第二章 一元二次方程 高分冲刺卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

高分冲刺卷第二章一元二次方程2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法、2.3 一元二次方程的根与系数的关系、2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若关于 的一元二次方程 的两个根是 与 ，则 、 的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．对方程 施行配方，得到的结果是（　　） A． B． C． D． 3．若 的两根分别为 、，则 的值是（　　） A． B． C． D． 4．一个长方形的长为 20 米、宽为 12 米，把它的长和宽都减少相同的长度后，面积变为 153 平方米。设减少的长度为 米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．已知方程 的两个根恰好是一个三角形的两条边长，而这个三角形的第三条边长是方程 的较小根，则这个三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 6．已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 7．已知 、 是关于 的方程 的两个根，则以 、 为两个根的一元二次方程（二次项系数为 1）是（　　） A． B． C． D． 8．某商场 1 月份的销售额为 200 万元，第一季度（1 月、2 月、3 月）的总销售额为 662 万元，且 2 月、3 月每月的增长率相同。设月增长率为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 9．若关于 的方程 的两个根恰好与方程 的两个根相同，则 与 的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．若关于 的一元二次方程 的两个根都是正整数，则满足条件的 的值共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是______，另一个根是______． 12．把方程 化为一般形式后，一次项系数是______． 13．一件商品连续两次降价，每次降价的百分率相同，降价后的价格比原价少了 ，则平均每次降价的百分率是______． 14．已知 、 满足 、，则以 、 为两个根的一元二次方程（二次项系数为 1）是______． 15．若关于 的一元二次方程 的两个根之差为 3，且两根之积为 4，则 的值是______． 16．设 、 是方程 的两个根，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）某商店销售一种进价为每件 40 元的商品，当售价为每件 60 元时，每天可售出 100 件。市场调查发现，每件每降低 1 元，每天可多售出 10 件。若要每天获得 2240 元的销售利润，每件商品应降价多少元？ 19．（6 分）方程 的两个根记作 、，不解方程求下列各式的值： (1) ； (2) ． 20．（6 分）一个直角三角形中，较长的直角边比较短的直角边长 3，斜边长为 15，求这个直角三角形的面积． 21．（6 分）已知关于 的方程 ． (1) 求证：无论 取何值，这个方程总有实数根； (2) 若两个根的平方和等于 25，求 的值，并求出此时方程的两个根． 22．（6 分）某养殖户 2023 年的年收入为 5 万元，2025 年的年收入为 7.2 万元，且 2024 年、2025 年两年的增长率相同． (1) 求这两年每年的增长率； (2) 若 2024 年的收入比 2023 年增加了 万元，2025 年的收入比 2024 年增加了 万元，求 的值． 23．（8 分）已知关于 的一元二次方程 的两个根是一个矩形相邻两边的长． (1) 求 的取值范围； (2) 若这个矩形的周长为 14，求 的值与矩形的面积． 24．（8 分）某农户准备用一段长 30 米的篱笆靠一面足够长的墙围成一个矩形菜园，并在菜园中间用一段与墙垂直的篱笆把它隔成两个小矩形． (1) 若菜园的总面积为 63 平方米，设与墙垂直的一边长为 米，求 的值； (2) 若菜园的总面积为 80 平方米，这种情况能实现吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高分冲刺卷第二章一元二次方程2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法、2.3 一元二次方程的根与系数的关系、2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若关于 的一元二次方程 的两个根是 与 ，则 、 的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．对方程 施行配方，得到的结果是（　　） A． B． C． D． 3．若 的两根分别为 、，则 的值是（　　） A． B． C． D． 4．一个长方形的长为 20 米、宽为 12 米，把它的长和宽都减少相同的长度后，面积变为 153 平方米。设减少的长度为 米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．已知方程 的两个根恰好是一个三角形的两条边长，而这个三角形的第三条边长是方程 的较小根，则这个三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 6．已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 7．已知 、 是关于 的方程 的两个根，则以 、 为两个根的一元二次方程（二次项系数为 1）是（　　） A． B． C． D． 8．某商场 1 月份的销售额为 200 万元，第一季度（1 月、2 月、3 月）的总销售额为 662 万元，且 2 月、3 月每月的增长率相同。设月增长率为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 9．若关于 的方程 的两个根恰好与方程 的两个根相同，则 与 的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．若关于 的一元二次方程 的两个根都是正整数，则满足条件的 的值共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是______，另一个根是______． 12．把方程 化为一般形式后，一次项系数是______． 13．一件商品连续两次降价，每次降价的百分率相同，降价后的价格比原价少了 ，则平均每次降价的百分率是______． 14．已知 、 满足 、，则以 、 为两个根的一元二次方程（二次项系数为 1）是______． 15．若关于 的一元二次方程 的两个根之差为 3，且两根之积为 4，则 的值是______． 16．设 、 是方程 的两个根，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）某商店销售一种进价为每件 40 元的商品，当售价为每件 60 元时，每天可售出 100 件。市场调查发现，每件每降低 1 元，每天可多售出 10 件。若要每天获得 2240 元的销售利润，每件商品应降价多少元？ 19．（6 分）方程 的两个根记作 、，不解方程求下列各式的值： (1) ； (2) ． 20．（6 分）一个直角三角形中，较长的直角边比较短的直角边长 3，斜边长为 15，求这个直角三角形的面积． 21．（6 分）已知关于 的方程 ． (1) 求证：无论 取何值，这个方程总有实数根； (2) 若两个根的平方和等于 25，求 的值，并求出此时方程的两个根． 22．（6 分）某养殖户 2023 年的年收入为 5 万元，2025 年的年收入为 7.2 万元，且 2024 年、2025 年两年的增长率相同． (1) 求这两年每年的增长率； (2) 若 2024 年的收入比 2023 年增加了 万元，2025 年的收入比 2024 年增加了 万元，求 的值． 23．（8 分）已知关于 的一元二次方程 的两个根是一个矩形相邻两边的长． (1) 求 的取值范围； (2) 若这个矩形的周长为 14，求 的值与矩形的面积． 24．（8 分）某农户准备用一段长 30 米的篱笆靠一面足够长的墙围成一个矩形菜园，并在菜园中间用一段与墙垂直的篱笆把它隔成两个小矩形． (1) 若菜园的总面积为 63 平方米，设与墙垂直的一边长为 米，求 的值； (2) 若菜园的总面积为 80 平方米，这种情况能实现吗？请说明理由． 参考答案与详细解析 1．【答案】 B 【解析】 由根与系数的关系，两根之和为 ，两根之积为 ； 两根之和 ，所以 ，； 两根之积 ，所以 ．选 B． 【解题提示】注意 的两根之和是 ：先算和再取相反数，这一步最容易出错． 2．【答案】 C 【解析】 两边同除以 3，得 ； 移项得 ； 两边加上 ：； 即 ．选 C． 【解题提示】二次项系数不为 1 时先除；右边是 ，不是 ． 3．【答案】 D 【解析】 由根与系数的关系，，； ； ．选 D． 【解题提示】「差的平方」用 最省事；本题积是负数，减去负数等于加上 20． 4．【答案】 A 【解析】 减少后的长为 米、宽为 米； 变化后的面积就是 平方米； 题目给的是「变化后的面积为 153」，直接相等即可； 所以 ．选 A． 【解题提示】分清「变化后的面积是 153」与「面积减少了 153」：前者直接把新面积写成 153，后者才需要用原面积减去新面积；长宽都减少，两个括号里都要用减号． 5．【答案】 C 【解析】 解 ，得 ，两根为 与 ； 解 ，得 ，两根为 与 ，较小根是 ； 三角形的三边为 、、； 检验：，能构成三角形； 周长为 ．选 C． 【解题提示】两个方程要分别解；拿到三边后必须先用「较短两边之和大于最长边」检验，再算周长． 6．【答案】 B 【解析】 由根与系数的关系，，； ； ； 由 得 ； 检验： 时 ，符合题意．选 B． 【解题提示】 展开是「积 倍和 」；本题还要留意 这个隐含条件． 7．【答案】 D 【解析】 由根与系数的关系，，； 新方程两根之和 ； 新方程两根之积 ； 所以新方程为 ．选 D． 【解题提示】构造新方程只需抓住「新根的和」与「新根的积」；倒数的和是「和除以积」，倒数的积是「积的倒数」． 8．【答案】 A 【解析】 1 月销售额为 万元； 2 月销售额为 万元； 3 月销售额为 万元； 题目给的是三个月的总和，所以 ．选 A． 【解题提示】「第一个月的量」不乘 ，只有从第二个月起才逐月乘；三个月的总量是三项相加． 9．【答案】 C 【解析】 先解 ，得 ，两根为 与 ； 所以这两个根的和为 、积为 ； 对方程 ，两根之和为 、两根之积为 ； 于是 ，，即 ．选 C． 【解题提示】两根相同意味着「和相等且积相等」；注意第二个方程的常数项是 而不是 ，算出积之后还要再还原一步． 10．【答案】 B 【解析】 设两根为 、，由根与系数的关系 ，； 、 都是正整数且和为 6，可能的配对为： 与 （此时 ）、 与 （此时 ）、 与 （此时 ）； 交换顺序不产生新的 ，所以共有 个．选 B． 【解题提示】枚举时按「较小根不超过和的一半」有序列举，避免重复计数；两个根相等（ 与 ）也是合法情形，别漏掉． 11．【答案】 ； 【解析】 把 代入方程：； 即 ，解得 ； 设另一个根为 ，由根与系数的关系 ； 解得 ； 也可由两根之积 得 ． 【解题提示】求另一个根有两种办法：用「和」或用「积」，结果应当一致，可互相验算． 12．【答案】 【解析】 展开左边：； 展开右边：； 移项得 ； 即 ； 所以一次项系数是 ． 【解题提示】 展开时别漏掉中间的 ；合并同类项后再读系数． 13．【答案】 【解析】 设平均每次降价的百分率为 ，原价为 元； 两次降价后的价格为 元； 现价比原价少了 ，即现价为原价的 ； 所以 ； 因为 ，所以 ，． 【解题提示】「少了 36%」等于「剩下 64%」，要先把百分数转化成 的右边；总降幅不等于两次降幅相加． 14．【答案】 【解析】 新方程两根之和 ； ； 所以两根之和为 ； 两根之积 ； 所以所求方程为 ． 【解题提示】两个互为倒数的数相乘等于 1；求「分式之和」要先通分，分子化为平方和． 15．【答案】 【解析】 设两根为 、，则 ，； ； 两根之差为 3，所以 ； ，即 ，得 ． 【解题提示】注意两根之和是 ，但平方之后 ，所以 有两个值；回代检验： 的两根 、 与 的两根 、，差的绝对值都是 3． 16．【答案】 【解析】 由根与系数的关系，，； 通分：； ； ； 所以原式 ． 【解题提示】分子是立方和，用 展开；分母是 ，直接由两根之积平方得到． 17．【答案】 (1) ；(2) ， 【解析】 (1) 左边是完全平方式：； 由 得 ； (2) 这里 ，，； ； ； ，． 【解题提示】(1) 是完全平方式，直接写成 最快；(2) ，分母是 ；两个相等的实根也要写成 的形式． 18．【答案】 每件降价 元或 元 【解析】 设每件商品降价 元； 降价后每件利润为 元，每天销量为 件； 每天利润等于单件利润乘销量，由题意得 ； 展开得 ； 整理得 ，即 ； 因式分解得 ，解得 或 ； 检验： 时 ； 时 ，都符合； 所以每件商品应降价 元或 元． 【解题提示】降价则单件利润减少、销量增加，两者都随 变化；总利润是「单件利润 乘 销量」；两个解都符合实际时要一并写出，不要只答一个． 19．【答案】 (1) ；(2) 【解析】 由根与系数的关系，，； (1) ； ； (2) ． 【解题提示】和为负数时平方要注意 ；倒数和是「和除以积」，两个负数相除得正数． 20．【答案】 【解析】 设较长的直角边为 ，则较短的直角边为 ； 由勾股定理得 ； 展开得 ； 整理得 ，即 ； 因式分解得 ； 解得 或 （边长不能为负，舍去）； 所以两条直角边分别为 与 ； 面积为 ． 【解题提示】已知「两边之差」时，设较长的边为 ，较短的边就是 ，这样设可避免出现负号过多的式子；解出的负值要按「边长必须为正」舍去． 21．【答案】 (1) 见解析；(2) 时两根为 与 ； 时两根为 与 【解析】 (1) ； ； 因为 恒成立，所以无论 取何值，方程总有实数根； (2) 由根与系数的关系，，； ； ； 由 得 ，即 或 ； 当 时，方程为 ，两根为 与 ； 当 时，方程为 ，两根为 与 ； 两个值对应的判别式分别为 与 ，均为正，都符合题意． 【解题提示】证明「总有实数根」就是把判别式配成完全平方式；第二问若两个参数值都合格，要分别写出对应的方程与两根． 22．【答案】 (1) ；(2) 万元 【解析】 (1) 设年增长率为 ，由题意得 ； ； 因为 ，所以 ，； (2) 2024 年的收入为 （万元），所以 （万元）； 2025 年的收入为 万元，所以 （万元）； （万元）． 【解题提示】增长率相同不代表每年增加的金额相同：基数逐年变大，所以后一年增加的绝对量更大；这正是 万元的来历． 23．【答案】 (1) ；(2) ，面积为 【解析】 (1) 两根是矩形的边长，必须都是正数； 由根与系数的关系，，； 由两根之和为正得 ，即 ； 由两根之积为正得 ，即 ，解得 或 ； 两者取公共部分，得 ； （此时 ，两根确实存在且不相等）； (2) 矩形周长为 14，所以相邻两边之和为 ； ，解得 ，满足 ； 此时两根之积为 ，即矩形面积为 ； 对应方程为 ，两边长为 与 ． 【解题提示】「两根是边长」这类题，除了判别式，还要额外要求「和为正、积为正」；解不等式组要取公共部分，别只写一个条件． 24．【答案】 (1) 或 ；(2) 不能 【解析】 篱笆由三段与墙垂直的边（两条外侧边加中间隔断）和一段与墙平行的边组成； 设与墙垂直的一边长为 米，则与墙平行的边长为 米； 菜园面积为 平方米； (1) 由题意得 ； 整理得 ，即 ； 因式分解得 ； 解得 或 ； 检验： 时平行边长 米，面积 平方米； 时平行边长 米，面积 平方米，都符合； (2) 假设面积为 80 平方米，则 ； 整理得 ； 此时 ； 方程没有实数根，所以面积为 80 平方米不能实现． 【解题提示】先数清篱笆被分成了几段：靠墙时与墙平行的边只有一条，与墙垂直的边有两条，再加中间隔断一共三段；第 (2) 问不必求最值，列方程后看判别式即可下结论． 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