第二章 一元二次方程 能力提升卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

能力提升卷第二章一元二次方程2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法、2.3 一元二次方程的根与系数的关系、2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．方程 的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法判断 2．用配方法解方程 ，配方后得到（　　） A． B． C． D． 3．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是（　　） A． B． C． D． 4．一个直角三角形的一条直角边比另一条直角边长 1，它的面积为 6。设较短的直角边长为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．方程 的两根平方和减去两根之积，结果是（　　） A． B． C． D． 6．若关于 的一元二次方程 的两个根之差为 4，则 的值是（　　） A． B． C． D． 7．某水果店销售一种水果，每千克盈利 5 元时每天可售出 100 千克；调查发现，每千克降价 1 元，每天可多售出 40 千克。若要每天盈利 560 元，设每千克降价 元，则可列方程（　　） A． B． C． D． 8．已知 、 满足 与 ，且 ，则 与 的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 9．已知 、、 是常数，且关于 的一元二次方程 的两个根是 、，则关于 的方程 的根是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．已知关于 的方程 的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，而这个三角形的第三条边长为 3。则满足条件的 的值有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若关于 的一元二次方程 配方后化为 ，则 的值是______． 12．将 整理成 的形式后，其中 的值是______． 13．某林场现有木材蓄积量为 3000 立方米，计划两年后达到 3630 立方米。设年平均增长率为 ，则可列方程______． 14．已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 的值是______． 15．若 、 是方程 的两个根，则以 、 为两个根的一元二次方程（二次项系数为 1）是______． 16．某商店购进一批单价为 20 元的日用品，若按每件 30 元出售，每月能卖出 400 件；调查发现，这种日用品每涨价 1 元，每月就少卖 20 件。若要每月获得利润 4500 元，设每件涨价 元，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支。若主干、支干和小分支的总数是 91，求每个支干长出的小分支数目． 19．（6 分）设 、 是方程 的两个根（不解方程）． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 20．（6 分）在一幅长 90 厘米、宽 60 厘米的矩形画的四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图。若整个挂图的面积是 7000 平方厘米，求金色纸边的宽度． 21．（6 分）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根． (1) 求 的取值范围； (2) 若两个根的平方和等于 10，求 的值，并求出此时方程的两个根． 22．（6 分）某农场 2023 年粮食产量为 4000 吨，2025 年粮食产量为 5760 吨，且 2024 年、2025 年两年的增长率相同． (1) 求这两年每年的增长率； (2) 若 2026 年的增长率比前两年低 10 个百分点，求 2026 年的粮食产量． 23．（8 分）已知关于 的一元二次方程 ． (1) 求证：无论 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； (2) 若这个方程的两个根恰好是一个矩形相邻两边的长，且该矩形的对角线长为 ，求 的值． 24．（8 分）某商店试销一种成本为每件 30 元的新型商品，规定试销期间单价不低于成本，且每件获利不高于 40 元。经试销发现，每天的销售量 （件）与销售单价 （元）满足 ． (1) 若某天的销售利润为 3000 元，求这天的销售单价； (2) 销售这种商品能否获得 5000 元的利润？若能，求出相应的销售单价；若不能，请说明理由． 参考答案与详细解析 1．【答案】 C 【解析】 这里 ，，； ； 判别式等于 0，所以方程有两个相等的实数根．选 C． 【解题提示】先看判别式的符号再下结论；本题左边恰好是 ，可以用完全平方公式交叉验证． 2．【答案】 D 【解析】 移项得 ； 两边加上一次项系数一半的平方 ：； 即 ．选 D． 【解题提示】一次项系数是 ，一半是 ，所以括号里是 ；右边 ，不要漏掉移过去的 ． 3．【答案】 A 【解析】 因为 是方程的根，所以 ； 移项得 ； ．选 A． 【解题提示】把 看成一个整体代换，不必解出 ；注意所求式要先提公因数 2，才能直接代入． 4．【答案】 C 【解析】 较短直角边为 ，则较长直角边为 ； 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半； 所以 ．选 C． 【解题提示】直角三角形面积要乘 ； 与 差了一个倍数，不能混用． 5．【答案】 B 【解析】 设两根为 、，由根与系数的关系得 ，； 先求平方和：； 再减去两根之积：．选 B． 【解题提示】分两步走：先算平方和，再减去两根之积；本题积是负数，「减去负数」等于加上 4，别漏这一步变号． 6．【答案】 D 【解析】 由根与系数的关系，，； ； 两根之差为 4，所以 ； ，解得 ．选 D． 【解题提示】「两根之差」要先平方，用 表示；回代检验： 的两根是 与 ，差确为 4． 7．【答案】 A 【解析】 降价 元后，每千克的盈利为 元； 降价 元会多售出 千克，销量为 千克； 总盈利 = 单件盈利 乘 销量，由题意得 ．选 A． 【解题提示】降价则单件盈利减少、销量增加，两个变化方向相反；总盈利一定是「单件盈利 乘 销量」，不是「单件盈利 加 销量」． 8．【答案】 C 【解析】 两个式子形式相同，说明 、 满足的是同一个方程 ； 又因为 ，所以 、 恰好是这个方程的两个根； 由根与系数的关系得 ，．选 C． 【解题提示】看到「两个数满足同一个二次式且互不相等」，就要想到「这两个数是某个一元二次方程的两个根」；这是构造方程思想的反用． 9．【答案】 B 【解析】 把 看成一个整体，记为 ； 原方程化为 ； 由已知条件，这个方程的两个根是 或 ； 当 时，，； 当 时，，； 所以 ，．选 B． 【解题提示】换元法的关键是「整体的取值不变」：新方程里 扮演的正是原方程里 的角色；最后别忘了把 换回 ． 10．【答案】 D 【解析】 先解方程：； 所以两个根是 与 ； 三角形的三边为 、、，且它是等腰三角形； 若 ，三边为 、、，，不能构成三角形，舍去； 若 ，三边为 、、，，能构成等腰三角形，符合； 所以满足条件的 只有 个．选 D． 【解题提示】求出参数值后一定要回代「三角形三边关系」检验；等腰只需两边相等，但能不能围成三角形还要看较短两边之和是否大于最长边． 11．【答案】 【解析】 把 展开：； 移项得 ； 与原方程 对比，得 ． 【解题提示】配方是恒等变形，把配方后的式子展开还原，再与原方程逐项对比即可求出未知系数． 12．【答案】 【解析】 展开左边：； 移项得 ，即 ； 所以二次项系数是 ． 【解题提示】必须先把右边化为 0 再读系数；展开时 与 要合并成 ． 13．【答案】 【解析】 一年后的蓄积量为 立方米； 两年后的蓄积量为 立方米； 由题意得 ． 【解题提示】增长率问题的通式是「原来的量 乘 的 n 次方 = 后来的量」，其中 n 是变化的次数． 14．【答案】 【解析】 由根与系数的关系，，； ； 由题意 ； 交叉相乘得 ； ，解得 ； 检验： 时两根之积 （可作分母），且 ，符合题意． 【解题提示】分式条件要先化成「和除以积」，再交叉相乘；最后必须检查两根之积不为 0，否则分式本身无意义． 15．【答案】 【解析】 由根与系数的关系，，； 新方程的两根之和 ； 新方程的两根之积 ； 所以所求方程为 ． 【解题提示】构造新方程的通法是「先求新根的和与积」；若二次项系数为 1，则方程就是 （和）（积）． 16．【答案】 【解析】 涨价 元后，每件盈利为 元； 销量为 件； 由题意得 ； 展开得 ； 整理得 ； 即 ，解得 ． 【解题提示】涨价则单件盈利增加、销量减少；本题方程左边恰好是完全平方式，只有一个解，说明 4500 元正好是该条件下的最大利润． 17．【答案】 (1) ，；(2) ， 【解析】 (1) 十字相乘：； 由 得 或 ； 所以 ，； (2) 移项得 ； 开平方得 ； 得 ； 得 ； 所以 ，． 【解题提示】十字相乘找两数：积为 14、和为 ，即 与 ；(2) 把 当作整体开平方，开完还要解一次． 18．【答案】 个 【解析】 设每个支干长出 个小分支； 因为每个支干长出的分支数目相同，所以支干有 个，小分支有 个； 由题意得 ； 整理得 ； 因式分解得 ，解得 或 ； 分支数目不能为负， 不合实际，舍去； 所以每个支干长出 个小分支． 【解题提示】「每个支干长出同样数目的小分支」是关键：设每个支干长出 个小分支，支干就正好有 个，小分支的总数是 ；主干本身还要算 1 个． 19．【答案】 (1) ；(2) 【解析】 由根与系数的关系，，； (1) ； ； (2) 通分得 ； ． 【解题提示】第二问直接借用第一问的结果，再除以两根之积；这类题要养成「先算和、积，再变形」的习惯． 20．【答案】 厘米 【解析】 设金色纸边的宽为 厘米； 镶边后挂图的长为 厘米、宽为 厘米； 由题意得 ； 展开得 ； 整理得 ； 因式分解得 ； 解得 或 ； 边长不能为负， 不合实际，舍去； 所以金色纸边的宽为 厘米． 【解题提示】镶边是「向外加宽」，长和宽都要加 ；与「四周留通道」的减法正好相反，审题时别搞反． 21．【答案】 (1) ；(2) ，两根为 与 【解析】 (1) 有两个不相等的实数根，所以 ； ； ； 由 得 ； (2) 由根与系数的关系，，； ； ； 由 得 ； 解得 或 ； 检验： 不满足 ，舍去； 符合； 当 时，方程为 ，即 ，两根为 与 ． 【解题提示】注意「不相等」对应 而不是 ；第二问求出的参数值必须逐一代回第一问的范围检验． 22．【答案】 (1) ；(2) 吨 【解析】 (1) 设年增长率为 ，由题意得 ； ； 因为 ，所以 ，； (2) 2026 年的增长率为 ； 2026 年产量为 （吨）． 【解题提示】「低 10 个百分点」是百分数的减法：，不是 ；新增长率要作用在上一年（2025 年）的产量上． 23．【答案】 (1) 见解析；(2) 【解析】 (1) ； ； 因为 恒成立，所以无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 设两根为 、，则 ，； 矩形相邻两边与对角线构成直角三角形，由勾股定理得 ； ； ； 由 得 ； 因式分解得 ； 解得 或 ； 检验：边长必须为正，； 时 ，不合题意，舍去； 时方程为 ，两根为 与 ，且 ，符合； 所以 ． 【解题提示】几何条件转代数条件是这类题的关键：对角线长给出的是「两边的平方和」；求出参数后要用「边长为正」这条实际约束舍根． 24．【答案】 (1) 元或 元；(2) 不能 【解析】 单件利润为 元，销量为 件； 每天利润为 元； (1) 由题意得 ； 展开得 ； 整理得 ； 因式分解得 ； 解得 或 ； 检验：单价不低于成本且每件获利不高于 40 元，即 ，两个值都符合； 所以这天的销售单价为 40 元或 60 元； (2) 假设能获得 5000 元利润，则 ； 整理得 ； 此时 ； 方程没有实数根，所以不能获得 5000 元的利润． 【解题提示】第 (2) 问不需要求最值，只要列出方程后算判别式： 说明「利润等于 5000」根本无解；求出的单价还要代回题目的取值范围检验． 学科网（北京）股份有限公司 $ 能力提升卷第二章一元二次方程2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法、2.3 一元二次方程的根与系数的关系、2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．方程 的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法判断 2．用配方法解方程 ，配方后得到（　　） A． B． C． D． 3．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是（　　） A． B． C． D． 4．一个直角三角形的一条直角边比另一条直角边长 1，它的面积为 6。设较短的直角边长为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．方程 的两根平方和减去两根之积，结果是（　　） A． B． C． D． 6．若关于 的一元二次方程 的两个根之差为 4，则 的值是（　　） A． B． C． D． 7．某水果店销售一种水果，每千克盈利 5 元时每天可售出 100 千克；调查发现，每千克降价 1 元，每天可多售出 40 千克。若要每天盈利 560 元，设每千克降价 元，则可列方程（　　） A． B． C． D． 8．已知 、 满足 与 ，且 ，则 与 的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 9．已知 、、 是常数，且关于 的一元二次方程 的两个根是 、，则关于 的方程 的根是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．已知关于 的方程 的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，而这个三角形的第三条边长为 3。则满足条件的 的值有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若关于 的一元二次方程 配方后化为 ，则 的值是______． 12．将 整理成 的形式后，其中 的值是______． 13．某林场现有木材蓄积量为 3000 立方米，计划两年后达到 3630 立方米。设年平均增长率为 ，则可列方程______． 14．已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 的值是______． 15．若 、 是方程 的两个根，则以 、 为两个根的一元二次方程（二次项系数为 1）是______． 16．某商店购进一批单价为 20 元的日用品，若按每件 30 元出售，每月能卖出 400 件；调查发现，这种日用品每涨价 1 元，每月就少卖 20 件。若要每月获得利润 4500 元，设每件涨价 元，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支。若主干、支干和小分支的总数是 91，求每个支干长出的小分支数目． 19．（6 分）设 、 是方程 的两个根（不解方程）． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 20．（6 分）在一幅长 90 厘米、宽 60 厘米的矩形画的四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图。若整个挂图的面积是 7000 平方厘米，求金色纸边的宽度． 21．（6 分）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根． (1) 求 的取值范围； (2) 若两个根的平方和等于 10，求 的值，并求出此时方程的两个根． 22．（6 分）某农场 2023 年粮食产量为 4000 吨，2025 年粮食产量为 5760 吨，且 2024 年、2025 年两年的增长率相同． (1) 求这两年每年的增长率； (2) 若 2026 年的增长率比前两年低 10 个百分点，求 2026 年的粮食产量． 23．（8 分）已知关于 的一元二次方程 ． (1) 求证：无论 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； (2) 若这个方程的两个根恰好是一个矩形相邻两边的长，且该矩形的对角线长为 ，求 的值． 24．（8 分）某商店试销一种成本为每件 30 元的新型商品，规定试销期间单价不低于成本，且每件获利不高于 40 元。经试销发现，每天的销售量 （件）与销售单价 （元）满足 ． (1) 若某天的销售利润为 3000 元，求这天的销售单价； (2) 销售这种商品能否获得 5000 元的利润？若能，求出相应的销售单价；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $