专题03 整式及其加减（知识&考点&公式&6高频&4易错&4重难&7模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材北师大版

专题03 整式及其加减 目 录 识记类 思维导图 知识清单(10类) 考点清单(8类) 公式清单(12类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 代数式的概念 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把______和______连接而成的式子，叫做代数式。 特殊规定： · 单独一个数也是代数式（如 5、−3、0） · 单独一个字母也是代数式（如 a、x、m） 注意： · 代数式中不含"=""<"">""≤""≥"等关系符号 · 等式（如 s = vt）不是代数式，但等式两边的式子都是代数式 知识点02 列代数式 书写规范： 1. 数字与字母相乘时，______通常省略不写，数字写在字母前面（如 3a，不写 a×3） 2. 字母与字母相乘时，乘号省略（如 ab，不写 a×b） 3. 除法运算通常写成分数形式（如 a÷b 写成______） 4. 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数（如写成 ______） 5. 后面带单位时，若代数式是和或差的形式，要把整个式子括起来（如 (2a+3b) 元） 常见数量关系的代数式表示： 文字描述 代数式 a的11倍再加2 ____________ a的与a的和 ____________ 比a的2倍多3的数 ____________ a与b的平方差 ____________ a与b的差的平方 ____________ a、b两数的平方和 ____________ 知识点03 代数式的值 定义：用具体数值代替代数式中的____________，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 求值步骤： 1. 代入：用______替换代数式里的______ 2. 计算：按照有理数的运算顺序计算结果 注意： · 代入时，字母对应的数字要替换准确 · 负数代入时要加______ · 分数代入乘方时也要加______ 知识点04 单项式 定义：像 5ab、5abc、3v、6p 等，它们都是数与字母的______，这样的代数式叫做单项式。 特殊规定： · 单独一个______也是单项式 · 单独一个______也是单项式 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的______。 · 例：5ab 的系数是 ______；3v 的系数是______；−7x²y 的系数是______ 单项式的次数：所有字母的______和叫做这个单项式的次数。 · 例：5ab 是 2 次（a的指数1 + b的指数1 = 2）；3v 是 1 次；−7x²y 是 3 次（2+1=3） 注意： · 单独一个非零数的次数是 ______（如 5 的次数是 0） · 系数包括前面的______ · π 是______，不是______（如 πr² 的系数是 π，次数是 2） 知识点05 多项式 定义：几个单项式的______叫做多项式。 · 例：5a + 5a + 10b、10x + 5y、4 + 3(x−1) 都是多项式 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的______。 · 不含字母的项叫做____________。 · 例：多项式 10x + 5y 是 10x 与 5y 两项的和；多项式 3x² − 2x + 1 有三项，分别是 3x²、−2x、1（常数项） 多项式的次数：一个多项式中，次数最______的项的次数，叫做这个多项式的______。 · 例：10x + 5y 是 1 次的；a²b + 2a 是 3 次的（a²b 的次数是 3） 整式：单项式和多项式统称整式。 知识点06 同类型 定义：所含______相同，并且相同字母的______也相同的项，叫做同类项。 判断标准（两相同）： 1. 所含______相同 2. 相同字母的______也分别相同 特殊规定： · 几个常数项也是同类项（如 5 和 −3 是同类项） · 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关（如 3xy 和 −5yx 是同类项） 知识点07 合并同类项 定义：把同类项合并成______，叫做合并同类项。 法则：合并同类项时，把同类项的系数______，字母和字母的指数______。 依据：乘法对加法的____________律。 步骤： 1. 找出同类项（用不同标记标出） 2. 把同类项的系数相加 3. 字母和字母的指数保持不变 典型示例： · 8n + 5n = (8+5)n = 13n · 2xy + 3xy = (2+3)xy = 5xy · −7a²b + 2a²b = (−7+2)a²b = −5a²b 知识点08 去括号法则 法则内容： · 括号前是"+"号，把括号和它前面的"+"去掉后，原括号里各项的符号都____________。 · 括号前是"−"号，把括号和它前面的"−"去掉后，原括号里各项的符号都____________。 口诀：去括号，看符号；是正号，不变号；是负号，全变号。 依据：乘法对加法的分配律。 典型示例： · a + (b + c) = a + b + c · a − (b + c) = a − b − c · a + (b − c) = a + b − c · a − (b − c) = a − b + c 知识点09 整式的加减运算 运算步骤： 1. 如果有括号，先______ 2. 再合并同类项 本质：整式的加减运算就是去括号 + 合并同类项。 常见类型： · 求几个多项式的和：直接相加，去括号，合并同类项 · 求两个多项式的差：被减式 − 减式，注意减式要加括号 · 先化简再求值：先化简整式，再代入数值计算 知识点10 探索与表达规律 日历中的规律： · 横行相邻两数差 1 · 竖列相邻两数差 7 · 3×3 方框中 9 个数之和 = 正中间数 × 9 · 对角线上的数之和相等 图形中的规律： · 方法：先数出前几个图形的数量 → 找增量（每次增加几个）→ 归纳通项公式 · 例：拼 n 个正方形需要 (3n+1) 根小棒 数字游戏的解释： · 用代数式把游戏过程表示出来，化简后就能发现其中的规律 考点01 列代数式 考查形式：根据文字描述或实际情境，列出代数式。 解题关键： · 抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、多、少、增长等 · 注意运算顺序，必要时加____________ · 书写规范：数字在前、省略乘号、分数形式表示除法 典型考法： · 某商品成本价 a 元，提高 15% 标价后打八折销售，售价为多少？ · 三个连续整数，中间一个是 n，它们的和是多少？ · 用代数式表示阴影部分面积 考点02 单项式的系数与次数 考查形式：给出一个单项式，指出它的____________和____________。 解题技巧： · 系数 = 数字部分（含符号） · 次数 = 所有字母的指数相加 · 注意 π 是常数，不是字母 易错点： · 漏掉系数前面的负号 · 漏掉某个字母的指数（指数是1时容易忽略） · 把 π 当成字母算次数 考点03 多项式的项与次数 考查形式：给出一个多项式，指出它有几项，分别是什么，次数是多少，常数项是几。 解题技巧： · 项包括前面的符号（如 −2x 是一项） · 次数 = 次数最高的那一项的次数 · 常数项 = 不含字母的那一项 考点04 同类型的判断 考查形式：判断给出的项是不是同类项；已知两个单项式是同类项，求字母指数的值。 解题关键： · 两相同：______相同，相同字母______相同 · 两无关：与______无关，与字母______无关 典型考法： · 若 3x²yⁿ 与 −5xᵐy³ 是同类项，求 m、n 的值 考点05 合并同类项 考查形式：直接合并同类项；先化简再求值。 解题步骤： 1. 找同类项（标记出来） 2. 系数相加 3. 字母和指数不变 易错点： · 不是同类项也强行合并（如 3x + 2y = 5xy） · 合并后字母指数改变 · 漏掉某些项 考点06 去括号化简 考查形式：化简含括号的整式；判断去括号是否正确。 解题关键： · 括号前是负号，去掉括号后每一项都要变号！ · 括号前有数字因数时，要乘到括号里的每一项 典型考法： · 化简：3(2xy − y) − 2xy · 判断：−(x−6) = −x−6 对不对？ 考点07 整式的加减运算 考查形式：求两个多项式的和或差；先化简再求值。 解题步骤： 1. 根据题意列出算式（注意加括号） 2. 去括号 3. 合并同类项 4. 代入数值计算 高频考法： · 已知 A、B 两个多项式，求 A+B 或 A−2B · 先化简，再求值（给 x、y 的值） 考点08 规律探索问题 考查形式：给出一组图形或数字，找出规律，用代数式表示第 n 个。 解题步骤： 1. 数出前 3~4 个具体值 2. 找增量（每次增加多少） 3. 归纳通项公式 4. 验证（代入 n=1,2,3 检验） 常见类型： · 日历中的数字规律 · 图形拼接规律（小棒、棋子） · 数表规律（三角形数阵、奇数阵） 序号 公式/结论 说明 1 单项式的系数 = 数字因数 包含前面的符号 2 单项式的次数 = 所有字母指数和 指数为1的字母也要算 3 多项式的次数 = 次数最高项的次数 不是所有项次数相加 4 同类项判断：两相同两无关 字母相同、相同字母指数相同；与系数无关、与顺序无关 5 合并同类项：系数相加，字母和指数不变 依据是乘法分配律 6 去括号（+号）：a+(b+c) = a+b+c 括号内各项符号不变 7 去括号（−号）：a−(b+c) = a−b−c 括号内各项都变号 8 整式加减步骤：先去括号，再合并同类项 9 日历3×3方框：9数之和 = 中间数 × 9 横行差1，竖列差7 10 连续三个整数和：(n−1)+n+(n+1) = 3n 中间数的3倍 11 两位数表示：十位a、个位b → 10a+b 12 三位数表示：百位a、十位b、个位c → 100a+10b+c 辨析01 单项式与多项式概念辨析 对比项 单项式 多项式 定义 数与字母的乘积 几个单项式的和 例子 5ab、3v、−7x²y 10x+5y、3x²−2x+1 本质 只有乘法（和数字的除法） 有加法（和减法） 次数 所有字母指数和 次数最高项的次数 辨析02 系数与次数的概念辨析 表达式 含义 当 a=3 时的值 a² a × a（a的平方） 3×3 = 9 2a 2 × a（2倍的a） 2×3 = 6 关键区别：平方是两个a相乘，2a是2乘a。 辨析03 差的平方与平方的差概念辨析 表达式 含义 展开后 a² − b² a的平方减b的平方 不能直接展开 (a − b)² a与b差的平方 a² − 2ab + b² 当a=3, b=1时： · a²−b² = 9−1 = 8 · (a−b)² = (3−1)² = 4 辨析04 单项式次数与多项式次数 概念 怎么算 举例：3x²y³ + 2xy 单项式次数（第一项） 所有字母指数和：2+3=5 3x²y³ 的次数是5 多项式次数 取最高次项的次数 5次（因为第一项次数5 > 第二项次数2） 易错：多项式次数不是所有项次数加起来！ 辨析05 同类型的概念辨析 各组 是否同类项 原因 3x²y 与 −5x²y ✅ 是 字母相同，指数相同 3x²y 与 −5xy² ❌ 不是 x的指数不同，y的指数也不同 3ab 与 −5ba ✅ 是 字母相同，顺序不同不影响 5 与 −3 ✅ 是 都是常数项 2x 与 3y ❌ 不是 字母不同 2x 与 3x² ❌ 不是 x的指数不同 辨析06 合并同类项的常见错误 错误做法 正确做法 错误原因 3x + 2y = 5xy 3x + 2y（不能合并） 不是同类项，不能合并 3x + 2x = 5x² 3x + 2x = 5x 字母指数不能相加，保持不变 3x² − x² = 3 3x² − x² = 2x² 漏掉字母和指数 2a + 3b = 5ab 2a + 3b（不能合并） 不是同类项 辨析07 去括号的符号变化 原式 错误去括号 正确去括号 易错原因 a − (b + c) a − b + c a − b − c 只变了b的符号，忘了c也要变 a − (b − c) a − b − c a − b + c 括号里是−c，去括号后变成+c a + (b − c) a + b + c a + b − c 括号前是+号，不变号，不需要变 2(x − 3) 2x − 3 2x − 6 数字因数要乘到每一项，不能漏乘 口诀：负号去括号，各项都变号；数字要分配，每一项都到。 辨析08 "和的平方"与"平方的和" 文字描述 代数式 含义 a与b的和的平方 (a + b)² 先加再平方 a与b的平方和 a² + b² 先平方再加 a与b的差的平方 (a − b)² 先减再平方 a与b的平方差 a² − b² 先平方再减 关键："的平方"在后面，就是先算前面的和/差，再平方。 【题型一】代数式的概念与书写 【例1-1】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 【例1-2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥a A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-1】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）设甲数是x，乙数是y． (1)用代数式表示：甲、乙两数和的平方； (2)用代数式表示：甲、乙两数的平方和； (3)当，时，计算上面（1）和（2）两题所列代数式的值． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）用代数式表示 (1)a与b的和的平方； (2)x的与y的差的； 【题型二】代数式求值 【例2-1】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若，求的值 【例2-2】（25-26七年级上·吉林四平·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，， (1)_______，___________，__________． (2)求的值． 【变式2-2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【题型三】单项式与多项式的相关概念 【例3-1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 【例3-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于多项式，下列结论中正确的是（　　） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 【变式3-1】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）下列结论中正确的是（   ） A．单项式的次数是3 B．3不是单项式 C．多项式是三次三项式 D．单项式m没有系数 【变式3-2】（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列说法错误的是（    ） A．是三次三项式 B．的次数是5 C．的系数是，次数是4 D．不是多项式 【题型四】同类型的概念与合并同类项 【例4-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【例4-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·广东茂名·期中）代数式与是同类项，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-2】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型五】整式的加减运算 【例5-1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) (3) 【例5-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）化简 (1) (2) 【变式5-1】（25-26七年级上·山西运城·期中）化简： (1)； (2)． 【变式5-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）化简： (1) (2) 【题型六】整式加减的应用 【例6-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，用三种大小不同的六个正方形和三个长方形（阴影部分）拼成大长方形，其中，最小的正方形的边长为． (1)用含的代数式表示：线段_____，线段_____； (2)求长方形的周长；（用含的代数式表示） (3)当时，求长方形的周长的值． 【例6-2】（25-26七年级上·福建厦门·期中）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【变式6-1】（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【变式6-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）从一张大长方形纸片中剪去一个小长方形，剩下纸片的尺寸如图所示． (1)根据图中数据，用含x的代数式表示图中的阴影部分面积S； (2)当时，求阴影部分面积． 【题型一】程序流程图与代数式求值 【例1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 易错警示 · 严格按箭头方向：输入→每一步框→输出，逆着算必错 · 出现"是否大于某数"的判断框时，不满足就要回到前面重新走一轮，不能直接输出 · 循环题先算第一轮，判断结果，再决定是否继续 【变式1-1】（25-26七年级上·江西抚州·期中）按如图所示程序计算，若输入的整数是5，则最终输出的结果为________． 【变式1-2】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是________． 【变式1-3】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是_______． 【题型二】整式的加减中的化简求值 【例2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 易错警示 · 括号前是"-"号，括号内每一项都要变号 · 有数字因数时，先用分配律乘进去，再去括号 · 同类项判定：字母相同 + 相同字母的指数也相同，两者缺一不可 · 合并时系数相加减，字母和指数不变 · 化简后按降幂排列，检查是否还有漏并的项 · 必须先化简到最简整式，再代入数值 【变式2-1】（25-26七年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2-3】（25-26七年级上·江西宜春·期中）先化简再求值：，其中． 【题型三】整式加减中的无关型问题 【例3】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 易错警示 · "与x无关" → 化简后所有含x的项的系数 = 0 · "不含x项" → x的一次项系数 = 0 · "不含x²项" → x²的系数 = 0 · 先化简合并，再令对应项系数为0列方程求解 【变式3-1】（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【变式3-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【变式3-3】（25-26七年级上·河南开封·期中）已知多项式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【题型四】带有字母的绝对值化简问题 【例4】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知有理数a，b满足，，且，化简 _______． 易错警示 · 先找零点：令每个绝对值内的式子=0，求出零点 · 零点在数轴上排序，把数轴分成几段 · 每一段内判断绝对值内式子的正负，再决定去掉绝对值后加不加负号 · 数轴上左边的数 < 右边的数 · a在b左边 → a < b → a - b < 0 → |a-b| = -(a-b) = b-a · 口诀："大减小是正，小减大加负" 【变式4-1】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）若，则___． 【变式4-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，且，则________． 【变式4-3】（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【题型一】单项式规律题 【例1-1】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…则第2025个式子是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 【变式1-2】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是__． 【题型二】数字类规律探索 【例2-1】（25-26七年级下·河南周口·期中）设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)依据上述算式写出当时，______． (2)归纳出一般表达式，______． (3)这种简便计算也可以推广应用到个位数字是5的三位数的平方（即），请写出的简便计算过程及结果． 【例2-2】（25-26七年级上·海南海口·期中）探究题： 观察下列等式：，，，，… (1)填空： ； (2)计算：． 【变式2-1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的排列顺序如下： 如果规定又接在的后面，使26个字母排成圈，我们可以用英语26个字母来编制密码．例如，对于密文“ ”，如果破译它的“钥匙”是“”（其中代表字母表中的任意一个字母，表示将该字母换成向前移动3位所得到的字母），按这个规律就有 ．这样就能把密文“ ”破译成明文“ ”，从而解读出密文的意思，“”就是密文到明文的破译密码钥匙． （1）根据材料中的钥匙，密文“”可破译成明文“ ”； 【类比研究】 （2）将26个英文字母依次对应序号，如下表．给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为．请将密文“1  12  25  19”破译成用英文字母表示的明文； 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【研究拓展】 （3）小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母依次对应序号，把密文“”译成明文“”，请直接写出它的破译密码钥匙． 【题型三】图形类规律探索 【例3-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 【例3-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“○”，第②个图案中有10个“○”，第③个图案中有14个“○”，……按此规律继续拼图案． (1)第⑦个图案中有________个“○”； (2)用含n的代数式表示第n个图案中“○”的个数； (3)求第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少多少个？ 【变式3-1】（25-26七年级上·山东济南·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】用同样大小的两种正方形纸片，按如图方式拼正方形． 【规律归纳】 （1）图3中共有个小正方形，图4共有 个小正方形； （2）按图示方式继续拼下去，图n中（未画出）共有 个小正方形； 【规律应用】 （3）请用上述规律计算：． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南周口·期中）用火柴棒按如下所示的方法搭图形． (1)完成下表． 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 3 5 7 … (2)第个图形需要多少根火柴棒？ 【题型四】日历中的规律探索 【例4-1】（25-26七年级上·山东德州·期中）如图是某月的日历． (1)通过计算说明，带阴影的方框中的个数之和与方框正中的数有什么关系？ (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述） 【活学活用】 小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，，，，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (3)十字框中的五个数的和与中间的数有什么关系？ (4)设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和； (5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由． 【例4-2】（25-26七年级上·河北保定·期中）图1，图2是某月的日历． (1)如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字． ①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为________（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为________（用含x的式子表示）； ②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由； (2)若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由． 【变式4-1】（25-26七年级上·河南省直辖县级单位·期中）【综合与探究】如图①是（年月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图①中的结果为______． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 小乐认为（1）中猜想正确，其推理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． _____． 的值均为0． (3)开放性拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．请从下列①，②两题中任选一题作答． ①在日历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； ②任日历中用“Y型框”框住位置如图④所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【变式4-2】（25-26七年级上·广西梧州·期中）【综合与实践】如图①是某月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，然后通过计算探索其中位置如图②所示的四个数“”的值． (1)初步分析：计算图①中的结果为______． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．理由如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以（   ）=______． (3)同类探究：利用小乐的方法，借助图①中的日历继续探究，探索其中位置如图③所示的四个数“”的值．写出你的结论，并仿照（2）的方法说明结论成立的理由． 【题型一】文字语言转代数式翻译模型 【模型解读】 遇到"用代数式表示……"的题目，本质是把中文文字翻译成数学式子。先抓关键词（和、差、积、商、倍、分、多、少），再定运算顺序，必要时加括号。先读一遍，搞清楚谁先算谁后算，再下笔写。 【结论】 中文描述 翻译步骤 代数式 a的3倍与b的和 先算3倍，再加b 3a + b a与b的和的3倍 先算和，再乘3 3(a + b) a的平方与b的差 先平方，再减 a² − b a与b的差的平方 先减，再平方 (a − b)² 比a的2倍多5 2倍再加5 2a + 5 a与b两数的平方和 分别平方，再加 a² + b² a与b两数差的平方 先差，再平方 (a − b)² 口诀：先读定顺序，再写式子；"的"字前面先算，括号补位不丢。 【例1】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）用代数式表示 (1)a与b的和的平方； (2)的与的差的 【变式1-1】（25-26七年级上·河南周口·期中）某商店销售一种商品，每件成本为a元，按成本增加定价"和"按定价的出售． (1)每件商品的定价为多少元？ (2)每件商品的售价为多少元？ (3)每件商品的利润为多少元？ (4)若，求每件商品的利润率． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球个． (1)若在甲网店购买，需付款______元；（用含的式子表示） (2)若在乙网店购买，需付款______元；（用含的式子表示） (3)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ 【变式1-3】（25-26七年级上·山东德州·期中）用代数式表示 (1)与两数的立方和； (2)的一半与的和的平方； (3)棱长为的正方体的表面积； (4)某班共有名学生，其中女生占45%，则男生的人数为多少？ 【题型二】整式加减运算模型 【模型解读】 整式加减看起来复杂，其实就是两步走：先去括号，再合并同类项。遇到求两个多项式的和或差，先列算式（注意减式要加括号），然后按这两步算到底。 【结论】 第一步：列式 求A与B的和 → A + B 求A与B的差 → A − B（B要加括号） 第二步：去括号 按去括号法则，逐层去掉括号 第三步：合并同类项 找出同类项，系数相加，字母指数不变 第四步：整理结果 按某一字母的降幂排列（习惯写法） 【例2】（25-26七年级上·陕西·期中）化简． (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）化简： (1)； (2)． 【变式2-2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）化简： (1)； (2)． 【变式2-3】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1) (2) 【题型三】先化简再求值模型 【模型解读】 给一个复杂的代数式，代入数值直接算会非常麻烦。正确做法是：先化简（去括号+合并同类项），化简成最简单的形式后，再代入数值计算。这样既快又不容易错。 【结论】 步骤 做法 说明 第一步 化简原式 去括号 → 合并同类项 第二步 检查化简结果 确认没有同类项可再合并 第三步 代入数值 把字母的值代入最简式 第四步 计算结果 按有理数运算顺序算 【例3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3-1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)在（2）条件下，若，且，求的值． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3-3】（25-26七年级上·江西抚州·期中）已知代数式， (1)求； (2)若，求的值． 【题型四】整体代入求值模型 【模型解读】 有时候题目给的条件没法直接求出每个字母的值，但所求的式子可以整理成已知条件的形式。这时候不要硬求每个字母的值，而是把已知条件当成一个整体，直接代入进去。 【结论】 类型 已知条件 所求式子变形 整体代入 直接整体 a + b = 3 2(a + b) − 5 2×3 − 5 = 1 提取公因式 a − b = 2 3a − 3b + 1 3(a−b) + 1 = 3×2 + 1 = 7 变号整体 x + 2y = 4 −x − 2y + 5 −(x+2y) + 5 = −4 + 5 = 1 倍数关系 2x + 3y = 6 4x + 6y − 3 2(2x+3y) − 3 = 2×6 − 3 = 9 【例4】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）阅读材料：代数式运算中：，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)把看成一个整体，计算：； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【变式4-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)已知，，则代数式的值为______． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【题型五】数字游戏揭秘模型 【模型解读】 那些"你心里想一个数，按步骤算，我就能猜出来"的数字游戏，看起来很神奇，其实用代数式把每一步写出来，化简之后就露馅了——字母（你想的数）被消掉了，剩下的就是游戏规则。 【结论】 解题步骤： 1. 设你想的数为 x 2. 按游戏步骤，一步步写出代数式 3. 化简代数式 4. 看化简结果，解释游戏原理 【例5】（25-26七年级上·河南郑州·期中）学习用字母表示数后，小强设计了一个有趣的游戏，规则如下： 第一步：选一个你喜欢的数字； 第二步：把这个数乘5，然后加2； 第三步：将第二步的结果乘4，再减去6； 第四步：将第三步的结果乘5． (1)若选择的数是6，按照以上步骤操作后所得的数是___________； (2)同学们把结果告诉小强，小强都能准确猜出同学们选的数字，请你解释这是为什么． 【变式5-1】（25-26七年级上·山西晋城·期中）小明和小亮玩扑克牌游戏： 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆． 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．请你分析其中的奥秘． 【变式5-2】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）小祥是一个12岁的初中生，有一天他在微信上看到一篇关于数字游戏的短文，说手机号能暴露机主的年龄，全文如下： 看一下你手机号的最后一位；把这个数字乘以2；然后加上5；再乘以50；把所得到的数目加上1771；最后一个步骤，用这个数目减去你的出生的那一年．现在你看到一个三位数的数字．第一位数字是你手机号的最后一位，接下来就是你的实际年龄（如果你的手机号最后一位是0，你将直接得到自己的年龄）！ 小祥试着用自己手机号码的最后一位数字7进行了游戏，他是2009年出生的，结果惊奇地发现手机号码真的暴露了自己的年龄！他不禁感叹：“难道这是真的吗！” （1）你认为手机号能够暴露机主的年龄吗？ （2）请用你学过的多项式．知识揭示这个游戏的奥秘（提示：设你手机号的最后一位数字为x，不妨设你与小祥都是2009年至2月至10月之间出生，今年12岁）． 【题型六】图形规律归纳模型 【模型解读】 给出一组按规律排列的图形（小棒、棋子、桌子椅子等），问第n个需要多少个。不要凭空猜，先数出前3~4个具体数量，然后算相邻两个的差（增量），如果增量是固定的，直接写出通项公式。 【结论】 步骤 做法 举例：拼正方形小棒 第一步：数前几个 数出第1、2、3、4个的数量 1个=4根，2个=7根，3个=10根，4个=13根 第二步：算增量 后一个减前一个，看增量是否固定 7−4=3，10−7=3，13−10=3 → 每次加3 第三步：写通项 第n个 = 第一个 + (n−1)×增量 4 + (n−1)×3 = 3n + 1 第四步：验证 代入n=1,2,3检验对不对 n=1: 3×1+1=4 ✅，n=2: 3×2+1=7 ✅ 通用公式： · 若每次增加 k 个，第一个是 a 个 → 第n个 = a + (n−1)k · 化简后：第n个 = kn + (a−k) 【例6】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）由火柴棒拼出一列图形，每个图形由几个正方形组成，通过观察发现： (1)组成4个正方形的火柴棒根数是__________； (2)组成5个正方形的火柴棒根数是__________； (3)组成100个正方形的火柴棒根数是__________； (4)组成个正方形的火柴棒根数是__________． 【变式6-1】（25-26七年级上·陕西安康·期中）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，第1个图形有枚棋子，第个图形有枚棋子，第3个图形有枚棋子，…按照这样的规律摆下去，观察图形回答下列问题： (1)第个图形要用_______枚棋子； (2)用含的代数式表示摆第个图形所用棋子的枚数； (3)摆第个图形要用多少枚棋子？ 【变式6-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：若图形中含有9个三角形，则拼成这个图形需要 根火柴棍； (2)数学探究：若图形中含有n个三角形，则拼成这个图形需要 根火柴棍； (3)应用数学：若图形中含有2025个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少? 【题型七】日历规律速算模型 【模型解读】 日历题看起来数字多，其实规律很固定：横行差1，竖列差7。3×3方框里9个数的和，正好是中间数的9倍。知道这个规律，不管框住哪9个数，一眼就能算出来。 【结论】 规律 内容 举例验证（中间数为x） 横行相邻差 右边比左边大1 x右边是 x+1，左边是 x−1 竖列相邻差 下面比上面大7 x下面是 x+7，上面是 x−7 对角两数和 对角两数之和相等 (x−8)+(x+8) = (x−6)+(x+6) = 2x 9数之和 等于中间数×9 9个数的和 = 9x 十字形5数和 等于中间数×5 5个数的和 = 5x 【例7】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在某月的日历中，用一个“”形阴影涂出5个数． (1)涂出的5个数中最大的数为 ；涂出的5个数字的和为 (2)移动“”形阴影，当位于“”形阴影最中间的一个数为n时，试证明：涂出的5个数的和一定能被5整除． 【变式7-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）如图，2022年11月的日历． (1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ (2)如果将带阴影方框移至图2的位置，（1）中的关系还成立吗？ (3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 【变式7-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是某月的日历，现用一方框在日历中任意框出九个数，请观察图形解答下列问题： (1)日历图中方框框住的个数之和与该方框正中间的数有什么关系? (2)这个关系对其他这样的方框成立吗?请用代数式表示这个关系． (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? (4)你还能发现这样的方框中个数之间的其他关系吗？请写出一种． 【变式7-3】（25-26七年级上·山东济宁·期中）下面是某月的日历 （1）其中，阴影方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其他这样的方框成立吗？如果用表示中间的数，你能列式表示这样的方框中的9个数之和吗？ （3）在（2）中的方框中，你还能发现其中的数与之间的其他关系吗？ 技巧 一句话要点 列代数式——"语序翻译法" 先读题定运算顺序，"的"字前面先算，必要时加括号；数字在前字母在后，省略乘号写规范。 单项式找系数——"数字剥离法" 把数字部分连同符号一起剥出来就是系数；π是常数不是字母，别当字母算。 单项式算次数——"指数求和法" 所有字母的指数加起来就是次数；指数是1的字母别漏算，单独一个数的次数是0。 多项式定次数——"最高项取大法" 先算每一项的次数，取最高的那个就是多项式次数；不是所有项次数加起来。 判断同类项——"两同两无法" 字母相同、相同字母指数也相同；与系数大小无关、与字母顺序无关；常数项都是同类项。 合并同类项——"系数加减法" 只把系数相加，字母和指数原样照抄；不是同类项不能硬凑，合并后指数不变。 去括号化简——"负号全变法" 括号前是负号，去掉括号后里面每一项都变号；正号去括号，一切都照旧。 数字因数乘括号——"分配不漏项法" 括号前的数字要乘到每一项，不能只乘第一项；负号乘进去时每项都要变号。 整式加减运算——"去括合并两步法" 先去括号，再合并同类项；求差时减式一定要加括号，再整体去括号。 先化简再求值——"先化后代法" 先化简成最简形式，再代数值计算；别拿复杂原式直接代，既慢又容易错。 整体代入求值——"整体打包法" 不求单个字母的值，把已知代数式当成一个整体，直接代入所求式子中。 代数式求值代入——"负数加括号法" 负数代入要加括号，分数代入乘方也要加括号；防止符号和指数出错。 图形规律题——"增量归纳法" 先数前3个的具体数量，算相邻差（增量），增量固定就是一次规律，写通项公式再验证。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式及其加减 目 录 识记类 思维导图 知识清单(10类) 考点清单(8类) 公式清单(12类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 代数式的概念 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子，叫做代数式。 特殊规定： · 单独一个数也是代数式（如 5、−3、0） · 单独一个字母也是代数式（如 a、x、m） 注意： · 代数式中不含"=""<"">""≤""≥"等关系符号 · 等式（如 s = vt）不是代数式，但等式两边的式子都是代数式 知识点02 列代数式 书写规范： 1. 数字与字母相乘时，乘号通常省略不写，数字写在字母前面（如 3a，不写 a×3） 2. 字母与字母相乘时，乘号省略（如 ab，不写 a×b） 3. 除法运算通常写成分数形式（如 a÷b 写成） 4. 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数（如写成 ） 5. 后面带单位时，若代数式是和或差的形式，要把整个式子括起来（如 (2a+3b) 元） 常见数量关系的代数式表示： 文字描述 代数式 a的11倍再加2 11a + 2 a的与a的和 + a 比a的2倍多3的数 2a + 3 a与b的平方差 a² − b² a与b的差的平方 (a − b)² a、b两数的平方和 a² + b² 知识点03 代数式的值 定义：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 求值步骤： 1. 代入：用数值替换代数式里的字母 2. 计算：按照有理数的运算顺序计算结果 注意： · 代入时，字母对应的数字要替换准确 · 负数代入时要加括号 · 分数代入乘方时也要加括号 知识点04 单项式 定义：像 5ab、5abc、3v、6p 等，它们都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式。 特殊规定： · 单独一个数也是单项式 · 单独一个字母也是单项式 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 · 例：5ab 的系数是 5；3v 的系数是 3；−7x²y 的系数是 −7 单项式的次数：所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 · 例：5ab 是 2 次（a的指数1 + b的指数1 = 2）；3v 是 1 次；−7x²y 是 3 次（2+1=3） 注意： · 单独一个非零数的次数是 0（如 5 的次数是 0） · 系数包括前面的符号 · π 是常数，不是字母（如 πr² 的系数是 π，次数是 2） 知识点05 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式。 · 例：5a + 5a + 10b、10x + 5y、4 + 3(x−1) 都是多项式 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。 · 不含字母的项叫做常数项。 · 例：多项式 10x + 5y 是 10x 与 5y 两项的和；多项式 3x² − 2x + 1 有三项，分别是 3x²、−2x、1（常数项） 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 · 例：10x + 5y 是 1 次的；a²b + 2a 是 3 次的（a²b 的次数是 3） 整式：单项式和多项式统称整式。 知识点06 同类型 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 判断标准（两相同）： 1. 所含字母相同 2. 相同字母的指数也分别相同 特殊规定： · 几个常数项也是同类项（如 5 和 −3 是同类项） · 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关（如 3xy 和 −5yx 是同类项） 知识点07 合并同类项 定义：把同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 依据：乘法对加法的分配律。 步骤： 1. 找出同类项（用不同标记标出） 2. 把同类项的系数相加 3. 字母和字母的指数保持不变 典型示例： · 8n + 5n = (8+5)n = 13n · 2xy + 3xy = (2+3)xy = 5xy · −7a²b + 2a²b = (−7+2)a²b = −5a²b 知识点08 去括号法则 法则内容： · 括号前是"+"号，把括号和它前面的"+"去掉后，原括号里各项的符号都不改变。 · 括号前是"−"号，把括号和它前面的"−"去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 口诀：去括号，看符号；是正号，不变号；是负号，全变号。 依据：乘法对加法的分配律。 典型示例： · a + (b + c) = a + b + c · a − (b + c) = a − b − c · a + (b − c) = a + b − c · a − (b − c) = a − b + c 知识点09 整式的加减运算 运算步骤： 1. 如果有括号，先去括号 2. 再合并同类项 本质：整式的加减运算就是去括号 + 合并同类项。 常见类型： · 求几个多项式的和：直接相加，去括号，合并同类项 · 求两个多项式的差：被减式 − 减式，注意减式要加括号 · 先化简再求值：先化简整式，再代入数值计算 知识点10 探索与表达规律 日历中的规律： · 横行相邻两数差 1 · 竖列相邻两数差 7 · 3×3 方框中 9 个数之和 = 正中间数 × 9 · 对角线上的数之和相等 图形中的规律： · 方法：先数出前几个图形的数量 → 找增量（每次增加几个）→ 归纳通项公式 · 例：拼 n 个正方形需要 (3n+1) 根小棒 数字游戏的解释： · 用代数式把游戏过程表示出来，化简后就能发现其中的规律 考点01 列代数式 考查形式：根据文字描述或实际情境，列出代数式。 解题关键： · 抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、多、少、增长等 · 注意运算顺序，必要时加括号 · 书写规范：数字在前、省略乘号、分数形式表示除法 典型考法： · 某商品成本价 a 元，提高 15% 标价后打八折销售，售价为多少？ · 三个连续整数，中间一个是 n，它们的和是多少？ · 用代数式表示阴影部分面积 考点02 单项式的系数与次数 考查形式：给出一个单项式，指出它的系数和次数。 解题技巧： · 系数 = 数字部分（含符号） · 次数 = 所有字母的指数相加 · 注意 π 是常数，不是字母 易错点： · 漏掉系数前面的负号 · 漏掉某个字母的指数（指数是1时容易忽略） · 把 π 当成字母算次数 考点03 多项式的项与次数 考查形式：给出一个多项式，指出它有几项，分别是什么，次数是多少，常数项是几。 解题技巧： · 项包括前面的符号（如 −2x 是一项） · 次数 = 次数最高的那一项的次数 · 常数项 = 不含字母的那一项 考点04 同类型的判断 考查形式：判断给出的项是不是同类项；已知两个单项式是同类项，求字母指数的值。 解题关键： · 两相同：字母相同，相同字母指数相同 · 两无关：与系数无关，与字母顺序无关 典型考法： · 若 3x²yⁿ 与 −5xᵐy³ 是同类项，求 m、n 的值 考点05 合并同类项 考查形式：直接合并同类项；先化简再求值。 解题步骤： 1. 找同类项（标记出来） 2. 系数相加 3. 字母和指数不变 易错点： · 不是同类项也强行合并（如 3x + 2y = 5xy） · 合并后字母指数改变 · 漏掉某些项 考点06 去括号化简 考查形式：化简含括号的整式；判断去括号是否正确。 解题关键： · 括号前是负号，去掉括号后每一项都要变号！ · 括号前有数字因数时，要乘到括号里的每一项 典型考法： · 化简：3(2xy − y) − 2xy · 判断：−(x−6) = −x−6 对不对？ 考点07 整式的加减运算 考查形式：求两个多项式的和或差；先化简再求值。 解题步骤： 1. 根据题意列出算式（注意加括号） 2. 去括号 3. 合并同类项 4. 代入数值计算 高频考法： · 已知 A、B 两个多项式，求 A+B 或 A−2B · 先化简，再求值（给 x、y 的值） 考点08 规律探索问题 考查形式：给出一组图形或数字，找出规律，用代数式表示第 n 个。 解题步骤： 1. 数出前 3~4 个具体值 2. 找增量（每次增加多少） 3. 归纳通项公式 4. 验证（代入 n=1,2,3 检验） 常见类型： · 日历中的数字规律 · 图形拼接规律（小棒、棋子） · 数表规律（三角形数阵、奇数阵） 序号 公式/结论 说明 1 单项式的系数 = 数字因数 包含前面的符号 2 单项式的次数 = 所有字母指数和 指数为1的字母也要算 3 多项式的次数 = 次数最高项的次数 不是所有项次数相加 4 同类项判断：两相同两无关 字母相同、相同字母指数相同；与系数无关、与顺序无关 5 合并同类项：系数相加，字母和指数不变 依据是乘法分配律 6 去括号（+号）：a+(b+c) = a+b+c 括号内各项符号不变 7 去括号（−号）：a−(b+c) = a−b−c 括号内各项都变号 8 整式加减步骤：先去括号，再合并同类项 9 日历3×3方框：9数之和 = 中间数 × 9 横行差1，竖列差7 10 连续三个整数和：(n−1)+n+(n+1) = 3n 中间数的3倍 11 两位数表示：十位a、个位b → 10a+b 12 三位数表示：百位a、十位b、个位c → 100a+10b+c 辨析01 单项式与多项式概念辨析 对比项 单项式 多项式 定义 数与字母的乘积 几个单项式的和 例子 5ab、3v、−7x²y 10x+5y、3x²−2x+1 本质 只有乘法（和数字的除法） 有加法（和减法） 次数 所有字母指数和 次数最高项的次数 辨析02 系数与次数的概念辨析 表达式 含义 当 a=3 时的值 a² a × a（a的平方） 3×3 = 9 2a 2 × a（2倍的a） 2×3 = 6 关键区别：平方是两个a相乘，2a是2乘a。 辨析03 差的平方与平方的差概念辨析 表达式 含义 展开后 a² − b² a的平方减b的平方 不能直接展开 (a − b)² a与b差的平方 a² − 2ab + b² 当a=3, b=1时： · a²−b² = 9−1 = 8 · (a−b)² = (3−1)² = 4 辨析04 单项式次数与多项式次数 概念 怎么算 举例：3x²y³ + 2xy 单项式次数（第一项） 所有字母指数和：2+3=5 3x²y³ 的次数是5 多项式次数 取最高次项的次数 5次（因为第一项次数5 > 第二项次数2） 易错：多项式次数不是所有项次数加起来！ 辨析05 同类型的概念辨析 各组 是否同类项 原因 3x²y 与 −5x²y ✅ 是 字母相同，指数相同 3x²y 与 −5xy² ❌ 不是 x的指数不同，y的指数也不同 3ab 与 −5ba ✅ 是 字母相同，顺序不同不影响 5 与 −3 ✅ 是 都是常数项 2x 与 3y ❌ 不是 字母不同 2x 与 3x² ❌ 不是 x的指数不同 辨析06 合并同类项的常见错误 错误做法 正确做法 错误原因 3x + 2y = 5xy 3x + 2y（不能合并） 不是同类项，不能合并 3x + 2x = 5x² 3x + 2x = 5x 字母指数不能相加，保持不变 3x² − x² = 3 3x² − x² = 2x² 漏掉字母和指数 2a + 3b = 5ab 2a + 3b（不能合并） 不是同类项 辨析07 去括号的符号变化 原式 错误去括号 正确去括号 易错原因 a − (b + c) a − b + c a − b − c 只变了b的符号，忘了c也要变 a − (b − c) a − b − c a − b + c 括号里是−c，去括号后变成+c a + (b − c) a + b + c a + b − c 括号前是+号，不变号，不需要变 2(x − 3) 2x − 3 2x − 6 数字因数要乘到每一项，不能漏乘 口诀：负号去括号，各项都变号；数字要分配，每一项都到。 辨析08 "和的平方"与"平方的和" 文字描述 代数式 含义 a与b的和的平方 (a + b)² 先加再平方 a与b的平方和 a² + b² 先平方再加 a与b的差的平方 (a − b)² 先减再平方 a与b的平方差 a² − b² 先平方再减 关键："的平方"在后面，就是先算前面的和/差，再平方。 【题型一】代数式的概念与书写 【例1-1】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 【答案】D 【详解】解：∵ 单独的一个数或单独的一个字母都是代数式，∴ 是代数式，A错误． ∵ 带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，∴ 的书写不符合规范，应写为，B错误． ∵ 表示与的差除以的商，“与的差除”对应的代数式为，∴ C错误． ∵ 与的差可表示为，∴ D正确． 【例1-2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥a A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的概念，代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的数学表达式，不能包含等号或不等号． 根据代数式的概念求解即可． 【详解】解：①是常数，属于代数式； ②含有等号，是等式，不是代数式； ③由数字、字母和运算符号组成，是代数式； ④是分式，由数字、字母和运算符号组成，是代数式； ⑤由数字、字母和运算符号组成，是代数式； ⑥是字母，属于代数式， ∴ 代数式的个数为5， 故选：A． 【变式1-1】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）设甲数是x，乙数是y． (1)用代数式表示：甲、乙两数和的平方； (2)用代数式表示：甲、乙两数的平方和； (3)当，时，计算上面（1）和（2）两题所列代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）根据题意列代数式求值即可； （2）根据题意列代数式求值即可； （3）将，代入（1）和（2）两题所列代数式计算即可． 【详解】（1）解：甲、乙两数和的平方为； （2）解：甲、乙两数的平方和为； （3）解：当，时， ， ． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）用代数式表示 (1)a与b的和的平方； (2)x的与y的差的； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，先写出a与b的和，然后再平方即可． （2）根据题意，先写出减去，然后再乘以即可． 【详解】（1）解：a与b的和的平方，用代数式表示为：； （2）解：x的与y的差的，用代数式表示为：． 【题型二】代数式求值 【例2-1】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若，求的值 【答案】 【分析】先根据非负性质得出，然后代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴且， ， ∴ ． 【例2-2】（25-26七年级上·吉林四平·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)14 (2)或 【分析】（1）根据且，可知，然后代入求值即可； （2）根据题意可知，，然后分情况讨论，分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ； （2），，， ，， 当，时，； 当，时，， 的值是或． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，， (1)_______，___________，__________． (2)求的值． 【答案】(1)0，1， (2)1或 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据相反数、倒数、绝对值的定义即可解答； （2）分和两种情况，再整体代入和的值即可求解． 【详解】（1）解：互为相反数，互为倒数，， ，，． 故答案为：0；1；． （2）解：当时，； 当时，． 综上所述，的值为或． 【变式2-2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 【题型三】单项式与多项式的相关概念 【例3-1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 【答案】C 【详解】解：选项A：∵分母含有字母，不是整式，∴A错误，不符合题意； 选项B：∵近似数万，单位为万，最后一位有效数字0对应实际数位是百位，因此精确到百位，不是百分位，∴B错误，不符合题意； 选项C：∵是数字与字母的积，属于单项式，所有字母的指数和为，次数为2，∴C正确，符合题意； 选项D：∵多项式中，的次数为，是各项中最高次数，因此该多项式是四次三项式，∴D错误，不符合题意． 【例3-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于多项式，下列结论中正确的是（　　） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 【答案】C 【分析】本题考查多项式的基本概念，根据多项式的项数，次数，系数，常数项的定义，逐一判断选项即可。 【详解】解：对于多项式 它共有项，分别为 ，， 计算各项次数： 的次数为 ， 的次数为 因此该多项式是四次三项式， 故A选项“六次三项式”错误， B选项“三次三项式”错误; 最高次项为，系数是 该多项式的常数项是，不是； 【变式3-1】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）下列结论中正确的是（   ） A．单项式的次数是3 B．3不是单项式 C．多项式是三次三项式 D．单项式m没有系数 【答案】C 【分析】本题考查单项式和多项式的相关概念，熟练掌握单项式和多项式的相关概念是关键．根据单项式的系数、次数定义，以及多项式的项数、次数定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、单项式的次数是2，所以选项A错误，不合题意； B、因为单独的一个数也是单项式，所以3是单项式，所以选项B错误，不合题意； C、多项式的项数是3，最高次项的次数是3，所以是三次三项式，所以选项C正确； D、因为单项式m的系数是1，所以选项D错误，不合题意． 故选：C． 【变式3-2】（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列说法错误的是（    ） A．是三次三项式 B．的次数是5 C．的系数是，次数是4 D．不是多项式 【答案】B 【分析】本题考查多项式的次数、系数和项数的概念，解题的关键是掌握以上概念． 根据多项式的定义判断每个选项的正确性． 【详解】解：∵ 多项式中，是常数项，次数为0，最高次项是，次数为2，∴ 该多项式的次数是2，不是5，故B错误； A：有三项，最高次项次数为3，正确； C：是单项式，系数为，次数为4，正确； D：是单项式，不是多项式，正确； 故选：B． 【题型四】同类型的概念与合并同类项 【例4-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【答案】C 【详解】解：选项A中，与所含字母相同，但相同字母的指数不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项C中，与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，∴是同类项，符合题意； 选项D中，是常数项，含有字母，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意． 【例4-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用去括号法则与合并同类项法则，逐一验证各选项计算的正误． 【详解】解：，A计算错误； ，B计算正确； ，C计算错误； 与不是同类项，不能合并，D计算错误． 【变式4-1】（25-26七年级上·广东茂名·期中）代数式与是同类项，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义中相同字母的指数相同，列方程求出a和b的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴，， 解得，， 将，代入，得． 【变式4-2】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 【题型五】整式的加减运算 【例5-1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【例5-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项得到化简结果； （2）先去括号，再合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（25-26七年级上·山西运城·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式5-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型六】整式加减的应用 【例6-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，用三种大小不同的六个正方形和三个长方形（阴影部分）拼成大长方形，其中，最小的正方形的边长为． (1)用含的代数式表示：线段_____，线段_____； (2)求长方形的周长；（用含的代数式表示） (3)当时，求长方形的周长的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）数形结合列代数式表示即可得到答案； （2）由图可知长方形的长与宽，再由长方形周长公式及整式加法运算法则化简即可得到答案； （3）由（2）中可知， ，将代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由图可知， ， 长方形的周长为： ； （3）解：由（2）知， ， 当时， ． 【例6-2】（25-26七年级上·福建厦门·期中）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【答案】(1)11张 (2)第25张 【分析】（1）根据规则：取牌张数+牌点数=13，分别算出点数3、Q对应的取牌数量，再求和即可； （2）设两张牌点数分别为，先表示出步骤④取牌总数，再结合，计算步骤⑤翻开牌在整堆牌的上层位置，再换算成从下往上的序数． 【详解】（1）解：已知规则：取牌张数牌点数，Q视为点数12． 点数为3时，取牌数量：张； 点数为Q时，取牌数量：张， 总共取牌：张， 所以步骤4中共需取扑克牌11张． （2）解：设两张翻开的扑克牌点数分别为和：两张牌点数之和， 步骤④总共取走的牌数：对于点数为的牌，取牌数为；对于点数为的牌，取牌数为，总取牌数为， 剩余牌堆的总张数：步骤②抽取30张，步骤③抽取（张），步骤④取走张，因此剩余牌堆张数为， 步骤⑤要求从剩余牌堆从上往下数第张翻开，那么从下往上数的位置为总张数减去从上往下数的位置再加1，即，因此最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第张． 【变式6-1】（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 【变式6-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）从一张大长方形纸片中剪去一个小长方形，剩下纸片的尺寸如图所示． (1)根据图中数据，用含x的代数式表示图中的阴影部分面积S； (2)当时，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减以及代数式求值． （1）将阴影部分看成大长方形的面积减去小长方形的面积，即可求解； （2）将代入（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：        ； （2）解：当时， ； 答：当时，求阴影部分面积68． 【题型一】程序流程图与代数式求值 【例1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 【答案】 【分析】先分别将、代入、求得m、n的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵、， ∴，， ∴． 易错警示 · 严格按箭头方向：输入→每一步框→输出，逆着算必错 · 出现"是否大于某数"的判断框时，不满足就要回到前面重新走一轮，不能直接输出 · 循环题先算第一轮，判断结果，再决定是否继续 【变式1-1】（25-26七年级上·江西抚州·期中）按如图所示程序计算，若输入的整数是5，则最终输出的结果为________． 【答案】65 【分析】本题考查了程序图．将代入根据程序进行计算，直到求出的数即可． 【详解】解：输入的整数是， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值与有理数的混合运算，理解流程图的运算法则是解决本题的关键． 把代入程序中计算得到结果，判断结果与比较大小，依此类推即可得到最后输出的结果． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是_______． 【答案】2 【分析】本题考查数字的规律探索，解题的关键是找出输出结果的循环规律． 先根据数值转换器的规则依次计算输出结果，再观察结果找到循环周期，最后根据周期计算第2026次的输出结果． 【详解】解：根据数值转换器规则，依次计算输出结果： 第1次：输入（奇数），输出； 第2次：输入（偶数），输出； 第3次：输入（偶数），输出； 第4次：输入（偶数），输出； 第5次：输入（偶数），输出； 第6次：输入（奇数），输出； 第7次：输入（偶数），输出2； 第8次：输入（偶数），输出1； …… 观察可知，从第3次开始，输出结果以“”为一个循环周期， 先减去前2次，， 再计算余2，即循环了674个周期后，第2个位置的数， 循环周期“”中第2个位置的数是2． 故答案为：2． 【题型二】整式的加减中的化简求值 【例2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 易错警示 · 括号前是"-"号，括号内每一项都要变号 · 有数字因数时，先用分配律乘进去，再去括号 · 同类项判定：字母相同 + 相同字母的指数也相同，两者缺一不可 · 合并时系数相加减，字母和指数不变 · 化简后按降幂排列，检查是否还有漏并的项 · 必须先化简到最简整式，再代入数值 【变式2-1】（25-26七年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项，根据非负数的性质求得，，代入化简结果，即可求解． 【详解】解：原式 ， 因为 所以， 所以，． 原式． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据去括号，合并同类项法则，进行化简，然后代入数值求解即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 【变式2-3】（25-26七年级上·江西宜春·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】，13 【分析】先去括号，再合并同类项，然后利用绝对值和平方的非负性得到，，然后整体代入计算． 【详解】解： ， ，， 原式． 【题型三】整式加减中的无关型问题 【例3】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 易错警示 · "与x无关" → 化简后所有含x的项的系数 = 0 · "不含x项" → x的一次项系数 = 0 · "不含x²项" → x²的系数 = 0 · 先化简合并，再令对应项系数为0列方程求解 【变式3-1】（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【答案】(1)二次三项式 (2) (3) 【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式中单项式的个数． （2）代入给定的与的值得到多项式和，再通过合并同类项完成整式的加法运算． （3）先求出与的差，根据差中不含某一项则该项系数为的性质，求出和的值，进而计算的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值、整式的化简求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键； （1）将所求代数式变形后整体代入即可； （2）将代数式变形后整体代入即可； （3）将化简后，因结果与无关，得出的值，整体代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：， 将代入，原式 ； （3）解： ， ∵结果与的取值无关， ， ， ． 【变式3-3】（25-26七年级上·河南开封·期中）已知多项式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后进行计算即可详解； （2）利用（1）的结论进行计算，即可详解． 【详解】（1）解：，， ， 当，时，原式； （2）解：由（1）可得：， 的值与的取值无关， ， 解得：， 当时，原式． 【题型四】带有字母的绝对值化简问题 【例4】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知有理数a，b满足，，且，化简 _______． 【答案】 【分析】先根据已知条件判断每一个绝对值内部代数式的正负，正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值符号，再合并同类项． 【详解】解：∵，且， ，，， ， ∴ ． 易错警示 · 先找零点：令每个绝对值内的式子=0，求出零点 · 零点在数轴上排序，把数轴分成几段 · 每一段内判断绝对值内式子的正负，再决定去掉绝对值后加不加负号 · 数轴上左边的数 < 右边的数 · a在b左边 → a < b → a - b < 0 → |a-b| = -(a-b) = b-a · 口诀："大减小是正，小减大加负" 【变式4-1】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）若，则___． 【答案】2 【分析】根据绝对值的性质，在给定范围内去掉绝对值符号进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式4-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，且，则________． 【答案】 【分析】先根据绝对值和乘方的定义得到、的所有可能取值，再根据，判断为非负数，筛选出符合条件的、，最后计算的值． 【详解】解：， 或， ， 或， ， ， 当时，无论还是，都有，不符合条件，舍去； 当，时，满足，此时； 当，时，满足，此时； 综上，的值为． 【变式4-3】（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】先根据数轴以及已知条件得出，再化简绝对值，最后再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【题型一】单项式规律题 【例1-1】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的规律问题． 观察代数式的系数，分别为2，4，6，8，10，…，均为2的倍数，因此第n个代数式的系数为． 【详解】解：第1项：， 第2项：， 第3项：， …， 第n项：． 故选：C． 【例1-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…则第2025个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律问题． 观察给定式子的规律，第n个式子的分子为a的次方，分母为，进而求出第2025个式子即可． 【详解】解：观察给定式子的规律，第n个式子的分子为a的次方，分母为， 即第n个式子为， ∴当时，． 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 【答案】 【分析】分别观察单项式中x的次数、分母与对应序号的关系，总结规律得到结果． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ， 可得规律，第个单项式中，分子为，分母为， 因此第个单项式为． 【变式1-2】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是__． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律，解决本题的关键是找到规律观察奇偶得到结论． 观察单项式的系数和指数的变化规律，系数的绝对值是连续整数，符号交替出现，奇数项为负，偶数项为正；指数是连续偶数，由此求解． 【详解】解：第1项系数为，指数为2； 第2项系数为3，指数为4； 第3项系数为，指数为6； 以此类推，第n项系数的绝对值为，符号由决定， 因此系数为；指数为， 故第n个单项式为． 故答案为：． 【题型二】数字类规律探索 【例2-1】（25-26七年级下·河南周口·期中）设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)依据上述算式写出当时，______． (2)归纳出一般表达式，______． (3)这种简便计算也可以推广应用到个位数字是5的三位数的平方（即），请写出的简便计算过程及结果． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 则当时，； （2）解：由（1）可知； （3）解：当时，． 【例2-2】（25-26七年级上·海南海口·期中）探究题： 观察下列等式：，，，，… (1)填空： ； (2)计算：． 【答案】(1)121； (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知相隔为2的两个正整数的乘积与1的和等于这两个正整数的平均数的平方，据此可得答案； （2）先把原式小括号内的式子通分，再根据（1）的结论把分子换成对应数字的平方，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， 故答案为：121；； （2）解： ． 【变式2-1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的排列顺序如下： 如果规定又接在的后面，使26个字母排成圈，我们可以用英语26个字母来编制密码．例如，对于密文“ ”，如果破译它的“钥匙”是“”（其中代表字母表中的任意一个字母，表示将该字母换成向前移动3位所得到的字母），按这个规律就有 ．这样就能把密文“ ”破译成明文“ ”，从而解读出密文的意思，“”就是密文到明文的破译密码钥匙． （1）根据材料中的钥匙，密文“”可破译成明文“ ”； 【类比研究】 （2）将26个英文字母依次对应序号，如下表．给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为．请将密文“1  12  25  19”破译成用英文字母表示的明文； 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【研究拓展】 （3）小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母依次对应序号，把密文“”译成明文“”，请直接写出它的破译密码钥匙． 【答案】（1）；（2）明文“”；（3）当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确理解破译密码钥匙是解题关键． （1）根据破译密码钥匙，找到密文中每个字母向前移动3位所得到的字母，据此即可得； （2）根据密文与明文之间的关系，先求出明文对应的序号，再得出对应的字母，据此即可得； （3）分别求出密文字母对应的序号、译成明文字母对应的序号，发现规律，据此即可得破译密码钥匙． 【详解】解：（1）∵字母向前移动3位所得到的字母为，字母向前移动3位所得到的字母为，字母向前移动3位所得到的字母为，字母向前移动3位所得到的字母为， ∴密文“”可破译成明文“”， 故答案为：． （2）∵为奇数，明文对应的序号为，对应的字母为， 为偶数，明文对应的序号为，对应的字母为， 为奇数，明文对应的序号为，对应的字母为， 为奇数，明文对应的序号为，对应的字母为， ∴将密文“ ”破译成用英文字母表示的明文“”． （3）密文字母对应的序号为15，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为17，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为16，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为12，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为11，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为12，译成明文字母对应的序号为， 密文字母对应的序号为9，译成明文字母对应的序号为， 由此可知，破译密码钥匙是当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为． 【题型三】图形类规律探索 【例3-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 【答案】(1)9 (2) (3)53 【分析】（1）先统计已知的第1层、第2层、第3层、第4层的点数，分析相邻两层点数的差值规律即可求解； （2）根据层数和对应点数之间的规律，即可归纳出第层的点数公式； （3）将层数代入（2）中的公式计算即可． 【详解】（1）解： 第1层有 个点，第2层有 个点，第3层有 个点，第4层有 个点， 如果继续画下去，那么第5层有 个点 （2）解：第1层： 第2层： 第3层： 第4层： 按照这个规律：第层应该有个点． （3）解：把代入规律公式，得（个）， 所以第27层有个点． 【例3-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“○”，第②个图案中有10个“○”，第③个图案中有14个“○”，……按此规律继续拼图案． (1)第⑦个图案中有________个“○”； (2)用含n的代数式表示第n个图案中“○”的个数； (3)求第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少多少个？ 【答案】(1)30 (2)个 (3)个 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形的规律，并用代数式表示． （1）根据图形分布，求出第7个图案中的图形个数即可； （2）找出规律，列出代数式即可； （3）代数求值，然后求差即可． 【详解】（1）解：第⑦个图案中有30个“○”， 故答案为：30； （2）解：第n个图案中“○”的个数为个； （3）解：第120个图案中“○”的个数为（个）． 第132个图案中“○”的个数为（个）． 所以第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少（个）． 【变式3-1】（25-26七年级上·山东济南·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】用同样大小的两种正方形纸片，按如图方式拼正方形． 【规律归纳】 （1）图3中共有个小正方形，图4共有 个小正方形； （2）按图示方式继续拼下去，图n中（未画出）共有 个小正方形； 【规律应用】 （3）请用上述规律计算：． 【答案】（1）7，；（2），；（3）． 【分析】本题主要考查了数字规律探索、连续奇数求和公式，熟练掌握“从1开始的连续奇数和等于项数的平方”是解题的关键． （1）观察图4的小正方形组成，是在前三个奇数和的基础上加第四个连续奇数，计算总和； （2）分析图1到图4中奇数的个数、最后一个奇数与图序号的关系，推导图对应的奇数项及和； （3）利用连续奇数和的规律，先确定项数，再计算总和． 【详解】解：（1）， 故答案为：7，； （2）图1：，和为 图2：， 图3：， 图4：， ， 图：， 故答案为：，； （3） ． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南周口·期中）用火柴棒按如下所示的方法搭图形． (1)完成下表． 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 3 5 7 … (2)第个图形需要多少根火柴棒？ 【答案】(1) 表格如下： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 火柴棒根数 3 5 7 9 11 … (2)第个图形需要根火柴棒 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据图形可进行求解； （2）根据（1）中规律可进行求解． 【详解】（1）解：由图可知：①图形有火柴棒3根，②图形有火柴棒根，③图形有火柴棒根，④图形有火柴棒根，⑤图形有火柴棒根，…； （2）解：由（1）可知：第个图形需要根火柴棒． 【题型四】日历中的规律探索 【例4-1】（25-26七年级上·山东德州·期中）如图是某月的日历． (1)通过计算说明，带阴影的方框中的个数之和与方框正中的数有什么关系？ (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述） 【活学活用】 小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，，，，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (3)十字框中的五个数的和与中间的数有什么关系？ (4)设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和； (5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由． 【答案】(1)方框中个数之和为方框正中心的倍； (2) 由题意得设中间这个数为，另外八个数分别为、、，，、，，， ∴； (3)十字框中的五个数的和是中间的数的倍； (4)； (5)不能 理由如下： 设中间的数为，根据题意得：，解得：， ∵排在最后一列， ∴框住的五个数的和不能等于． 【分析】（）方框中个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，则另外八个数分别为、、，，、，，，将九个数相加即可得出结论； （）将五个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，则另外四个数分别为、、、，将五个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，根据（）的规律可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，然后判定的五个数的和不能能等于； 本题考查了规律型中数字的变化类，观察表格中的数据，找出十字框中的五个数的和是中间的数的倍是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴十字框中的五个数的和是中间的数的倍； （2）略 （3）∵， ∴十字框中的五个数的和是中间的数的倍； （4）由题意得另外四个数分别为、、、， ∴； （5）略 【例4-2】（25-26七年级上·河北保定·期中）图1，图2是某月的日历． (1)如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字． ①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为________（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为________（用含x的式子表示）； ②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由； (2)若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由． 【答案】(1)①；； ②围住的9个数之和是其正中间的数的9倍； 理由：因为长方形围住的正中间的数为a，则上面一行数为，中间一行数为，下面一行数为，围住的9个数之和为， 所以围住的9个数之和是其正中间的数的9倍； (2) 满足； 理由：设中间一行的中间数为m，则上面一行数为，中间一行数为，下面一行数为，则阴影的9个数之和是． 【分析】（1）①根据右边的数字总比左边的数字大1，下面的数字比上面的数字大7进行表示即可，将9个数字相加合并同类项即可解答；②根据正中间的数为a，分别表示出其余8个数，再求和，即可求解； （2）设中间一行的中间数为m， 分别表示出其余数字，进行求和即可解答． 【详解】（1）①设长方形围住的左上角的第一个数为x， 则第一行的三个数字分别表示为：，第二行的三个数字分别表示为：，第三行的三个数字分别表示为：， 九个数的和为：， 故答案为：；；       ②略 （2）略 【点睛】本题主要考查了列代数式，难度不大，弄清日历横行相邻数相差1，竖列相邻两数相差7，发现这个规律是解题的关键． 【变式4-1】（25-26七年级上·河南省直辖县级单位·期中）【综合与探究】如图①是（年月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图①中的结果为______． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0． 小乐认为（1）中猜想正确，其推理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． _____． 的值均为0． (3)开放性拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．请从下列①，②两题中任选一题作答． ①在日历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； ②任日历中用“Y型框”框住位置如图④所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0 (2)，，0 (3) 解：①如图3中，结论：． 理由：设，则，，， ； ②如图4中，结论：． 理由：设，则，，， 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，整式的加减，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算括号内运算，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）如图3中，结论：．设，则，，，代入计算即可；如图4中，结论：．设，则，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：0； （2）解：设，则，，． ． 的值均为0． 故答案为：，，0； （3）①略  ②略 【变式4-2】（25-26七年级上·广西梧州·期中）【综合与实践】如图①是某月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，然后通过计算探索其中位置如图②所示的四个数“”的值． (1)初步分析：计算图①中的结果为______． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．理由如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以（   ）=______． (3)同类探究：利用小乐的方法，借助图①中的日历继续探究，探索其中位置如图③所示的四个数“”的值．写出你的结论，并仿照（2）的方法说明结论成立的理由． 【答案】(1)0 (2)，，， (3) 的值均为，理由如下： 在日历中用如图所示的四个数， 设，则，，， ， 的值均为． 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求出的结果； 根据日历的排序规律即可求出的值； （2）根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差，设，将、、都用含的代数式表示，然后代入，即可计算出结果并得出结论； （3）根据日历的排序规律可发现规律，在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，设，将、、都用含的代数式表示，然后代入，即可计算出结果并得出结论． 本题主要考查了数字类规律探索，有理数的加减混合运算，列代数式，整式的加减运算等知识点，通过观察日历发现并总结出一般规律是解题的关键． 【详解】（1）解： 故答案为：0， （2）解：设，则，，， ， 故答案为：，，， （3）略 【题型一】文字语言转代数式翻译模型 【模型解读】 遇到"用代数式表示……"的题目，本质是把中文文字翻译成数学式子。先抓关键词（和、差、积、商、倍、分、多、少），再定运算顺序，必要时加括号。先读一遍，搞清楚谁先算谁后算，再下笔写。 【结论】 中文描述 翻译步骤 代数式 a的3倍与b的和 先算3倍，再加b 3a + b a与b的和的3倍 先算和，再乘3 3(a + b) a的平方与b的差 先平方，再减 a² − b a与b的差的平方 先减，再平方 (a − b)² 比a的2倍多5 2倍再加5 2a + 5 a与b两数的平方和 分别平方，再加 a² + b² a与b两数差的平方 先差，再平方 (a − b)² 口诀：先读定顺序，再写式子；"的"字前面先算，括号补位不丢。 【例1】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）用代数式表示 (1)a与b的和的平方； (2)的与的差的 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，正确的理解题意，列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，先写出a与b的和，然后再平方即可． （2）根据题意，先写出减去，然后再乘以即可． 【详解】（1）解：a与b的和的平方，用代数式表示为：； （2）解：x的与y的差的，用代数式表示为：． 【变式1-1】（25-26七年级上·河南周口·期中）某商店销售一种商品，每件成本为a元，按成本增加定价"和"按定价的出售． (1)每件商品的定价为多少元？ (2)每件商品的售价为多少元？ (3)每件商品的利润为多少元？ (4)若，求每件商品的利润率． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是百分数的实际应用，涉及成本、定价（加价百分比）、售价（折扣）、利润（售价 - 成本）的数量关系，理解相关概念是解题的关键．根据相关的概念回答求解即可． 【详解】（1）解：定价：元； （2）解：售价：元； （3）解：元； （4）解：当时，利润元，利润率． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球个． (1)若在甲网店购买，需付款______元；（用含的式子表示） (2)若在乙网店购买，需付款______元；（用含的式子表示） (3)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ 【答案】(1) (2) (3)在甲网店购买较为合算 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，熟练掌握列代数式的方法是解题关键． （1）若在甲网店购买，需付款的金额等于20副羽毛球拍加上个羽毛球的金额之和，由此即可得； （2）若在乙网店购买，需付款的金额等于20副羽毛球拍加上个羽毛球的金额之和，再乘以折扣率，由此即可得； （3）将代入，求出甲、乙网店购买付款的金额，再比较大小即可得． 【详解】（1）解：若在甲网店购买，需付款（元）， 故答案为：． （2）解：若在乙网店购买，需付款（元）， 故答案为：． （3）解：若时， 则在甲网店购买，需付款（元）， 在乙网店购买，需付款（元）， 因为， 所以在甲网店购买较为合算． 【变式1-3】（25-26七年级上·山东德州·期中）用代数式表示 (1)与两数的立方和； (2)的一半与的和的平方； (3)棱长为的正方体的表面积； (4)某班共有名学生，其中女生占45%，则男生的人数为多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查列代数式，读懂题意，熟记代数式书写规则是解决问题的关键． （1）先表示两数的立方，再表示和即可得到答案； （2）先表示的一半与的和，再表示平方即可； （3）根据正方体特征，即可得到表面积； （4）根据百分数的含义可得答案． 【详解】（1）解：与两数的立方和表示为：． （2）解：的一半与的和的平方表示为：． （3）解：棱长为的正方体的表面积表示为：． （4）解：某班共有名学生，其中女生占，则男生的人数为：． 【题型二】整式加减运算模型 【模型解读】 整式加减看起来复杂，其实就是两步走：先去括号，再合并同类项。遇到求两个多项式的和或差，先列算式（注意减式要加括号），然后按这两步算到底。 【结论】 第一步：列式 求A与B的和 → A + B 求A与B的差 → A − B（B要加括号） 第二步：去括号 按去括号法则，逐层去掉括号 第三步：合并同类项 找出同类项，系数相加，字母指数不变 第四步：整理结果 按某一字母的降幂排列（习惯写法） 【例2】（25-26七年级上·陕西·期中）化简． (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）原式合并同类项，即可得解； （2）原式去括号合并得到最简结果，把，的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ，， 原式． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式2-2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）先由整式加减运算的交换律与结合律变形，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再由整式加减运算的交换律与结合律变形，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型三】先化简再求值模型 【模型解读】 给一个复杂的代数式，代入数值直接算会非常麻烦。正确做法是：先化简（去括号+合并同类项），化简成最简单的形式后，再代入数值计算。这样既快又不容易错。 【结论】 步骤 做法 说明 第一步 化简原式 去括号 → 合并同类项 第二步 检查化简结果 确认没有同类项可再合并 第三步 代入数值 把字母的值代入最简式 第四步 计算结果 按有理数运算顺序算 【例3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】去括号，合并同类项化简，然后转化为求代数式的值求解即可； 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【变式3-1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)在（2）条件下，若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或或或； (3) 【分析】本题考查整式的加减运算、绝对值与平方根的性质及分类讨论思想，关键是熟练运用整式加减法则化简代数式，根据绝对值和平方的非负性求解未知数的所有可能值，并结合附加条件筛选出符合的取值． （1）先将、代入，利用乘法分配律去括号，再合并同类项得到化简结果； （2）根据绝对值的性质解方程得到的两个可能值，根据平方根的定义求出的两个可能值，再分四种组合计算的所有可能结果； （3）由得出，结合确定、的唯一符合条件的取值，再代入（1）中化简后的的表达式计算最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴或， 解得或； ∵， ∴或； 分情况计算： 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故的值为：或或或； （3）解：∵， ∴，即； 又∵， ∴与同号，且； 由（2）知的可能值为，，的可能值为，； ∴，； 当，时，． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先去括号、合并同类项，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式3-3】（25-26七年级上·江西抚州·期中）已知代数式， (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加法与减法，绝对值的非负性，代数式求值： （1）根据整式加法与减法的运算法则计算即可； （2）根据题意可知，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解：根据，得 ，． 解得，． 原式． 【题型四】整体代入求值模型 【模型解读】 有时候题目给的条件没法直接求出每个字母的值，但所求的式子可以整理成已知条件的形式。这时候不要硬求每个字母的值，而是把已知条件当成一个整体，直接代入进去。 【结论】 类型 已知条件 所求式子变形 整体代入 直接整体 a + b = 3 2(a + b) − 5 2×3 − 5 = 1 提取公因式 a − b = 2 3a − 3b + 1 3(a−b) + 1 = 3×2 + 1 = 7 变号整体 x + 2y = 4 −x − 2y + 5 −(x+2y) + 5 = −4 + 5 = 1 倍数关系 2x + 3y = 6 4x + 6y − 3 2(2x+3y) − 3 = 2×6 − 3 = 9 【例4】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 【答案】（1）19；（2）；（3）－8 【分析】本题考查 “整体思想” 在代数式求值中的应用，涉及知识点：代数式的变形、整体代入求值、相反数的性质．解题技巧是将已知条件中的代数式视为一个整体，通过变形将所求代数式转化为整体的倍数或加减形式；解题关键是准确识别整体并进行合理变形；易错点是符号处理错误或整体代入时的系数计算错误． 【详解】解：（1）由 ，得 将 变形为，代入 ： （2）当 时， 当 时， 所以 （3）先化简所求代数式： 将其变形为 ，代入 ，： 【变式4-1】（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）阅读材料：代数式运算中：，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)把看成一个整体，计算：； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)7 (3)21 【分析】本题考查了整式的加减： （1）把看成一个整体，再合并同类项； （2）将变形为，代入已知值计算； （3）先化简，再利用已知等式组合计算． 【详解】（1）解：把看成一个整体，则 ． （2）解：， ． （3）解： ， ， 原式 ． 【变式4-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)已知，，则代数式的值为______． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握合并同类项法则和整体代入求值法． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）把所求式子写成含有的形式，再把代入进行计算即可； （3）把所求式子中的写成的形式，再利用分组法，把所求式子写成含有，的形式，最后整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：． （2）， ． （3），， ． 故答案为：5． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【答案】(1)14 (2)2 (3)14 【分析】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 【题型五】数字游戏揭秘模型 【模型解读】 那些"你心里想一个数，按步骤算，我就能猜出来"的数字游戏，看起来很神奇，其实用代数式把每一步写出来，化简之后就露馅了——字母（你想的数）被消掉了，剩下的就是游戏规则。 【结论】 解题步骤： 1. 设你想的数为 x 2. 按游戏步骤，一步步写出代数式 3. 化简代数式 4. 看化简结果，解释游戏原理 【例5】（25-26七年级上·河南郑州·期中）学习用字母表示数后，小强设计了一个有趣的游戏，规则如下： 第一步：选一个你喜欢的数字； 第二步：把这个数乘5，然后加2； 第三步：将第二步的结果乘4，再减去6； 第四步：将第三步的结果乘5． (1)若选择的数是6，按照以上步骤操作后所得的数是___________； (2)同学们把结果告诉小强，小强都能准确猜出同学们选的数字，请你解释这是为什么． 【答案】(1)610 (2)小强只要用同学们所得的结果减去10，再除以100，就得到同学们所选的数字． 【分析】本题主要考查有理数的计算，列代数式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出式子进行计算即可； （2）设选择的数是，根据题意列出式子，得到．即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：设选择的数是， 根据题意可得 ． ∴小强只要用同学们所得的结果减去10，再除以100，就得到同学们所选的数字． 【变式5-1】（25-26七年级上·山西晋城·期中）小明和小亮玩扑克牌游戏： 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆． 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．请你分析其中的奥秘． 【答案】见解析 【分析】根据题中的步骤，即可得到第四步中间一堆牌此时的张数． 【详解】解：用字母表示第一步中每堆牌的张数， 则第二步后左，中，右三堆牌的张数分别为； 第三步后左，中，右三堆牌的张数分别为； 第四步后左，中、右三堆牌的张数分别为； 此时，中间一堆牌的张数为（张）． 【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，弄清题意是解本题的关键． 【变式5-2】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）小祥是一个12岁的初中生，有一天他在微信上看到一篇关于数字游戏的短文，说手机号能暴露机主的年龄，全文如下： 看一下你手机号的最后一位；把这个数字乘以2；然后加上5；再乘以50；把所得到的数目加上1771；最后一个步骤，用这个数目减去你的出生的那一年．现在你看到一个三位数的数字．第一位数字是你手机号的最后一位，接下来就是你的实际年龄（如果你的手机号最后一位是0，你将直接得到自己的年龄）！ 小祥试着用自己手机号码的最后一位数字7进行了游戏，他是2009年出生的，结果惊奇地发现手机号码真的暴露了自己的年龄！他不禁感叹：“难道这是真的吗！” （1）你认为手机号能够暴露机主的年龄吗？ （2）请用你学过的多项式．知识揭示这个游戏的奥秘（提示：设你手机号的最后一位数字为x，不妨设你与小祥都是2009年至2月至10月之间出生，今年12岁）． 【答案】（1）不能；（2）见解析 【分析】（1）从有没有科学依据分析； （2）先根据题中所描述的6条规则，列出式子得到一个三位数，然后根据规则判断手机号的最后一位及年龄，再根据年份验证即可． 【详解】解：（1）没有科学依据，手机号不可能够暴露机主的年龄； （2）根据题意得：（2x+5）×50+1771=100x+2021． 不妨设你与小祥都是2009年至2月至10月之间出生， ∴100x+2021-2009=100x+12， 此数减去你出生的那一年（2009）后，正好是你的年龄12，而百位上的第一个数字是手机尾号x． 【点睛】本题考查了列代数式在应用题中的应用，根据题意正确列式，并结合数学知识进行分析是解题的关键． 【题型六】图形规律归纳模型 【模型解读】 给出一组按规律排列的图形（小棒、棋子、桌子椅子等），问第n个需要多少个。不要凭空猜，先数出前3~4个具体数量，然后算相邻两个的差（增量），如果增量是固定的，直接写出通项公式。 【结论】 步骤 做法 举例：拼正方形小棒 第一步：数前几个 数出第1、2、3、4个的数量 1个=4根，2个=7根，3个=10根，4个=13根 第二步：算增量 后一个减前一个，看增量是否固定 7−4=3，10−7=3，13−10=3 → 每次加3 第三步：写通项 第n个 = 第一个 + (n−1)×增量 4 + (n−1)×3 = 3n + 1 第四步：验证 代入n=1,2,3检验对不对 n=1: 3×1+1=4 ✅，n=2: 3×2+1=7 ✅ 通用公式： · 若每次增加 k 个，第一个是 a 个 → 第n个 = a + (n−1)k · 化简后：第n个 = kn + (a−k) 【例6】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）由火柴棒拼出一列图形，每个图形由几个正方形组成，通过观察发现： (1)组成4个正方形的火柴棒根数是__________； (2)组成5个正方形的火柴棒根数是__________； (3)组成100个正方形的火柴棒根数是__________； (4)组成个正方形的火柴棒根数是__________． 【答案】(1)13 (2)16 (3)301 (4) 【分析】本题考查了图形类规律探索，解题的关键是从图形中找出规律． （1）根据从第一个图形开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个求解； （2）根据从第一个图形开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个求解； （3）根据从第一个图形开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个求解； （4）根据从第一个图形开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个求解． 【详解】（1）解：由图可得： 组成1个正方形火柴棒的根数为， 组成2个正方形火柴棒的根数为， 组成3个正方形火柴棒的根数为， ∴组成第4个正方形火柴棒的根数为， 故答案为：13； （2）解：组成5个正方形火柴棒的根数为， 故答案为：16； （3）解：组成100个正方形火柴棒的根数为， 故答案为：301； （4）解：由上可得组成个正方形的火柴棒根数是． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26七年级上·陕西安康·期中）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，第1个图形有枚棋子，第个图形有枚棋子，第3个图形有枚棋子，…按照这样的规律摆下去，观察图形回答下列问题： (1)第个图形要用_______枚棋子； (2)用含的代数式表示摆第个图形所用棋子的枚数； (3)摆第个图形要用多少枚棋子？ 【答案】(1) (2)枚 (3)枚 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）观察图形，后一个图形的棋子数比前一个多枚，据此求解即可； （2）由（1）的规律即可求解； （3）把代入（2）所得式子计算即可求解． 【详解】（1）解：∵第1个图形有枚棋子，第个图形有枚棋子，第3个图形有枚棋子， ∴后一个图形均比前一个多枚棋子， ∴第个图形有枚棋子， 故答案为：． （2）解：∵第1个图形所用棋子的枚数为（枚）， 第2个图形所用棋子的枚数为枚）， 第3个图形所用棋子的枚数为（枚）， …… ∴第个图形所用棋子的枚数为枚． （3）解：将代入中， 即（枚）． 答：第个图形所用棋子的枚数为枚． 【变式6-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：若图形中含有9个三角形，则拼成这个图形需要 根火柴棍； (2)数学探究：若图形中含有n个三角形，则拼成这个图形需要 根火柴棍； (3)应用数学：若图形中含有2025个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少? 【答案】(1)19 (2) (3)图形中所有火柴棍的长度和为 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数混合运算的应用，根据图形找到图形之间的联系是关键． （1）根据前几个图形找到规律当图形中含有n个三角形，需要2n+1根火柴棍，代入n=9求得答案即可； （2）由（1）写出答案即可； （3）由（2）找到的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：当图形中含有1个三角形时，需要（根）； 当图形中含有2个三角形时，需要（根）； 当图形中含有3个三角形时，需要（根）； 当图形中含有4个三角形时，需要（根）； …； 当图形中含有个三角形，需要根． 当时，根， 故答案为：19； （2）解：当图形中含有个三角形，需要根； 故答案为：； （3）解：当图形中含有2025个三角形时，火柴棍的根数为（根），所以图形中所有火柴棍的长度和为． 【题型七】日历规律速算模型 【模型解读】 日历题看起来数字多，其实规律很固定：横行差1，竖列差7。3×3方框里9个数的和，正好是中间数的9倍。知道这个规律，不管框住哪9个数，一眼就能算出来。 【结论】 规律 内容 举例验证（中间数为x） 横行相邻差 右边比左边大1 x右边是 x+1，左边是 x−1 竖列相邻差 下面比上面大7 x下面是 x+7，上面是 x−7 对角两数和 对角两数之和相等 (x−8)+(x+8) = (x−6)+(x+6) = 2x 9数之和 等于中间数×9 9个数的和 = 9x 十字形5数和 等于中间数×5 5个数的和 = 5x 【例7】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在某月的日历中，用一个“”形阴影涂出5个数． (1)涂出的5个数中最大的数为 ；涂出的5个数字的和为 (2)移动“”形阴影，当位于“”形阴影最中间的一个数为n时，试证明：涂出的5个数的和一定能被5整除． 【答案】(1)23； (2) 证明：由题意得，其它四个数分别为， ∴这五个数的和为 ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴一定能被5整除， ∴涂出的5个数的和一定能被5整除． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数加法计算，有理数比较大小： （1）根据有理数比较大小的方法可得第一空答案，根据有理数加法计算法则求出这五个数的和即可得到第二空的答案； （2）根据日历的特点用含n的式子表示出其它四个数，再求出这五个数的和即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得，出的5个数中最大的数为23， 涂出的5个数字的和为， 故答案为：23；； （2）略 【变式7-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）如图，2022年11月的日历． (1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ (2)如果将带阴影方框移至图2的位置，（1）中的关系还成立吗？ (3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 【答案】(1)方框正中心的数恰好是方框中9个数的平均数； (2)成立； (3) 证明如下： 设中间的数为，则方框中所有的数字如下： 其和为 ． 恰好是方框中9个数的平均数． 【分析】（1）方框内数字的和为99，恰好是中间数字11的9倍； （2）移动后，方框内数字的和为189，恰好是中间数字21的9倍，所以（1）中的关系还成立； （3）设中间的数为，则方框中所有的数字表示出来，相加得到． 【详解】（1）方框内数字的和为99，恰好是中间数字11的9倍． 因此，11恰好是方框中9个数的平均数； （2）移动后，方框内数字的和为189，恰好是中间数字21的9倍 因此，21恰好是方框中9个数的平均数，所以（1）中的关系还成立； （3）略 【点睛】此题考查了整式规律题，解题的关键是找出整式的规律． 【变式7-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是某月的日历，现用一方框在日历中任意框出九个数，请观察图形解答下列问题： (1)日历图中方框框住的个数之和与该方框正中间的数有什么关系? (2)这个关系对其他这样的方框成立吗?请用代数式表示这个关系． (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? (4)你还能发现这样的方框中个数之间的其他关系吗？请写出一种． 【答案】(1)这个数的和是该方框正中间的数的倍 (2)成立， (3) 是． 因为这个数可以表示为：       所以这个数之和等于； (4)能，如每一横行的数相差或每一竖列的数相差等等（答案不唯一） 【分析】（1）观察日历得到9个数的和为中间数的9倍； （2）设中间的数为a，表示出其他8个数，求出之和即可； （3）根据（2）列出表格，得到规律； （4）如每一横行的数相差或每一竖列的数相差等等． 【详解】（1）日历图中框出的个数之和为，该方框正中间的数是， ， 所以这个数的和是该方框正中间的数的倍； （2）成立．如果用表示正中间的数，这个数的和等于； （3）略 （4）能．如每一横行的数相差或每一竖列的数相差等等．(答案不唯一，给出两种关系作为参考，只要写出一种正确的关系即可得分) 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式7-3】（25-26七年级上·山东济宁·期中）下面是某月的日历 （1）其中，阴影方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其他这样的方框成立吗？如果用表示中间的数，你能列式表示这样的方框中的9个数之和吗？ （3）在（2）中的方框中，你还能发现其中的数与之间的其他关系吗？ 【答案】（1）阴影方框中的9个数之和是该方框正中间的数的9倍；（2）成立，能表示这样的关系，关系为9m；（3）对角线的三个数之和是m的3倍． 【分析】（1）求出阴影方框中的9个数之和，然后对比正中间的数即可； （2）根据题意可直接进行求解； （3）根据题意可直接进行求解． 【详解】解：（1）∵6+7+8+13+14+15+20+21+22=126=9×14， ∴阴影方框中的9个数之和是该方框正中间的数的9倍； （2）成立，能表示这个关系；如下： 由表示中间的数可知这9个数的和为：； （3）能；答案不唯一；比如：对角线的三个数之和是m的3倍． 【点睛】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算及题意是解题的关键． 技巧 一句话要点 列代数式——"语序翻译法" 先读题定运算顺序，"的"字前面先算，必要时加括号；数字在前字母在后，省略乘号写规范。 单项式找系数——"数字剥离法" 把数字部分连同符号一起剥出来就是系数；π是常数不是字母，别当字母算。 单项式算次数——"指数求和法" 所有字母的指数加起来就是次数；指数是1的字母别漏算，单独一个数的次数是0。 多项式定次数——"最高项取大法" 先算每一项的次数，取最高的那个就是多项式次数；不是所有项次数加起来。 判断同类项——"两同两无法" 字母相同、相同字母指数也相同；与系数大小无关、与字母顺序无关；常数项都是同类项。 合并同类项——"系数加减法" 只把系数相加，字母和指数原样照抄；不是同类项不能硬凑，合并后指数不变。 去括号化简——"负号全变法" 括号前是负号，去掉括号后里面每一项都变号；正号去括号，一切都照旧。 数字因数乘括号——"分配不漏项法" 括号前的数字要乘到每一项，不能只乘第一项；负号乘进去时每项都要变号。 整式加减运算——"去括合并两步法" 先去括号，再合并同类项；求差时减式一定要加括号，再整体去括号。 先化简再求值——"先化后代法" 先化简成最简形式，再代数值计算；别拿复杂原式直接代，既慢又容易错。 整体代入求值——"整体打包法" 不求单个字母的值，把已知代数式当成一个整体，直接代入所求式子中。 代数式求值代入——"负数加括号法" 负数代入要加括号，分数代入乘方也要加括号；防止符号和指数出错。 图形规律题——"增量归纳法" 先数前3个的具体数量，算相邻差（增量），增量固定就是一次规律，写通项公式再验证。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $