2 提分真题特训&单元整合提升·易错与拓展-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年六年级上册数学（北师大版·新教材）

3=94.2(cm),接着根据r=C÷2π求出树干横截面 的半径，最后算出面积即可。 631.4÷号+31.4=109.9（米） 109.9×2÷ 3.14=70(米)答：圆的直径是70米。 解析因为甲、乙用了相同的时间，甲的速度是乙的 ,所以甲底的路程是乙走的。甲走了31,4米，用 31.4米除以号可求出乙走的路程，甲、乙走的路程和 等于圆周长的一半，再乘2就是圆的周长。据此求出 圆的直径。 第12课时整理与复习(2 1.(1)B(2)C(3)D 2.3 3.12.56÷3.14÷2=2(cm)3.14×22÷(2×2)= 3.14(cm)12.56÷2=6.28(cm)6.28+3.14× 2+2×2=16.56(cm) 答：涂色部分的周长是16.56cm。 4.涂色部分的面积一样大理由：假设丙图中圆的 半径为2r,则乙图中圆的半径为3r,甲图中圆的半径 为6r,正方形的边长为12r。甲图中涂色部分的面积 为(12r)2-元·(6r)2=144r2-36r2;乙图中涂色部 分的面积为(12r)2-π·(3r)2×4=144r2-36πr2; 丙图中涂色部分的面积为(12r)2一π·(2r)2×9= 144r2-36πr2,所以涂色部分的面积一样大。 5.2×3.14×0.4×5=12.56(m) 0.4×2=0.8(m)12.56+0.8=13.36(m) 答：车厢长13.36m。 解析根据题图可知，车厢的 长度为半径是0.4m的圆的周长的5倍与2条半径 的和，据此列式计算即可 6.10厘米=1分米1+1=2（分米）2×2 3.14×12=0.86(平方分米)6-2×2=2（分米） 2×2=4(平方分米)0.86+4=4.86（平方分米） 答：始终不重合的部分的面积是4.86平方分米。 解析圆形铜片在铁框内沿边框内侧无滑动滚动的 痕迹如下图。观察图可知，圆形铜片与正方形铁框内 部始终不重合的部分即图中的四个角空的部分与中 间小正方形的面积和，因为10厘米=1分米，所以圆 的直径为1+1=2（分米），则图中四个角空的部分合 在一起的面积，相当于边长为2分米的正方形的面积 减去半径为1分米的圆的面积，即2×2-3.14×12= 0.86(平方分米)。中间小正方形的边长为6一2× 2=2(分米)，面积为2×2=4（平方分米），因此圆形 铜片与正方形铁框内部始终不重合的部分的面积是 (0.86十4)平方分米。 提分真题特训 1.(1)2×3.14×3=18.84(厘米)18.84÷2= 9.42(厘米)9.42×3=28.26（平方厘米） (2)16π96π (3)212.56解析由题图可知，6.28cm是圆周 长的一半，则半径为6.28÷3.14=2(cm),即圆规两 脚之间的距离为2cm,所以圆的面积为3.14×2= 12.56(cm2)。 2.(1)C解析从A点到B点，甲、乙两条路线的 长度恰好是直径为线段AB的圆的周长的一半。 (2)B解析由题意可知，三角形的面积等于圆的 面积。假设圆的半径是r,即πr2=12.56cm,则r- 2cm,因此圆的周长为2×3.14×2=12.56(cm)。 (3)A解析假设圆的半径是rcm,则正方形的面 积是r2÷2×4=2r2(cm2),即2r2=10,则r2=5,因 此圆的面积是3.14×5=15.7(cm2)。 (4)B解析假设圆的半径是r米，老鼠到达点B 的时间为r÷1.5≈0.67r(秒)，猫到达B点的时间为 πr÷5=0.628r(秒)，因为0.67r>0.628r,所以猫先 到达点B。 3.9.42×4÷3.14÷2=6(米) 1 3.14×62× =28.26(平方米) 答：这个养鸡场的面积是28.26平方米。 4. 46米 3.14X62×360°-60 360° =94.2(平方米) 答：羊能吃的草的面积是94.2平方米。 解析因为等边三角形每个内角是60°，所以这只羊 能吃的草的面积占半径为6米（绳长）的圆的面积的 360°-60° 360° ,列式计算即可。 单元整合提升·易错与拓展 1.2×3.14×20=125.6(厘米) 答：周长是125.6厘米。 2.9-6=3dm）2×3.14×6×+2×3.14×9× +3×2=29,55(dm)答：周长是29,55dm 3.D解析根据题图可知，平行四边形的底是圆周 长的一半，则圆的半径是12.56÷3.14=4（厘米），因 此圆的面积是3.14×4=50.24（平方厘米），即平行 四边形的面积是50.24平方厘米。 42856÷(2×3.11×+2)=8(米) 3.14×82=200.96(平方米) 答：这四个花坛的占地面积共200.96平方米。 5.☐V理由：假设小半圆的直径是1厘 米，中半圆的直径是2厘米，则大半圆的直径是1十 2=3(厘米)。路线②的长度是3.14×1÷2+3.14× 2÷2=4.71(厘米)，路线①的长度是3.14×3÷2 4.71(厘米)，所以路线①与路线②一样长。 6.一样长解析假设大圆的直径是d,两个小圆的 直径分别是d1,d2,则大圆的周长是πd,两个小圆的 周长之和是πd1十πd2=π(d1+十d2)。由题图可知， d1十d2=d,所以π(d1十d2)=πd,即两个小圆的周 长之和与大圆的周长一样长。 7.10×10÷2=50(cm2) 答：涂色部分的面积是50cm2。 解析如图，将原图形进行分割，再补到箭头处，可知 涂色部分的面积是正方形面积的一半。 )方法归纳 割补法 把一个图形的某一部分割下来，填补到图形 的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化 为已经学过的图形，便于计算。 8.6×(6÷2)=18(dm2) 答：涂色部分的面积是18dm2。 解桐如图①，将图形进行分制，然后把两侧的子圆 分别补到A,B处（如图②）。这样涂色部分的面积就 转化成长为半圆的直径、宽为半圆的半径的长方形的 面积。 6dm 6dm ←6dm-6dm -6dm←-6dm ① ② 9.A Q易错分析 半圆的周长不等于圆周长的一半 一个图形的周长是围成这个图形一周的所有 线的长度和，半圆的周长不仅包括圆周长的一半， 还包括圆的一条直径（如图）。 圆周长的一半 圆的直径 10.18.84÷2+18.84÷3.14=15.42(分米) 答：每个半圆的周长是15.42分米。解析半圆的 周长=圆周长的一半十圆的直径，据此即可解答。 11.15×2=30(平方厘米)3.14×30=94.2（平方 厘米)答：圆的面积是94.2平方厘米。 解析注意本题不需要求出r的值，只需要算出r2的 值，再根据圆的面积计算公式进行计算即可。 12.30÷2=15(cm) 答：这个近似梯形的面积是xm。 解析添加辅助线可知，图形①、②的面积相等，图形 ③、④的面积相等，所以图形①和④的面积之和等于 图形②和③的面积之和，则梯形的面积为钟面面积的 是) 1921③ 10 9 ®3 d=30cm 8 765 第三单元 用字母表示（二) 第1课时用字母表示数量关 1.(1)a+2b(2)4b-3a(3)3m+4n 2.(1)(5b-5a)米[或5(b-a)米] (2)(5a+5b)米[或5(a+b)米] 3.(1)4盏台灯和1部电话机的总价钱 (2)3部电话机比5盏台灯多的价钱 (3)m本《水浒传》、2盏台灯与1部电话机的总价钱 4.[80÷(b一a)门小时解析根据题意可知，客轮 每小时比货轮多航行(b一a)千米，则客轮追上货轮 需要的时间为[80÷(b一a)]小时。 5.(a+3)×2+b×3=(2a+3b+6)平方米 解析根据题意画出下图： 3米 b米 a米 2米 图中涂色部分为面积增加的部分，即为两个长方形的 面积和，一个长方形的长为(a十3)米，宽为2米，另一 个长方形的长为b米，宽为3米（或长为3米，宽为 b米)，据此列式计算即可。 第2课时 探索规律（一）(1 1.(1)①212631②5n+1 (2)2n+2 2.(1)B(2)C 3.6n-2解析根据题图，第1个图形需要(1×6一 2)根小棒，第2个图形需要(2X6一2)根小棒，第3个 图形需要(3×6一2)根小棒，按此规律摆下去，第n个 图形需要(n×6-2)根小棒。 目知识归纳 数形结合思想 通过图形找出对应的规律，是数形结合思想 的应用。可以帮助我们更好地理解算理、探究规 律和解决问题。 4.(24-20)÷(6-4)=2(cm)20-2×3= 14(cm)14+(n-1)×2=(2n+12)cm 解析4个杯子叠起来的高度是1个杯子的高度加上 3个叠起来杯子露出部分的高度，6个杯子叠起来的 高度是1个杯子的高度加上5个叠起来杯子露出部 分的高度。用6个杯子叠起来的高度减去4个杯子 叠起来的高度就等于2个叠起来杯子露出部分的高 度，因此叠起来后，1个杯子露出部分的高度是(24一 20)÷2=2(cm),则1个杯子的高度是20-2×3= 14(cm),所以n个杯子叠起来的高度是14+(n一 1)×2=(2n+12)cm。 5.(1)6×10+4=64(cm)答：周长是64cm。 (2)6×n+4=(6n+4)cm答：周长是(6n+4)cm. 解析根据题图计算周长如下：第①个图形的周长是 (3+2)×2=10(cm),10=6×1+4;第②个图形的周 长是(3+2+3)×2=16(cm),16=6×2+4;第③个 图形的周长是(3+2+3+3)×2=22(cm),22=6× 3十4；第④个图形的周长是(3十2+3+2+3)×2+ (3-2)×2=-28(cm),28=6×4十4…第⑩个图形 的周长是6×10十4=64(cm);第⑦个图形的周长是 6×n+4=(6n+4)cm 第3课时探索规律（一）(2 1.(1)4×20+2=82(个)提分真题特训 1.填空。 形的面积为12.56cm,则圆的周 (1)(淮安)解决“已知圆的半径为3厘米，求 圆的面积”这个问题时，有一名同学忘记了圆 的面积计算公式，他便回忆圆的面积公式推 A.1256cm B.12.56cm 导过程（如下图），分步求出了结果。第一步： C.628 cm D.6.28cm ),第二步：( ), (3)(周口项城)如左下图，正方形的面积是 第三步：( )。 10cm2,圆的面积是( )cm2。 A.15.7 B.31.4C.10 D.无法确定 (2)(温州文成)如左下图中两个圆，小圆半 径是3厘米，大圆直径为10厘米。如果让小 (4)(苏州吴中区)一个圆形花园如右上图所 圆沿大圆外侧滚动一周（如图），那么小圆的 示，老鼠在花园中心即圆心O处，猫在花园边 圆心移动的路程是( )厘米，小圆在滚动 上点A处。现老鼠在点O沿着半径向点B 过程中扫过的面积是( )平方厘米。（此 逃跑，同时，猫从点A沿着箭头方向追。已知 题两空都用含有π的式子表示) 猫的速度是5米/秒，老鼠的速度是1.5米 向右滚动 秒，那么( )会先到达点B。 A老鼠 B.猫 6.28cm A C.一起到达 D.无法判断 (3)(深圳福田区)如右上图所示为一个圆向 3.(唐山迁西)李爷爷用9.42米长的篱笆靠墙 右滚动半周时的情况。根据图示要画一个同 角围了一个最大的养鸡场（如图），这个养鸡 样的圆，那么圆规两脚之间的距离为( 场的面积是多少平方米？ cm,这个圆的面积是( )cm2。 9.42米 2.选择。 (1)(杭州萧山区)如下图，从A点到B点， yy 甲、乙两条路线中，()。 4.(滨州惠民)一只羊被拴在边长为8米的等边 甲 三角形建筑的墙角A处，周围都是草地，绳 0 长6米，求羊能吃的草的面积。（请在图中画 A02 B 出羊吃草的范围，再解答) A.甲长 B.乙长 C.甲、乙一样长 D.无法判断 46米 (2)(福州闽侯)如图，把圆分成若干等份的扇 形，剪开后，拼成一个近似的三角形。已知三角 21 拔尖特训·数学（北师版）六年级上 单元整合提升·易错与拓展 疑难排查©。易错点精练 4.新素养应用意识公园有四个 类型一较复杂的求圆周长的问题 为各自所在圆的，它们的周长都是28.56米， 将不规则图形的周长转化为圆周长的几分之几或几 这四个花坛的占地面积共多少平方米？ 倍加（减）其他部分的长度。 1.新素养何直观计算图中涂色部分的周长。 (单位：厘米) 类型三用假设法解决复杂的周长问题 20 如果大圆（半圆）的直径等于几个小圆（半圆）的直径 之和，那么大圆（半圆）的周长等于几个小圆（半圆）的 周长之和。 2.计算图中涂色部分的周长。 5.新趋势说理表达从A处到B处有①和②两条 路线供选择（如图），哪条路线更短些？先在 9dm 正确的答案后面画“√”，再说明理由。 ① 6dm 类型二综合运用圆的周长、直径等知识求 路线①短 路线②短 一样长■ 圆的面积 求圆的面积时，有时需要综合运用圆的周长、直径等 知识，先求出圆的半径，再求面积。 3.新趋势作探究如图，把一张圆形硬纸片剪开 后，拼成一个近似的平行四边形，这个平行四 边形的底是12.56厘米，它的面积是() 6.如图，两个小圆的周长之和与大圆的周长相 平方厘米。 比，哪个长？ A.12.56 B.18.84 C.25.12 D.50.24 22 第二单元圆 类型四用转化法解决与圆面积有关的问题 视野开拓。拓展点提升 当涂色部分是不规则的组合图形，不方便直接计算它 拓展一厘清其他图形的面积与圆的半径的 们的面积时，可以进行适当地割补，将其转化成规则 平方、面积之间的关系 的图形来计算。 11.新趋势思维过程如图，直角三角形（涂色部分） 7如图，正方形的边长为10cm,以两条边长为 的面积是15平方厘米，求圆的面积。 直径向内作两个半圆，求涂色部分的面积。 思路提示：先根据直角三角形的面积算出r2,再 根据圆的面积计算公式求出圆的面积。 8.新素养几何直观如图，每个半圆的直径都是 6dm,求涂色部分的面积。 ←-6dm 拓展二作辅助线，运用数形结合思想求组合 图形的面积 12.如图所示为一个钟面的示意图，图中的涂色 类型五半圆的周长问题 部分是一个近似的梯形。这个近似梯形的 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 面积是多少平方厘米？（结果用π表示） 9:新趋势算理理解下面计算半圆的周长的式子 1112 10 中，错误的是( )。 9 d=30 cm A.d 8 4 B.πr+2r 7 65 C.d 思路提示：连接圆心和数字1处的点、数字1和 D.2πr÷2+d 数字3处的点，把梯形的面积转化为钟面面积 10.把一个周长是18.84分米的圆平均分成两 的) 个半圆，每个半圆的周长是多少分米？ 23