§4.4 函数中的构造问题·专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数构造问题，通过6类题型系统训练导数应用与函数性质综合，强化数学抽象与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用特定函数组合构造|5题|结合导数关系构造新函数|从基础函数组合到导数应用，构建构造思维| |利用另一类函数组合构造|5题|含奇偶性等函数性质的构造|函数性质与导数结合，深化构造方法| |第三类函数组合构造|5题|轴对称等特殊条件下构造|特殊函数性质拓展构造场景| |同结构构造比较大小|4题|通过构造统一函数比较数值|构造法解决大小比较，体现转化思想| |指对互化构造|5题|指数对数转化的构造应用|指对函数关系整合，提升综合构造能力| |构造解不等式综合|9题|多知识点综合的构造应用|从单一构造到综合问题，形成完整解题链|

§4.4 函数中的构造问题 目录 题型1：利用与构造函数 2 题型2：利用与构造函数 2 题型3：利用与构造函数 3 题型4：同结构构造函数比较大小 4 题型5：指对互化构造函数 4 题型6：构造函数解不等式综合 5 题型1：利用与构造函数 【例1.1.】 已知定义在上的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为________. 【例1.4.】 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是 A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞) 【例1.5.】 已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型2：利用与构造函数 【例2.1.】 设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D． 【例2.5.】 已知可导函数的导函数为， 若对任意的， 都有 且为奇函数， 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型3：利用与构造函数 【例3.1.】 定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 （多选）已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为__________． 【例3.4.】 已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知上的奇函数，其导函数为，且当时，，若，则a与b的大小关系为______． 题型4：同结构构造函数比较大小 【例4.1.】 设，，，则，，大小关系是 A． B． C． D． 【例4.2.】 若，，，则a，b，c与1的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知实数，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知正实数x，y，z，，则（   ） A． B． C． D． 题型5：指对互化构造函数 【例5.1.】 已知，，，且，则a，b，c的大小关系为______．（用“”连接） 【例5.2.】 若，都有，则a的取值范围为_____． 【例5.3.】 若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知，不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 【例5.5.】 若对任意的，恒成立，则正实数的最大值为_________． 题型6：构造函数解不等式综合 【例6.1.】 已知函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 【例6.2.】 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【例6.3.】 已知实数，，，(e为自然对数的底数)则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6.6.】 已知函数的定义域是，其导函数是，且满足，则______0．（填>或<） 【例6.7.】 已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【例6.8.】 已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6.9.】 定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.4 函数中的构造问题 目录 题型1：利用与构造函数 2 题型2：利用与构造函数 5 题型3：利用与构造函数 8 题型4：同结构构造函数比较大小 12 题型5：指对互化构造函数 15 题型6：构造函数解不等式综合 19 题型1：利用与构造函数 【例1.1.】 已知定义在上的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，求导确定单调性，即可求解 【详解】设 ，对求导得：， 因为 ，得 ，因此 是定义在R上的单调递减函数， 又 ，得 ，代入即得 . 【例1.2.】 已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】很明显不是不等式的解， 令，为奇函数，则为偶函数， 当时，，函数在区间上单调递增， 且，不等式等价于，即， 由的单调性可得， 结合偶函数关于轴对称可得不等式的解集是. 本题选择A选项. 【例1.3.】 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为________. 【答案】 【难度】0.45 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据构造函数，再用导数判断函数单调性，进而将所求不等式转化为， 结合函数的单调性可得不等式解集. 【详解】由条件，构造函数，定义域为. 对求导得： ， 因为，且已知， 所以，即在上单调递增. 由得， 所以原不等式可转化为， 所以，解得， 因此不等式的解集为. 【例1.4.】 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是 A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞) 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】令，则有， , ,又 ,得 ，,再令,则 ,故函数在上递减, 不等式 等价于,所以 ,故选A 【例1.5.】 已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造判断奇偶性，并利用导数研究单调性，再应用奇偶性、单调性求不等式解集. 【详解】因为，所以， 令，则，所以为偶函数， 所以， 又当时，， 所以当时，则在为减函数， 故在上为增函数， 又不等式 可化为，即， 由为偶函数，不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D． 题型2：利用与构造函数 【例2.1.】 设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，由的单调性求解， 【详解】构造函数，则， 故在R上单调递增，， 可化为， 故原不等式的解集为， 故选：B 【例2.2.】 已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的单调性可求得原不等式的解集. 【详解】设，该函数的定义域为， 则，所以在上单调递增． 由可得，即， 又在上单调递增，所以，解得， 所以原不等式的解集是， 故选：D． 【例2.3.】 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，即可解得的取值范围. 【详解】构造函数，则， 所以，函数为上的增函数，， 由可得，所以，. 故选：B. 【例2.4.】 已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】由，得， 令则. ∵f(x)满足， ∴当x<1时,f′(x)−f(x)<0.∴g′(x)<0.此时函数g(x)单调递减. ∴g(−1)>g(0). 即 ∵f(2−x)=f(x)⋅ ∴f(3)=f(−1)>f(0)⋅=f(0). 故选C. 【例2.5.】 已知可导函数的导函数为， 若对任意的， 都有 且为奇函数， 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据构造函数，利用导数判断其单调性，将不等式化为，利用的单调性求得结果． 【详解】设，则， 由，得，又， 所以，故函数在上单调递减． 因为为奇函数，且定义域为， 所以，得， 所以， 不等式等价于，即， 又函数在上单调递减，所以， 故不等式的解集是． 故选：D． 题型3：利用与构造函数 【例3.1.】 定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，对求导，可知当时，单调递增，由可得，即，然后根据函数的性质可得不等式，解不等式即可得出答案. 【详解】因为，化简得， 构造函数， 即当时，单调递增， 所以由， 则， 即.因为为偶函数且在上单调递增， 所以，解得. 故选：C. 【例3.2.】 （多选）已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、特殊角的三角函数值、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，根据题意，求得在单调递增，结合选项，利用函数的单调性和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得， 又因为，所以，在单调递增， 对于A，由，可得，即， 可得，所以，所以A不正确； 对于B，由，可得，即， 可得，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，所以， 可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以， 可得，所以D不正确. 【例3.3.】 偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】令，，依题意可得为偶函数且在上单调递减，根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，，因为定义域为上的偶函数， 所以，则，即为偶函数， 又， 因为对，有成立，所以当时， 即在上单调递减，则在上单调递增， 又，所以，则不等式等价于， 即，即，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【例3.4.】 已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、二倍角的余弦公式、由函数奇偶性解不等式 【分析】令，由已知可推得为偶函数，在上单调递增，在上单调递减.不等式变形可得，.根据二倍角的余弦公式，可得出.然后根据的奇偶性和单调性，可推得，平方求解不等式，即可得出答案. 【详解】由已知可推得，. 令，则， 所以， 所以，为偶函数. 又， 因为当时，， 所以，，所以在上单调递增. 又为偶函数，所以在上单调递减. 由可得， . 因为， 所以，. 因为在上单调递减，为偶函数， 所以有， 平方整理可得，， 解得. 故选：C. 【例3.5.】 已知上的奇函数，其导函数为，且当时，，若，则a与b的大小关系为______． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据给定条件，构造函数，确定函数的奇偶性，再利用导数确定在上单调性，进而比较大小. 【详解】令函数，由为上的奇函数， 得，即函数是偶函数， 当时，，则， 函数在上单调递减，， ， 由，得，因此， 所以. 题型4：同结构构造函数比较大小 【例4.1.】 设，，，则，，大小关系是 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【解析】根据所给的特征，构造函数，并求得，由导函数的符号可判断在的单调性，即可比较大小. 【详解】构造函数， 则，在上单调递增． 因为， 所以， 即， 所以． 故选：C. 【例4.2.】 若，，，则a，b，c与1的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则 【分析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系. 【详解】令，则 当时，，当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增, 而 ，由可知 ， 故作出函数大致图象如图： 由图象易知，， 故选：C． 【例4.3.】 已知实数，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】即，，同理可得，，构造函数，通过求导判断函数单调性即可判断. 【详解】即，，同理可得，，设，那么， 当时，，故， 当时，，故， 在上单调递增，时单调递减， 所以， 由于， 所以，，又，，， 又在上单调递增， 所以，即. 【例4.4.】 已知正实数x，y，z，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】利用对数，将x，y，z表示出来，通过构造函数比较大小． 【详解】设，因为x，y，z为正实数，故； 则，，； 则，，； 只需比较即可；设； 则，当时，，单调递增， 故， 故； 因为，故，， 故，故． 题型5：指对互化构造函数 【例5.1.】 已知，，，且，则a，b，c的大小关系为______．（用“”连接） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由已知条件得到，，令，利用导数法得到，从而，，再设，由的单调性判断即可. 【详解】∵，，，且实数a，b，c满足， ∴，，∴，． 令，则， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 即，∴，∴． 设，则，， ∴在上单调递减， ∴．综上，． 故答案为： 【例5.2.】 若，都有，则a的取值范围为_____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先将不等式化为，再构造，利用导数研究其单调性，结合恒成立得，进而有，进而问题化为在上恒成立，最后应用导数求最大值，即可得. 【详解】由题设，都有，即， 因为，所以，即， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，此时，则，即不合题设； 故，所以，而在上单调递增，则， 问题化为，在上恒成立， 令且，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，故. 故答案为：. 【例5.3.】 若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】原不等式化为不等式，又可化为，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围. 【详解】原不等式化为不等式，又继续化为， 设，则， 即在上单调递增，而， 因为，所以， 由已知恒成立，令，则， 当时，即递减；当时，即递增； ∴，故只需，即．又， 所以的取值范围为. 故选：B 【例5.4.】 已知，不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数不等式恒成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】同构变形，得到函数单调性和最值，从而得到不等式，求出答案 【详解】变形为， 令，，显然为增函数， 又时，，当时，， 所以的值域为R， 令，则， 因为，所以令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 要想恒成立，只需，即，解得， 故实数a的最大值为 【例5.5.】 若对任意的，恒成立，则正实数的最大值为_________． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、函数不等式恒成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】通过观察不等式结构构造单调函数，利用函数单调性将指数不等式转化为一次不等式，分离参数后通过求目标函数的最值得到参数的最大值. 【详解】∵ 为正实数，，∴ ，. 原不等式两边同乘，可得. 设，∵ ，∴ 在上单调递增. ∴ 等价于，即对任意恒成立. 设，，则. 令，得. ∵ 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ∴ 的最小值为区间端点值中的较小者： ，， 经比较得，故正实数的最大值为. 题型6：构造函数解不等式综合 【例6.1.】 已知函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将恒成立不等式化简后分离参数，转化为对任意实数恒成立，只需，利用导数求该函数的最小值，从而确定的范围． 【详解】对不等式化简，得， 分离参变量转化为恒成立，记，则， 在上，，是增函数； 在上，，是减函数． 所以，于是问题等价于，解得． 故所求a的取值范围为． 【例6.2.】 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【详解】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 【例6.3.】 已知实数，，，(e为自然对数的底数)则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【解析】由已知实数的形式构造函数，即有，利用导数研究的单调性，再比较对应函数值的大小即可. 【详解】由题意，令，则， 而，所以时，即在上单调递增， ∴，即， 故选：A 【例6.4.】 已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】等价变形后a与b的大小关系等价于比较1与，构造函数，利用单调性可得，得出，由条件大小比较可转化为与大小比较，构造函数，利用单调性即可比较. 【详解】，比较a与b的大小关系等价于比较1与的大小关系， 设，则，当时，，单调递减， 所以，即； 由可知，，即比较与的大小关系等价于比较 与的大小关系，设， 则，当时，，单调递增，所以， 即，综上，. 故选：D 【例6.5.】 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论. 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 所以． 故不等式的解集为. 故选：B. 【例6.6.】 已知函数的定义域是，其导函数是，且满足，则______0．（填>或<） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】令，根据题意得到，单调递增，得到，进而求得. 【详解】令，可得， 因为，可得，单调递增， 又由，所以，即，即. 故答案为：. 【例6.7.】 已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先由题中条件求出，根据不等式可构造，利用为偶函数且在区间上单调递增可解. 【详解】由得，即， 可设， 当时，因得， 所以， 可化为， 即， 设， 因，故为偶函数 ， 当时，因，， 故，所以在区间上单调递增， 因， 所以当时的解集为， 又因为偶函数，故的解集为. 故选：C 【例6.8.】 已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用函数的导数运算性质及函数的单调性即可求得结果. 【详解】由题意得，， 即， 所以，即， 又，所以，故 ， ，可得， 在上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以的极大值为.简图如下：    所以，，. 故选：D. 【例6.9.】 定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、函数与导数综合 【分析】由题目中的条件变形为，进一步转化为，构造函数，利用导数和函数之间的关系处理单调性即可求解. 【详解】由，即， 即，即对恒成立， 令，则在上单调递增， ∵，∴， 由即，即， 因为在上单调递增，∴ 故选：B. 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