6.4 实践与探索（教学设计）-2026-2027学年华东师大版七年级下学期数学

6.4　实践与探索（教学设计） 华东师范大学出版社《义务教育教科书·数学》七年级下册（2024版） 一、课题基本信息 课题：6.4　实践与探索 教材版本：华东师范大学出版社《义务教育教科书·数学》七年级下册（2024版） 册次：七年级下册（第6章　一次方程组） 年级：七年级 课时：6.4（第6章第5课时） 课型：新授课 教学内容：用二元一次方程组解决配套、拼图、分段计价等实际问题，体会方程组模型的广泛应用 二、教材内容分析 本课时是第6章的综合应用课。教材通过白卡纸做包装盒、长方形拼图、水费分段计价等实际问题，引导学生灵活运用二元一次方程组解决配套与决策问题，深化列方程组解决实际问题的完整流程。 问题1：要用20张白卡纸做长方体的包装盒，一部分做侧面、另一部分做底面。每张白卡纸可以做2个侧面或者做3个底面，1个侧面和2个底面做成一个包装盒。设x张做侧面、y张做底面，可得方程组x加y等于20、2乘2x等于3y。 问题2：小明在拼图时发现8个大小一样的长方形恰好可以拼成一个大长方形；小红拼成正方形后中间留下一个边长为2毫米的小正方形洞。设长方形的长和宽分别为x毫米、y毫米，图6.4.1提供3x等于5y的等量关系，图6.4.2提供大正方形面积减8个长方形面积等于4的关系。 习题6.4中的水费分段计价、野果加工方案、团体购票等问题，进一步拓展方程组在实际决策中的应用。 三、学情分析 学生已熟练掌握列二元一次方程组与代入、加减消元法，具备把两个等量关系翻译成方程组的经验，但面对配套类问题中的倍数关系、分段计价中的分界点条件时仍需引导。 四、教学目标（核心素养导向） 【数学建模】 1. 能从配套、拼图、分段计价等实际问题中设两个未知数，列出二元一次方程组。 【数学运算】 2. 能熟练求解方程组，并检验解是否符合实际意义。 【逻辑推理】 3. 能比较不同方案的优劣，体会方程组在决策中的作用。 【理性思维】 4. 感受同一类实际问题可用一元或二元方法解决，体会方法的多样性。 五、教学重点、难点 教学重点：用二元一次方程组解决实际问题，掌握设元与找等量关系的策略。 教学难点：配套问题中侧面与底面数量的倍数关系；分段计价问题的分段条件处理。 六、教学准备 多媒体课件（演示白卡纸分配与拼图过程）、学案（含探索表格与练习）、投屏设备。 课前布置学生回顾列方程组解决实际问题的步骤，完成学案回顾题：某校七年级有男生x人、女生y人，男生比女生多30人，全班共90人，列出方程组。 七、教学过程 本课时按“情境导入—问题探究—方案决策—练习巩固—小结作业”推进，共45分钟。 环节：情境导入（约5分钟） 教师出示问题1：要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面。每张白卡纸可以做2个侧面，或者做3个底面，1个侧面和2个底面做成一个包装盒，如何分才能使侧面和底面正好配套？ 学生讨论：这个问题里有几个未知量？存在哪些等量关系？教师引导：设x张做侧面、y张做底面，x加y等于20；做侧面得2x个、做底面得3y个，1个侧面配2个底面，所以2乘2x等于3y。由此引入本课主题。 设计意图：用可操作的包装盒问题引出配套类应用题的设元与等量关系分析。 环节：问题探究（约14分钟） 活动一：完整求解问题1。师生共同解方程组x加y等于20、4x等于3y，由4x等于3y得x等于4分之3y，代入x加y等于20，得4分之3y加y等于20，解得y等于7分之80约等于11.43，x等于7分之60约等于8.57。由于白卡纸张数必须是整数，学生讨论如何处理：取x等于8、y等于12时，做侧面16个、底面36个，可配成16个包装盒，剩余4个底面；也可以考虑每张白卡纸裁出一个侧面和一个底面，充分利用白卡纸。 活动二：想一想。教师引导学生思考：如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面，那么该如何分这些白卡纸，才能既使侧面和底面配套，又能充分利用白卡纸？学生尝试调整分配方案，体会实际问题中整数解的讨论。 活动三：解决问题2。教师出示拼图问题：小明用8个大小一样的长方形恰好拼成一个大长方形，小红拼成正方形后中间留下一个边长为2毫米的小正方形洞，求长方形的长和宽。学生设长为x毫米、宽为y毫米，从图6.4.1得3x等于5y，从图6.4.2得（x加2y）的平方减8xy等于4，解得x等于10、y等于6。教师指出：这里用到了平方关系，通过代入可转化为一元方程求解。 设计意图：从配套问题到拼图问题再到方法比较，让学生在完整的探究过程中掌握方程组应用题的一般方法。 环节：方案决策（约10分钟） 活动一：水费分段计价。教师出示习题：某市规定居民生活用水按三档分段计价，第一段每户每月用水不超过4立方米，水价每立方米2.91元；第二段超过4立方米但不超过B立方米，超过部分按每立方米3.71元计算；第三段超过B立方米，超过部分按每立方米6.11元计算。小红家上月用水20立方米，没有超过B立方米，缴纳水费59.80元，求用水标准B是多少，小红家按第二段超量部分计费的用水量是多少。学生设标准B为x、超量用水量为y，列方程2.91乘4加3.71y等于59.80，y等于20减4，解得y等于16，再求标准B。 活动二：野果加工方案。教师出示问题：某山区盛产野果，经销公司一次收购23吨，直接销售每吨获利500元，粗加工并包装每吨获利2500元，制成罐头每吨获利4000元。公司每天可粗加工并包装4吨或制罐头1.5吨，全部原料必须在不超过7天内处理完毕。学生小组讨论三种方案的获利，列出方程组比较并做出决策。 设计意图：分段计价与方案决策问题是方程组应用的高频情境，通过真实数据让学生体会数学建模的实际价值。 环节：练习巩固（约11分钟） 练习1（板演）：长风乐园门票价格：购票1至50人每张13元，51至100人每张11元，100人以上每张9元。某校七年级两个班共104人去游乐园，一班不到50人、二班有50多人。分别购票共付1240元，求两个班各有多少人。学生设一班x人、二班y人，列方程组x加y等于104、13x加11y等于1240。 练习2（拓展）：一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，1立方米木料可以做方桌桌面50个或桌腿300条，现有5立方米木料，用多少立方米做桌面、多少立方米做桌腿，才能使桌面和桌腿恰好配成方桌？学生列方程组x加y等于5、4乘50x等于300y。 教师巡视指导，投影典型错误当堂讲评。 环节：小结作业（约5分钟） 小结：教师引导学生回顾：列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么？配套问题的等量关系如何确定？方程组的解为什么要检验是否符合实际意义？学生用自己的话复述。 布置作业（分层见后），预告下一章学习一元一次不等式。 八、板书设计 6.4　实践与探索 一、列方程组解应用题：设元→找两个等量关系→列方程组→求解→检验 二、配套问题：数量成倍数关系（侧面数乘2等于底面数） 三、分段计价：先确定分段标准，再按段列式 九、作业设计 【基础作业】1. 20张白卡纸做包装盒，若每张做侧面2个或底面3个，1侧面配2底面，设x张做侧面、y张做底面，列出方程组。2. 某车间有工人85名，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问应分配多少人加工大齿轮、多少人加工小齿轮，才能使产品刚好配套？ 十、教学反思 白卡纸配套问题的整数解讨论是课堂亮点，学生通过调整分配方案理解了实际问题中解的合理性；水费分段计价题在活动一中完成较好。 改进方向：拼图问题容量较大，下节课可安排口算热身巩固二元一次方程组的解法。 学科网（北京）股份有限公司 $