3.1.1第二课时与椭圆有关的轨迹问题作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 同步练习聚焦椭圆轨迹问题，分基础巩固（9题）和能力进阶（5题），梯度从定义直接应用到综合情境，巩固知识并发展数学思维与表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆定义直接应用（如1-3题）、简单轨迹方程求解（题6-7）|选择填空为主，夯实概念理解，体现数学眼光的抽象能力| |能力进阶|动圆相切（题11）、开放探究（题13）、综合斜率与距离（题12）|综合题型为主，提升推理与模型构建能力，发展数学思维与语言表达|

3.1.1第2课时　与椭圆有关的轨迹问题 【基础巩固】 1．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是(　　) A. ＝1(x≠±3) B．＝1(x≠±2) C．＝1(x≠±3) D．＝1(x≠±2) 解析：A　在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6＞|BC|＝4，则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝，所以顶点A的轨迹方程是＝1(x≠±3)． 2．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A．＝1(x≠0) B．＝1(x≠0) C．＝1(x≠0) D．＝1(x≠0) 解析：B　由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)．得|AB|＋|AC|＝12＞|BC|，所以顶点A的轨迹是椭圆，其中2a＝12，2c＝8，∴a＝6，c＝4，∴b2＝36－16＝20. 方程为＝1(x≠0)． 3．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，则顶点C的轨迹方程为(　　) A．＝1　　　 B．＝1 C．＝1(y≠0) D．＝1(y≠0) 解析：C　设点C(x，y)，则kAC·kBC＝(y≠0)， 所以(y≠0)， 化简得＝1(y≠0)． 4．(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹可能是(　　) A．圆　 B．线段　 C．椭圆　 D．直线 解析：BC　∵F1(0，－3)，F2(0，3)，∴|F1F2|＝6.又a＞0， ∴|PF1|＋|PF2|＝a＋＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立． 当a＋＝6时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时点P的轨迹是线段F1F2； 当a＋＞6时，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆．故选BC. 5．设A1，A2是椭圆＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：C　设交点为P(x，y)，A1(－3，0)， A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)， ∵A1，P1，P共线，∴， ∵A2，P2，P共线，∴. 两式相乘得， ∵P1(x0，y0)在椭圆＝1上， ∴＝1，∴＝4， 将代入得， ∴P点的轨迹方程为＝1. 6．(2026·上海浦东期中)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为______________． 解析：由B(0，－2)，C(0，2)，得|BC|＝4.△ABC周长为12，故|AB|＋|AC|＝12－4＝8. |AB|＋|AC|>|BC|，所以点A轨迹为焦点在y轴上的椭圆，除去与B，C共线两点． 设椭圆方程＝1(a＞0，b＞0)．椭圆焦点在y轴上，2a＝8，a＝4，c＝2，b2＝a2－c2＝12，所以得椭圆方程为＝1. A不在直线BC上，故x≠0.顶点A的轨迹方程为＝1(x≠0)． 答案：＝1(x≠0) 7．若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是________． 解析：点P的坐标为(x，y)，则由题意得， 整理得2x2＋3y2＝6，即＝1，所以动点P的轨迹方程是＝1. 答案：＝1 8．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 解：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)、半径为r， 由题意动圆M内切于圆C1， ∴|MC1|＝13－r. ∵圆M外切于圆C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8. ∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8. ∴b2＝a2－c2＝64－16＝48， 故所求轨迹方程为＝1. 9．如图，已知点B的坐标为(2，0)，P是以点O为圆心的单位圆上的动点(不与点C，D重合)，∠POB的角平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程． 解：由三角形的角平分线性质知＝2，∴. 设点Q(x，y)，P(x0，y0)(y0≠0)， 则(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)， ∴∴ ∵y0≠0，∴y≠0. 又点P在圆O上，∴2＋2＝1，即2＋y2＝(y≠0)，此即点Q的轨迹方程． 【能力进阶】 10．设定点F1(－4，0)，F2(4，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝t＋(t＞0)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．椭圆或射线 C．椭圆或线段 D．不存在 解析：A　因为t＞0，所以t＋＝t＋，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，故选A. 11．(多选)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝81，动圆C与C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：AB　圆C1：(x＋3)2＋y2＝1的圆心C1(－3，0)，半径为1， 圆C2：(x－3)2＋y2＝81的圆心C2(3，0)，半径为9，设动圆C的半径为r，当圆C与圆C1外切时，可得|CC1|＝r＋1，当圆C与圆C2内切时，可得|CC2|＝9－r，故|CC1|＋|CC2|＝10＞|C1C2|，可得C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，可得方程为＝1；当圆C与圆C1内切时，可得|CC1|＝r－1，当圆C与圆C2内切时可得|CC2|＝9－r，故|C1C|＋|CC2|＝8＞|C1C2|，可得C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为8，焦距为6，短轴长为2，可得方程为＝1.故选AB. 12．在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan ∠CAB·tan ∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为________． 解析：设C(x，y)，则tan ∠CAB＝，tan ∠CBA＝，∴＝2，x≠±2， 整理得＝1，x≠±2. 答案：＝1，x≠±2 13．在平面直角坐标系xOy中 ，A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足|PA|2＋|PB|2＝4. (1)求点P的轨迹方程． (2)过点P作y轴的垂线PD，D为垂足．若________，当点P运动时，求点M的轨迹方程． 在①，②这两个条件中任选一个，补充到横线中，并求解问题． 解：(1)设点P(x，y)，则(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝4， 化简得x2＋y2＝1. (2)若选择①，设M(a，b)，P(x，y)，D(0，y)，∵，∴(a－x，b－y)＝(－x，0)， ∴解得∴a2＋b2＝1，即点M的轨迹方程为x2＋y2＝1. 若选择②，同理可得∴9a2＋b2＝1，则点M的轨迹方程为9x2＋y2＝1. 14．已知P是椭圆＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程是________． 解析：如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数，且a＞0)． ∵|PQ|＝|PF2|， ∴|PF1|＋|PQ|＝2a， 即|QF1|＝2a. 由题意知，a＝2，b＝＝1， ∴|QF1|＝4，F1(－1，0)， ∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16. 答案：(x＋1)2＋y2＝16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1第2课时　与椭圆有关的轨迹问题 【基础巩固】 1．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是(　　) A. ＝1(x≠±3) B．＝1(x≠±2) C．＝1(x≠±3) D．＝1(x≠±2) 2．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A．＝1(x≠0) B．＝1(x≠0) C．＝1(x≠0) D．＝1(x≠0) 3．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，则顶点C的轨迹方程为(　　) A．＝1　　　 B．＝1 C．＝1(y≠0) D．＝1(y≠0) 4．(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹可能是(　　) A．圆　 B．线段　 C．椭圆　 D．直线 5．设A1，A2是椭圆＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 6．(2026·上海浦东期中)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为______________． 7．若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是________． 8．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程． 9．如图，已知点B的坐标为(2，0)，P是以点O为圆心的单位圆上的动点(不与点C，D重合)，∠POB的角平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程． 【能力进阶】 10．设定点F1(－4，0)，F2(4，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝t＋(t＞0)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．椭圆或射线 C．椭圆或线段 D．不存在 11．(多选)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝81，动圆C与C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 12．在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan ∠CAB·tan ∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为________． 13．在平面直角坐标系xOy中 ，A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足|PA|2＋|PB|2＝4. (1)求点P的轨迹方程． (2)过点P作y轴的垂线PD，D为垂足．若________，当点P运动时，求点M的轨迹方程． 在①，②这两个条件中任选一个，补充到横线中，并求解问题． 14．已知P是椭圆＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程是________． 学科网（北京）股份有限公司 $