3.1.3 分段函数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

分段函数 第三章 3.1　3.1.3　分段函数 索引 课时精练 一、分段函数 二、分段函数的图象 三、分段函数的实际应用 课堂达标 内容索引 分段函数 一 1.在函数定义域内,对于自变量x的不同取值,有着不同的____________,这样的函数叫做分段函数. 2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______;各段函数的定义域的交集是______. 知识梳理 对应关系 并集 空集 4 已知函数f(x)= (1)求f(-5),f(f(1))的值; 例1 由于-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2), 所以f(-5)=-5+1=-4, f(1)=3×1+5=8,f(f(1))=f(8)=2×8-1=15. 5 (2)若f(a2+2)≥a+4,求实数a的取值范围. 因为a2+2≥2, 所以f(a2+2)=2(a2+2)-1=2a2+3, 所以不等式f(a2+2)≥a+4化为2a2-a-1≥0, 解得a≥1或a≤-, 故实数a的取值范围是. 6 若本例(2)条件“f(a2+2)≥a+4”变成“f(x)>2x”,求x的取值范围. 当x≤-2时,f(x)=x+1>2x,即x<1. 所以x≤-2; 当-2<x<2时,f(x)=3x+5>2x,即x>-5. 所以-2<x<2; 当x≥2时,f(x)=2x-1>2x不成立. 综上可知,x的取值范围是(-∞,2). 迁移 7 1.分段函数求值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解. 3.若分段函数的自变量含参数,要考虑自变量整体的取值属于哪个范围,从而根据对应的解析式整体代入,转化为方程或不等式问题. 思维升华 8 (1)已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范围是 A.[-4,2) B.[-4,2] C.(0,2] D.(-4,2] 训练1 √ 当x≤0时,f(x)=x+1≥-1,解得-4≤x≤0; 当x>0时,f(x)=-(x-1)2≥-1, 解得0<x≤2. 综上知,-4≤x≤2. 9 (2)函数f(x)=若f(x0)=8,则x0=____________.  -或10 当x0≤2时,f(x0)=+2=8,即=6, ∴x0=-或x0=(舍去); 当x0>2时,f(x0)=x0=8,∴x0=10. 综上,x0=-或x0=10. 10 分段函数的图象 二 11 (链接教材P68例6)已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令φ(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析式表示φ(x); 例2 在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象如图①. 12 由图①中函数取值的情况,结合函数φ(x)的定义,得函数φ(x)的图象如图②. 令-x2+2=x,得x=-2或x=1. 结合图②,得出φ(x)的解析式. 则φ(x)= 13 (2)求函数φ(x)的定义域,值域. 由图②知,φ(x)的定义域为R,φ(1)=1, ∴φ(x)的值域为(-∞,1]. 14 思维升华 作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. 15 设函数f(x)= (1)在方格图中画出f(x)的图象; 训练2 函数f(x)的图象如下图所示. 16 (2)若f(t)=3,求t值. 由图可知,当t∈(-1,2)时,才有f(t)=3=t2, 所以t=或-(舍),故t=. 17 分段函数的实际应用 三 18 (链接教材P70例8)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算: 例3 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 由题意,得 y= 某职工每月收入为x元,应交纳的税额为y元. (1)请写出y关于x的函数关系式; (2)有一职工八月份交纳了54元的税款,请问该职工八月份的工资是多少? ∵该职工八月份交纳了54元的税款, ∴5 000<x≤8 000,(x-5 000)×3%=54, 解得x=6 800. 故这名职工八月份的工资是6 800元. 21 思维升华 1.当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画. 2.分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式. 某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度,他认为,成年男子身高160 cm及其以下不算高个子,其高个子系数k应为0;身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子,其高个子系数k应为1,请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式. 训练3 由题意可设,k(x)=ax+b(a>0), x∈[160,190], 由 23 所以k(x)=x-, 所以k(x)= 24 【课堂达标】 1.函数f(x)=的图象是 √ 易知f(x)== 因此f(x)的图象为选项C. 2 3 4 1 2.著名的Dirichlet函数D(x)=则D(D(x))等于 A.0 B.1 C. D. √ ∵D(x)∈{0,1},∴D(x)为有理数, ∴D(D(x))=1. 2 3 4 1 3.已知f(x)=若f(a)≤-3,则实数a的取值范围为______________.  当a≤0时,a2+4a≤-3, 解之得-3≤a≤-1; 当a>0时,a2-4a≤-3,则1≤a≤3. 综上,实数a的取值范围是[-3,-1]∪[1,3]. [-3,-1]∪[1,3] 2 3 4 1 4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.则该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的函数关系式是 ______________________.若某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为____________立方米.  13 2 3 4 1 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的函数关系式为 y= 由y=16m,可得x>10. 因此2mx-10m=16m,解得x=13. 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.已知f(x)=则f(-1)的值是 A.4 B.5 C.6 D.7 由分段函数表达式可知 f(-1)=f(f(-1+2))=f(f(1)),f(1)=f(f(3))=f(4)=5, 所以f(-1)=f(5)=6.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.设函数f(x)=则f的值为 A. B.- C. D.18 当x>1时,f(x)=x2+x-2, 则f(2)=22+2-2=4,∴=, 当x≤1时,f(x)=1-x2, ∴f=f=1-=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.(多选)下列关于分段函数的说法正确的是 A.分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数,因此分几段就是几个函数 B.若f(x)=则f(1)=1 C.f(x)=|x-2|是分段函数 D.分段函数的定义域都是R √ 分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数,但这几段组合在一起是一个函数,故A错误;由函数的解析式可知B正确; f(x)=|x-2|=是一个分段函数,故C正确; 分段函数的定义域不都是R,故D错误.故选BC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.(多选)已知函数y=若f(a)=10,则a的值是 A.3 B.-3 C.9 D.5 √ 当a≤0时,f(a)=a2+1=10, 所以a=-3(a=3舍去); 若a>0,则f(a)=2a=10,所以a=5. 综上可得,a=5或a=-3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f= 由图象知f(x)= 所以f=-1=-, 所以f=f=-+1=. A.- B. C.- D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.已知f(x)=min{6-x,x},则f(x)的值域是 A.(-∞,2] B.(-∞,3] C.[0,2] D.[2,+∞) √ 解得x=3,此时y=3. 因此点A坐标为(3,3), 又点A是f(x)图象的最高点, ∴f(x)≤3,故f(x)的值域是(-∞,3]. 作出函数f(x)的图象如图实线部分,由6-x=x得2x=6, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4) C.若f(x)=3,则x= D.f(x)<1的解集为(-1,1) √ √ f(x)的定义域为(-∞,2),知A错误. 又x≤-1时,f(x)≤1;当-1<x<2时,0≤f(x)<4.所以f(x)的值域为(-∞,4),知B正确. 由f(x)=3,得x2=3(-1<x<2),则x=,C正确. 当x≤-1时,由x+2<1,解得x<-1;当-1<x<2时,由x2<1,解得-1<x<1, 因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.已知函数f(x)=若f(x)=10,则x=____________.  -3或- 当x>0时,-2x<0,所以由f(x)=10,可得解得x=-3或-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为 f(x)=_____________________________.  因为f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 所以 因此f(x)= 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.设函数f(x)=若f(m)>m,则实数m的取值范围是____________.  (-∞,-1) 由题意,得解得m<-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知函数f(x)= (1)若f(a)=5,求实数a的值; 当a≥0时,由f(a)=a2+4=5得a=1; 当a<0时,由f(a)=4-a=5得a=-1. 综上,a=1或-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)画出函数的图象,并求出函数f(x)在区间[-2,2]上的值域. 函数图象如图所示. 因为f(0)=4, f(2)=22+4=8, f(-2)=4-(-2)=6, 所以由图象知函数f(x)在[-2,2]上的值域为[4,8]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.(多选)已知Dirichlet函数f(x)=则下列结论正确的是 A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.f(x+1)=f(x) D.f(x)的图象经过点 √ √ 易知f(x)的值域为{0,1},故A错; 对于B,f(x)的定义域为R,故B正确; 对于C,当x是有理数时,x+1也为有理数, 当x是无理数时,x+1也为无理数,故f(x+1)=f(x)成立,故C正确; 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 对于D,因为f=1, 所以f(x)的图象经过点,故D错. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.某人绘制了2026年春节前,从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(单位:千克)随时间x(单位:天)变化的函数图象,如图所示,则此人在1月31日大约卖出了____________千克西红柿(结果保留整数).  23 第2天到第10天满足一次函数, 设f(x)=ax+b(a≠0), 将点(1,10),(10,30)代入函数解析式得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 则f(x)=x+, 则在1月31日,即当x=7时,f(7)=×7+=≈23(千克). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知函数f(x)=2+(-2<x≤3). 当0<x≤3时,f(x)=2+=2-; 当-2<x≤0时,f(x)=2+=x+2; 综上,函数f(x)的解析式为f(x)= (1)用分段函数的形式表示函数f(x); 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)画出函数f(x)的图象; (3)写出函数f(x)的值域. (2)图象过点(-2,0),(0,2),(3,1), 其中点(-2,0)是空点,(0,2)和(3,1)是实心点,函数f(x)的图象如图所示: (3)由(2)知,图象最高点的坐标是(0,2). 故依据图象,函数f(x)的值域是(0,2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.已知f(x)=则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是____________.  ①当x+2≥0,即x≥-2时,f(x+2)=1, 则x+x+2≤5,解得-2≤x≤; ②当x+2<0,即x<-2时,f(x+2)=-1, 则x-x-2≤5,恒成立,即x<-2. 所以综合①,②得x≤. 　 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.(链接教材P74习题3.1T13)已知函数f(x)=x-[x],x∈[-1,2),其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[-3.05]=-4,[2.1]=2. 当-1≤x<0时,[x]=-1,所以f(x)=x+1; 当0≤x<1时,[x]=0,所以f(x)=x; 当1≤x<2时,[x]=1,所以f(x)=x-1. 综上,f(x)= (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象; (3)根据图象写出函数f(x)的值域. (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由图象,得函数f(x)的值域为[0,1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 y= $