下·全国·期末）已知a为整数，且满足，则a的值为__________． 【题型33 根号外的因式移入根号内】 【例33】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）把中根号外的移入根号内得________． 【变式33-1】（25-26八年级上·上海·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是___________ 【变式33-2】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 【变式33-3】（25-26九年级上·河南洛阳·阶段检测）把根号外的因式移入根号内，得________ 【题型34 二次根式乘除混合运算】 【例34】（25-26八年级下·山东威海·期末）设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式34-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 【变式34-2】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【变式34-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【题型35 二次根式与数轴化简】 【例35】（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【变式35-1】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【变式35-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 【变式35-3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【题型36 分母有理化】 【例36】（25-26八年级上·上海·阶段检测）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【变式36-1】（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【变式36-2】（25-26八年级下·河南新乡·期末）定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【变式36-3】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）例如：像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的（     ）个 ①； ②若是的小数部分，则； ③比较大小：； ④计算：． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型37 已知字母值化简求值】 【例37】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 【变式37-1】（25-26八年级下·河南许昌·期末）已知，． (1)求的值． (2)求的值． 【变式37-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）化简求值：，其中． 【变式37-3】（25-26八年级下·河南周口·期末）计算及化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【题型38 已知条件式化简求值】 【例38】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，求的值． 【变式38-1】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【变式38-2】（25-26九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 【变式38-3】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【题型39 利用非负性求多个字母值】 【例39】（25-26七年级下·陕西·期末）若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【变式39-1】（25-26八年级下·广西河池·期中）如果式子，那么______． 【变式39-2】若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 【变式39-3】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【题型40 同类二次根式求参数】 【例40】（25-26八年级下·北京西城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【变式40-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【变式40-2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【变式40-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）最简二次根式与是同类二次根式，则________，________． 【题型41 最简二次根式求参数】 【例41】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）与最简二次根式能合并，则__________． 【变式41-1】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 【变式41-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【变式41-3】（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 【题型42 二次根式大小比较】 【例42】（25-26八年级下·北京·期末）比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【变式42-1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 【变式42-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【变式42-3】（25-26八年级下·广东珠海·期中）比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，． 阅读以上材料，解决下面问题： (1)已知，，则_______（填写“”“”或“”）． (2)比较，的大小，并说明理由． (3)判断，（，且为正整数）的大小，并说明理由． 【创新思辨】 【题型43 算术平方根的应用】 【例43】（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【变式43-1】（25-26八年级下·山东临沂·期中）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重，h表示身高．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是________ ． 【变式43-2】（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为__________． 【变式43-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 【题型44 含参平方根与立方根综合】 【例44】（25-26八年级上·河南郑州·开学考试）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【变式44-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【变式44-2】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【变式44-3】（25-26八年级上·贵州毕节·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，一个正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【题型45 实数与数轴综合探究】 【例45】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，将面积分别为10和6的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ，． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示数的整数部分为________，小数部分为________． (3)记的整数部分是x，小数部分是y，求x和y的值． 【变式45-1】（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 【变式45-2】（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【变式45-3】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 【题型46 立方根的应用】 【例46】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【变式46-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 【变式46-2】（24-25七年级下·河南商丘·阶段检测）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【变式46-3】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【题型47 实数中的规律探究问题】 【例47】（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【变式47-1】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是：_______． 【变式47-2】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式47-3】（25-26七年级下·上海·期中）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对35进行如下操作：，这样对35只需进行3次操作后变为1．那么对520需进行_____次操作后变为1． 【题型48 复杂二次根式化简求值】 【例48】（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【变式48-1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 【变式48-2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【变式48-3】（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）已知，求的值． 【题型49 二次根式中的新定义运算】 【例49】（24-25八年级下·山东青岛·期中）定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． (1)请你写出一对共轭实数：________和__________； (2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； (3)已知，求代数式的值． 【变式49-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，， 试解决下列问题： ①__________；②__________； ③__________． 【变式49-2】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【变式49-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【题型50 复合二次根式化简】 【例50】（25-26七年级下·上海·期末）化简 (1)； (2)； (3)． 【变式50-1】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【变式50-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【变式50-3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）方程的解是______． 【题型51 二次根式实际生活应用】 【例51】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 【变式51-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 【变式51-2】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示重力加速度，取，表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得，，该汽车的车速（单位：）最接近的数值为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 【变式51-3】（25-26八年级下·广东江门·期末）“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔，这座山顶部到海边的最短距离约为，天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能否看到大海？请说明理由． 【题型52 二次根式应用（面积）】 【例52】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【变式52-1】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式52-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【变式52-3】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $