第27章· 二次函数·期中复习·培优提升讲义 ·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第27章·二次函数·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握二次函数图象的开口、对称轴、顶点与增减性，能综合多个条件判断图象结论 · 掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系，能利用 Δ 与图象交点灵活解题 · 掌握平移、翻折、旋转等变换下的解析式求法，理解变换对顶点坐标的影响 · 能灵活选择一般式、顶点式、交点式求解析式，并解决较复杂的实际应用问题 · 理解新定义型问题与规律探究题的解法，能把新规则转化为熟悉的二次函数模型 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，对称轴 x=-，顶点 (-, ) 由 a 判断开口方向，由 a、b 的符号关系判断对称轴位置，由 c 判断与 y 轴交点的位置 图象上的点比较大小：结合对称轴与开口方向，转化为比较点到对称轴距离或直接代入 图象结论题：把每个结论转化为代数式，利用已知点、对称轴等条件逐一验证 概念辨析例题：已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示（开口向下，对称轴 x=1，与 x 轴一个交点为 (3,0)），下列结论：①abc>0；②a-b+c<0；③4a+2b+c>0；④b2>4ac，正确的有（　　） 答案：③④ 解析：开口向下 a<0，对称轴 x=-=1 得 b=-2a>0，与 y 轴交于正半轴 c>0，故 abc<0，①错；由对称性另一交点为 (-1,0)，x=-1 时 y=a-b+c=0，②错；x=2 时 y=4a+2b+c=4a-4a+c=c>0，③对；与 x 轴有两交点，Δ=b2-4ac>0，④对。 ☆ 2.图象与方程、不等式 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标是方程 ax2+bx+c=0 的两个根 Δ=b2-4ac 决定交点个数：Δ>0 两个、Δ=0 一个、Δ<0 没有 抛物线在 x 轴上方的部分对应 ax2+bx+c>0，下方对应 <0，结合对称轴写解集 直线与抛物线相交：联立方程组，交点是公共解，交点个数由 Δ 决定 概念辨析例题：已知二次函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，则 AB 的长为（　　）A．2　B．3　C．4　D．5 答案：C 解析：令 y=0 得 x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3，故 AB=|3-(-1)|=4。选 C。 ☆ 3.二次函数的变换 平移：上加下减、左加右减，顶点随平移方向移动，开口不变（a 不变） 关于 x 轴对称：a、b、c 都变号（开口反向、顶点对称）；关于 y 轴对称：b 变号、a、c 不变 绕原点旋转180°：a 变号，顶点关于原点对称，即 y=-ax2+bx-c 形式 复杂变换可先找原顶点，确定新顶点后直接用顶点式写新解析式 概念辨析例题：将抛物线 y=x2-2x+3 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为（　　） 答案：y=x2-6x+8 解析：原式化为顶点式 y=(x-1)2+2，顶点 (1,2)，平移后顶点 (3,1)，新解析式 y=(x-3)2+1=x2-6x+10。 ☆ 4.二次函数的综合应用 实际应用（利润、喷泉、运动轨迹）：先建模写出二次函数，再求顶点或解方程 与一次函数、几何图形综合：把几何条件（面积、周长、相似）转化为函数关系 动点问题：设动点坐标，把目标量表示成二次函数，讨论取值范围内的最值 多条件综合题注意条件之间的关联，充分利用对称性简化计算 概念辨析例题：如图，抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，求 △ABC 的面积。 答案：S△ABC=6 解析：令 y=0 得 -x2+2x+3=0，x1=-1，x2=3，故 AB=4；令 x=0 得 y=3，OC=3。S=×4×3=6。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 对称轴与顶点 x=-，顶点(-,) a、b 定对称轴，c 定纵截距 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 两交点，Δ=0 一切点，Δ<0 无交点 图象比较大小 代入求值或看与对称轴距离 注意开口方向决定增减性 平移变换 上加下减、左加右减 顶点平移，a 不变 对称变换 关于x轴对称 a、b、c 全变号 顶点式更直观 解析式求法 待定系数法 按条件选一般式/顶点式/交点式 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，且最高次项指数为2 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，含根号、含的分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式，且 x2 的系数满足条件 1．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 5．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C．（为常数） D． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 8．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）已知二次函数 的图象开口向下，则的值为________． 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由 a 决定：a>0 开口向上，a<0 开口向下 · 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) · 增减性：开口向上时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大而增大；开口向下相反 · 判断图象结论类问题，可结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入综合判断 9．（24-25九年级上·上海·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 10．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 12．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 13．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①；②方程的两个根是，； ③；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中正确的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） A． B． C． D． 15．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 17．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是________． 18．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数有最______值．（填：“大”或“小”） 19．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式__________． 20．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 【考点3】二次函数与方程、交点 · 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 · 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 · 与 y 轴交点坐标为 (0,c)，与 x 轴两交点间距离可利用根与系数的关系计算 · 由图象解不等式 ax2+bx+c>0（或<0），转化为看抛物线在 x 轴上方（或下方）的部分 21．