专题02 直线与圆（期中知识清单）高二数学上学期人教B版

专题02 直线与圆（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 直线的倾斜角与斜率 1. 倾斜角：当直线 与 轴相交时，取 轴作为基准， 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角；当直线 与 轴平行或重合时，规定倾斜角为 。故 。 2. 斜率：倾斜角不是 的直线，其倾斜角 的正切值叫做斜率，即 ；当 时，直线斜率不存在。 3. 过两点 、（）的斜率公式：；当 时直线垂直于 轴，斜率不存在。 知识点02 直线的方程 1. 点斜式：，适用斜率存在，过点 斜率为 的直线。 2. 斜截式：，适用斜率存在， 为在 轴上的截距（可正可负可零）。 3. 两点式：，适用两点不重合且不与坐标轴平行。 4. 截距式：，要求横、纵截距 都存在且不为零。 5. 一般式：（ 不同时为 ），所有直线都能表示，是直线方程的统一形式。 知识点03 两直线的位置关系 1. 平行： 且 （一般式）；斜率都存在时等价于 且截距不等。 2. 垂直：；斜率都存在时等价于 （含一条斜率不存在、另一条斜率为 的情形）。 3. 交点：联立两直线方程，方程组有唯一解即相交；无解即平行；有无穷多解即重合。 4. 对称：点关于点成中心对称（坐标取中点）；点关于直线对称用"中点在轴上且连线垂直轴"。 知识点04 圆的方程 1. 标准方程：，圆心 ，半径 。 2. 一般方程：；表示圆的充要条件为 ；此时圆心 ，半径 。 3. 求圆方程常用待定系数法：已知圆心和半径用标准式，已知圆上三点用一般式。 知识点05 直线与圆的位置关系 1. 三种位置：相离、相切、相交，由圆心到直线的距离 与半径 比较判定： 相离， 相切， 相交。 2. 代数法：联立得一元二次方程，用判别式 判定；几何法（比较 与 ）更简便，优先使用。 3. 圆的切线：过圆上一点的切线垂直于过该点的半径；过圆外一点的两条切线长相等。 知识点06 直线与圆的综合应用 1. 弦长：直线被圆截得的弦长 （垂径定理）。 2. 最值： 型、点到直线距离、圆上点到定点距离等最值，多用几何意义（圆心到直线/定点的距离 ）求解。 3. 圆与圆：设圆心距 ，半径 ，则 相交， 外切， 内切。 考点01 倾斜角与斜率 考点内容：由倾斜角求斜率、由两点坐标求斜率，以及斜率不存在的情形；斜率的几何意义、取值范围与符号；倾斜角与斜率的单调对应关系；斜率公式的适用条件（两点横坐标不等） 常见考法： ① 已知倾斜角求斜率：先由倾斜角 α 用 k=tanα 计算；注意 α=90° 时斜率不存在（直线垂直于 x 轴） ② 已知两点坐标求直线斜率 ③ 斜率不存在的识别（） ④ 斜率取值范围与倾斜角范围对应 易错提醒：斜率与倾斜角是一一对应（除 外）； 时 ， 时 ，且 随 增大而增大。 考点02 直线方程的求法 考点内容：根据已知条件选择恰当形式求直线方程，并注意各种形式的适用限制；五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）的结构与互化；斜率不存在时直线的方程写法；截距的含义（截距是坐标值，可正可负可为0，不是距离，截距为0时直线过原点） 常见考法： ① 已知一点和斜率用点斜式：直接套 y−y₀=k(x−x₀)；注意 k 不存在时方程为 x=x₀ ② 已知斜率和截距用斜截式 ③ 已知两点用两点式 ④ 化为一般式统一处理 易错提醒：截距式要求横、纵截距均非零；斜率不存在时不能用点斜式/斜截式，应直接写 。 考点03 两直线的平行与垂直 考点内容：利用一般式系数或斜率判断两直线的位置关系；平行、垂直、相交的充要条件；平行需排除重合（再验截距）；垂直对任意直线（含斜率不存在）均成立 常见考法： ① 由一般式系数判平行（） ② 由一般式系数判垂直（） ③ 含参直线的平行垂直讨论 ④ 利用平行垂直求参数 易错提醒：垂直条件 对任意直线（含斜率不存在）都成立；平行要排除重合，需再验截距。 考点04 距离公式 考点内容：点到直线的距离、两平行线间的距离及其应用；距离公式的结构（分子绝对值、分母无绝对值）；两平行线间距离可化归点到直线距离；距离的最值应用 常见考法： ① 点到直线距离公式：代入点坐标与直线一般式 Ax+By+C=0，用 d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²) 直接计算；注意先把直线化为一般式且 A,B,C 带符号 ② 两平行线间距离 ③ 距离的最值问题 ④ 利用距离判断位置关系 易错提醒：点到直线距离公式 中分子要加绝对值，分母不含绝对值。 考点05 圆的方程 考点内容：根据条件求圆的标准方程或一般方程；标准方程的结构（圆心、半径）；一般方程与标准方程的互化（配方）；表示圆的充要条件（半径平方为正） 常见考法： ① 由圆心半径写标准方程：直接套 (x-a)²+(y-b)²=r²；注意圆心为(a,b)、半径取正值并平方 ② 由一般式求圆心半径 ③ 待定系数求圆方程 ④ 圆的一般方程成立条件 易错提醒：一般方程表示圆必须 ；配方后右边必须是正数，否则不是圆（可能为点或无轨迹）。 考点06 直线与圆的位置关系 考点内容：判定直线与圆、圆与圆的位置关系，求弦长、切线与最值；几何法（比较圆心到直线距离 d 与半径 r）；代数法（联立判别式）；垂径定理求弦长；切线的求法 常见考法： ① 几何法比较 与 判位置：先求圆心到直线的距离 d，再与 r 比较——d>r 相离、d=r 相切、d<r 相交；可与联立判别式法相互印证 ② 弦长公式 ③ 过点的切线方程 ④ 圆上点相关最值（数形结合） 易错提醒：判切线时""既可用于点在圆上也可用于点在圆外；相交弦长优先用垂径定理，避免解交点算错。 1 直线 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 斜率公式 时斜率不存在 2 点斜式 过点 斜率为 3 斜截式 为 轴截距 4 平行垂直（一般式） ； 系数法，适用所有直线 5 点到直线距离 直线 6 两平行线距离 两线 、 2 圆 序号 名称 公式（符号语言） 说明 7 圆的标准方程 圆心 ，半径 8 弦长公式 为圆心到弦所在直线的距离 辨析01 斜率不存在不等于没有斜率 直线垂直于 轴时倾斜角为 ，斜率不存在（不是 ）。斜率 对应水平直线（倾斜角 ），二者完全不同。 辨析02 截距不是距离 轴截距是直线与 轴交点的纵坐标，可正、可负、可为 ；它是有向线段的数量而非长度，不要当作"距离"加绝对值。 辨析03 平行要排除重合 只说明"平行或重合"，要确认截距不等（或代入一点不满足另一方程）才是平行。 辨析04 垂直条件的普适性 对任意直线都成立，包括一条竖直（斜率不存在）、一条水平的情形；而 仅当两直线斜率都存在时适用。 辨析05 截距式的使用限制 要求横、纵截距都存在且非零；过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式。 辨析06 一般方程成为圆的条件 表示圆必须 ；等于 退化为一个点，小于 无轨迹。 辨析07 点到直线距离公式的分母 分母是 （不带绝对值、不带根号内加 ）；分子 必须带绝对值。 辨析08 几何法优于代数法 判直线与圆位置、求弦长，用圆心到直线的距离 与半径 比较最简便；联立判别式易算错，作为辅助。 辨析09 弦长用垂径定理 弦长 ，其中 是圆心到弦的距离（不是圆心到端点的距离）；不要误用圆心到某一端点的距离当 。 辨析10 圆与圆的"内切"与"内含" 相交， 外切， 内切， 内含；注意"相切"含内切与外切两种。 【题型一】倾斜角与斜率 【例1】(24-25高二上·江苏盐城·阶段检测)直线的倾斜角为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由，可得，故直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因，故.故选：D. 【变式1-1】(23-24高二上·江西·期中)直线的倾斜角为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，则，因为，所以，故选：C. 【变式1-2】(23-24高二上·浙江绍兴·期末)直线经过两点，则的倾斜角是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由题知：，设直线的倾斜角为，故，所以倾斜角.故选：C 【变式1-3】(25-26高二上·天津·阶段检测)若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A．　　B．　　C．0　　D．2 【答案】B 【详解】因为直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），所以直线l₁的斜率为，因为直线l₂的倾斜角为，所以直线l₂的斜率为，因为，所以，所以，所以.故选：B 【题型二】求直线方程 【例2】(24-25高二上·山东临沂·期中)点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．；　　B．；　　 C．；　　D．； 【答案】B 【详解】将直线变形得，由，解得，因此直线过定点，当时，点到直线的距离最大，最大值为，又直线的斜率，所以直线的方程为，即.故选：B 【变式2-1】(25-26高二上·江西·阶段检测)直线的倾斜角为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为，则直线斜率，又，所以，故选：A 【变式2-2】(24-25高二上·河南周口·阶段检测)设直线的倾斜角为，则（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】由直线，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.故选：A. 【题型三】两直线的平行与垂直 【例3】(24-25高二上·云南昆明·期末)若直线和直线平行，则m的值为（    ） A．2　　B．　　C．8　　D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得.故选：A. 【变式3-1】(25-26高二上·江苏淮安·期中)若直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．或　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由题意可得，即，解得或，当时，两直线方程分别为：，，此时两直线重合，不符，故舍去；当时，两直线方程分别为：，，符合；综上可得：.故选：C. 【变式3-2】(25-26高二上·江苏常州·期中)直线和，若，则实数的值为（   ） A．或　　B．　　C．　　D．或 【答案】A 【详解】若，则，整理得，解得或，当时，，，即，两直线平行，符合题意；当时，，即，，即，两直线平行，符合题意；综上所述，或.故选：A 【题型四】直线与圆的位置关系（弦长） 【例4】(24-25高二上·云南昆明·阶段检测)已知直线恒过点，过点作直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．2　　B．　　C．4　　D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：直线恒过点，圆的圆心坐标为，，当时，最小，，故选：B 【变式4-1】(21-22高二上·安徽芜湖·期中)圆与直线的交点个数为（    ） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．与k的取值有关 【答案】D 【详解】直线，即，令，解得，故直线l经过点.又，所以点在圆外，故直线l与圆的交点个数可能为0、1或2，即与k的取值有关.故选：D 【变式4-2】(25-26高二上·甘肃兰州·期中)直线与圆的位置关系（    ） A．相离　　B．相切　　C．相交　　D．不确定 【答案】C 【详解】圆的标准方程为：，圆心为：半径为：，圆心到直线的距离为，所以，所以直线与圆相交，故选：C 【题型一】忽略斜率不存在的情形 【例1】(25-26高二上·辽宁·期中)已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则“”是“”的（   ） 【答案】A 【详解】若，则，又，可得，所以或，所以中较大的倾斜角在内，其斜率为负，较小的倾斜角在内，其斜率为正，所以，所以“”是“”的充分条件，若，不妨取，此时，所以，所以“”不是“”的必要条件.故选：A. 易错警示　"截距相等"包含都为 的情形，不能只用截距式（截距式要求截距非零）；另外"相等"含同为正、同为负、同为 ，需分类讨论，不可漏掉过原点的一条． 【变式1-1】(23-24高二上·四川绵阳·阶段检测)设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】当时，方程为，直线的倾斜角，当时，由直线方程可得斜率，，且，，即，又，，综上，倾斜角的范围是故选：D． 【变式1-2】(24-25高二上·福建·期中)已知直线，则这条直线的倾斜角的取值范围是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】直线的斜率．因为直线的倾斜角为，则，根据正切函数的性质可得．故选：D． 【题型二】把截距当成距离 【例2】(25-26高二上·安徽合肥·期末)若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A．　　B．　　C．　　D．或 【答案】D 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为，设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为；当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为，代入点解得，此时直线的斜率为.故选：D. 易错警示　截距是直线与坐标轴交点的坐标值，可正可负可为 ，不是距离；写截距式 时 带各自符号，不要取绝对值． 【变式2-1】(25-26高二上·贵州毕节·期末)已知圆，直线，若要圆上有3个点到直线的距离为，则的值为（   ） A．　　B．0　　C．　　D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径，所以圆心到直线即的距离为，若要圆上有3个点到直线的距离为，则即，解得.故选：D 【变式2-2】(25-26高二上·广东湛江·阶段检测)直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7　　B．8　　C．9　　D．10 【答案】C 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线.当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意；所以，令，则，令，则.由题意，化简得，解得或，故的所有可能取值之和为.故选：C. 【题型三】遗忘圆的一般方程条件 【例3】(23-24高二上·四川成都·期末)平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条　　B．2条　　C．3条　　D．4条 【答案】C 【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切，而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线，又两圆圆心距离等于两圆半径和，所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3，故选：C二、多选题 易错警示　一般方程表示圆的充要条件是 （此处 ， 得 ）；等于 退化为点，小于 无轨迹，都不能叫圆． 【变式3-1】(25-26高三上·重庆·阶段检测)已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A．　　B．　　 C．　　D． 【答案】A 【详解】圆经过原点和点，线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，由，解得，因此圆的圆心，半径，所以圆的方程为.故选：A 【变式3-2】(24-25高二上·广东深圳·期中)已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．　　B．1　　C．　　D．2 【答案】A 【详解】由，得，故圆心为，又因为圆 关于直线对称，故圆心在直线上，则.故选：A 【题型一】弦长与最值 【例1】(25-26高二上·山东枣庄·期中)若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） 【答案】A 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，因为直线和在轴上的截距分别为，所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：，故到原点的距离的最小值为.故选：A 【变式1-1】(25-26高二上·浙江·期中)已知动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，圆：，圆：，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（   ） A．3　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】设.因为是线段的中点，根据中点坐标公式.又因为在直线上，所以①，在直线上，所以②，①+②得，所以得到点的轨迹方程为.圆心到直线的距离为；圆心到直线的距离为；圆心距为.根据圆的性质有，要求的最小值，则求的最小值，那么要先求关于直线的对称点，然后连接与直线的交点即是，此时最小等于.关于直线的对称点为，所以，所以的最小值为5，那么的最小值为3.故选：A.二、多选题 【变式1-2】(24-25高二上·福建三明·阶段检测)已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（   ） A．　　B．2　　C．　　D． 【答案】A 【详解】当时，直线：，直线：，此时直线与直线垂直；当时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直；易知直线经过定点，直线经过定点，所以点A在以为直径的圆上，的中点为，所以，所以圆，所以,所以，故选：A. 【题型二】切线与切点弦 【例2】(23-24高三上·广东·阶段检测)已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A．2　　B．　　C．2　　D． 【答案】B 【详解】圆M的方程可化为，所以x轴与圆M相离.又，且和均为直角三角形，，为圆的半径，且，所以面积的最小值转化为求最小，当垂直于x轴时，四边形面积取得最小值，此时，所以四边形面积最小值为.故选：B. 【变式2-1】(24-25高二下·江西景德镇·期中)已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切　　 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1　　 C．直线l与直线垂直　　 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 【答案】B 【详解】对于A项，整理直线可得出，解方程组可得，直线过定点.圆的圆心为，半径为，则，所以点在圆内，即直线过圆内一定点，所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确；对于B项，当时，直线化为.此时有圆心到直线的距离，且，因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误；对于C项，因为，所以直线l与直线垂直.故C正确；对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切.圆可化为 ，圆心为，半径为.因为两圆外切，所以有，即，整理可得，化简可得，解得.故D项正确.故选：B 【变式2-2】(23-24高二上·江苏宿迁·期中)已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B 【详解】因为圆心为，半径，所以到的距离为，所以在圆外，过圆外一点作圆的切线有条，故选：B. 【题型三】直线与圆的综合（含参数） 【例3】(25-26高二上·湖北·阶段检测)已知直线与圆交于两点为坐标原点.若则实数的取值范围是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】圆心为即为坐标原点，半径为2，直线与圆相交，则，，设，由得．所以，则，所以，或，所以或，故选：B． 【变式3-1】(2024·四川·模拟预测)若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A．　　B．1　　C．2　　D． 【答案】D 【详解】由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且，由圆的圆心为，圆心到的距离为，圆心到：的距离为，所以，整理得到，由，所以．故选：D． 【变式3-2】(23-24高二上·陕西西安·阶段检测)若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．　　B．1或　　C．或3　　D． 【答案】C 【详解】由圆可化为，可圆心坐标为，半径为，因为直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或.故选：C. 【题型一】待定系数求直线方程模型 【模型解读】已知一点和斜率用点斜式；已知两点用两点式；已知截距用截距式；最后统一化为一般式。 结论：选形式要"避坑"——斜率不存在时写 ；截距为 时不能用截距式。 【例1】(24-25高二上·河北唐山·期中)若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由题设，圆心为，则，故弦所在直线方程，即为.故选：D 【变式1-1】(25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测)直线的倾斜角为（    ） A．　　B．0　　C．　　D． 【答案】B 【详解】直线的斜率，所以该直线的倾斜角为0，故选：B 【变式1-2】(24-25高二上·江苏南通·期末)若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（    ） A．　　B．3　　C．　　D．2 【答案】D 【详解】设点关于直线对称的点为 ，则，解得，即 ，圆的圆心为，半径为1，则，当且仅当P、、B、C四点共线，且B在线段上时取得最小值，为故选：D 【题型二】平行与垂直判定模型 【模型解读】 两直线一般式 、：平行看 且排除重合；垂直看 。 结论：垂直的系数条件对任意直线（含斜率不存在）都成立，最稳妥；平行须再验截距避免重合。 【例2】(23-24高二上·湖南·期末)若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】若，则，解得．若，则，解得．若，，交于一点，联立方程组，解得得，代入，得，解得，故a的取值集合为．故选：D. 【变式2-1】(23-24高二下·福建泉州·阶段检测)已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是　 B．过与直线平行的直线方程是　　 C．点到直线的距离是　　D．若直线：，则 【答案】B 【详解】对于A，直线，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以A错误；对于B，过与直线平行的直线方程是，即，故B正确；对于C，点到直线的距离是，所以C错误；对于D，直线：的斜率为，故，故D错误.故选：B． 【变式2-2】(24-25高二上·河南开封·期末)中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】由题意，得D是AB的中点，则，且，又，则，则直线CD的方程为，即故选：B 【题型三】点到直线距离模型 【模型解读】 点 到直线 的距离 ；平行线间距离把一线化为同系数后用 。 结论：分子、分母都不带错——分子是绝对值、分母是系数平方和开根。 【例3】(2026·湖南·三模)直线与圆的交点为，，若，则的值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】在中，圆的半径为4，所以圆心到直线的距离为，由点线距离公式得，所以，解得．故选 C． 【变式3-1】(2026·重庆·模拟预测)点到直线：的最大距离是（   ） A．4　　B．5　　C．6　　D． 【答案】B 【详解】把直线的方程重新整理得：，因为该等式对任意都成立，所以，解得，即直线恒过定点.当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化，而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离，此时.故选 B． 【变式3-2】(24-25高二上·重庆·期中)已知直线与动圆，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点　　 B．当时，若直线与圆相切，则　　 C．若存在一条直线与圆相交截得弦长为定值，则　　 D．当时，直线截圆的最短弦长为 【答案】C 【详解】对于A，将直线整理为，令，解得，所以直线过定点，故A错误；对于B，当时，直线的方程为，圆的方程可化为，则圆心，半径，因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即，解得或，故B错误；对于C，设圆心到直线的距离为，则弦长，若弦长为定值，则为定值，又圆心在直线上，所以直线与直线平行或直线过圆心，当直线与直线平行时，可得，解得，此时，，则是定值，故C正确；对于D，当时，圆，圆心，半径为，直线过定点，圆心到点的距离为，当直线垂直于时，弦长最短，直线截圆的最短弦长为，故D错误.故选：C. 【题型四】圆的方程求法模型 【模型解读】已知圆心和半径用标准式；已知圆上三点或一般条件用一般式待定系数；配方可互化并求圆心半径。 结论：一般方程必须验 ；圆心 ，半径 。 【例4】(23-24高二上·山东·阶段检测)已知直线与圆始终有公共点，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交　　B．相离　　C．外切　　D．内切 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，直线与圆始终有公共点，得，解得，因此，而，显然，所以圆与圆相离.故选：B 【变式4-1】(25-26高三上·贵州遵义·阶段检测)多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早年．已知点，若，则的最大值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】因为，所以点的轨迹是圆心为，半径的圆，因为，所以在圆外，所以，故选：B. 【变式4-2】(25-26高二上·山东青岛·阶段检测)圆关于轴对称的圆的方程为（    ） A．　　B．　　 C．　　D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，故对称圆心为，半径不变仍为，所以对称圆的方程为．故选B． 【题型五】位置关系几何判断模型 【模型解读】比较圆心到直线的距离 与半径 ： 相离、 相切、 相交；圆与圆看圆心距与半径和差。 结论：能用几何法就不要联立判别式；弦长用 。 【例5】(2025·河北·模拟预测)已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2　　B．　　C．3　　D． 【答案】A 【详解】可变形为由可得，则恒过定点，同理可得恒过定点，且有，则，此时的轨迹是以为直径的圆：（除去点）．因，当点在线段上时，的值最小，其最小值为.故选：A． 【变式5-1】(25-26高二上·江苏南通·阶段检测)直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】直线即，则直线的斜率为，倾斜角为，令得，即，则直线的倾斜角为，斜率为，所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是．故选：A. 【变式5-2】(25-26高二上·陕西汉中·阶段检测)已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A．　　 B．　　 C．　　 D． 【答案】C 【详解】由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，．若圆和圆相交，则，解得或．故选：C． 【题型六】弦长（垂径定理）模型 【模型解读】 弦长 （ 为圆心到弦的距离）；也可联立求交点用 。 结论：先求 （点到直线距离），再用垂径定理，比求交点快且不易错。 【例6】(23-24高二上·河南商丘·期中)经过两点的直线的一个方向向量为，则（   ） A．　　B．　　C．　　D．2 【答案】B 【详解】由点，得直线的斜率为，因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以．故选：B 【变式6-1】(25-26高二上·江苏扬州·阶段检测)圆与圆的位置关系是（   ） A．外离　　B．相交　　C．外切　　D．内切 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以两圆圆心之间的距离为，故，所以两圆相交.故选：B 【变式6-2】(23-24高二下·河南驻马店·阶段检测)已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】将l的方程转化为，令解得，即过定点，当时，圆心到直线的距离最大值为，此时取得最小值,根据勾股定理：.故选：A 【题型七】最值（数形结合）模型 【模型解读】 圆上点到定点/定直线的距离最值，用"圆心到定点/定直线的距离 半径"； 型可看作点到直线距离的常数倍。 结论：最大值 ，最小值 （点在圆外时 ，在圆内时 ）。 【例7】(24-25高二上·福建龙岩·期末)若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3　　B．3　　C．3或-3　　D．1或-1 【答案】B 【详解】由题意可得：，解得：，当时，直线：与直线：平行，当时，直线：即，与直线：，重合，舍去，故，故选：B 【变式7-1】(25-26高三上·河北·期中)已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 【答案】C 【详解】因为直线与直线平行，所以，且，所以，所以直线与直线平行，两直线间的距离为，且，所以，所以.故选：C. 【变式7-2】(24-25高二下·浙江·阶段检测)若为圆内的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．2　　B．　　C．　　D．4 【答案】D 【详解】由题意知为圆的直径，根据两点之间线段最短，的最小值为4故选:D. 技巧 一句话要点 倾斜角与斜率——" 特殊看" 斜率不存在，直接写 ；其余用 或两点公式． 斜率范围——"随角单调" 时 ， 时 ，且随 增大而增大． 求直线方程——"选形式避坑" 已知点斜率用点斜式；斜率不存在写竖直线；截距为 不能用截距式． 平行判定——"系数比+排重" 后务必排除重合（验截距或代点）． 垂直判定——"系数点积零" 对任意直线都成立，最稳妥． 截距——"坐标非距离" 截距可正可负可为 ，是交点坐标值，不是长度，勿加绝对值． 点到直线距离——"分子绝对分母根" ，分子加绝对值、分母平方和开根． 圆的判定——"配方看右边" 一般方程配方后右边须为正；等于 是点、小于 无轨迹． 位置关系——"几何法优先" 比较圆心到直线的距离 与半径 ，别动辄联立判别式． 弦长——"垂径定理" ， 是圆心到弦的距离；过圆心的弦即直径． 切线——"垂直半径/距离等r" 圆上点切线垂直半径；点到直线距离 即相切． 最值——"圆心距离 " 圆上点到定点/直线最大 ，最小 ． 圆与圆——"圆心距比半径" 相交， 外切， 内切． 含参讨论——"先分类再算" 斜率存在与否、截距是否为零、点在圆内外都要先分类，避免漏解． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 直线的倾斜角与斜率 1. 倾斜角：当直线 与 轴相交时，取 轴作为基准， 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角；当直线 与 轴平行或重合时，规定倾斜角为 。故 。 2. 斜率：倾斜角不是 的直线，其倾斜角 的正切值叫做斜率，即 ；当 时，直线斜率不存在。 3. 过两点 、（）的斜率公式：；当 时直线垂直于 轴，斜率不存在。 知识点02 直线的方程 1. 点斜式：，适用斜率存在，过点 斜率为 的直线。 2. 斜截式：，适用斜率存在， 为在 轴上的截距（可正可负可零）。 3. 两点式：，适用两点不重合且不与坐标轴平行。 4. 截距式：，要求横、纵截距 都存在且不为零。 5. 一般式：（ 不同时为 ），所有直线都能表示，是直线方程的统一形式。 知识点03 两直线的位置关系 1. 平行： 且 （一般式）；斜率都存在时等价于 且截距不等。 2. 垂直：；斜率都存在时等价于 （含一条斜率不存在、另一条斜率为 的情形）。 3. 交点：联立两直线方程，方程组有唯一解即相交；无解即平行；有无穷多解即重合。 4. 对称：点关于点成中心对称（坐标取中点）；点关于直线对称用"中点在轴上且连线垂直轴"。 知识点04 圆的方程 1. 标准方程：，圆心 ，半径 。 2. 一般方程：；表示圆的充要条件为 ；此时圆心 ，半径 。 3. 求圆方程常用待定系数法：已知圆心和半径用标准式，已知圆上三点用一般式。 知识点05 直线与圆的位置关系 1. 三种位置：相离、相切、相交，由圆心到直线的距离 与半径 比较判定： 相离， 相切， 相交。 2. 代数法：联立得一元二次方程，用判别式 判定；几何法（比较 与 ）更简便，优先使用。 3. 圆的切线：过圆上一点的切线垂直于过该点的半径；过圆外一点的两条切线长相等。 知识点06 直线与圆的综合应用 1. 弦长：直线被圆截得的弦长 （垂径定理）。 2. 最值： 型、点到直线距离、圆上点到定点距离等最值，多用几何意义（圆心到直线/定点的距离 ）求解。 3. 圆与圆：设圆心距 ，半径 ，则 相交， 外切， 内切。 考点01 倾斜角与斜率 考点内容：由倾斜角求斜率、由两点坐标求斜率，以及斜率不存在的情形；斜率的几何意义、取值范围与符号；倾斜角与斜率的单调对应关系；斜率公式的适用条件（两点横坐标不等） 常见考法： ① 已知倾斜角求斜率：先由倾斜角 α 用 k=tanα 计算；注意 α=90° 时斜率不存在（直线垂直于 x 轴） ② 已知两点坐标求直线斜率 ③ 斜率不存在的识别（） ④ 斜率取值范围与倾斜角范围对应 易错提醒：斜率与倾斜角是一一对应（除 外）； 时 ， 时 ，且 随 增大而增大。 考点02 直线方程的求法 考点内容：根据已知条件选择恰当形式求直线方程，并注意各种形式的适用限制；五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）的结构特征与互化；斜率不存在时直线的方程（x=x₀）写法；截距的含义（截距是坐标值，可正可负可为0，不是距离，截距为0时直线过原点） 常见考法： ① 已知一点和斜率用点斜式：直接套 y−y₀=k(x−x₀)；注意 k 不存在时方程为 x=x₀ ② 已知斜率和截距用斜截式 ③ 已知两点用两点式 ④ 化为一般式统一处理 易错提醒：截距式要求横、纵截距均非零；斜率不存在时不能用点斜式/斜截式，应直接写 。 考点03 两直线的平行与垂直 考点内容：利用一般式系数或斜率判断两直线的位置关系；平行、垂直、相交的充要条件；平行需排除重合（再验截距）；垂直对任意直线（含斜率不存在）均成立 常见考法： ① 由一般式系数判平行（） ② 由一般式系数判垂直（） ③ 含参直线的平行垂直讨论 ④ 利用平行垂直求参数 易错提醒：垂直条件 对任意直线（含斜率不存在）都成立；平行要排除重合，需再验截距。 考点04 距离公式 考点内容：点到直线的距离、两平行线间的距离及其应用；距离公式的结构（分子绝对值、分母无绝对值）；两平行线间距离可化归点到直线距离；距离的最值应用 常见考法： ① 点到直线距离公式：代入点坐标与直线一般式 Ax+By+C=0，用 d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²) 直接计算；注意先把直线化为一般式且 A,B,C 带符号 ② 两平行线间距离 ③ 距离的最值问题 ④ 利用距离判断位置关系 易错提醒：点到直线距离公式 中分子要加绝对值，分母不含绝对值。 考点05 圆的方程 考点内容：根据条件求圆的标准方程或一般方程；标准方程的结构（圆心、半径）；一般方程与标准方程的互化（配方）；表示圆的充要条件（半径平方为正） 常见考法： ① 由圆心半径写标准方程：直接套 (x-a)²+(y-b)²=r²；注意圆心为(a,b)、半径取正值并平方 ② 由一般式求圆心半径 ③ 待定系数求圆方程 ④ 圆的一般方程成立条件 易错提醒：一般方程表示圆必须 ；配方后右边必须是正数，否则不是圆（可能为点或无轨迹）。 考点06 直线与圆的位置关系 考点内容：判定直线与圆、圆与圆的位置关系，求弦长、切线与最值；几何法（比较圆心到直线距离 d 与半径 r）；代数法（联立判别式）；垂径定理求弦长；切线的求法 常见考法： ① 几何法比较 与 判位置：先求圆心到直线的距离 d，再与 r 比较——d>r 相离、d=r 相切、d<r 相交；可与联立判别式法相互印证 ② 弦长公式 ③ 过点的切线方程 ④ 圆上点相关最值（数形结合） 易错提醒：判切线时""既可用于点在圆上也可用于点在圆外；相交弦长优先用垂径定理，避免解交点算错。 1 直线 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 斜率公式 时斜率不存在 2 点斜式 过点 斜率为 3 斜截式 为 轴截距 4 平行垂直（一般式） ； 系数法，适用所有直线 5 点到直线距离 直线 6 两平行线距离 两线 、 2 圆 序号 名称 公式（符号语言） 说明 7 圆的标准方程 圆心 ，半径 8 弦长公式 为圆心到弦所在直线的距离 辨析01 斜率不存在不等于没有斜率 直线垂直于 轴时倾斜角为 ，斜率不存在（不是 ）。斜率 对应水平直线（倾斜角 ），二者完全不同。 辨析02 截距不是距离 轴截距是直线与 轴交点的纵坐标，可正、可负、可为 ；它是有向线段的数量而非长度，不要当作"距离"加绝对值。 辨析03 平行要排除重合 只说明"平行或重合"，要确认截距不等（或代入一点不满足另一方程）才是平行。 辨析04 垂直条件的普适性 对任意直线都成立，包括一条竖直（斜率不存在）、一条水平的情形；而 仅当两直线斜率都存在时适用。 辨析05 截距式的使用限制 要求横、纵截距都存在且非零；过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式。 辨析06 一般方程成为圆的条件 表示圆必须 ；等于 退化为一个点，小于 无轨迹。 辨析07 点到直线距离公式的分母 分母是 （不带绝对值、不带根号内加 ）；分子 必须带绝对值。 辨析08 几何法优于代数法 判直线与圆位置、求弦长，用圆心到直线的距离 与半径 比较最简便；联立判别式易算错，作为辅助。 辨析09 弦长用垂径定理 弦长 ，其中 是圆心到弦的距离（不是圆心到端点的距离）；不要误用圆心到某一端点的距离当 。 辨析10 圆与圆的"内切"与"内含" 相交， 外切， 内切， 内含；注意"相切"含内切与外切两种。 【题型一】倾斜角与斜率 【例1】(24-25高二上·江苏盐城·阶段检测)直线的倾斜角为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】(23-24高二上·江西·期中)直线的倾斜角为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】(23-24高二上·浙江绍兴·期末)直线经过两点，则的倾斜角是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-3】(25-26高二上·天津·阶段检测)若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A．　　B．　　C．0　　D．2 【题型二】求直线方程 【例2】(24-25高二上·山东临沂·期中)点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．；　　B．；　　C．；　　D．； 【变式2-1】(25-26高二上·江西·阶段检测)直线的倾斜角为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-2】(24-25高二上·河南周口·阶段检测)设直线的倾斜角为，则（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型三】两直线的平行与垂直 【例3】(24-25高二上·云南昆明·期末)若直线和直线平行，则m的值为（    ） A．2　　B．　　C．8　　D． 【变式3-1】(25-26高二上·江苏淮安·期中)若直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．或　　B．　　C．　　D． 【变式3-2】(25-26高二上·江苏常州·期中)直线和，若，则实数的值为（   ） A．或　　B．　　C．　　D．或 【题型四】直线与圆的位置关系（弦长） 【例4】(24-25高二上·云南昆明·阶段检测)已知直线恒过点，过点作直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．2　　B．　　C．4　　D． 【变式4-1】(21-22高二上·安徽芜湖·期中)圆与直线的交点个数为（    ） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．与k的取值有关 【变式4-2】(25-26高二上·甘肃兰州·期中)直线与圆的位置关系（    ） A．相离　　B．相切　　C．相交　　D．不确定 【题型一】忽略斜率不存在的情形 【例1】(25-26高二上·辽宁·期中)已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则“”是“”的（   ） 易错警示　"截距相等"包含都为 的情形，不能只用截距式（截距式要求截距非零）；另外"相等"含同为正、同为负、同为 ，需分类讨论，不可漏掉过原点的一条． 【变式1-1】(23-24高二上·四川绵阳·阶段检测)设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】(24-25高二上·福建·期中)已知直线，则这条直线的倾斜角的取值范围是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型二】把截距当成距离 【例2】(25-26高二上·安徽合肥·期末)若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A．　　B．　　C．　　D．或 易错警示　截距是直线与坐标轴交点的坐标值，可正可负可为 ，不是距离；写截距式 时 带各自符号，不要取绝对值． 【变式2-1】(25-26高二上·贵州毕节·期末)已知圆，直线，若要圆上有3个点到直线的距离为，则的值为（   ） A．　　B．0　　C．　　D． 【变式2-2】(25-26高二上·广东湛江·阶段检测)直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7　　B．8　　C．9　　D．10 【题型三】遗忘圆的一般方程条件 【例3】(23-24高二上·四川成都·期末)平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条　　B．2条　　C．3条　　D．4条 易错警示　一般方程表示圆的充要条件是 （此处 ， 得 ）；等于 退化为点，小于 无轨迹，都不能叫圆． 【变式3-1】(25-26高三上·重庆·阶段检测)已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-2】(24-25高二上·广东深圳·期中)已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．　　B．1　　C．　　D．2 【题型一】弦长与最值 【例1】(25-26高二上·山东枣庄·期中)若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） 【变式1-1】(25-26高二上·浙江·期中)已知动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，圆：，圆：，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（   ） A．3　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】(24-25高二上·福建三明·阶段检测)已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（   ） A．　　B．2　　C．　　D． 【题型二】切线与切点弦 【例2】(23-24高三上·广东·阶段检测)已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A．2　　B．　　C．2　　D． 【变式2-1】(24-25高二下·江西景德镇·期中)已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切　　B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1　　C．直线l与直线垂直　　D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 【变式2-2】(23-24高二上·江苏宿迁·期中)已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【题型三】直线与圆的综合（含参数） 【例3】(25-26高二上·湖北·阶段检测)已知直线与圆交于两点为坐标原点.若则实数的取值范围是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-1】(2024·四川·模拟预测)若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A．　　B．1　　C．2　　D． 【变式3-2】(23-24高二上·陕西西安·阶段检测)若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．　　B．1或　　C．或3　　D． 【题型一】待定系数求直线方程模型 【模型解读】已知一点和斜率用点斜式；已知两点用两点式；已知截距用截距式；最后统一化为一般式。 结论：选形式要"避坑"——斜率不存在时写 ；截距为 时不能用截距式。 【例1】(24-25高二上·河北唐山·期中)若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】(25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测)直线的倾斜角为（    ） A．　　B．0　　C．　　D． 【变式1-2】(24-25高二上·江苏南通·期末)若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（    ） A．　　B．3　　C．　　D．2 【题型二】平行与垂直判定模型 【模型解读】两直线一般式 、：平行看 且排除重合；垂直看 。 结论：垂直的系数条件对任意直线（含斜率不存在）都成立，最稳妥；平行须再验截距避免重合。 【例2】(23-24高二上·湖南·期末)若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-1】(23-24高二下·福建泉州·阶段检测)已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是　　B．过与直线平行的直线方程是　　C．点到直线的距离是　　D．若直线：，则 【变式2-2】(24-25高二上·河南开封·期末)中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型三】点到直线距离模型 【模型解读】点 到直线 的距离 ；平行线间距离把一线化为同系数后用 。 结论：分子、分母都不带错——分子是绝对值、分母是系数平方和开根。 【例3】(2026·湖南·三模)直线与圆的交点为，，若，则的值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-1】(2026·重庆·模拟预测)点到直线：的最大距离是（   ） A．4　　B．5　　C．6　　D． 【变式3-2】(24-25高二上·重庆·期中)已知直线与动圆，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点　　B．当时，若直线与圆相切，则　　C．若存在一条直线与圆相交截得弦长为定值，则　　D．当时，直线截圆的最短弦长为 【题型四】圆的方程求法模型 【模型解读】已知圆心和半径用标准式；已知圆上三点或一般条件用一般式待定系数；配方可互化并求圆心半径。 结论：一般方程必须验 ；圆心 ，半径 。 【例4】(23-24高二上·山东·阶段检测)已知直线与圆始终有公共点，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交　　B．相离　　C．外切　　D．内切 【变式4-1】(25-26高三上·贵州遵义·阶段检测)多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早年．已知点，若，则的最大值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式4-2】(25-26高二上·山东青岛·阶段检测)圆关于轴对称的圆的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型五】位置关系几何判断模型 【模型解读】比较圆心到直线的距离 与半径 ： 相离、 相切、 相交；圆与圆看圆心距与半径和差。 结论：能用几何法就不要联立判别式；弦长用 。 【例5】(2025·河北·模拟预测)已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2　　B．　　C．3　　D． 【变式5-1】(25-26高二上·江苏南通·阶段检测)直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式5-2】(25-26高二上·陕西汉中·阶段检测)已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型六】弦长（垂径定理）模型 【模型解读】弦长 （ 为圆心到弦的距离）；也可联立求交点用 。 结论：先求 （点到直线距离），再用垂径定理，比求交点快且不易错。 【例6】(23-24高二上·河南商丘·期中)经过两点的直线的一个方向向量为，则（   ） A．　　B．　　C．　　D．2 【变式6-1】(25-26高二上·江苏扬州·阶段检测)圆与圆的位置关系是（   ） A．外离　　B．相交　　C．外切　　D．内切 【变式6-2】(23-24高二下·河南驻马店·阶段检测)已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型七】最值（数形结合）模型 【模型解读】圆上点到定点/定直线的距离最值，用"圆心到定点/定直线的距离 半径"； 型可看作点到直线距离的常数倍。 结论：最大值 ，最小值 （点在圆外时 ，在圆内时 ）。 【例7】(24-25高二上·福建龙岩·期末)若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3　　B．3　　C．3或-3　　D．1或-1 【变式7-1】(25-26高三上·河北·期中)已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 【变式7-2】(24-25高二下·浙江·阶段检测)若为圆内的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．2　　B．　　C．　　D．4 技巧 一句话要点 倾斜角与斜率——" 特殊看" 斜率不存在，直接写 ；其余用 或两点公式． 斜率范围——"随角单调" 时 ， 时 ，且随 增大而增大． 求直线方程——"选形式避坑" 已知点斜率用点斜式；斜率不存在写竖直线；截距为 不能用截距式． 平行判定——"系数比+排重" 后务必排除重合（验截距或代点）． 垂直判定——"系数点积零" 对任意直线都成立，最稳妥． 截距——"坐标非距离" 截距可正可负可为 ，是交点坐标值，不是长度，勿加绝对值． 点到直线距离——"分子绝对分母根" ，分子加绝对值、分母平方和开根． 圆的判定——"配方看右边" 一般方程配方后右边须为正；等于 是点、小于 无轨迹． 位置关系——"几何法优先" 比较圆心到直线的距离 与半径 ，别动辄联立判别式． 弦长——"垂径定理" ， 是圆心到弦的距离；过圆心的弦即直径． 切线——"垂直半径/距离等r" 圆上点切线垂直半径；点到直线距离 即相切． 最值——"圆心距离 " 圆上点到定点/直线最大 ，最小 ． 圆与圆——"圆心距比半径" 相交， 外切， 内切． 含参讨论——"先分类再算" 斜率存在与否、截距是否为零、点在圆内外都要先分类，避免漏解． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 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