4.3.1对数的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.1　对数的概念 第四章　 索引 课时精练 一、对数的概念 二、对数性质及恒等式 课堂达标 内容索引 对数的概念 一 探究1 我们知道若2x=4,则x=2;若3x=81,则x=4;若=8,则x=-3等等这些方程,我们可以轻松求出x的值,但对于2x=3,1.11x=2,10x=5等这样的指数幂,还能用指数的性质求x吗? 提示　不能用指数的性质解决,为了解决这个问题,早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案,那就是发现了指数与对数的互逆关系,用对数来表示指数方程的解. 4 1.定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数___叫做以a为底N的对数,记作________,其中a叫做对数的______,N叫做______. 2.两类特殊对数 (1)常用对数:以10为底的对数,记为_________.  (2)自然对数:以e为底的对数,记为_________.  知识梳理 x x=logaN 底数 真数 lg N ln N 5 (1)指数式与对数式的关系 温馨提示 (2)对数是由指数转化而来,则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变化. (3)logaN的读法:以a为底N的对数. 6 探究2 [链接教材P127T2(1)]在对数式y=log(x-2)(4-x)中,实数x的取值范围是什么? 提示　由题意可知 解得2<x<4且x≠3. (链接教材P122例1)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)2-7=;(2)=16;(3)lo27=-3;(4)log64=-6. 例1 (1)∵2-7=,∴-7=log2 . (2)∵=16,∴lo16=-2. (3)∵lo27=-3,∴=27. (4)∵log 64=-6,∴()-6=64. 角度1　对数和指数的互化 8 1.指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 2.指数式与对数式互化注意两点:(1)字母位置的改变,(2)对数式的书写要规范(ab=N⇔b=logaN). 思维升华 9 (链接教材P123练习T1)将下列指数式、对数式互化: (1)43=64;(2)ln a=b;(3)=n;(4)lg 1 000=3. 训练1 (1)因为43=64,所以log464=3; (2)因为ln a=b,所以eb=a; (3)因为=n,所以lon=m; (4)因为lg 1 000=3,所以103=1 000. 角度2　利用对数的定义计算 (链接教材P123例2)求下列各式中x的值:(1)-lg x=2;(2)logx=-3. 例2 (1)由题意,lg x=-2,∴x=10-2=. (2)由logx=-3,得x-3==4-3, ∴x=4. 1.求对数式中x的值,注意利用方程的思想求解. 2.主要求解步骤:(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题;(2)利用指数的性质计算. 思维升华 12 求下列各式中x的值: (1)logx 27=;(2)log2 x=-;(3)x=log9;(4)x=lo16. 训练2 (1)由logx 27=,所以=27,∴=3,解得x=9. (2)由log2 x=-,得x==. (3)因为x=log9,得9x=,∴9x=9-1,从而x=-1. (4)由x=lo16,得16==2-x,∴24=2-x,则x=-4. 13 对数性质及恒等式 二 14 1.对数的基本性质 (1)负数和零______对数. (2)loga1=___(a>0,且a≠1). (3)logaa=___(a>0,且a≠1). 2.对数恒等式 =___(a>0,且a≠1,N>0). 知识梳理 没有 0 1 N 15 求下列各式中的x的值. (1)log2(log3x)=0;(2)log5(log2x)=1. 例3 (1)因为log2(log3x)=0, 所以log3x=1,所以x=3. (2)因为log5(log2x)=1, 所以log2x=5,所以x=25=32. 角度1　对数基本性质的应用 若本例(1)中“log2(log3x)=0”改为“log2(lg x)=0”,求的值. 由log2(lg x)=0,得lg x=1, ∴x=10,则=. 迁移 17 (1)=____________;  (2)+=____________.  例4 (1)=×=2×4=8. (2)+=23×+=8×3+=25. 角度2　对数恒等式的应用 8 25 思维升华 1.求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算. 2.符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式:=N,logaaN=N. 4 (1)若log8[log7(log2x)]=0,则=_________;  (2)2=____________;  (3)ln e+ln 1+eln 3=____________.  训练3 4 4 (1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,则log2x=7. ∴x=27=128,故===4. (2)2==4. (3)ln e+ln 1+eln 3=1+0+3=4. 20 【课堂达标】 1.(多选)下列选项中,可以求对数的是 A.1 B.0 C.π D.-x2 √ √ 根据对数的定义,得0和负数没有对数, ∴选项B不可以求对数; 又-x2≤0,∴选项D不可以求对数; ∵π>0,1>0, ∴选项A,C可以求对数. 2 3 4 1 2.将=9写成对数式,正确的是 A.log9=-2 B.lo9=-2 C.lo(-2)=9 D.log9(-2)= √ 由对数定义及=9,得lo9=-2. 2 3 4 1 3.方程=的解是x=____________.  ∵=3-3,∴log2x=-3, 故x=2-3=. 　 2 3 4 1 4.已知log7[log3(log2x)]=0,那么=____________.  ∵log7[log3(log2x)]=0, ∴log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=23, ∴=(23===. 　 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.将23=8化为对数式正确的是 A.log23=8 B.log28=3 C.log82=3 D.log32=8 指对互化时,底数不变.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.使对数log(t-2)(t-3)有意义的t的取值范围为 A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.[3,+∞) 解得t>3,所以实数t的取值范围是(3,+∞). 由题意可得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.lg 1-ln e2+的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 原式=0-2+2×=-2+2×3=4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.设=25,则x的值等于 A.10 B.13 C.100 D.12 由=25,得2x-1=25,∴x=13. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=- C.log39=与=3 D.log55=1与51=5 √ √ 因为=3化为对数式应为log93=,故C不正确,其余全正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.(多选)以下四个结论正确的是 A.lg(lg 10)=0 B.ln(ln e)=0 C.若10=lg x,则x=10 D.若e=ln x,则x=e2 √ √ lg(lg 10)=lg 1=0,ln(ln e)=ln 1=0,故A,B正确; 若10=lg x,则x=1010≠10,故C错误; 若e=ln x,则x=ee≠e2,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.设a=log310,b=log37,则3a-b的值为 A. B. C. D. √ 3a-b=3a÷3b=÷=10÷7=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.计算:+2log31-3log77+3ln 1=____________.  0 原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.若log3(a+1)=1,则loga2+log2(a-1)=____________.  1 所以loga2+log2(a-1)=log22+log21=1+0=1. 由log3(a+1)=1,得a+1=3,即a=2, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.若log5x=2,logy8=3,则x+y=____________.  27 因为log5x=2,所以x=52=25, 因为logy8=3,所以y3=8,所以y=2, 所以x+y=27. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.将下列指数式、对数式互化. (1)35=243;(2)2-5=;(3)lo81=-4;(4)log2128=7. (1)log3243=5; (2)log2=-5; (3)=81; (4)27=128. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.已知3x=2,log3=y,则2x+y的值为 A.1 B.2 C.3 D.9 √ 由log3=y,∴3y=, 又3x=2,∴(3x)2·3y=32x+y=4×=9. 因此2x+y=2. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1,则·的值是____________.  64 因为log2(log3(log4x))=0, 所以log3(log4x)=1, 即log4x=3,所以x=43=64,同理得y=16, 所以·=×1=8×23=64. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.若lox=m,loy=m+2,求的值. ∵lox=m,∴=x,x2=. ∵loy=m+2, ∴=y,y=. ∴====16. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.若a>0,=,则loa等于 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 因为=,a>0,所以a==, 设loa=x,所以=a,所以x=3. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.若log2(lo(log2x))=log3(lo(log3y))=log5(lo(log5z))=0,试确定x,y,z的大小关系. 由log3(lo(log3y))=0, 得lo(log3y)=1,log3y=,y==(310. 由log2(lo(log2x))=0, 得lo(log2x)=1,log2x=, x==(215. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由log5(lo(log5z))=0, 得lo(log5z)=1,log5z=, z==(56, ∵310>215>56,∴y>x>z. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $