专题02 等式与不等式（期中复习讲义）（必备知识+10大题型+分层检测）高一数学上学期沪教版

专题02 等式与不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 等式的性质与方程的解 熟练掌握等式的基本性质，能准确运用性质进行等式的变形；理解方程的解的含义，能根据方程的解求方程中参数的值 基础考点，主要考查对解方程步骤的掌握程 度，在选择题、填空题和基础解答题中均有 出现。 一元二次方程的 根与系数的关系 能熟练求解一元二次方程，根据判别式判断方程根的情况。 高频考点，在选择题、填空题和解答题中都 有涉及，有时还会与二次函数结合考查。 不等式的性质 清晰掌握不等式的基本性质。能准确运用这些性质对不等式进行变形。 主要考查对不等式基本性质的理解和运用、 根据不等式的性质比较两个代数式的大小 等；常见题型为选填题，有时也会在解 答题中作为解题的步骤之一。 一元一次不等式（组）的求解与应用 熟练掌握一元一次不等式（组）的求解方法，能准确求出不等式（组）的解集并在数轴上表示出来。 基础考点，在选择题和填空题中经常出现， 主要考查不等式的基本性质和求解步骤；在 解答题的第一问或实际问题中也可能涉及。 一元二次不等式 的求解 能根据一元二次方程的根的情况，结合二次函数的图像，准确求解一元二次不等式的解集。 核心考点，在各种题型中均有涉及。选择题 和填空题常考查一元二次不等式的解集 简单分式不等式和绝对值不等式的求解 了解分式不等式、绝对值不等式的求解思路，能将简单的分式不等式、绝对值不等式转化为已学过的不等式形式进行求解。 难点和易错点，通常在选择题或填空题中考 查，主要考查将分式不等式、绝对值不等式 转化为整式不等式的能力。 基本不等式及其应用 熟练掌握基本不等式的常见变形形式，能根据具体问题灵活选用合适的变形形式解决问题。 重难点，注重对基础知识的考查，更加注重 数学与实际生活的联系。 知识点01 等式的性质与方程的解 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 知识点02 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 一元二次方程的根与系数的关系常用变形： ①；②； ③； 知识点03 不等式的性质 1.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 2.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则；(不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么；(同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 知识点04 不等式的解集与不等式组的解集 1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. 2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； 4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； 5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. 6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 知识点05 一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是 (－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点06 分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；；；； 知识点07 简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 知识点08 平均值不等式及其应用 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 注意： （1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 3.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点08 三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 1.证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2）由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 2.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 3.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型一 等式的性质与方程的解集 【典例1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【详解】当时，此时，但不满足，即充分性不成立； 反之：当时， 此时，不等式的解集为，的解集为， 所以，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也必要条件. 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 【典例3】（22-23高三上·上海嘉定·期中）设，方程的解集为 . 【答案】 【详解】依题意， 当时，方程化为，恒成立. 当时，方程化为，不符合. 当时，方程化为. 当时，方程化为，恒成立. 方程的解集为. 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 题型二 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【典例1】（23-24高一上·上海普陀·期中）以和为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】设一元二次方程方程为， 则由根与系数的关系可得，解的， 所以方程为， 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3 【详解】因为方程的两个根为，， 所以， 则． 故答案为：3 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 【答案】1 【详解】由韦达定理，得， 有，得， 又，所以，即， 所以，解得. 故答案为：1 【典例4】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【详解】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【详解】由根与系数的关系知，， 所以， 解得， 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】 【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 【答案】3 【详解】因为是关于的方程的两实根， 所以由根与系数的关系得， 因为是关于的方程的两实根， 所以， 即，， 所以，解得， 经验证可得，所以， 所以. 故答案为：3. 【变式4】（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 【详解】（1）原方程可化为 即方程 因为 所以有两个不同的实数解 经检验 所以，，， 所以关于的方程有两个不同的实数解. （2）令， 而二次函数图象开口向上，故， 所以. 题型三 不等式的大小比较 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，因为，所以，故， 所以，①正确； 对于②，因为，所以，， 由得，故，即，②错误； 对于③，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，③正确； 对于④，由②知，，又，由不等式性质得，④正确. 故选：C 【典例2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，时，，，时，，， 同号时，，因此， 时，，时，，或，因此， 异号时，时，，时，，或， ，，因此有， 综上，， 故选：D． 【典例3】（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 【答案】（3）（4） 【详解】对于（1），由得， 则成立且， 故，即成立，因此（1）为真命题； 对于（2），当不成立时，有成立，即或，故（2）为真命题； 对于（3），， 显然，当时，不成立，故（3）为假命题； 对于（4），假设，，此时，满足，不满足，故（4）为假命题； 故答案为：（3）（4） 【典例4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 【详解】（1）， 即； （2）， 令， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，； 综上所述， 【变式1】（24-25高一上·上海闵行·期中）如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由且，可知， 因为，所以成立， 因为，，所以成立， 当时，显然不成立，当时，成立， 因为，，所以成立.\ 由以上分析知，C不一定成立，ABD成立. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选:C. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列不等式正确的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知， 对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，和没有意义，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式4】（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【详解】因为 ，当时等号成立， 所以. 【变式5】（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【详解】（1）因为， 则， 所以； （2）假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 题型四 证明不等式与取值范围 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【答案】D 【详解】因为，两边平方得到， 整理得到，所以等号当且仅当时成立， 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意得，； 当，时，； 当，时，，，此时； 当，时，，所以，即； 当，时，，所以，即； 当或时，； 综上所述： 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知实数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，且，可得，， 所以，两边除以， 有，得， 所以的取值范围是. 故答案为：． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的最大值为 【答案】3 【详解】由，可得 ， 当时等号成立. 故答案为：3. 【变式3】（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 题型五 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】1 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 【答案】 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 综上，实数. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 题型六 一元二次不等式的求解 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则使得都成立的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 由可得，即，解得， 且，所以符合题意的取值范围是. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】因为或. 所以. 故答案为： 【典例3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，， ，， 所以不等式为， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 【典例4】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【答案】 【详解】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【典例5】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的方程的解集； (3)当时，求不等式的解集. 【详解】（1）时，不等式为，即， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）时，方程为，即， 当时，方程的解不存在，解集为； 当时，方程的解为，解集为； （3）当时，不等式可化为，即， 若，则不等式为，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为. 【典例6】（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若x满足，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】由，得或， 解，得，解，得， 所以x的取值范围为或. 故答案为：或 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 【答案】 【详解】因为，， 所以，是方程的两个不等实根， 则△，解得． 而，即，解得，或（不和题意，舍去），所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【答案】 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根且， 所以，所以， 由不等式，可得，因为， 所以，所以，解得或， 所以不等式解集为. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 【答案】或或或 【详解】①时，由题意知方程有唯一的实数根2，此时，且， 得不等式，即， 则当时，；当时，. ②当时，由题意知方程有唯一的实数根2， 即二次函数的图象与轴只有一个交点， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，不等式的解集为或或或； 故答案为：或或或 【变式5】（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于x的方程只有一个根，求a的值； (3)关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 【详解】（1）时，，解得， 故的解集为； （2）只有一个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1； （3），解集为R， 当时，，解得，不合要求， 当时，需满足，无解， 综上，实数a的取值范围为. 题型七 分式不等式 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）设，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由可得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或， 故答案为：. 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【详解】， 当时，，解得，此时原不等式的解集为； 当时，令，得， 当即时，，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为. 综上，时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期中）方程组解集为 . 【答案】 【详解】由 由得或，解得①； 又或，解得，或②. 由①②解得. 则不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知集合为不等式的解集． (1)求集合； (2)若，且，求实数的范围． 【详解】（1）由不等式可得，， 即， 解得， 所以集合； （2）， 因为， 所以，无解， 即实数的范围为． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合； (2)已知，求实数的取值范围； 【详解】（1）解不等式可得或； 易知； 当时，可得； 由集合且可得或或. （2）由可得， 当时，可得； 当时，若，可得， 由可得，即； 若，可得，此时恒成立，即即可； 综上可得，实数的取值范围为. 题型八 绝对值不等式 【典例】（24-25高一上·上海·期中）已知存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若存在使不等式成立，可知， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若对所有实数恒成立，则当等号成立时，的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得 因此可得的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】表示数轴上的对应点到和对应点的距离之和，其最小值为， 由题意的解集为， 可得恒成立，所以， 所以的范围是， 故答案为：. 题型九 基本不等式及其应用 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题意可得，， 当且仅当时，取到最小值， 所以的最小值为， 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【答案】24 【详解】令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以所用篱笆总长C最小值是24. 故答案为：24 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 【详解】（1）由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （2）由，得，而， ， 当且仅当，即时取等号，而，因此，则， 所以实数的取值范围为. （3）由，得，，当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为. 【变式1】（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设a，b都是正数. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 【详解】（1）由于a，b都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以； （2）由于， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式3】（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 【详解】（1）设，则由与相似得 ，整理得， 矩形的面积， 即， 当时，得，整理得， 解得，或，又， 所以的长应在； （2）时，， 当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米. 题型十 绝对值三角不等式 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，不等式恒成立， 等价于即可. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得：. 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为或， 即或. 故答案为： 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 【答案】 【详解】，即， 所以当，即或时等号成立. 故答案为：. 【典例4】（24-25高一上·上海·期中）（1）对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． （2）若关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围． （3）符号表示不大于的最大整数，例如：.设方程的解集为，集合，若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由于，故，即，即，解得， （2）由于关于x的不等式的解集不为空集， 若，则不等式为，解得，符合解集不为空集， 若，则不等式为，此时解集为空集，不符合题意，舍去， 若，即或，则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向上，故该不等式的解集一定不为空集，符合题意， 若，即，则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向下，要使不等式的解集不为空集，则，化简得，解得符合题意， 综上可得或 （3）因为，所以， 当，不等式为，解得， 当，不等式为，解得， 当，不等式为，此时无解， 综上可得， 又， 当时，，则，符合题意； 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为； 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 【答案】4 【详解】解：因为，，，， 所以， ， 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，取得等号， 即的最小值为， 所以或即或 故答案为：． 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）基本不等式和三角不等式是高中数学中学习不等式的重要知识点. (1)已知，，求证：； (2)对于问题“已知正数x、y满足，求的最小值.”同学小明有如下解法： 因为，， 所以，即. 由，得所求最小值为. 试判断上述解法是否正确.若不正确，请指出错误之处，并加以改正. 【详解】（1）因为，，且， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以. （2）因为， 则，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 两者等号成立条件不一致，所以解析错误， 正解： 因为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以不等式等价于不等式. 故选：D. 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 【答案】 【详解】∵不等式的解集是， ∴方程的两个根为 则. 由得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由，得， 解得或， 原不等式的解集为. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海普陀·期中）关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【详解】由于不等式的解集为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】原不等式可变为， 整理得，解得， 即原不等式的解集为. 故答案为： 三、解答题 7．（22-23高一上·上海浦东新·期中）设为实数，比较与的值的大小. 【详解】 则 8．（22-23高一上·上海静安·期中）解不等式组. 【详解】， ， ， ， ，且， 解得：， ， 或， 解得：或， 综上所述：不等式组的解集为， 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集用区间表示是 ． 【答案】； 【详解】原式，可化为，即， 所以，等价于，所以， 即不等式解集为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知一元二次方程的两个实数根分别为.若，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为是的两个实数根，所以， 因为，所以，符合题意， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中）若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由x，y，z均为正数，， 得， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知恒成立，则 ． 【答案】7 【详解】由恒成立， 即恒成立， 则，解得， 所以. 故答案为：7. 二、解答题 5．（24-25高一上·上海·期中）已知是方程的两根，若两根都大于1，求的取值范围． 【详解】依题意，，解得或， ，由，得， 则，即，则，解得， 因此，，当且仅当，即时取等号， 而，所以的最小值为10，即的取值范围是. 6．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）当为何值时，关于的方程的解是正数？ （2）证明：是无理数. 【详解】（1）方程，即， 显然，解得， 令，等价于， 解得或，即当满足或时，方程的解为正数； （2）假设为有理数， 因为，设（、为互质的正整数）， 则，即，又为偶数，但是为奇数，矛盾， 所以假设不成立，故是无理数. 7．（24-25高一上·上海·期中）为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 【详解】（1）因为（当且仅当时取“”）. 所以该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. （2）设该单位每月处理吨时，获得的利润为， 则. 所以当时，最大，为：. 故该单位每月处理量为吨时，每月的总获利最大，为元. 8．（24-25高一上·上海·期中）已知，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为-1和2，且该二次函数图像过点. (1)求二次函数的表达式; (2)已知，解关于的不等式. 【详解】（1）因为二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为-1和2， 所以二次函数， 又函数的图象过点， 所以，解得，所以. （2）由，结合（1）可得， 所以，所以， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误； 因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确. 故选：D 2．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以①正确； 变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以②正确； 若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以③错误； 若不等式的解集为，即的解集为， 由韦达定理知：， 则，解得， 所以④正确. 综上，正确的为：①②④ 故选：C 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）对于任意的，都存在b，，使得关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 【答案】2 【详解】令， 由于对任意的，都有， 故， ， 因此，故， 又，，故， 当，即可取到等号，此时, 满足在上恒成立，故最大值为2， 故答案为：2 4．（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】已知：正数、、满足，. 因为（当且仅当即时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为： 三、解答题 5．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，求证：； （2）已知实数，比较与的值的大小. 【详解】（1）因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. （2）因为， 因为，则，，当且仅当时，等号成立， 可得，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)当正实数满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，所以， 所以，解得或， 所以. （2）由条件可知，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 又因为恒成立， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 7．（24-25高一上·上海宝山·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； (1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） (2)研究，的最小值； (3)求出当时，，的最小值. 【详解】（1）因为，模仿例题，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （2）因为，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （3）因为，且，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 8．（24-25高一上·上海·期中）问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数满足，求的最小值 (2)若实数，正实数满足，求证: (3)求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 【详解】（1）解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是； （2）， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故； （3）设，由，解得， ，又，则， 构造，由，得，则， 所以由（2）得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以取最小值为，此时m的值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 等式的性质与方程的解 熟练掌握等式的基本性质，能准确运用性质进行等式的变形；理解方程的解的含义，能根据方程的解求方程中参数的值 基础考点，主要考查对解方程步骤的掌握程 度，在选择题、填空题和基础解答题中均有 出现。 一元二次方程的 根与系数的关系 能熟练求解一元二次方程，根据判别式判断方程根的情况。 高频考点，在选择题、填空题和解答题中都 有涉及，有时还会与二次函数结合考查。 不等式的性质 清晰掌握不等式的基本性质。能准确运用这些性质对不等式进行变形。 主要考查对不等式基本性质的理解和运用、 根据不等式的性质比较两个代数式的大小 等；常见题型为选填题，有时也会在解 答题中作为解题的步骤之一。 一元一次不等式（组）的求解与应用 熟练掌握一元一次不等式（组）的求解方法，能准确求出不等式（组）的解集并在数轴上表示出来。 基础考点，在选择题和填空题中经常出现， 主要考查不等式的基本性质和求解步骤；在 解答题的第一问或实际问题中也可能涉及。 一元二次不等式 的求解 能根据一元二次方程的根的情况，结合二次函数的图像，准确求解一元二次不等式的解集。 核心考点，在各种题型中均有涉及。选择题 和填空题常考查一元二次不等式的解集 简单分式不等式和绝对值不等式的求解 了解分式不等式、绝对值不等式的求解思路，能将简单的分式不等式、绝对值不等式转化为已学过的不等式形式进行求解。 难点和易错点，通常在选择题或填空题中考 查，主要考查将分式不等式、绝对值不等式 转化为整式不等式的能力。 基本不等式及其应用 熟练掌握基本不等式的常见变形形式，能根据具体问题灵活选用合适的变形形式解决问题。 重难点，注重对基础知识的考查，更加注重 数学与实际生活的联系。 知识点01 等式的性质与方程的解 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 知识点02 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 一元二次方程的根与系数的关系常用变形： ①；②； ③； 知识点03 不等式的性质 1.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 2.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则；(不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么；(同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 知识点04 不等式的解集与不等式组的解集 1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. 2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； 3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集； 4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； 5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. 6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 知识点05 一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是 (－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 5.一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 知识点06 分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；；；； 知识点07 简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m；（4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 知识点08 平均值不等式及其应用 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 注意： （1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 3.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点08 三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 1.证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2）由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 2.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 3.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型一 等式的性质与方程的解集 【典例1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【典例2】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【典例3】（22-23高三上·上海嘉定·期中）设，方程的解集为 . 【变式1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 题型二 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【典例1】（23-24高一上·上海普陀·期中）以和为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ． 【典例2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 【典例4】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 【变式4】（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 题型三 不等式的大小比较 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 【典例4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 【变式1】（24-25高一上·上海闵行·期中）如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列不等式正确的是 （  ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【变式5】（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 题型四 证明不等式与取值范围 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知实数，且，则的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的最大值为 【变式3】（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 题型五 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 题型六 一元二次不等式的求解 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则使得都成立的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 ． 【典例3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【典例4】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【典例5】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的方程的解集； (3)当时，求不等式的解集. 【典例6】（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若x满足，则x的取值范围为 ． 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【变式4】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 【变式5】（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于x的方程只有一个根，求a的值； (3)关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 题型七 分式不等式 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）设，则不等式的解集为 . 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期中）方程组解集为 . 【变式2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知集合为不等式的解集． (1)求集合； (2)若，且，求实数的范围． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合； (2)已知，求实数的取值范围； 题型八 绝对值不等式 【典例】（24-25高一上·上海·期中）已知存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若对所有实数恒成立，则当等号成立时，的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 题型九 基本不等式及其应用 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若正实数满足，则的最小值为 . 【典例2】（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 【变式1】（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设a，b都是正数. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 【变式3】（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 题型十 绝对值三角不等式 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 【典例4】（24-25高一上·上海·期中）（1）对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． （2）若关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围． （3）符号表示不大于的最大整数，例如：.设方程的解集为，集合，若，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）基本不等式和三角不等式是高中数学中学习不等式的重要知识点. (1)已知，，求证：； (2)对于问题“已知正数x、y满足，求的最小值.”同学小明有如下解法： 因为，， 所以，即. 由，得所求最小值为. 试判断上述解法是否正确.若不正确，请指出错误之处，并加以改正. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 4．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 5．（24-25高一上·上海普陀·期中）关于的不等式的解集为，则 ． 6．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 三、解答题 7．（22-23高一上·上海浦东新·期中）设为实数，比较与的值的大小. 8．（22-23高一上·上海静安·期中）解不等式组. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集用区间表示是 ． 2．（24-25高一上·上海·期中）已知一元二次方程的两个实数根分别为.若，则实数的值为 ． 3．（24-25高一上·上海·期中）若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值为 ． 4．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知恒成立，则 ． 二、解答题 5．（24-25高一上·上海·期中）已知是方程的两根，若两根都大于1，求的取值 6．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）当为何值时，关于的方程的解是正数？ （2）证明：是无理数. 7．（24-25高一上·上海·期中）为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 8．（24-25高一上·上海·期中）已知，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为-1和2，且该二次函数图像过点. (1)求二次函数的表达式; (2)已知，解关于的不等式. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）对于任意的，都存在b，，使得关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 4．（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 三、解答题 5．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，求证：； （2）已知实数，比较与的值的大小. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)当正实数满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 7．（24-25高一上·上海宝山·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； (1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） (2)研究，的最小值； (3)求出当时，，的最小值. 8．（24-25高一上·上海·期中）问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数满足，求的最小值 (2)若实数，正实数满足，求证: (3)求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $