3.4 二次函数的图象与性质（第1课时）课件 2026--2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第3章　二次函数 3.4 二次函数的图象与性质（第1课时） 上下平移与图象性质 数学新教材鲁教版　九年级上册 情境引入 从表格走向曲线 观察与理解 研究一个函数，先取有代表性的输入，再计算对应输出；将这些有序数对放入直角坐标系，可以直观观察变化规律。 推理与运用 本课的曲线要通过计算和描点得到。作图时注意取点的范围、坐标尺度以及曲线的光滑性。 情境引入 探究 函数中，取。预测两侧函数值的关系并计算验证。 答：两侧相等，均为；中间为。 两个平方中的值互为相反数，平方相同。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 情境引入 确定研究对象 观察与理解 同一函数可以用表达式、表格与图象表示。表达式给出计算规则，表格提供作图坐标，图象把这些对应关系组织成整体。 推理与运用 从本课出发，依次观察曲线的形状、开口方向、对称性、特殊点和变化趋势。结论必须和表达式相互印证。 新知讲授 上下平移的规律 形状与位置 一般的，二次函数的图象是抛物线，它与抛物线的形状相同，只是位置不同。 平移规则 当时，将抛物线向上平移个单位，就得到抛物线；当时，将抛物线向下平移个单位，就得到抛物线。它的对称轴为轴，顶点坐标为。 新知讲授 相同横坐标处的差 观察与理解 比较与，不论输入是什么，第二个函数值总比第一个大1。所有点的纵坐标都增加1。 推理与运用 点的横坐标不变、纵坐标同时加同一个数，表示竖直平移，曲线形状和开口方向保持不变。 新知讲授 向下移动怎样写 观察与理解 把向下平移2个单位，得到。变化在平方项外，直接改变每个函数值。 推理与运用 负的平移量表示向下，但移动距离必须为正数。写“向下平移2个单位”，不能写负的距离。 新知讲授 顶点跟着整条曲线移动 观察与理解 的顶点是，向上或向下平移后，横坐标仍为0，纵坐标变为。对称轴保持为轴。 推理与运用 最值随顶点纵坐标改变，但左右两侧的增减规律仍由二次项系数符号决定。 新知讲授 同形不等于同一图象 观察与理解 二次项系数相同，开口方向和大小相同；常数项不同，竖直位置不同。两条曲线不是在所有位置重合。 推理与运用 比较两函数值时可以直接相减，差的绝对值就是竖直距离。注意纵坐标差的正负与谁在上、谁在下。 新知讲授 变化规律的分界不变 观察与理解 上下平移不改变对称轴，所以增减的分界仍是零。开口向上时左侧减小、右侧增大，向下时相反。 推理与运用 讨论函数值正负时，平移会改变曲线相对横轴的位置，不能照搬基本抛物线所有点同号的结论。 课堂练习 随堂练习 1 的图象与有什么关系？它是轴对称图形吗？写出开口方向、对称轴和顶点，并画图验证。 -2 -1 1 2 2 4 6 8 x y O 答：向下平移个单位；是；向上，，顶点。 各个输入的函数值都减少半个单位。 二次项系数为正，形状不变。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 随堂练习 2 的图象与的图象有什么关系？ -2 2 -8 -6 -4 -2 2 x y O 答：前者向上平移1个单位得到后者。 两个表达式相减得到1。 顶点从移到。 跟踪顶点的新坐标，比只背符号更容易判断方向。 课堂练习 变式 对函数，求时的函数值。 -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 x y O 答：依次为。 逐个代入；中心两侧距离相同的输入得到相同函数值。 依次做平方、乘2、加1，注意运算顺序。 课堂练习 变式 把中对应的三个点写成坐标，并在图中定位。 -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 x y O 答：，，。 每个点的横坐标是输入，纵坐标是对应输出。 三个点的纵坐标比对应的均大1。 课堂练习 变式 点与，哪个在的图象上？ 答：A在，B不在。 当时，唯一函数值是。 沿横轴从左向右读变化，精确数值用表达式核对。 课堂练习 变式 的图象上有点，求与它关于对称轴对称的点。 答：。 对称轴，两个横坐标的平均数等于。 先看横坐标，再判断图象的对称关系。 课堂练习 变式 说明的开口方向，并用平方项说明原因。 -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 x y O 答：开口向上。 平方项非负，乘以后非负，故所有函数值不小于。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 写出的顶点坐标与对称轴。 -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 x y O 答：顶点；对称轴。 顶点是一个点，要写坐标；对称轴是一条直线，要写直线方程。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 函数在时，随增大怎样变化？ -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 x y O 答：函数值逐渐减小。 从左侧向中心靠近，平方中的绝对值逐渐减小。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 函数在时，随增大怎样变化？ -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 x y O 答：函数值逐渐增大。 从中心向右远离，平方中的绝对值逐渐增大。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 对，比较与时的函数值。 答：前者小于后者。 对应值为与。 加同一个常数不改变大小关系，可先比较两个输入的平方。 课堂练习 变式 对，比较与时的函数值。 答：前者大于后者。 两点到对称轴的距离分别为3和1；先比平方，再考虑二次项系数符号。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 有最大值还是最小值？在什么输入处取得？ -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 x y O 答：当时，最小值是。 平方项为零时达到极值；同时写出输入和输出。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 函数能否取到？ 答：不能。 所有函数值不小于。 先找最小值1，再判断0是否能取到。 课堂练习 变式 在中，函数值为时，求。 答：或。 移项后除以二次项系数，得到平方等于4，再取正负两个根。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 的图象与直线交于哪里？ -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 x y O 答：。 把代入，平方项为零。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 求图象与轴的交点。 答：。 纵轴上的点横坐标为零，代入即可。 沿横轴从左向右读变化，精确数值用表达式核对。 课堂练习 变式 有人把的五个描点依次用线段相连，作为整个函数图象。这样画是否准确？ -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 x y O 答：不准确，应以光滑曲线连接。 二次函数图象是抛物线，五个点之间还有无数个对应点。 描点只确定位置，抛物线须用光滑曲线连接。 课堂练习 变式 对，当时，求函数值的最大值与最小值。 答：最小值，最大值。 区间包含顶点；再比较两个端点到对称轴的距离。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 计算在和时的值。 答：两个函数值均为。 两输入关于对称轴对称，只需计算其中一个。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂总结 上下平移与图象性质 形状 抛物线；系数符号决定开口。 位置 本例顶点，轴。 变化 以对称轴为界，分左右描述。 作图 定位顶点，成对取点，光滑连接。 注意 实际图象受变量范围限制。 针对训练 原创训练 的顶点坐标是什么？A.；B.；C.；D.。 答：A 令平方中的式子为零，确定顶点横坐标。 此时函数值为常数项，确定顶点纵坐标。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 与开口方向相反的是哪一个？A.；B.；C.；D.。 答：B 二次项系数符号相反，开口方向才相反。 其他选项改变常数或不作改变，不会改变开口方向。 比较二次项系数的符号，上下平移不会改变开口方向。 针对训练 原创训练 中，当时，____。 答：。 平方中的值为3，平方为9。 再乘系数并加，得到结果。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 对于，判断下列说法。 （1） 关于直线对称。 正确 相距对称轴相等的输入，平方项相同。 （2） 不同输入的函数值一定不同。 错误 关于对称轴对称的两点可以有相同函数值。 （3） 顶点纵坐标为。 错误 顶点纵坐标应为。 先看横坐标，再判断图象的对称关系。 针对训练 原创训练 中，求和时的值。 答：都为。 两输入到对称轴距离均为1.5。 平方项为2.25，乘再加。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 针对训练 原创训练 中，比较与时的函数值。 答：前者小于后者。 比较平方4与9，再结合二次项系数符号。 两值分别为与，直接计算也可验证。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 的函数值为，求自变量。 答：或。 先减去常数项，再除以二次项系数。 平方等于1，取正负两个值，再还原x。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 画的草图，写出对称轴与最值。 -2 2 -9 -6 -3 3 6 9 x y O 答：对称轴；当时，最大值为。 先定位顶点与开口，再描一对对称点。 光滑连线，根据开口方向判断顶点对应最大或最小值。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 针对训练 原创训练 某路面上刹车距离，v为速度。速度从20增至40时，距离变为原来的几倍？ 答：4倍。 距离从8增至32；输入加倍，平方项变为4倍。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 传感器输出。当与时，输出分别是多少？ 答：与。 分别代入对应输入，按平方、乘法、加法顺序计算。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 方法归纳 从表达式到图象 定位与作图 ① 先找顶点和对称轴，再判断开口。 ② 以轴为中心取对称点，使用同一刻度。 性质与验证 ① 增减区间以对称轴为分界。 ② 函数值比较结合开口与距轴距离。 ③ 最值必须连同取得它的输入一起写出。 $