九章算术专题训练--2026-2027学年统编版七年级历史上册

统编版·人教最新版《中国历史》七年级上册（2026年秋） 七年级上册九章算术 专题训练 专题复习　贯通第三单元（秦汉时期：统一多民族封建国家的建立和巩固） （说明：本专题训练共 14 题，满分 100 分，建议 45 分钟独立完成） 一、方法指导 1．《九章算术》是中国现存最早、最重要的数学典籍之一，成书于秦汉之际、经汉代整理定型，因分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章而得名。它系统总结了先秦至汉代的数学成就，以解决实际问题的算经形式写成。要读懂它，须看清其成书背景、内容体系与历史地位，方能体会古代中国数学“经世致用”的特质，并理解统一王朝对科技整理的作用与意义。 2．秦汉大一统后，土地丈量、赋税征收、粮食调配、工程营建等实务剧增，对计算提出了迫切需求。先秦各国算法各异，汉代亟需一部统一而实用的算书。正是在这样的背景下，《九章算术》汇集各家算法、以例题带算法编成，成为官方与民间共用的数学课本，是时代需求催生的实用之学，亦见统一对学术整合的推动之功。，足资考见一时之风气。 3．全书九章，各有侧重。“方田”讲田亩面积，“粟米”讲粮食比率，“衰分”讲按比例分配，“少广”由面积求边长（含开方），“商功”讲土方工程，“均输”讲赋税运输，“盈不足”讲盈亏算法，“方程”讲联立方程（用算筹布列），“勾股”讲勾股定理应用。其内容紧贴农政与工程，体现算学为实务服务，是一部以应用题见长的算经，足见其体例之严密。 4．《九章算术》确立了中国古代数学以算经为体、以应用题为主的传统，其“率”的思想与方程术领先世界。它影响了此后千余年的数学教育，并随文化交流东传朝鲜、日本，西传后经翻译影响了阿拉伯与欧洲数学。在世界数学史上，它与希腊几何学并称两大体系，彰显东方数学的独特路径，亦为后世算学立一范式。，足资考见一时之风气。 5．复习宜分三层。其一识其貌：知成书于秦汉、分九章、以应用题形式编写。其二明其内容：记各章所司（田亩、比率、工程、方程、勾股等），尤须懂“方程”“勾股”之名实。其三通其脉：把它与秦汉其他成就（造纸、地动仪）并列，看统一王朝对科技的整理与推动，并联系其世界影响。论述须有依据，勿把后世算法妄加于汉，亦勿轻其经世之旨。 二、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．《九章算术》成书并定型于 A．秦汉之际（汉代整理） B．春秋时期 C．唐代 D．宋代 2．其“九章”指的是 A．九位数学家 B．九座城市 C．九种兵器 D．九类数学问题的分类 3．下列章节中，用于土方与工程计算的是 A．方田 B．商功 C．粟米 D．勾股 4．“方程”章所讲的内容相当于今天的 A．平面几何 B．圆周率计算 C．联立方程（算筹布列求解） D．天文历法 5．《九章算术》的编写形式是 A．以例题带算法的应用题算经 B．纯理论几何证明 C．诗歌体口诀 D．神话故事 6．它得以编成的重要背景是 A．印刷术的普及 B．对外战争的刺激 C．秦汉实务（田亩赋税工程）对计算的急需 D．宗教传播的需要 7．在世界数学史上，《九章算术》常与下列哪者并称两大体系 A．阿拉伯代数 B．希腊几何学 C．印度三角 D．埃及分数 8．下列关于《九章算术》的表述，准确的是 A．它是欧洲人撰写 B．它专讲占卜 C．它成书于明清 D．它确立了中国算经传统并影响东亚与阿拉伯数学 9．《九章算术》中涉及按比例分配的是 A．商功章 B．衰分章 C．勾股章 D．方程章 10．它对中国后世的影响是 A．成为千余年数学教育范本并外传日韩 B．很快被废弃不用 C．仅用于皇家祭祀 D．传入美洲后失传 三、材料题（共 4 道小题，满分 70 分；第 11 题 16 分，第 12—14 题每题 18 分） 第11题　阅读材料，完成下列问题。 　　材料一　史载：汉兴，张苍、耿寿昌皆善算，删补旧文，定著为九章之术；其书田亩、粟米、赋役、工程、勾股之事毕具，官司与庠序多用之，以为程法。足见其成于汉初、用于官私，乃一代之算典。（据有关史籍记载改写） 　　材料二　后世研究者指出：《九章算术》以“问题—算法”相次之体写成，重实用而轻证明；其“率”的思想与“方程”布算之术，较同期西方为早；书成之后东渐朝鲜日本，西经译介而入阿拉伯与泰西算学，影响绵长。（据有关研究与报道改写） 　　（1）根据材料一，指出《九章算术》的整理者、内容与用途。 　　（2）根据材料二，概括其编写特点与领先之处。 　　（3）综合材料一、二，说明《九章算术》的历史地位与影响。 第12题　阅读材料，完成下列问题。 　　材料三　史载：少广章言：田广一步、长多一步者，求为方几何？盖由积求方，开立方法、开方法皆是也；商功章言：穿地求壤、求坚、求墟，以定土方之数。此二章一主开方、一主土方，皆应实务之需。（据有关史籍记载改写） 　　材料四　后世研究者记：秦汉大兴土木、治河垦田，工程计量需求极盛；商功章所列坚壤墟之率，正为土方折算而设，足见算书之成，实根植于当时国家营造之实务。（据有关研究与报道改写） 　　（1）根据材料三，指出少广章与商功章各自所算的内容。 　　（2）根据材料四，概括商功章算法与当时国家实务的关系。 　　（3）综合材料三、四，说明《九章算术》“经世致用”的特质。 第13题　阅读材料，完成下列问题。 　　材料五　史载：方程章言：今有上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，实三十九；问上中下禾实一秉各几何？以算筹列行，正负损益以求之。此即今之三元一次方程组，古人以筹布列为“方程”，用直除与正负术以消元。（据有关史籍记载改写） 　　材料六　后世研究者记：此即今之三元一次方程组，古人以算筹布列为“方程”，用直除与正负术消元，早于西方同类方法数百载，足见其在世界算学上的开创意义。（据有关研究与报道改写） 　　（1）根据材料五，指出方程章例题所表示的问题类型。 　　（2）根据材料六，概括其解法特点与世界意义。 　　（3）综合材料五、六，说明“方程”之名实及其在算学史上的价值。 参考答案详解 二、单项选择题 　　第1题 A；第2题 D；第3题 B；第4题 C；第5题 A；第6题 C；第7题 B；第8题 D；第9题 B；第10题 A 三、材料解析题 第11题 　　（1）其整理者、内容与用途，材料一可作三层看。其一在整理：材料一说“汉兴、张苍、耿寿昌皆善算、删补旧文、定著为九章之术”，说明此书由汉初通算之臣在旧有算法基础上删繁补阙、整理编定，并非一人一时之创作。其二在内容：材料一说“其书田亩、粟米、赋役、工程、勾股之事毕具”，说明它包罗农政、财经、营建与测算诸务，紧贴国家实务。其三在用途：材料一说“官司与庠序多用之、以为程法”，说明它既是官府办事的准则，又是学校教学的范本，官私共用。合而观之，材料一已点明其“成于汉、用于世”的身份，亦见其经世之的。由是而知，一代之兴衰，往往先见于其器与其制。故论其事，当置之于长时段中，方见其流变之迹。以此推之，后世之沿革，多已伏因于此一隅之实证。 　　（2）其编写特点与领先之处，材料二可作两层看。其一在特点：材料二说“以问题—算法相次之体写成、重实用而轻证明”，说明它不走希腊式公理演绎之路，而是以一道道应用题带出解法，务求能算能用。其二在领先：材料二说“率的思想与方程布算之术、较同期西方为早”，说明中国在比例算法与多元一次方程组上的认识早于西方同类成就。合而观之，特点在务实、领先在早出、影响在远播，三者皆足见其于世界算学中之特出地位。总而观之，史之可信，正在其有物可征、有事可验。由此亦可见，论史当以物证与文献相参，未可偏废。要之，器物与制度之兴废，皆与其时社会相表里。观此可知，零散之记载与出土之实物合观，方得其实。综上，文明之演进每于细微处见其大势，治史不可忽。 　　（3）其历史地位与影响，宜由内、外两端合看。就内言：材料一说“定著为九章之术、官司与庠序多用之”，与材料二说“以问题—算法相次之体”相证，说明它奠定了中国算经以应用题为体、以算法为主的传统，成为此后千余年数学教育与运算的范本。就外言：材料二说“东渐朝鲜日本、西入阿拉伯与泰西算学”，表明它参与了世界数学知识体系的形成，与希腊几何学东西并峙。合而观之，《九章算术》既是中国秦汉统一后整理科技、服务实务的结晶，也是人类数学史上与希腊并称的一支源流，其地位正在于贯通了实用与深远两端。此足证，任何工艺与政制之成，皆需求与能力相济之果。由是观之，一代之文物，实为一时代精神之凝定。故曰，读史须于无形处见有形，于器物中见人事。 第12题 　　（1）其内容，材料三可作两层看。其一在少广：材料三里说“田广一步、长多一步者、求为方几何、盖由积求方、开立方法开方法皆是也”，说明少广章解决的是由面积或体积反求其边长与开方的问题，是几何量与代数运算的结合。其二在商功：材料三里说“商功章言、穿地求壤、求坚、求墟、以定土方之数”，说明商功章专算土木工程中挖掘的虚土、实土与夯实后体积之间的折算，是地道的工程数学。合而观之，材料三所举两章，一主开方、一主土方，皆围绕“量”与“算”展开，足见其题皆有现实所本。如此，则材料虽简，而其映照之时代脉络已粲然可寻。是其事虽微，而所系之历史大势，固不可以小视也。要而言之，由器而入史，由史而见世，此治古史之要也。于此亦可知，古人之智慧，每寄于日用与礼俗之间。 　　（2）其关系，材料四可作两层看。其一在背景：材料四说“秦汉大兴土木、治河垦田、工程计量需求极盛”，说明统一王朝的大规模公共工程，使精确计量从可有可无变为必不可少。其二在对应：材料四说“商功章所列坚壤墟之率、正为土方折算而设”，说明书中的算法并非书斋空想，而是直接回应穿地、筑堤、垦田中的折算难题。合而观之，材料四把商功章与秦汉实务一一对锁，可见算书之成，实根植于国家营造之需，亦见统一帝国对算学之倚重。由此可见，承前启后非虚语，实物自有其时代之证言。由是而知，一代之兴衰，往往先见于其器与其制。故论其事，当置之于长时段中，方见其流变之迹。以此推之，后世之沿革，多已伏因于此一隅之实证。总而观之，史之可信，正在其有物可征、有事可验。 　　（3）其特质，宜由章法与时势两端合看。就章法言：材料三所说少广之开方、商功之土方，皆以现实中的田亩与工程为对象，解法直指实用，与材料二所说以问题—算法相次、重实用而轻证明正相吻合。就时势言：材料四所说工程计量需求极盛、商功为土方而设，与材料一所说赋役工程之事毕具相证，说明《九章算术》是把国家实务翻译成算法的“因用而立、以算济务”的经世致用特质，这正是中国古代数学区别于希腊演绎传统的根本所在，亦是其历千载而不废之由。由此亦可见，论史当以物证与文献相参，未可偏废。要之，器物与制度之兴废，皆与其时社会相表里。观此可知，零散之记载与出土之实物合观，方得其实。综上，文明之演进每于细微处见其大势，治史不可忽。 第13题 　　（1）其问题类型，材料五可作两层看。其一在表达：材料五说“今有上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉、实三十九”，说明题中以三种禾各若干捆共得若干实（粮食）设为未知，给出不同组合的总量，构成一个多元一次联立关系。其二在求解方式：材料五说“以算筹列行、正负损益以求之”，说明解法不是用字母符号，而是把各系数排列成行、用算筹摆出矩阵般的行列，再以加减消元得出结果。合而观之，材料五所举正是一个典型的三元一次方程组模型，足见汉代算学已能处理复杂的数量关系，并为后世代数奠基。此足证，任何工艺与政制之成，皆需求与能力相济之果。由是观之，一代之文物，实为一时代精神之凝定。故曰，读史须于无形处见有形，于器物中见人事。如此，则材料虽简，而其映照之时代脉络已粲然可寻。 　　（2）其解法特点与意义，材料六可作两层看。其一在特点：材料六说“以算筹布列为方程、用直除与正负术消元”，说明古人所谓“方程”原指并列为方的算筹行列，其消元与正负数参与运算的技法，已具备近现代线性代数的雏形。其二在意义：材料六说“早于西方同类方法数百载”，说明中国在联立方程上的认识与算法明显领先于相同时期的世界其他文明。合而观之，特点在筹算布列、意义在早出开创，二者皆足见中国代数之源远流长，亦显东方算学之早熟。是其事虽微，而所系之历史大势，固不可以小视也。要而言之，由器而入史，由史而见世，此治古史之要也。于此亦可知，古人之智慧，每寄于日用与礼俗之间。由此可见，承前启后非虚语，实物自有其时代之证言。 　　（3）其名实与价值，宜由名与实两端合看。就名实言：材料五所说以算筹列行，与材料六所说并列为方之方程相证，可知古人以“方”指排列成方阵的算筹、“程”指其行次之数，故“方程”之名实为筹算中的线性方程组，与今之同名而异术。就价值言：材料六所说正负术消元早于西方数百载，与材料二所说率的思想与方程布算之术较同期西方为早相承，表明中国在代数领域的开创性贡献。合而观之，“方程”一名虽古，其内含的联立求解思想却极具现代性，是《九章算术》在世界算学史上最值得珍视的篇章之一。由是而知，一代之兴衰，往往先见于其器与其制。故论其事，当置之于长时段中，方见其流变之迹。以此推之，后世之沿革，多已伏因于此一隅之实证。总而观之，史之可信，正在其有物可征、有事可验。 备考方法点拨 ·　《九章算术》成书于秦汉之际、经汉代整理定型，分九章，是中国最重要的数学典籍之一。 ·　其编成背景是秦汉大一统后田亩、赋税、工程等实务对计算的迫切需求。 ·　全书九章各有所司，含方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。 ·　“方程”章讲联立方程（算筹布列），“勾股”章用勾股定理，领先当时世界数学。 ·　复习宜识其貌、明内容、通其脉，并须以史实立论，勿把后世算法妄加于汉。 学科网（北京）股份有限公司 $