精品解析：山东菏泽市郓城县武安镇五界中学2025-2026学年七年级下学期第二次学情自测数学试题

初一数学阶段检测 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 2. 已知三角形的两边长分别为和，则该三角形第三边的长不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 画出边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 无法确定 D. 三条中线的交点 6. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，．若，则的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 9. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 11. 下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列两图形成轴对称的是（    ） A. B. C. D. 二、填空题(每题4分，共20分） 13. 如图所示，，使，则需要添加的条件是 __________． 14. 已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为_________． 15. 等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是___________． 16. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ________．（只填序号） 17. 如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是________．（填序号） 三、解答题 18. 如图，在和中，延长交于F．，，． 求证：． 19. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 21. 《诗经》有云：“蒹葭苍苍，白露为霜．所谓伊人，在水一方．”学校某项目学习小组为了解园林中某片水域的宽度，实地进行了有关测量，记录如下： 项目主题 测量水域的宽度 测量工具 激光笔、测角仪、卷尺、标杆等 测量方案示意图 测量步骤 ①在水域一侧的点处，将激光笔放置在与该水域垂直的方向上，激光笔光线指向了对岸的点处； ②从点出发，沿与垂直的方向走到点处，在点处竖直立起一根标杆后，继续沿之前的方向走同样的距离到达点处； ③再从点出发，沿与垂直的方向走到恰好被标杆遮挡，看不见点的点处 测量数据 ，， （1）该项目学习小组能据此知道该片水域的宽度吗？如果能，请求出水域的宽度；如果不能，请说明理由； （2）你认为在实地测量时，可能会遇到哪些困难？ 22. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧， （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 24. 如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合）．以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE． （1）①试说明：； ②若，求的度数． （2）设，，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 25. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学阶段检测 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 2. 已知三角形的两边长分别为和，则该三角形第三边的长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，需牢记任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 根据三角形三边关系定理，第三边应大于两边之差且小于两边之和 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴，即， 选项A中1不在该范围内，故不可能 故选：A 3. 画出边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高．根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：画出边上的高为 故选：C． 4. 小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，理解三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状，据此即可解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，只有C构成了三角形的结构． 故选：C． 5. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 无法确定 D. 三条中线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：D． 6. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形中两个底角相等，此题中一个角是，有可能是顶角，也有可能是底角，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形两个底角相等， 设给定角为． 若为顶角，则底角度数为． 若为底角，则底角度数为． ∴ 底角为或． 故选：D． 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，．若，则的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据邻补角定义求出、的度数，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 9. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 10. 现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中点的意义求得，再分“，”、“，”两种情况，分别求出妞妞的运动速度． 【详解】解：∵，E是边的中点， ∴， ∵，且与全等， ∴，或，， 当，时， ∵，， 设运动时间为t，， 解得：， ∴， 此时妞妞的运动速度为：， 当，时，， 解得：， 此时，妞妞的运动速度为：， 故选：C． 11. 下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 12. 下列两图形成轴对称的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 二、填空题(每题4分，共20分） 13. 如图所示，，使，则需要添加的条件是 __________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 要使，已知一组边与一组角相等，再添加一组对边即可以利用判定其全等． 【详解】解：添加 ∵ ∴， ∵， ∵， ∴， 亦可添加或， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为_________． 【答案】3或13 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．分，和三种情况分别求出x的值，从而确定出三角形的三边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，最后根据三角形的周长的定义即可求解． 【详解】解：分以下三种情况： ①当， 解得， ，， 三角形的三边分别为8、8、13，， ∴此时能组成三角形； ∴底边长为13； ②， 解得， ， 三角形的三边分别为13、13、3，， ∴此时能组成三角形，底边为3； ③， 解得， 综上所述，该三角形的底边等于3或13． 故答案为：3或13 15. 等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解． 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，与另一腰的夹角为， ①当为锐角三角形时，高在三角形内部，如图， 在中，，，则， ②当为钝角三角形时，顶角为钝角，高在外部，即点在的延长线上，如图： 在中，，， 则， 综上，该等腰三角形的顶角的度数是或， 故答案为：或． 16. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ________．（只填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 17. 如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是________．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴AM＝BM，∠MAP＝∠MBP，∠ANM＝∠BNM，AP＝BP，△AMP≌△BMP， ∴①②③⑤正确，而④错误． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 三、解答题 18. 如图，在和中，延长交于F．，，． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由“”可证，可得结论． 【详解】略． 19. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ． （2）5 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 20. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2） 证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 【解析】 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 《诗经》有云：“蒹葭苍苍，白露为霜．所谓伊人，在水一方．”学校某项目学习小组为了解园林中某片水域的宽度，实地进行了有关测量，记录如下： 项目主题 测量水域的宽度 测量工具 激光笔、测角仪、卷尺、标杆等 测量方案示意图 测量步骤 ①在水域一侧的点处，将激光笔放置在与该水域垂直的方向上，激光笔光线指向了对岸的点处； ②从点出发，沿与垂直的方向走到点处，在点处竖直立起一根标杆后，继续沿之前的方向走同样的距离到达点处； ③再从点出发，沿与垂直的方向走到恰好被标杆遮挡，看不见点的点处 测量数据 ，， （1）该项目学习小组能据此知道该片水域的宽度吗？如果能，请求出水域的宽度；如果不能，请说明理由； （2）你认为在实地测量时，可能会遇到哪些困难？ 【答案】（1） 该项目学习小组能根据测量数据知道该片水域的宽度， 理由：，， ， 在和中， ， ， ， 水域的宽度为； （2）在实地测量时，水域两岸可能不是直线，所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答； （2）根据在实地测量时，水域两岸可能不是规则的直线，所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：我认为在实地测量时，水域两岸可能不是规则的直线， 所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差． 22. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出≌是解此题的关键． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ， 23. 如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质解答．根据等腰三角形的三线合一的性质得出平分，，进而解答即可． 【详解】解：，为的中线， 平分，， 平分， ， ， ， ． 24. 如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合）．以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE． （1）①试说明：； ②若，求的度数． （2）设，，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）①∵， ∴，即：． 在 和中： ∴． ② （2） 【解析】 【分析】（1）①通过角的等量关系得到，再结合已知边相等，利用判定； ②先由全等得到角的关系，结合等腰直角三角形的性质推导的度数． （2）通过全等三角形的角的关系，结合三角形内角和，推导与的数量关系． 【小问1详解】 解：①略 ②∵，， ∴． 由①知，， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由①知，，则． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是通过角的和差得到全等所需的角相等条件，再利用全等三角形的性质推导角的关系，进而得到角度或数量关系． 25. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：①∵， ∴． ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴； ②由①得， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； （3） ． 由上述可知， ∴, ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等， 对于（1），①根据“同角的余角相等”得，再根据“角角边”可得答案； ②根据全等三角形的对应边相等得出，再根据得出答案； 对于（2），先根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（3），仿照上述过程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $