3.6 函数中的构造问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

3.6 函数中的构造问题 基础知识梳理 1. 型和型的函数构造 （1）当出现 时，通常构造函数 为常数. （2）当出现 时，通常构造函数 为常数. 2. 型的函数构造 （1）当出现 时，通常构造函数.推广：当出现 时，通常构造函数. （2）当出现 时，通常构造函数.推广：当出现 时，通常构造函数. 3. 型的函数构造 （1）当出现 时，通常构造函数.推广：当出现 时，通常构造函数. （2）当出现 时，通常构造函数.推广：当出现 时，通常构造函数. 4. 或型的函数构造 （1）当出现 时，通常构造函数. （2）当出现 时，通常构造函数. （3）当出现 时，通常构造函数. （4）当出现 时，通常构造函数. （5）当出现 或 时，可转化为以上四种形式进行构造函数. 题型一 型和型的函数构造 1.设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，可得在上单调递增，利用奇偶性的定义知是奇函数，进而求解不等式即可. 【详解】由题意当时，，构造函数， 则，得在上单调递增， 又由条件得. 所以是奇函数，又在上单调递增且，所以在上单调递增， 由，得，即， 根据函数在上单调递增，可得，解得. 故选：B 2.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，将问题转化为的解集的求解；通过导函数可确定在上单调递增，结合可求得结果. 【详解】令，则即为. ，，，在上单调递增， 又，的解集为， 即的解集为. 故选：. 3.已知函数满足，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论. 【详解】设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为， 则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或, 故不等式的解集为.故选:. 4.已知定义在上的可导函数满足．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，求导得，因此在上单调递增． 又，可得． 将移项变形为，即． 又在上单调递增，由得，所以原不等式的解集为． 5.设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为___________. 【答案】 【详解】令，则， 因为，所以，则在上单调递减， 因为，所以， 则即的解集为. 6.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】构造函数，由导数确定其单调性，再由单调性解不等式． 【详解】，则，而，且，∴，即在上单调递减， 不等式可化为，即，故，解得：． 故答案为：． 7.定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】令，则， 则在上单调递减， 又等价于， 即，由的单调性得，解得.故选. 8.已知是定义在上的奇函数，是其导函数，当时，，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【解析】设，因为， 所以.， 因为当时，， 所以在上单调递增， 又是定义在上的奇函数， 所以的图象关于点对称，如图， 所以在上单调递增，则等价于，即，所以，即的解集是，故选 9.已知函数的定义域均为，对任意实数，都有，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，得， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为 ， 即，则有，即， 即，即，解得.故选 题型二 型的函数构造 1．已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，后分为常函数，不是常函数两种情况，综合可得正确选项. 【详解】由. 若不是常函数，则在上单调递减，又，则； 若为常函数，则.综上，. 故选：A 2.已知定义在的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，对求导，根据已知及导数与单调性的关系可得的单调性，从而可得结论． 【详解】解：令，，则， 因为定义在的函数，， 所以， 所以， 所以在上单调递增， 若，则，即， 所以． 故选：A． 3.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论. 【详解】构造函数，， 当时，∵，即， ∴，所以， ∴在上单调递减， 又∵， 因为定义域为正实数， ∴，即， ∴， ∴， ∴，解之得：， ∴不等式的解集为. 故选：D． 4.定义域为的是奇函数且可导，；当时，,则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，并结合奇偶函数的性质求解不等式即可． 【详解】因为当时，， 所以， 设， 因为是上的奇函数， 所以，即为上的偶函数， 又， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 又，所以， 不等式 ， 当时，则，得，解得， 当时，则，得，解得， 所以的解集为． 5.已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数的运算法则及导数研究单调性，结合奇偶性解不等式，即可得. 【详解】令，则，结合题设， 当时，，即在上单调递减， 因为为定义在上的奇函数， 则， 所以在上为偶函数，且，则在上单调递增， 由，即，即， 故， 综上，不等式的解集为. 6.函数是定义在R上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】构造函数，根据导函数判断其单调性，进而结合奇偶性得出的正负性即可求解不等式. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 因为，所以， 故当时，，； 当时，，； 因为函数是定义在R上的奇函数， 故当、时；当、时；， 等价于或，得或， 故不等式的解集为. 7.若函数满足（其中为自然对数的底数），且，则___________. 【答案】0 【分析】构造函数，可得，即，结合，可得，即，，代入即得解 【详解】令， 则， ∴.又，∴， ∴， ∴， 于是， . 故答案为：0 8.已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论. 【详解】构造函数，， 当时， ，所以，所以在上单调递增， ， 当即时，有， ， 即， 综上. 故答案为：. 9.已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【解析】令，，则， 当时，，即， 在上单调递减，， ，即，.故选. 10.设函数是定义在上的偶函数，为其导函数.当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】令，因为是定义在上的偶函数， 所以在上为奇函数， 因为在上恒成立， 所以在上单调递增， 又在上为奇函数，所以在上单调递增， 因为是偶函数，且，所以， 故，. 当时，不等式等价于，即，解得； 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为.故选 11.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】设，则. 当时，， 当时，， 函数在上单调递增， 函数是奇函数，， 函数为定义域上的偶函数， 在上单调递减，由，得， ， 不等式， 或解得或， 使得成立的的取值范围是，故选. 12.定义在上的偶函数的导函数为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 又为偶函数，所以为偶函数， 所以在上单调递减. 因为，所以，即，所以，错误； 因为，所以，即，所以，错误； 因为，所以，即， 所以，错误； 因为，所以，即， 所以，正确.故选. 题型三 型的函数构造 1.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，再结合可以得到函数 的单调性，不等式可以整理为，再根据函数的单调性即可得到解集. 【详解】构造函数， 所以， 又因为，所以，在上单调递增， 因为，所以， 不等式，可整理为，即， 因为函数在上单调递增，所以. 故选：D. 2.已知函数的导函数满足对恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，结合已知条件得到对恒成立，从而得到在区间单调递增，最后通过，即可求得答案． 【详解】解：令，则 ，又因为满足对恒成立，所以在区间恒大于，即在区间单调递增，故有 ，展开化简得:， 故选. 3.设函数在上的导函数为，且，则当时，必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导判断函数单调递减，利用比较函数值即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，又，所以， 所以在上单调递减. 因为，所以，即. 由，得；由，得； 对于与的大小关系无法判断. 4.已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式，因为，两边除以，得出. 设，求导：. 由条件，又，所以， 在R上单调递增. 是偶函数：， 说明函数的图像关于直线对称. ，令，得， 已知，， 因为单调递增，所以时，， 故不等式解集为. 5.定义在R上的函数的导函数为，若 ，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据导函数得出其单调性，再结合求解即可. 【详解】令，则， 因为，所以在R上恒成立， 故在R上单调递减， 因为，所以， 不等式等价于，得， 故不等式的解集是 6.已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造辅助函数判断单调性，结合，将不等式等价转化后利用单调性求解. 【详解】设，，对其求导可得： . 由题设，且对任意恒成立，因此， 即在上为单调递增函数. 因为，因此. 不等式等价变形为，即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 7.定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】构造函数，利用单调性求解不等式. 【详解】令，则，则在上单调递减， 等价于，则，得， 则不等式的解集为. 8.已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由条件，构造函数，由得在上单调递增，再利用单调性解不等式即可. 【详解】由题意，对任意，都有成立， 即． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增． 不等式即，即． 因为，所以． 故由，得. 所以不等式的解集为， 故答案为：. 9.是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______． 【答案】 【分析】令，得到，结合函数的单调性求出不等式的解集即可． 【详解】题中不等式，即， 令，则， 故在上单调递增， 而， 即， 所以， 故不等式的解集是， 故答案为: 10.已知是函数的导函数，，其中是自对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】构造函数，根据已知判断其导数正负，利用单调性求解. 【详解】设， ， 在R上单调递增， 由， 即， ， ， 故答案为： 11.设函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为 . 【解析】设，则， 因为，且，，所以， 所以是上的增函数，不等式等价于， 因为，所以，所以等价于， 所以，即不等式的解集为. 12.已知是定义在上的函数，是的导函数，，且，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【解析】由，得，设， 则，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以不等式等价于 ， 等价于，所以，解得， 所以不等式的解集为. 题型四 或型的函数构造 1.函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】构造函数，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解： ， 构造函数， 则， 当时，， 在单调递增， 不等式， 即 即， 故不等式的解集为. 故答案为：. 2.已知函数对于任意的均满足其中是的导函数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 由，，得，. 令，，则， 所以在上单调递增， 故，即， 即.故选. 3.函数的定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【解析】令，，则， 因为，所以， 所以在上单调递减，由，得 ， 所以，所以 ， 所以不等式的解集为. 4.是定义在上的函数，是的导函数，且，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【解析】因为时，，所以 即可转化为， 设，则， 所以当时，，所以函数在上单调递减， 因为，所以， 所以，即， 所以，故选. 5.函数的定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【解析】令，，则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 由，得， 所以，所以，所以不等式的解集为. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 函数中的构造问题 基础知识梳理 1. 型和型的函数构造 （1）当出现 时，通常构造函数 为常数. （2）当出现 时，通常构造函数 为常数. 2. 型的函数构造 （1）当出现 时，通常构造函数.推广：当出现 时，通常构造函数. （2）当出现 时，通常构造函数.推广：当出现 时，通常构造函数. 3. 型的函数构造 （1）当出现 时，通常构造函数.推广：当出现 时，通常构造函数. （2）当出现 时，通常构造函数.推广：当出现 时，通常构造函数. 4. 或型的函数构造 （1）当出现 时，通常构造函数. （2）当出现 时，通常构造函数. （3）当出现 时，通常构造函数. （4）当出现 时，通常构造函数. （5）当出现 或 时，可转化为以上四种形式进行构造函数. 题型一 型和型的函数构造 1.设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数满足，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 4.已知定义在上的可导函数满足．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为___________. 6.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是__________． 7.定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.已知是定义在上的奇函数，是其导函数，当时，，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 9.已知函数的定义域均为，对任意实数，都有，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 题型二 型的函数构造 1．已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 2.已知定义在的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 3.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.定义域为的是奇函数且可导，；当时，,则的解集为（     ） A． B． C． D． 5.已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 6.函数是定义在R上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为________． 7.若函数满足（其中为自然对数的底数），且，则___________. 8.已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为______. 9.已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10.设函数是定义在上的偶函数，为其导函数.当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.定义在上的偶函数的导函数为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 题型三 型的函数构造 1.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的导函数满足对恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 3.设函数在上的导函数为，且，则当时，必有（    ） A． B． C． D． 4.已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5.定义在R上的函数的导函数为，若 ，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7.定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____. 8.已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是___________． 9.是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______． 10.已知是函数的导函数，，其中是自对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为________． 11.设函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为 . 12.已知是定义在上的函数，是的导函数，，且，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ . 题型四 或型的函数构造 1.函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为_____________. 2.已知函数对于任意的均满足其中是的导函数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3.函数的定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ . 4.是定义在上的函数，是的导函数，且，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5.函数的定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ . 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $