精品解析：河南焦作市第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2025级高二上学期10月月考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 2. 若椭圆的焦距是2，则实数的值为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 3或5 【答案】D 【解析】 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 3. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的模长公式和运算法则计算即可. 【详解】因为， 所以共轭复数为. 4. 已知，是空间中的两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定判断选项A；根据面面垂直的判定判断选项B；根据线面平行的判定判断选项C；根据线面垂直的判定判断选项D 【详解】选项A,若，，，则与不一定平行；当，若，则，故A错误； 选项B，若，，，则，正确； 选项C，若，，，则或，错误； 选项D，若，，，则不一定成立，与位置关系可能为平行，相交或、垂直，故D错误； 5. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 6. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 7. 已知 ，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和差的正弦公式和余弦公式化简计算即可. 【详解】因为，， 所以， 所以．， 所以， 所以． 8. 中，，，为边上的中点，，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理和三角形中线长公式求出与的乘积，再代入三角形面积公式计算即可. 【详解】设，，， 在中，由余弦定理得：， 又，，，则 ①； 因为为边的中点，为边上的中线， 所以， 又，则②， 由得：，解得， 由三角形面积公式：， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，则为等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】A.直接利用正弦定理求解判断；B.根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断；C.利用正弦定理边化角，然后整理计算；D.利用余弦定理计算求解. 【详解】对于A：若，，，由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，A正确； 对于B：只能推出，为锐角，但不确定角的大小，故不能确定的形状，B错误； 对于C：由及正弦定理得，即， 所以，在中有或，所以为等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D：由已知，整理得，即，所以，则，即为等边三角形，D正确. 故选：AD. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线上的两点，若，求__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 13. 若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 14. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 【答案】 【解析】 【详解】底面周长， ， 当圆柱与球外接时，球体积最小， 圆柱外接球球心在圆柱上下底面圆心连线中点， 轴截面是矩形长，宽， 矩形对角线就是球的直径， ，， 球体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点，圆． （1）若直线与圆C相切，求直线的方程； （2）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，进行求解； （2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可. 【小问1详解】 由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2. 当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为．综上，直线l的方程为或． 【小问2详解】 因为直线l被圆C所截得的弦长为， 所以圆心到直线l的距离为． 由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，则圆心到直线l的距离，解得或． 故直线l的方程为或． 16. 如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点. （1）若，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据得到，，可得； （2）设，根据得到，，代入，解得，可得，从而可得椭圆方程. 【详解】（1）若，则和为等腰直角三角形．所以有，即．所以，． （2）由题知，，设， 由，得，所以 ，． 代入，得． 即，解得．所以， 所以椭圆方程为． 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题. 17. 如图三棱锥中，，，平面平面．平面平面． （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：在内任取一点，过点作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而得线线垂直，即可根据线面垂直的判定求证， （2）根据等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面， ，，就是二面角的平面角， ，， ， 所以三棱锥的体积． ,,故, 又，，， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积，， 所以点到平面的距离为． 18. 直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2）12 （3）由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 过点作平行于轴的直线交轴于点，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为 6， 四边形是梯形，其上底为，下底为 ，高为 2， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和，其斜率 ， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得. 所以，直线必过定点，该定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程； （2）设直线方程，代入点得到直线方程，然后得到交点坐标，由交点坐标计算三角形面积，然后利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设，利用得到.再设，根据四边形面积得到关系式，代回直线方程，求出定点得解． 【小问1详解】 由题意可设直线， 所以，所以， 即. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，不存在点，舍去. 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴，当且仅当，即时取等号， ∴. 【小问3详解】 略 19. 现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. （1）若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），轨迹是以为圆心、为半径的圆 （2）（i）；（ii）存在，点 【解析】 【分析】（1）根据题设定义得到，再利用两点间的距离公式，即可求解； （2）（i）根据条件可得直线为圆和的公共弦所在直线，即可求解；（ii）根据题设得到圆的方程为，再根据题设有，联立，消可得，结合条件，利用根与系数的关系，即可求解. 【小问1详解】 设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. 【小问2详解】 （i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期10月月考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆的焦距是2，则实数的值为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 3或5 3. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是空间中的两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 8. 中，，，为边上的中点，，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，则为等边三角形 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线上的两点，若，求__________. 13. 若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 14. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点，圆． （1）若直线与圆C相切，求直线的方程； （2）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 16. 如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点. （1）若，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程. 17. 如图三棱锥中，，，平面平面．平面平面． （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为，求点到平面的距离． 18. 直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 19. 现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. （1）若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $