2.1-2.2 认识一元二次方程及其解法 分层卷 2026～2027 学年北师大版九年级上册数学

2.1-2.2认识一元二次方程及其解法分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．方程 的二次项系数和常数项分别是（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 3．下列方程中，适合用直接开平方法求解的是（　　） A． B． C． D． 4．在一元二次方程 中，下列说法正确的是（　　） A． 叫做一次项系数 B． 叫做常数项 C． 叫做二次项系数 D． 叫做常数项 5．若关于 的方程 是一元二次方程，则 满足（　　） A． B． C． D． 6．小明解方程 时，把方程两边同除以 ，得 ，于是他认为这个方程的解是 ．下列说法正确的是（　　） A．小明的解法正确，方程的解是 B．小明的解法错误，方程还有一个解 C．小明的解法错误，方程的解只有 D．无法判断小明的解法是否正确 7．小明用计算器计算代数式 的值，得到如下几组对应值，据此可判断方程 的正根在（　　） 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，． A． 与 之间 B． 与 之间 C． 与 之间 D． 与 之间 8．用配方法解方程 时，需要在方程两边同时加上的数是（　　） A． B． C． D． 9．解方程 时，最简便的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 10．关于一元二次方程 的根，给出下列四个说法，其中正确的个数是（　　） ① 若 ，则方程有两个不相等的实数根； ② 若 ，则方程有两个相等的实数根； ③ 若 ，则方程没有实数根； ④ 若方程有实数根，则 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．用直接开平方法解方程 ，得 ______． 12．方程 的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 13．把 配成完全平方式，需要加上______． 14．用公式法解方程 时，先算 ______． 15．已知 满足 ，则 的值是______． 16．已知关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) ； (2) ． 19．（6 分）关于 的方程 有一个根是 ． (1) 求 的值； (2) 判断 是不是这个方程的根，并说明理由． 20．（6 分）已知关于 的方程 是一元二次方程． (1) 求 的值； (2) 写出此时方程的一般形式，并指出它的各项系数． 21．（6 分）把方程 化成 的形式，再求出它的两个根． 22．（6 分）已知关于 的一元二次方程 ，用求根公式求它的两个根． 23．（8 分）一个矩形的面积为 18 平方米，长比宽多 1 米．设宽为 米． (1) 根据题意列出关于 的方程，并化为一般形式； (2) 借助计算器探索，求这个矩形宽的近似值（精确到 米）． 24．（8 分）已知关于 的方程 ． (1) 当 时，求这个方程的两个根； (2) 若这个方程有两个相等的实数根，求 的值及这个根； (3) 若这个方程没有实数根，写出 应满足的条件，并说明理由． 参考答案与详细解析 1．【答案】 B 【解析】 一元二次方程要同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程；④二次项系数不为 0； A 错：含有 ，分母中有未知数，是分式方程； B 对：只含 ，最高次数为 2，是整式方程，且二次项系数 ； C 错：含有 、 两个未知数，是二元方程； D 错：未说明 ，当 时不是一元二次方程．选 B． 【解题提示】识别一元二次方程抓住三条：一个未知数、最高次数是 2、整式方程；写成 时必须注明 ． 2．【答案】 A 【解析】 一元二次方程的一般形式是 ； 对照 得 ，，； 二次项系数是 ，常数项是 ．选 A． 【解题提示】各项系数都带着前面的符号： 的系数是 而不是 ， 是常数项而不是 ． 3．【答案】 C 【解析】 直接开平方法适用于能化成「完全平方式 = 非负数」的方程； A 错：左边不是完全平方式，且含有一次项，宜用因式分解法； B 错：化为 ，右边是负数，方程没有实数根； C 对：左边 是完全平方式，右边 ，两边开平方即得 ； D 错：左边可提取公因式 ，宜用因式分解法．选 C． 【解题提示】判断能不能直接开平方看两件事：左边是不是完全平方式、右边是不是非负数；两条都满足才可以直接开方． 4．【答案】 B 【解析】 一般形式 中， 叫做二次项， 叫做二次项系数； 叫做一次项， 叫做一次项系数； 叫做常数项； A 错： 是二次项系数；C 错： 是一次项系数；D 错： 是二次项，不是常数项．选 B． 【解题提示】二次项、一次项指的是「带字母的那一项」，系数是这一项里的数字因数，常数项是不含未知数的那一项． 5．【答案】 A 【解析】 方程是一元二次方程，必须满足二次项系数不为 0； 二次项系数为 ，故 ； 解得 ．选 A． 【解题提示】含字母系数的一元二次方程，第一件事就是令二次项系数不为 0；一次项系数和常数项没有限制，可以为任意实数． 6．【答案】 B 【解析】 方程两边同除以 的前提是 ，而 正是未知数，有可能等于 0，所以这一步不合法； 正确做法：移项得 ； 提取公因式得 ； 于是 或 ，解得 ，； 小明只得到了 ，漏掉了 ．选 B． 【解题提示】解方程时不能在方程两边同除以含有未知数的式子，那样会丢根；正确做法是移项后用因式分解法． 7．【答案】 B 【解析】 估算根的依据：代数式的值由负变正（或由正变负）的那两个 值之间必有根； 时值为 ， 时值为 ； 符号在 与 之间发生改变，所以正根在 与 之间．选 B． 【解题提示】表格法估算根：找代数式的值「异号」的相邻两个数，根就夹在它们之间；区间越小，估计越精确． 8．【答案】 C 【解析】 配方要把左边凑成完全平方式 ； ，要加的是一次项系数一半的平方，即 ； 两边同时加上 得 ，即 ； 所以应加上的数是 ．选 C． 【解题提示】配方法加的数一定是「一次项系数一半的平方」；带符号计算，，不要写成 ． 9．【答案】 D 【解析】 观察方程：左边 有公因式 ，且常数项为 0； 提取公因式：； 于是 或 ，解得 ，，两步即可； 左边不是完全平方式，不能用直接开平方法；配方法与公式法步骤都更多．选 D． 【解题提示】常数项为 0 的方程（形如 ）首选提公因式的因式分解法；不要一上来就套求根公式． 10．【答案】 C 【解析】 记 ，一元二次方程根的情况由 决定； ① 对： 时方程有两个不相等的实数根； ② 对： 时方程有两个相等的实数根 ； ③ 对： 时方程没有实数根； ④ 错：方程有实数根的条件是 ， 时也有实数根（两个相等），原说法漏掉了等号； 正确的是 ①②③，共 个．选 C． 【解题提示】判别式的三种情况要连着等号一起记： 两不等、 两相等、 无实根；「有实数根」对应的是 而不是 ． 11．【答案】 【解析】 移项得 ，两边同除以 得 ； 两边开平方得 ； 所以 ，． 【解题提示】正数有两个平方根，开平方时切忌只写 而漏掉 ． 12．【答案】 ；； 【解析】 对照一般形式 ； 中，，，； 所以二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【解题提示】 的系数是 ，不要漏掉符号；方程必须化为一般形式后才能直接读系数． 13．【答案】 【解析】 写成 ，要配成 ； 需要加上一次项系数一半的平方，即 ； 所以 ． 【解题提示】添上的数等于「一次项系数除以 2 再平方」；系数为奇数时用分数表示，不要化成小数． 14．【答案】 【解析】 对照一般形式得 ，，； 代入得 ； ． 【解题提示】代入判别式时 要连同符号一起代入： 时 ，千万别写成 ． 15．【答案】 【解析】 由 移项得 ； 所求式 ； ． 【解题提示】所求式与已知等式不是完全一样时，先提公因数凑成整体：，再整体代入． 16．【答案】 【解析】 把 代入方程：； 得 ，解得 或 ； 又因为原方程是一元二次方程，二次项系数 ，即 ； 所以 舍去，只能取 ． 【解题提示】含参方程「先代入求参数、再回代检验」是固定套路：求出参数后必须验证二次项系数不为 0，否则要舍去． 17．【答案】 (1) ，；(2) ， 【解析】 (1) 左边因式分解：； 所以 ，得 或 ； 即 ，； (2) 两边开平方得 ； 得 ； 得 ； 所以 ，． 【解题提示】(1) 用因式分解法，关键是把 拆成 与 的和；(2) 用直接开平方法，把 看成一个整体，开方时正负两个都别漏． 18．【答案】 (1) ，系数依次为 ，，；(2) ，系数依次为 ，， 【解析】 (1) 移项得 ； 对照 ，得 ，，； (2) 展开左边：； 原方程化为 ，移项得 ； 对照一般形式得 ，，． 【解题提示】先去括号再移项，最后按降幂排列；读系数时连同前面的符号一起读， 不能写成 ． 19．【答案】 (1) ；(2) 是 【解析】 (1) 把 代入方程：； ，即 ，解得 ； (2) 此时方程为 ； 把 代入左边：； 左边等于右边，所以 是这个方程的根． 【解题提示】判断一个数是不是方程的根，只需把它代入，看左右两边是否相等，不需要解方程． 20．【答案】 (1) ；(2) ，二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 【解析】 (1) 因为方程是一元二次方程，未知数的最高次数为 2， 所以 ，得 ，解得 或 ； 又二次项系数 ，即 ，故 舍去； 所以 ； (2) 把 代入：，即 ； 它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【解题提示】指数含参时先由「最高次数为 2」解出参数，再由「二次项系数不为 0」回代筛选，两步缺一不可． 21．【答案】 ；， 【解析】 移项得 ； 两边加上一次项系数一半的平方 ：； 左边配成完全平方式，得 ； 开平方得 ； 得 ； 得 ； 所以 ，． 【解题提示】验算：，，两个根都成立；配方后右边要大于 0 才有实数根． 22．【答案】 ， 【解析】 对照一般形式得 ，，； 先算判别式：； 代入求根公式 ； 得 ； 所以 ，． 【解题提示】求根公式里的 是 ，别把符号弄错；结果保留根号即可，不必化成小数． 23．【答案】 (1) ；(2) 约为 米 【解析】 (1) 宽为 米，则长为 米； 由面积公式得 ； 展开移项得一般形式 ； (2) 记 ，逐个试值： ； ； 所以根在 与 之间； 再取中点试探：； 根在 与 之间，四舍五入得 ； 所以这个矩形的宽约为 米． 【解题提示】精确到 0.1 的做法：先找到异号的两位小数端点，再取中点把区间缩到长度不超过 0.05，最后四舍五入；面积单位写「平方米」，不要写成符号． 24．【答案】 (1) ，；(2) ，；(3) 【解析】 (1) 把 代入得 ； 开平方得 ； 得 ； 得 ； 所以 ，； (2) 方程有两个相等的实数根，说明开平方后 的两支重合，即右边只能是 0，故 ； 此时 ，解得 ； (3) 因为任何实数的平方都不小于 0，即 恒成立； 若 ，左边非负而右边为负，等式不可能成立，方程没有实数根； 所以 应满足 ． 【解题提示】把 展开成 ，判别式为 ，于是 两个不等实根、 两个相等实根、 无实根，与上面的结论完全一致． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1-2.2认识一元二次方程及其解法分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．方程 的二次项系数和常数项分别是（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 3．下列方程中，适合用直接开平方法求解的是（　　） A． B． C． D． 4．在一元二次方程 中，下列说法正确的是（　　） A． 叫做一次项系数 B． 叫做常数项 C． 叫做二次项系数 D． 叫做常数项 5．若关于 的方程 是一元二次方程，则 满足（　　） A． B． C． D． 6．小明解方程 时，把方程两边同除以 ，得 ，于是他认为这个方程的解是 ．下列说法正确的是（　　） A．小明的解法正确，方程的解是 B．小明的解法错误，方程还有一个解 C．小明的解法错误，方程的解只有 D．无法判断小明的解法是否正确 7．小明用计算器计算代数式 的值，得到如下几组对应值，据此可判断方程 的正根在（　　） 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，． A． 与 之间 B． 与 之间 C． 与 之间 D． 与 之间 8．用配方法解方程 时，需要在方程两边同时加上的数是（　　） A． B． C． D． 9．解方程 时，最简便的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 10．关于一元二次方程 的根，给出下列四个说法，其中正确的个数是（　　） ① 若 ，则方程有两个不相等的实数根； ② 若 ，则方程有两个相等的实数根； ③ 若 ，则方程没有实数根； ④ 若方程有实数根，则 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．用直接开平方法解方程 ，得 ______． 12．方程 的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 13．把 配成完全平方式，需要加上______． 14．用公式法解方程 时，先算 ______． 15．已知 满足 ，则 的值是______． 16．已知关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) ； (2) ． 19．（6 分）关于 的方程 有一个根是 ． (1) 求 的值； (2) 判断 是不是这个方程的根，并说明理由． 20．（6 分）已知关于 的方程 是一元二次方程． (1) 求 的值； (2) 写出此时方程的一般形式，并指出它的各项系数． 21．（6 分）把方程 化成 的形式，再求出它的两个根． 22．（6 分）已知关于 的一元二次方程 ，用求根公式求它的两个根． 23．（8 分）一个矩形的面积为 18 平方米，长比宽多 1 米．设宽为 米． (1) 根据题意列出关于 的方程，并化为一般形式； (2) 借助计算器探索，求这个矩形宽的近似值（精确到 米）． 24．（8 分）已知关于 的方程 ． (1) 当 时，求这个方程的两个根； (2) 若这个方程有两个相等的实数根，求 的值及这个根； (3) 若这个方程没有实数根，写出 应满足的条件，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $