5 比的认识-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年六年级上册数学（北师大版·新教材）

41)B解铜木料一失时以号成号÷启-6（段）， 即需要锯(6一1)次，需要的时间为2×(6-1)=10（分）。 (2)C解析假设这个长方形原来的长为a,宽为 6,则现在长方形的面积为(1+号)加×(1+号)b 山，即现在长方形的面积比原来增加了 9 (号ab-ab)小÷ab=音 4 2 5.24÷3=36(岁)36-10-24=2（岁） 答：10年前琪琪2岁。解析由于年龄差不变，所 以今年琪琪的年龄比妈妈小24岁，则妈妈今年的年 龄为21÷号-36（岁）.进而泉出10年前球菜的岁数。 6.(16-14)-16=日10÷日-80（平方国米） 80-10=70(平方厘米)(70+80)×2=300（平方厘 米)答：平行四边形的面积是300平方厘米。 解析由题图可知，甲、乙三角形的高相等，则求“甲 三角形的面积比乙三角形少几分之几”，实际上就是 求“14厘米比16厘米少几分之几”，列式为(16 10÷16=名，则乙三角形的面积是10÷日-80（平方 厘米)，进而求出甲三角形的面积，最后根据平行四边 形的面积是甲、乙三角形面积之和的2倍计算即可。 第五单元比的认识 第1课时 生活中的比（一 1.(1)1:500.021:51 51 @易错分析 混淆比和比值的形式 写比值时，容易错写成比的形式。求出的比可 以写成“前项：后项”的形式，也可以写成分数的形 式（分母是1不能省略）。比值可以写成分数的形式 (分母是1可省略)，也可以写成小数的形式。 (2)3:5:8(3)2:32:53:1 31 2.25205 350 3125 3.513 3125 4 5134 ，羚羊跑得最快 4.(1)D(2)B ,(2)12:20 3 (3)9:25 9 5.(1)3:5 25 (4)①号、②号正方形的边长之比与周长之比的比值 相等，面积之比等于边长之比的平方 6.假设小长方形的长是a,宽是b,则3a=4b a=3bQ:b=4:3大长方形的长：大长方形的 宽=(4×3)：(4十3)=12：7答：小长方形的长与 宽的比是4：3，大长方形的长与宽的比是12：7。 解析由于本题没有具体数值，所以先假设小长方形 的长是a,宽是b,结合题图可知3a=4b,即a=号b, 3 也就可以看成α是4份，b是3份，进而解决问题。 第2课时生活中的比（二）》 1.240:308300:407.5225:259 工作效率编织中国结的快慢 97 2.。5÷83:43÷4910103 7÷3 3.(1)32:5 (2)300÷100=3(50×3):(120×3)=150:360 1 4.(1)15:453 (2)120(3)37.5 508:24吉 1.2:2.42当木板长度相同 时，斜坡最高点的高度越高，最高点的高度与木板长 度的比值就越大，斜坡就越陡 61:2-号(60-24)=号-72（人 72-24=48(人)答：原来支持正方的有48人。 解析根据比与分数的关系可知，24人转支持正方 后，支持反方人数是支持正方人数的？，此时支持正 1 方人数为(60一24)÷2=72，进而求出原来支持正方 的人数。 第3课时 比的化简 1.1:40.2516:27 16 27 8:51.6 1:50.25:9 5 灯方法归纳 化简比和求比值的方法 根据比的基本性质化简比；求比值的方法是 用比的前项除以比的后项」 2.(1)9:16(2)10(3)3：2(4)9:4 3.(1)1:241：251:221:25 (2)324 4.(1)3：4(2)3:7(3)7:4 解析题图中三角形、平行四边形和梯形的高相等， 因此假设高是h厘米，则三角形的面积是12h÷2 6h(平方厘米)，平行四边形的面积是8h平方厘米， 梯形的面积是(8+12+8)×h÷2=14h(平方厘米)， 进而解决问题。 5.8÷(1+号）=6(m）150:8:6=75:4:3 答：模型的长、宽、最高处的高度应该保持75：4：3。 6动：}1：16答：第大天哉取的长度与第二天 截取的长度的最简整数比是1：16。 解析这根木棍原来长1尺，第一天截取它长度的一 半，即合尺，第二天我取的是剩下的尺的一半，即 尺，常三天我取的是剩下的子尺药一辛，即日 4 尺…第六天裁取的是剩下的2尺的一半，即 4尺。 第4课时比例的认识 1.(1)答案不唯一，如3：4=1.2：1.6 (2)答案不唯一，如1：5=2：10 2.(1)40:1=4080:2=40140:3.5=40 160:4=40比值相等 (2)天鹅迁徙的飞行速度 (3)答案不唯一，如40：1=80：2 140:3.5=160:4 3.15:10=15÷10=1.518:10=18÷10=1.8 24:16=24÷16=1.5 因为1.5=1.5，所以15：10=24：16 ①号剪纸和③号剪纸的长与宽的比能组成比例 4.答案不唯一，如2：4=1.5：3 4：2=3：1.52：1.5=4:3 5.(1)半径之比：4：7周长之比：8π：14π=4：7 能组成比例因为它们的比值相等 (2)半径之比：4：7面积之比：16π：49π=16： 49不能组成比例因为它们的比值不相等 )方法归纳 判断两个比能否组成比例的方法 判断两个比能否组成比例，关键要看它们的 比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比 值不相等，则不能组成比例。 6.第四个数：72÷(8十1)=8第一个数：8×8=64 第二个数：64÷2.5=25.6第三个数：2.5×8=20 64:25.6=20:8 解析由题意可知，将第四个数看作1份，则第一个 数是这样的8份，因此第四个数是72÷(8十1)=8， 第一个数是8×8=64，再根据“两个比的比值是 2.5”,依次求出第二个数、第三个数。 第5课时 整理与复习 7 7 1.(1)7:1010每千克小麦能磨出0千克面粉 (2)9:12= 27 4 :9 (3)答案不唯一，如1：2=4：84：6=6：9 2.(4+21):8=25:8=100:32答：鸡与鸭的只 数之比是100：32。 3.(1)二(2)10：50=12：60（答案不唯一） 4. (平行四边形的画法不唯一) 5.(1)D (2)C解析根据题图可知，(2a十a)×2=2b+ 2b+a,(2a+a)X2=5c,b=5a 6 4a,c=5a,因此 5.6 a:b:c=a:4a:5a=20:25:24。 6.15：1解析因为大、小两个正方形中涂色部分 面积的比是3：1，且这两个涂色部分为等高的三角 形，所以它们的底之比是3：1，即大、小两个正方形 的边长之比是3：1。假设大正方形的边长是3cm, 小正方形的边长是1cm,则大正方形中空白部分的 面积是3X3-3×1÷2=7.5(cm),小正方形中空白 部分的面积是1×1÷2=0.5(cm2),则大、小两个正 方形中空白部分面积的比是7.5：0.5=15：1。 提分真题特训 1.4)40:3 40 (2)乘9（或加32） 2号 7：11(4)72王叔叔自驾行驶的速度 (5)5：12(6)2：1 (7)31:9解析假设甲班人数是a,则乙班人数也 是a,则甲班男生人数为子a,甲班女生人数为a:乙 班男生人数为50，乙班女生人数为a,因此两班人 数合在一起，混合后男生与女生人数之比是 (a+a):(a+a)=31. 2.(1)C(2)D (3)B解析根据题意，可得出等量关系式：第一支 蜡烛的长度×(1-专)=第=支蜡烛的长度× (1-号)，因此第一支蜡烛的长度的号=第二支蜡烛 的长度的号则第一支蜡#的长度=第二支蜡：的长 度的号，即它们原未长度的比是5：3。 3.15:30=20400×20-20(克) 1 1 答：应在第二杯中加入蜂蜜20克。 单元整合提升·易错与拓展 255 1.甲数÷乙数=2.5=10=2 乙数：甲数=2：5 答：乙数与甲数的比是2：5。 2.1:(20-1)=1:19答：糖与水的质量比是1：19。 3-）1=2:5 答：一个闹钟与一盏台灯的价钱之比是2：5。 4(1-0)1=9:10 答：阳阳、冬冬百米赛跑成绩的比是9：10。 解析将冬冬的百米赛跑成绩看作单位“1”，则阳阳 的百米赛跑成绩相当于冬冬百米赛跑成绩的 (1-),因此附阳、冬冬百米赛跑成线的地是 (1-)小：1，再化成最简整数比即可。 5.25÷(9-4)=5(4×5)：(9×5)=20:45 答：原来的比是20：45。 解析由“最简整数比是4：9”可知，比的前项是 4份，后项是9份，后项比前项多(9一4)份，根据后项 比前项大25，可以求出1份是25÷(9一4)=5，再将 化简后的比的前项和后项同时乘5，得到原来的比。 6.5+15=2020÷5=43×4=1212-3=9 答：比的前项应该加上9。 解析3：5的后项加上15时，后项变为5十15=20， 即用后项5乘4。要使比值不变，前项也要乘4，即为 3×4=12,也就是比的前项应该加上12-3=9。 33 7.假设三角形ABC的面积为11X3十1=4 ×千1号合112容画积比是12 解析假设三角形ABC的面积为1，因为三角形 ABE与三角形BCE的高相等且EA:CE=1:3,所 以三角形ABE与三角形BCE的面积比为1：3，即 三角形CE的面农为1X3干1=是。又因为三角形 BDE与三角形CDE的高相等且BD:DC=2:1,所第五单元 比的认识 第1课时 生活中的比（一） 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.填一填。 4.选一选。 (1)*将1克盐溶于50克水中，盐与水的质量 (1)钟面上，秒针与分针的转动速度比是 比是( ),比值是( ):盐与盐水的质量 ()。 比是( ),比值是( )。 A.1:1B.1:12C.1:60D.60:1 (2)如果一个平行四边形与一个三角形的底 (2) 左图中，涂色部分、空白部分与 和面积都相等，那么它们的高的比是()。 A.1:1B.1:2C.2:1D.1:4 整个图形的面积比是( )。 5.新趋势数形结合按要求写出比和比值，并写出 ③》甲数是乙数的系甲，乙两数的比足 你的发现。 ( ),甲数与两数和的比是( ),乙数与 两数差的比是( )。 2.求比中的未知项。 ():80=i 3 a=3cm C=20cm :( )=5 ① ② (1)①号、②号正方形的边长之比是( 20 4 米：06千米名 比值是( 3.新情境生物百科有关研究资料显示，某种动物 (2)①号、②号正方形的周长之比是( 的小腿骨与大腿骨的长度的比值越大，这种 比值是( )。 动物跑得越快。下表是三种动物的小腿骨与 (3)①号、②号正方形的面积之比是( 大腿骨的长度参考数值。 比值是()。 (4)我发现：( )。 动物小腿骨长度/cm大腿骨长度/cm比值 大象 36 60 6.新素荞几何直观如图，7个完全相同的小长方 马 24 26 形刚好拼成一个大长方形。小长方形的长与 羚羊 15 12 宽的比是多少？大长方形的长与宽的比是 多少？ 将表格补充完整，判断哪种动物跑得最快。 45 拔尖特训·数学（北师版）六年级上 第2课时 生活中的比（二） 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.三位师傅编织中国结，工作总量与所用时间 4.冬冬有一杯60g的蜂蜜水，其中蜂蜜有15g。 如下表。 (1)蜂蜜与水的质量比是( ),比值是 工作 工作总量 )。 人 员 时 间 比 值 总量 与时间的比 (2)阳阳要用40g蜂蜜配制蜂蜜水，使蜂蜜 陈师傅240个30分钟 与水的质量比与冬冬配制的相同，需要加水 李师傅300个 40分钟 )g。 孙师傅225个25分钟 (3)晓彤要配制150g蜂蜜水，使蜂蜜和水的 工作总量与时间的比就是( ),可以刻 质量比与冬冬配制的也相同，需要蜂蜜 画( )。 ( )g。 2.填表。 5.新趋势探索规律如图，工人师傅用两块同样长 比 5:8 7:3 的木板搭了两个斜坡 分数 3 除法 9÷10 —2.4m .8m 3.新趋势题组训练每100g某种巧克力中营养成 斜坡A最高点的高度与木板长度的比 分的含量如下表： 是( ),比值是( 蛋白 碳水化 矿物质/mg 维生 质/g 脂肪/g 合物/g 钙 铁 磷 素/mg 4m .2m 5 32 51 50 4 120 0.2 (1)写出每100g这种巧克力中脂肪与蛋白 斜坡B最高点的高度与木板长度的比 质质量的比。 是( ),比值是( )。 我发现了： 6.新情境五奇并举六年级开展“家务劳动意义”辩 论赛，支持反方的有60人，经过激烈的辩论 (2)写出每300g这种巧克力中钙与磷质量 后，24人转支持正方，此时反方、正方人数比 的比。 为1：2。原来支持正方的有多少人？ 46 第3课时 比的化简 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 .化简下面各比并求出比值 4.新素养几何直观观察下面的图形，并填空。（单 1.5:6 4.3 位：厘米) 94 25 :0.25 -12+-8→ (1)三角形与平行四边形面积的最简整数比 0.25时：75分 250米：0.45千米 是( )。 (2)三角形与梯形面积的最简整数比是 ( )。 (3)梯形与平行四边形面积的最简整数比是 ()。 2.填一填。 5.某座桥的桥长约150m,桥宽约8m且比桥 (1)商店有甲、乙两种铅笔，甲种铅笔3元能 现要制作这座桥的仿真模 买4支，乙种铅笔4元能买3支，甲、乙两种 的最高处约多行。 铅笔单价的最简整数比是( )。 型，则模型的长、宽、最高处的高度应该保持 (2)4:5的前项乘3，要使比值不变，后项应 怎样的关系？ 加上()。 (3)莉莉和圆圆录人同一份书稿，莉莉用了 16分钟，圆圆用了24分钟。莉莉与圆圆录 入这份书稿的工作效率的比是()。 (4)甲正方形的边长是6cm,比乙正方形的边 6.新情镜学科愈合《庄子》中有一句话：“一尺之 长多，甲，乙两个正方形的面积比是( )。 棰，日取其半，万世不竭。”意思是一根1尺长 的木棍，如果第一天截取它长度的一半，以后 3.下面是亮亮冲泡的4杯牛奶。 每天截取它前一天剩下长度的一半，那么永 奶粉/g 水/g 奶粉与水的最简整数比 远也截取不完。按照这种截取的方法，第六 第1杯 120 天截取的长度与第二天截取的长度的最简整 第2杯 6 150 数比是多少？ 第3杯 10 220 第4杯 F 200 (1)完成表格 (2)第( )杯牛奶最浓；第( )杯与第 ()杯一样浓。 47 拔尖特训·数学（北师版）六年级上 第4课时 比例的认识 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.填一填。 4.用图中给出的数据，可以组成哪些比例？（至 ()两个比值是的比可以组成一个比例， 少写出3个比例) 这个比例可以是( (2)从30的全部因数中选出4个数，组成两 -2cm 4cm 个比值是的比，组成比例是( )。 5.新情境地过美食徐州煎饼是当地的传统美食， 2.新情境地域景观每年冬天，来自西伯利亚等地 口味鲜香。早上，莉莉的妈妈做了两个煎饼 的天鹅迁徙到山东荣成过冬。美丽的天鹅吸 (如图)。 引了无数游客来荣成观光旅游。天鹅迁徙的 飞行情况如下表所示。 7cm 4cm 时间/时 1 2 3.5 4 路程/千米 40 80 140 160 (1)A煎饼和B煎饼的半径之比与周长之比 (1)写出表中给出的相对应的路程与时间的 分别是多少？它们能组成比例吗？为什么？ 比，分别求出比值并比较大小。 (2)这个比值表示( (3)根据表中的数据写出两个比例。 (2)A煎饼和B煎饼的半径之比与面积之比 分别是多少？它们能组成比例吗？为什么？ 3.新情境传统文化丰宁满族剪纸被列为国家级非 物质文化遗产。为了装饰老年活动中心，张 奶奶剪了三张大小不同的长方形剪纸，哪两 6.新素养推理意识在一个比例中，从左往右数的 张剪纸的长与宽的比能组成比例？请写出来。 第一个数与第四个数的和是72，第一个数是 第四个数的8倍，两个比的比值是2.5。请 你写出这个比例。 10cm 18cm 24 cm ② ③ 48 第5课时 整理与复习 能力攀升 活学活用，提升能力 思维拓展 激活思维，培植素养 1.填一填。 4.新趋势操作探究在下面的方格纸上画一个面积 (1)吨小麦能磨出140千克面粉，面粉与小 是24平方厘米的平行四边形，要求它的底和 高的比是3：2；再画一个周长是30厘米的 麦的质量比是( ),比值是( ),这个比 长方形，要求它的长和宽的比也是3：2。 值表示( )。 (每个小方格的边长表示1厘米) (②两个比的比值都是，且其中一个比的 前项与另一个比的后项都是9，这两个比组 成比例是( )。 (3)新情境学科融合下面的成语中包含着很多 数，从中选取4个数组成一个比例，可以是 5.(1)有一杯糖水，糖与水的质量比是1：4，喝 ( );从中选取3个数组成一个比 掉一半后，再加满水，这时糖与水的质量比是 例，可以是( ）。 ()。 A.1:2B.1:4C.1:6D.1:9 一筹莫展三心二意五湖四海 (2)若下面三个图形的周长相等，则a:b: 六神无主七上八下 数九寒天 c=( )。 2.李奶奶养了8只鸭、4只公鸡和21只母鸡。 24 2b 2b 鸡与鸭的只数之比是多少？（化成比的前项 是100的比) A.5:10:6 B.5:4:6 C.20:25:24 D.24:25:20 6.新趋势思维过程如图，大、小两个正方形中涂色 3.新情境生活应用乐乐用蜂蜜和水调制了四杯蜂 部分面积的比是3：1，求大、小两个正方形 蜜水，蜂蜜和水的配比如下表。 中空白部分面积的比。 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜/mL 10 11 12 10 水/mL 50 44 60 70 (1)乐乐把最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是 第( )杯蜂蜜水。 (2)同样甜的两杯分别给爸爸和妈妈，请你 根据这两杯蜂蜜水的配比情况，写出一个比 例：( )。 49