15.1.2 线段的垂直平分线 （第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时）（教学设计） 年级 八年级 学科 数学 课题 15.1.2 线段的垂直平分线 课时 第1课时 教材 人教版（2024）八年级数学上册第十五章 课型 新授课 授课教师 ＿＿＿＿＿＿ 授课班级 ＿＿＿＿＿＿ 一、教材分析 上一节课认识了轴对称，知道对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线。这句话里藏着两个词：垂直、平分。本节课就专门来把“垂直平分线”这条线摸透——它上面的点有什么本事，一条线要满足什么条件才能算垂直平分线。看似是在抠一个概念，实际是在给整章找一个支点。 为什么这么说？往下看就知道。后面作轴对称图形要用它确定对称点，等腰三角形的“三线合一”要用它来推，角平分线、尺规作图也少不了它。这节课的两个结论——性质定理和判定定理，是初中几何里用得最勤的一对工具。尤其是“线段垂直平分线上的点到两端点距离相等”这一条，往后每到要证两条线段相等，学生脑子里第一反应就该是它。 教材还借这一节引出一个新知识点：互逆命题与互逆定理。这不是凭空加的。垂直平分线的性质定理和判定定理，题设和结论正好倒过来，是天然的互逆命题样本。教材顺水推舟，让学生看看“原命题对了，逆命题是不是一定对”，再让学生知道：只有逆命题也被证明成立，才配叫互逆定理。这一步把学生的逻辑意识往前推了一层。 二、学情分析 到这一节，学生手里已经有了轴对称图形的概念和“对称轴垂直平分对称点连线”这条性质，起点不算低。但班里的实际情况是：会动手的比会讲理的多。让他们量一量AP和BP，十个有九个能发现相等；可要他们把这个发现写成“已知、求证、证明”，立刻卡住一大半。 我还摸到两个具体毛病。一是习惯用全等去证垂直平分线的题，一看有垂足有中点就想证三角形全等，绕了远路还不知道。这一节我打算反复提醒他们：能用垂直平分线的性质定理直接得，就别去证全等。二是“互逆命题”这一块，学生容易想当然地认为“原命题真，逆命题就真”，对顶角的例子正好能打掉这个错觉。 另外，咱们学生语言表达普遍偏弱，把“如果……那么……”这种形式说清楚有难度。所以例3我打算一步一步带着他们拆：先找题设和结论，再交换，最后补上连接词。 三、教学目标 1．能说出线段垂直平分线的定义，会判断一条直线是不是某条线段的垂直平分线。 2．经历量一量、折一折的过程，探究并掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能用它们进行有关的计算和证明，并逐步甩掉逢题就证全等的习惯。 3．能分清命题的题设与结论，会由一个原命题写出它的逆命题，知道“原命题正确，逆命题不一定正确”，初步认识互逆命题与互逆定理。 4．在动手操作和归纳结论的过程中，慢慢学会从特殊例子中看出规律、再把规律讲清楚。 四、教学重点与难点 教学重点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理。 教学难点：性质定理与判定定理的理解与应用，尤其是判断“该用哪一条”。 五、教学准备 多媒体课件，每人一把直尺、一支铅笔；教师准备细木条一根、橡皮筋一根。 六、教学过程 （一）复习导入（约3分钟） 【教师活动】 上课我先把上节的话头接上，抛两个小问题：线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？学生答完，我再追问一句：什么叫线段的垂直平分线？学生说得出定义就够了，我不多绕。 接着我把话题引到今天要说的事上——这条垂直平分线，除了叫法好听，它身上还藏着什么规律？一条直线凭什么样的条件才配叫垂直平分线？这节课咱们就干这两件事。说完我在黑板正中写下课题。 【学生活动】 回忆线段的对称轴与垂直平分线的定义，明确本节课要研究的两件事。 （二）探究线段垂直平分线的性质（约9分钟） 1．量一量 【教师活动】 我拿出课前准备好的细木条和它上面的点，一边演示一边讲：木条l和线段AB钉在一起，l恰好垂直平分AB。l上我点了P1、P2、P3这么几个点，请学生分别量一量，每个点到A、到B的距离各是多少，把数据记在本子上。 学生量完，我请几个人报数据。报着报着，底下自己就有人喊起来：一样长。我不急着收，再让他们取一个新点试试。反复几次，规律就冒出来了。 【学生活动】 用直尺量出P1、P2、P3到A、到B的距离，把数据填在表格里，比较每组的两个数，说说发现了什么。 2．把实物问题画成图 【教师活动】 我提醒学生：木条是实物，几何里得把它画成图。于是先在纸上作线段AB，过AB的中点作AB的垂直平分线l，在l上取P1、P2、P3，连起AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3。再让他们用直尺量一量、讨论讨论，看看是不是还保持刚才那个规律。 【学生活动】 把实物问题转化为平面图形，重新量一量、比一比，确认结论不变。 3．归纳并证明 【教师活动】 到这儿我把结论写上黑板： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。即AP1=BP1，AP2=BP2… 学生知道结论了，我偏要追问一句：光量出来能算数吗？得给出道理。于是我带着他们走两条路。 证法一：利用两个三角形全等判定。 如图，在△APC和△BPC中， PC=PC，∠PCA=∠PCB=90°，AC=BC， ⇒△APC≌△BPC，⇒PA=PB。 证法二：利用轴对称性质。由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线l对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的。 【学生活动】 先跟着老师把两种证法的思路走一遍，再自己动手，挑一种证法在本子上完整写出来，同桌互相看看书写是否规范。 【设计意图】 同一个结论给出两种证法，学生就明白“能证”不代表“只有一条路”。证法二借着上节的轴对称，顺带说明新旧知识是连着长的。 （三）探究线段垂直平分线的判定（约9分钟） 【教师活动】 我带学生换个角度想问题。屏幕上放出一个“弓”的图：一根木棒、一根弹性均匀的橡皮筋，“箭”从木棒中央的孔里射出去。我问：怎么才能让箭射出去的方向跟木棒垂直？为什么？ 学生先凭感觉说，说不到点子上。我就带他们把实物画成图：作线段AB，取中点P，过P作l，在l上取P1、P2，连AP1、AP2、BP1、BP2。然后一起讨论：要让l与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2得满足什么条件？ 顺着往下推：如图(1)，若AP1≠BP1，沿l把图形折起来，A与B合不上，也就是∠APP1≠∠BPP1，说明l与AB不垂直；如图(2)，若AP1=BP1，沿l折叠，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，说明l与AB垂直。AP2=BP2时也一样。 推到这里，结论自己就站出来了： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【教师活动】 我把话往回收一收，做个点透：这两个结论合起来看，线段垂直平分线其实就是“到线段两端点距离相等的所有点”凑成的一条线。反过来说，只要一个点到两端点距离相等，它就一定落在垂直平分线上。这条判定以后有大用处。 【学生活动】 在图上跟着推两种情形，说清“为什么会垂直”；自己再画几个点验证一下判定结论，把性质和判定分别记在笔记本的两栏里。 【易错提醒】 我把性质和判定并排写在黑板上，让学生看看区别——一个是从“点在线上”出发得到“距离相等”，另一个是从“距离相等”出发得到“点在线上”。方向反了，用处就不同。以后做题，先看题目给的是哪一头。 【设计意图】 性质和判定本来就是一对，放在一起探究、一起对比，学生才能记住“谁的题设、谁的结论”，不至于用错。 （四）互逆命题与互逆定理（约7分钟） 【教师活动】 屏幕上并排写出刚学的两个命题，我问：它们的题设和结论有什么关系？ 学生一看就发现，正好反过来。我把名字补上：题设和结论正好相反的两个命题，叫作互逆命题，一个叫原命题，另一个叫它的逆命题。 接着做两个小练习。我请大家写出“对顶角相等”的逆命题。 原命题：对顶角相等。 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。 然后连着抛三问：(1)原命题是“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，它对吗？逆命题对吗？——都对。(2)“对顶角相等”对吗？它的逆命题对吗？——原命题对，逆命题不对。(3)那你从中能得出什么？ 学生自己就说出来了：原命题正确，逆命题不一定正确。我再请他们举几个例子，把这句话坐实。 【教师活动】 最后再往前推一步。我问：线段垂直平分线这两条命题，都是真命题，而且都经过了推理证明，那它们是不是都能叫定理？学生说能。我就把互逆定理的定义写出来： 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理。其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 【学生活动】 说出两个命题的题设与结论，自己动手写出“对顶角相等”的逆命题，判断两对命题的真假并举例说明；理解“逆命题真了，而且要经过证明，才配叫逆定理”。 【设计意图】 用垂直平分线自己的两条定理当例子，学生不觉得“互逆命题”是凭空冒出来的一套说法。对顶角这个反例最有用，一下就把“原命题真则逆命题真”的错误想法打掉。 （五）典例精讲（约8分钟） 例1 如图所示，AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由。 解：连接BC，因为AB=AC， 所以点A在线段BC的垂直平分线上。 同理，D点也在线段BC的垂直平分线上。 因为两点确定一条直线， 所以AD所在的直线是线段BC的垂直平分线。 因为E是AD延长线上的一点，所以BE=EC。 用性质、用判定的时候，这几句话得记牢： (1)线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一，在应用时要注意分清条件与结论，防止混淆。 (2)线段垂直平分线的图形结构中，含有全等三角形，但在应用时，一般情况下不要用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加麻烦。 【讲解思路】 这道题的关键不在于最后那句“BE=EC”，而在于中间那步“两点确定一条直线”。学生第一次见“由两个点都在垂直平分线上，推出整条直线就是垂直平分线”，会觉得有点绕。我就在黑板上把点A、点D分别圈出来，问一句：一个点在线段BC的垂直平分线上，能定下这条线吗？不能，过一点的直线有无数条。两个点呢？学生就明白了。 【学生活动】 先独立读题、想思路，再同桌互相说一遍“为什么可以断定AD是垂直平分线”；请一名学生上黑板完整书写过程。 例2 如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE。 (1)求证：AB=EC； (2)若△ABC的周长为20 cm，AC=9 cm，求DC长。 (1)证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE=EC， ∵AD⊥BC，BD=DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB=AE， ∴AB=EC。 (2)∵△ABC的周长为20 cm， ∴AB+BC+AC=20 cm， ∵AC=9 cm， ∴AB+BC=11 cm， ∵AB=EC，BD=DE， ∴DC=DE+EC=½BE+½EC+½EC =½BC+½AB =½(AB+BC) =5.5 cm。 【易错提醒】 第(1)问里，学生容易一上来就去证两个三角形全等，其实用垂直平分线的性质一步就到。第(2)问是本节最容易出错的地方——DC这条线段既不是题目给的，也不能直接量，得靠DE=½BE、EC=AB这些关系一步步把线段“拼”出来。学生常见错误是没看出AD是BE的垂直平分线，卡在第一步就动不了。我提醒他们：图上看着相等的，一定要在题里找到依据。 【学生活动】 小组合作完成两道小题，一组派代表板演；板演后全班对照检查每一步的依据写没写全。 例3 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明。 (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除。 (3)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (4)对顶角是有公共顶点且相等的角。 【解析】(1)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线。 判断：真命题。 (2)逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5， 判断：真命题。 (3)逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形。判断：真命题。 (4)逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角； 是假命题。 反例如下：如图，∠1=∠2，且有公共顶点O，但这两个角不是对顶角； 要把逆命题写对，诀窍是先给原命题套上“如果……那么……”的框子，把题设和结论分开，再交换位置、补上连接词。 【讲解思路】 我把例3当成“手法训练”来做，不图快。第(1)(2)(3)题按部就班拆题设、换结论就行；第(4)题是重头戏——学生写出“有公共顶点且相等的两个角是对顶角”后，很多人一口咬定是真命题。我就让他们照着这句话动手画：画一个公共顶点、度数相等、但不是对顶角的一对角。一画就知道不对，“对顶角”还要求两边互为反向延长线。反例一画出来，比讲十句都管用。 【学生活动】 逐题写出逆命题，对的打勾，遇到假的画出反例；做完后前后桌交换检查，重点看反例画得对不对。 【设计意图】 例1练性质与判定的配合，例2练在复杂图形里挑定理，例3练文字转换与反例意识。三道题各管一段，把本节四件事串起来。 （六）当堂检测（约6分钟） 1．如图，△ABC中，AD是BC的垂直平分线，则下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B=∠C　　　　　　B．AB=AC C．AD平分∠BAC　　　　D．AB=2BD 2．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB。其中正确的个数有（　　） A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 3．下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．直角三角形的两锐角互余 B．同位角相等，两直线平行 C．有两边相等的三角形是等腰三角形 D．全等三角形的对应角相等 4．命题“偶数一定能被2整除”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 5．(2024·镇江中考)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD。若AC=8，CD=5，则BD=＿＿＿＿＿＿＿＿。 6．风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史。如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB=AD，BC=CD，AC=90 cm，BD=60 cm，制作这个风筝需要的布料至少为＿＿＿＿＿＿＿＿cm²。 7．按要求解答下列各小题。 (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果a+b>0，那么ab>0； (2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否互为逆定理。 8．如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。 9．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E。 (1)若BC=15，DE=4，则AD+AE=＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上。 【处理方式】 第1～4题当堂笔答，做完对答案，第2题让学生逐条说理由；第5、6题让做得快的同学说思路，第6题顺便提一句“垂直平分线也能用来解决面积问题”；第7、8、9题作为思考题，做不完的留到课后，下节课开头讲评。 （七）课堂小结（约3分钟） 下课前我留三分钟，让学生合上本子先说：线段的垂直平分线有哪两句话？这两句话是什么关系？然后我再补一句问：学完这一节，“证明线段相等”这件事，除了证全等，你又多了一条什么路？学生说完，我把性质、判定、互逆命题三层内容在黑板上连成一张图。 七、板书设计 课题：15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时） 左侧（两条定理）—— 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 判定：与线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 （性质与判定互逆，都是定理） 中间（互逆命题与互逆定理）—— 原命题正确，逆命题不一定正确。 互逆定理：逆命题经过证明是真命题。 右侧（例题与板演）—— 例1 例2 例3 八、作业布置 1．教科书P67练习第1，2题。 2．自己在作业本上画一条线段，作出它的垂直平分线，再在这条线上取三个点，量一量它们到两端点的距离，把数据写下来，看看有没有反例。 九、教学反思 这节课上下来，“量一量”那一段最见效。学生手里有尺子，量出来的数是实打实的，用不着我多铺垫，规律自己就浮出来了。后来让他们自己取新点再验证一次，我看有几个孩子量得特别认真，还专门找了一个离得远的点，这就是动脑子了。 麻烦出在性质与判定的区分上。虽然我在黑板上把两句话并排写了，可做当堂检测第2题时，四个说法里①②③④哪个对哪个错，班里能全对的没几个。学生对“点在线上的方向”和“距离相等的方向”还是没吃透。看来光靠一节课的并排展示不够，得在后面的题里反复练这种“哪头是题设”的判断。 还有一处我得承认处理得不够好：例2第(2)问那种“把线段拼起来”的算法，我一讲学生就点头，让他们自己做就发懵。下节课我打算出一道类似的题，不给提示，让他们先自己碰一碰，碰不动再讲，这样印象应该更深。 至于互逆命题这一块，对顶角的例子效果不错，好几个学生写完逆命题之后自己就笑了——“这也太不像话了”。这种“自己发现错误”的体验，比我说一百遍“逆命题不一定对”都有用。 学科网（北京）股份有限公司 $