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 22．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 23．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 24．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    25．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 【考点4】二次函数图象的平移与变换 · 平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（自变量），抛物线形状（a）不变 · 顶点式 y=a(x-h)2+k 中，h 决定左右平移方向，k 决定上下平移方向 · 绕原点旋转180°，a 变号、顶点坐标变号；关于坐标轴对称，按对称性逐一确定顶点 · 平移、旋转后抛物线的解析式先确定新顶点坐标，再利用顶点式写出新解析式 26．（24-25九年级上·上海青浦·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为___________． 27．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 28．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 29．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果二次函数，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是______． 30．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 31．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，当时，函数值随着自变量的增大而增大，那么的值为__________． 【考点5】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，代入三点用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k，再代一个点求 a · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，再代第三个点求 a · 选择解析式形式时，以条件中信息最直接的形式入手，减少计算量 32．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线经过点，那么的值为______． 33．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 34．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 35．（22-23九年级上·山东泰安·阶段检测）（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 36．（2023·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 37．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 38．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 39．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知一个二次函数的图像经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 【考点6】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题（喷泉、铅球、隧道、拱桥）：先建坐标系，把实际问题转化为二次函数解析式 · 最大高度、最大利润问题：转化为求二次函数顶点坐标，注意自变量的实际取值范围 · 已知函数值求自变量，转化为解一元二次方程，并根据实际意义取舍 · 解决实际问题时注意单位统一，结果需符合实际背景的合理性 40．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 41．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 42．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 43．（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 44．（25-26九年级下·上海长宁·期中）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【考点7】新定义与规律探究 · 新定义题先理解定义：按定义给出的运算规则、特征数、开口大小等转化为已知模型 · 规律探究题（正方形边长、交点规律）先求前几个值，归纳通项，再用通项求第n个 · 新定义中的特殊点（倍值点等）按要求列方程求解，注意讨论存在性 · 探究题一般用特殊到一般的方法：先代入前几项，找出递推关系再推广 45．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是__________（填“>”或“<”或“=”）． 46．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 47．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）定义：若在一个二次函数的图像上存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为___________． 【考点8】二次函数综合解答 · 综合题先求解析式，再结合对称轴、顶点、交点逐问推进，注意数形结合 · 特殊三角形存在性问题：设动点坐标，按等腰、直角等条件列方程，检验是否满足题意 · 面积、线段最值问题：把目标量表示成关于动点横坐标的二次函数，再求最值 · 多问综合题注意每问结果可为后续服务，分类讨论要做到不重不漏 48．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 49．（专题10特殊三角形的存在性（含2024年崇明、闵行一模）-2024年中考数学高频易错重难点通关讲解练（上海专用））在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 50．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解集为______． 51．（24-25九年级上·吉林·期中）已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； (4)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 52．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）已知方程组的两组解为，（，是不相等的实数）． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 图象结论题先标出已知点与对称轴，每个结论单独代入验证，不凭感觉判断 · 比较函数值大小优先利用对称轴和开口方向，也可直接代入解析式计算 · 求解析式先观察已知条件特征，三点用一般式、顶点用顶点式、两交点用交点式 · 平移、对称、旋转都要抓住顶点坐标的变化，用顶点式快速写出新解析式 · 综合题要数形结合，把几何条件转化为坐标或方程，注意分类讨论不遗漏 【作业1】．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 【作业2】．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴为轴，那么对于结论：①；②，下列说法中正确的是（     ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【作业3】．（26-27九年级·浙江·暑假作业）函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【作业4】．（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： 根据以上信息，当时，的值为（　　） A．3 B． C． D． 【作业5】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【作业6】．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【作业7】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点坐标为______． 【作业8】．（2024年广东省广州市天河区新昌学校中考一模数学试题）二次函数的图象开口向_____． 【作业9】．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知抛物线的顶点在直线上，那么点的坐标为__________． 【作业10】．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）已知点在抛物线上，且，则______． 【作业11】．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则的大小关系______． 【作业12】．（23-24九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【作业13】．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【作业14】．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【作业15】．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【作业16】．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【作业17】．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【作业18】．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章·二次函数·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握二次函数图象的开口、对称轴、顶点与增减性，能综合多个条件判断图象结论 · 掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系，能利用 Δ 与图象交点灵活解题 · 掌握平移、翻折、旋转等变换下的解析式求法，理解变换对顶点坐标的影响 · 能灵活选择一般式、顶点式、交点式求解析式，并解决较复杂的实际应用问题 · 理解新定义型问题与规律探究题的解法，能把新规则转化为熟悉的二次函数模型 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，对称轴 x=-，顶点 (-, ) 由 a 判断开口方向，由 a、b 的符号关系判断对称轴位置，由 c 判断与 y 轴交点的位置 图象上的点比较大小：结合对称轴与开口方向，转化为比较点到对称轴距离或直接代入 图象结论题：把每个结论转化为代数式，利用已知点、对称轴等条件逐一验证 概念辨析例题：已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示（开口向下，对称轴 x=1，与 x 轴一个交点为 (3,0)），下列结论：①abc>0；②a-b+c<0；③4a+2b+c>0；④b2>4ac，正确的有（　　） 答案：③④ 解析：开口向下 a<0，对称轴 x=-=1 得 b=-2a>0，与 y 轴交于正半轴 c>0，故 abc<0，①错；由对称性另一交点为 (-1,0)，x=-1 时 y=a-b+c=0，②错；x=2 时 y=4a+2b+c=4a-4a+c=c>0，③对；与 x 轴有两交点，Δ=b2-4ac>0，④对。 ☆ 2.图象与方程、不等式 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标是方程 ax2+bx+c=0 的两个根 Δ=b2-4ac 决定交点个数：Δ>0 两个、Δ=0 一个、Δ<0 没有 抛物线在 x 轴上方的部分对应 ax2+bx+c>0，下方对应 <0，结合对称轴写解集 直线与抛物线相交：联立方程组，交点是公共解，交点个数由 Δ 决定 概念辨析例题：已知二次函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，则 AB 的长为（　　）A．2　B．3　C．4　D．5 答案：C 解析：令 y=0 得 x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3，故 AB=|3-(-1)|=4。选 C。 ☆ 3.二次函数的变换 平移：上加下减、左加右减，顶点随平移方向移动，开口不变（a 不变） 关于 x 轴对称：a、b、c 都变号（开口反向、顶点对称）；关于 y 轴对称：b 变号、a、c 不变 绕原点旋转180°：a 变号，顶点关于原点对称，即 y=-ax2+bx-c 形式 复杂变换可先找原顶点，确定新顶点后直接用顶点式写新解析式 概念辨析例题：将抛物线 y=x2-2x+3 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为（　　） 答案：y=x2-6x+8 解析：原式化为顶点式 y=(x-1)2+2，顶点 (1,2)，平移后顶点 (3,1)，新解析式 y=(x-3)2+1=x2-6x+10。 ☆ 4.二次函数的综合应用 实际应用（利润、喷泉、运动轨迹）：先建模写出二次函数，再求顶点或解方程 与一次函数、几何图形综合：把几何条件（面积、周长、相似）转化为函数关系 动点问题：设动点坐标，把目标量表示成二次函数，讨论取值范围内的最值 多条件综合题注意条件之间的关联，充分利用对称性简化计算 概念辨析例题：如图，抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，求 △ABC 的面积。 答案：S△ABC=6 解析：令 y=0 得 -x2+2x+3=0，x1=-1，x2=3，故 AB=4；令 x=0 得 y=3，OC=3。S=×4×3=6。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 对称轴与顶点 x=-，顶点(-,) a、b 定对称轴，c 定纵截距 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 两交点，Δ=0 一切点，Δ<0 无交点 图象比较大小 代入求值或看与对称轴距离 注意开口方向决定增减性 平移变换 上加下减、左加右减 顶点平移，a 不变 对称变换 关于x轴对称 a、b、c 全变号 顶点式更直观 解析式求法 待定系数法 按条件选一般式/顶点式/交点式 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，且最高次项指数为2 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，含根号、含的分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式，且 x2 的系数满足条件 1．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意； B. ，不是二次函数，故选项不符合题意； C. ，不是二次函数，故选项不符合题意； D. ，是二次函数，故选项符合题意； 故选：． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A、，不是二次函数； B、，可能为0，所以不一定是二次函数； C、，，是二次函数； D、，含有分式，不是二次函数； 故选：C． 4．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据 是不为的常数是二次函数，可得答案． 【详解】解：若是关于的二次函数，则且．， 解得：或． 故选：C． 5．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 6．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A. 不是二次函数，本选项不符合题意； B. ，是一次函数，本选项不符合题意； C. （为常数），当时，该函数不是二次函数，本选项不符合题意； D. ，是二次函数，本选项符合题意． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 8．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）已知二次函数 的图象开口向下，则的值为________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的定义和开口向下，可以求得的值． 【详解】解：二次函数 的图象开口向下， ，， 解得， 故答案为： ． 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由 a 决定：a>0 开口向上，a<0 开口向下 · 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) · 增减性：开口向上时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大而增大；开口向下相反 · 判断图象结论类问题，可结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入综合判断 9．（24-25九年级上·上海·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 10．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，对各结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∴结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，且当时，， ∴时，， ∴， ∴结论②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴结论③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴结论④正确， ∴正确结论的个数是． 故选：C． 11．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 12．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 13．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①；②方程的两个根是，； ③；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中正确的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】由抛物线与x轴有2个交点即，可判断①；由抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点的坐标为即可判断②；由抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，而对称轴在y轴右侧，可判断a、b、c的正负即可判断③；由抛物线的对称轴为直线，可判断④；图象可知，当时，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故①正确． ∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，故②正确． ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，而对称轴在y轴右侧， ∴，而， ∴，因此，，故③错误． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，故④正确． 观察图象可知，当时，，故⑤不正确． 综上所述，①②④正确，正确结论有3个． 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．根据表格中的数据可得出当时，；当时，，由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 方程的一个近似根可能是， 故选：B． 15．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共个． 16．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 17．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，抛物线的开口向下，可得，求出，即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 18．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数有最______值．（填：“大”或“小”） 【答案】小 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】二次函数给出的是顶点式，只需根据二次项系数的正负判断开口方向，即可确定最值类型． 【详解】解：已知二次函数，其二次项系数为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，该二次函数有最小值． 19．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式__________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查二次函数的解析式，先写出符合条件的二次函数的顶点式，然后化为一般式解题． 【详解】解：抛物线的表达式为：， 故答案为：．（答案不唯一） 20．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可。 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数满足， 解得． 【考点3】二次函数与方程、交点 · 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 · 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 · 与 y 轴交点坐标为 (0,c)，与 x 轴两交点间距离可利用根与系数的关系计算 · 由图象解不等式 ax2+bx+c>0（或<0），转化为看抛物线在 x 轴上方（或下方）的部分 21．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 22．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 23．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由抛物线开口方向确定的符号，由对称轴可得的关系确定的符号，由与轴的交点确定的符号，可判断①；利用时的函数值，可判断②；利用时的函数值，可判断③；结合关系及时的不等式，可判断④ ． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∵ 抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，故①错误； ②由图象可知，当时，， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，，故③正确； ④由①可知，则， 由②可知，， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 24．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 25．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 【答案】或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】二次函数开口方向不确定，分和两种情况讨论，根据对称轴位置确定区间内最小值的位置，列方程求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，且在区间内， 分两种情况讨论：当时，抛物线开口向上， ∴在对称轴处取得最小值， ∵最小值为， ∴将，代入函数得，解得； 当时，抛物线开口向下， ∴顶点处取得最大值，最小值出现在区间端点，需计算两个端点的函数值， 当时，，当时，， ∵， ∴，即最小值为， 由题意得， 解得； 综上，的值为或． 【考点4】二次函数图象的平移与变换 · 平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（自变量），抛物线形状（a）不变 · 顶点式 y=a(x-h)2+k 中，h 决定左右平移方向，k 决定上下平移方向 · 绕原点旋转180°，a 变号、顶点坐标变号；关于坐标轴对称，按对称性逐一确定顶点 · 平移、旋转后抛物线的解析式先确定新顶点坐标，再利用顶点式写出新解析式 26．（24-25九年级上·上海青浦·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为___________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，按照“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为，即， 故答案为：． 27．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 28．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 29．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果二次函数，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移变换，掌握二次函数的平移规律“上加下减、左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移变换的规律求解即可． 【详解】解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是． 故答案为：． 30．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、根据正方形的性质求线段长 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 31．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，当时，函数值随着自变量的增大而增大，那么的值为__________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的定义以及性质进行求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得或； 又∵当时，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， ∴． 【考点5】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，代入三点用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k，再代一个点求 a · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，再代第三个点求 a · 选择解析式形式时，以条件中信息最直接的形式入手，减少计算量 32．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线经过点，那么的值为______． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式． 将点代入抛物线解析式，建立关于的方程并求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为：． 33．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 34．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解： 、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 35．（22-23九年级上·山东泰安·阶段检测）（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式； （1）设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式； （2）设函数解析式为，把三点坐标分别代入，解方程组即可得到函数表达式． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为， 把点代入中，得：， 得：， 即， 化为一般式为：； （2）设函数解析式为， 把、和代入中，得：， 解得：， 即． 36．（2023·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)、，最短路径长6.5 (3)存在， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）作点关于抛物线对称轴的对称点，，作点关于轴的对称点，连接交轴于点交抛物线对称轴于点，则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小，进而求解； （3）先求出点，由，得到，根据勾股定理列式计算，进而求解． 此题主要考查了反比例函数解析式求法以及待定系数法求二次函数解析式以及利用对称求最小值问题以及相似三角形的判定与性质等知识，利用相似得出点坐标是解题关键． 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于点，， ∴设抛物线的表达式为：， ∵ ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，由抛物线的表达式知， 其对称轴为直线， ∵ ∴ 则 作点关于抛物线对称轴的对称点， ∴ ∵点D是的中点 ∴ 作点关于轴的对称点， ∴ 连接交轴于点交抛物线对称轴于点 则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小， 理由：∵点关于轴的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点 ∴，， 则， 此时的长度满足点P走过的路径最短 设直线的表达式为 把，分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点，， 令，则， 则点，， ∵， ∴， 即点、坐标分别为：、， ∴最短路径长6.5； （3）解：存在，理由： 依题意 ∴ 解得：（舍去）或3， 则点， 设直线交于点， 由点、知， ∴， 而直线和轴正半轴的夹角为， ∴ 则， ，则， 则， 解得：（舍去）或1， 则点， 设直线的表达式为 把点、分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 依题意，得 解得：（舍去）或7， 则点． 37．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，或； (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 38．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 【答案】(1)对称轴为直线；顶点的坐标为 (2)8 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴把，代入，得． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线． 顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图像经过点， ∴把，代入，得． 解得：． 39．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知一个二次函数的图像经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】先设二次函数的一般表达式，再代入点坐标列方程组，求解方程组，进而确定这个二次函数的表达式． 【详解】解：设二次函数的表达式为， 将、、三点坐标分别代入表达式，得： ， 把代入后两个方程，得： ， 得， 解得， 将代入，得， 解得， 所以这个二次函数的表达式为． 【考点6】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题（喷泉、铅球、隧道、拱桥）：先建坐标系，把实际问题转化为二次函数解析式 · 最大高度、最大利润问题：转化为求二次函数顶点坐标，注意自变量的实际取值范围 · 已知函数值求自变量，转化为解一元二次方程，并根据实际意义取舍 · 解决实际问题时注意单位统一，结果需符合实际背景的合理性 40．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】 解：， ， 当时，取最大值为， 水流喷出的最大高度为. 41．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据跑道周长公式表示出矩形的宽，再利用矩形面积公式列出函数关系式； 【详解】解：设矩形的宽为米， 跑道周长为米，由两条直道和两个半圆组成，两个半圆合为一个圆，直道的长为米， ， ， 足球场是矩形， ， ， ． 42．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、抛物线与x轴的交点问题、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 43．（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【答案】(1)当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元 (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解； （2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； （2）设销售利润为，根据题意得出 ∵, ∴当时，利润最大，最大为： 答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 44．（25-26九年级下·上海长宁·期中）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 【考点7】新定义与规律探究 · 新定义题先理解定义：按定义给出的运算规则、特征数、开口大小等转化为已知模型 · 规律探究题（正方形边长、交点规律）先求前几个值，归纳通项，再用通项求第n个 · 新定义中的特殊点（倍值点等）按要求列方程求解，注意讨论存在性 · 探究题一般用特殊到一般的方法：先代入前几项，找出递推关系再推广 45．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是__________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性，得到m与n的大小关系即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴． 故答案为． 46．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、y=ax²的图象和性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 47．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）定义：若在一个二次函数的图像上存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为___________． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先将给定二次函数化为顶点式得到和的值，再根据题目定义列等式求解，最后计算出“开口大小”． 【详解】解：∵， ∴对比顶点式，可得，， 设抛物线上满足条件的点为，根据定义有，且， ∴， 整理得， ∵ ， ∴ 两边同时除以，得 整理得， 即． 因此“开口大小”为． 【考点8】二次函数综合解答 · 综合题先求解析式，再结合对称轴、顶点、交点逐问推进，注意数形结合 · 特殊三角形存在性问题：设动点坐标，按等腰、直角等条件列方程，检验是否满足题意 · 面积、线段最值问题：把目标量表示成关于动点横坐标的二次函数，再求最值 · 多问综合题注意每问结果可为后续服务，分类讨论要做到不重不漏 48．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：是一次函数， 且， 解得； （2）解：是二次函数， ， 解得， 当时，，不符合题意， ． 49．（专题10特殊三角形的存在性（含2024年崇明、闵行一模）-2024年中考数学高频易错重难点通关讲解练（上海专用））在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①1；② 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）、代入即可得抛物线的解析式为； （2）①过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，先求出直线为，设，则，，，将代入解得或（与重合，舍去），即可求出． 【详解】（1）解：、代入得：， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：①过作于，交轴于，如图：    当与重合时，，， 是等腰直角三角形， 和也是等腰直角三角形， ， ， 而抛物线的对称轴是轴， 到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，如图：    设直线解析式为，将、代入得： ，解得， 直线为， 设，则， ， 当，时，， 将代入得： ， 解得或（与重合，舍去）， ，，， 当，时，， ，由可知， 此时、、重合，舍去， ． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标． 50．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解集为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为, ∴不等式为， 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴的解集为 ∴不等式的解集为 51．（24-25九年级上·吉林·期中）已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； (4)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3)或 (4)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入可求，进而可得二次函数的解析式； （2）由，可知对称轴为直线，图象开口向上，当时，；当时，；当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，则，当时函数值最小，当时函数值最大，，计算求出满足要求的解即可； （3）当时，二次函数的函数值，由关于x的方程（t为实数），在时无解，可知，在时无解，然后求解作答即可； （4）当时，可求，顶点坐标为，如图，当时，，即；由图可知，当时，交点只有一个，当时，轴，交点只有顶点一个，然后作答即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线，图象开口向上， 当时，； 当时，； ∵当时，该二次函数最大值与最小值的差是9， ∴， 当时函数值最小，当时函数值最大， ∴， 解得，，（舍去）， ∴t的值为6； （3）解：当时，二次函数的函数值， ∵关于x的方程（t为实数），在时无解， ∴，在时无解， ∴或； （4）解：当时， 解得，， 顶点坐标为， 如图， 当时，，即； 由图可知，当时，交点只有一个， 当时，轴，交点只有顶点一个， 综上所述，当该函数图象与线段只有一个公共点时，或． 52．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）已知方程组的两组解为，（，是不相等的实数）． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)且 (2)1 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、列二次函数关系式 【分析】（1）由题意知，，由，可得，整理得，，由，是不相等的实数，可得，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，，，由（1）可得，，，由，可得，代值得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵， ∴，整理得，， ∵，是不相等的实数， ∴， 解得， ∴且； （2）解：由题意知，，， 由（1）可得， ，， ∵， ∴， ，整理得，， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）， ∴实数的值为1． 【点睛】本题考查了二次函数，一元二次方程根的判别，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 💯 课后巩固 复习建议 · 图象结论题先标出已知点与对称轴，每个结论单独代入验证，不凭感觉判断 · 比较函数值大小优先利用对称轴和开口方向，也可直接代入解析式计算 · 求解析式先观察已知条件特征，三点用一般式、顶点用顶点式、两交点用交点式 · 平移、对称、旋转都要抓住顶点坐标的变化，用顶点式快速写出新解析式 · 综合题要数形结合，把几何条件转化为坐标或方程，注意分类讨论不遗漏 【作业1】．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】由二次项系数的符号确定抛物线开口方向，结合对称轴分析图像位置与增减性． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 【作业2】．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴为轴，那么对于结论：①；②，下列说法中正确的是（     ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据开口方向和与y轴的交点即可判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴，故②错误． 【作业3】．（26-27九年级·浙江·暑假作业）函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；对于，其对称轴为y轴，顶点为坐标原点；当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，由此即可作出判断． 【详解】解：函数与的图象顶点为原点，对称轴为y轴；而函数中二次项系数为正，故开口向上，中二次项系数为负，故开口向下；除A选项外，其它选项均不正确； 故选：A． 【作业4】．（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： 根据以上信息，当时，的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了图表表示函数，根据图表得到和是对称点，继而得到抛物线的对称轴为，根据，判断与是对称点即可． 【详解】根据图表，得到和是对称点， 故抛物线的对称轴为， 根据， 故和是对称点， 故， 故选A． 【作业5】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 【作业6】．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 【作业7】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的结构确定顶点坐标． 【详解】解：对于二次函数的顶点式，其顶点坐标为， 抛物线解析式为，对应可得，， 因此抛物线的顶点坐标为． 【作业8】．（2024年广东省广州市天河区新昌学校中考一模数学试题）二次函数的图象开口向_____． 【答案】下 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【详解】∵为二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下． 故答案为：下． 【作业9】．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知抛物线的顶点在直线上，那么点的坐标为__________． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据顶点式得到点的坐标为，再将坐标代入直线求解，即可解题． 【详解】解：由题知点的坐标为， 顶点在直线上， ， 解得， 点的坐标为． 【作业10】．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）已知点在抛物线上，且，则______． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴． 【作业11】．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则的大小关系______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【详解】解：当； 当； 当， ∴． 【作业12】．（23-24九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， 顶点C的坐标为 (2)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由对称轴为直线，可得抛物线解析式为，据此代入A、B坐标求解即可； （2）设点M的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为 把点，点代入得 中得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：设点M的坐标为， ∴，，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 【作业13】．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值、二次函数的识别 【详解】解：将代入，得． 【作业14】．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 【作业15】．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【知识点】二次函数的识别 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 【作业16】．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【答案】(1) (2)2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）把代入（1）中解析式求出x的值，然后求出抛物线的对称轴，最后结合已知写出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的纵坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得，， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点C在对称轴右侧， ∴ ∴点C 到 y 轴的距离2．． 【作业17】．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 【作业18】．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】(1)①；② (2)丙的平均速度为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $