14.3.2角的平分线 (第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线（第二课时 角平分线的判定）（教学设计） 项目 内容 项目 内容 年级 八年级 学科 数学 课题 14.3 角的平分线（第二课时 角平分线的判定） 课时 第1课时 教材 人教版八年级数学上册第十四章 课型 新授课 授课教师 ＿＿＿＿＿＿ 授课班级 ＿＿＿＿＿＿ 一、教材分析 上一节课学的是性质——点在角平分线上，到两边的距离相等。这节课把话反过来：一个点到角两边的距离相等，这个点在不在角平分线上？把性质倒过来一问，判定就冒出来了。两条定理一正一反，凑成角平分线的完整一套。 教材这条探究路径设计得挺讲究：先把性质改写成"如果……那么……"，再把题设和结论对调，得到一个猜想，最后证明这个猜想。学生不只是学到一条新定理，更是学到"逆命题"这个东西是怎么造出来的、造出来之后还得证明才算数。这套思路下节课讲线段垂直平分线还要原样再走一遍，九年级讲内心的那套"到三边距离相等"，根子也在这一节课。 应用层面，这一节把性质和判定放在一起用，学生得先分清楚手里这道题到底该用哪一条——是"由角平分线推距离相等"，还是"由距离相等推角平分线"。分不清这一点，做题就乱。 二、学情分析 学生手里五条判定加一条性质，家底不薄，可这节课有两处容易翻车。一处是"逆命题"本身，让他们把一句话的题设结论换个个儿，有的孩子换了半天换得不像话，或者换出来的命题根本不成立也不去管。另一处是证判定定理那一步，要自己连出两个直角三角形再上 HL，不少学生想不到"作垂线"这一手——上一节课明明刚练过"见角平分线作双垂"，换个方向就不会用了。 还有个位置条件容易漏：判定说的是"角的内部"到两边距离相等的点。学生在证明时常常不交代 P 在角的内部，直接开证，严格讲这里是有毛病的。 好在这节课的探究是从学生已经熟的性质出发的，起点低，顺着"正—反—证"走，多数孩子能跟上。 三、教学目标 1．理解角平分线的判定定理"角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上"，会写出它的几何语言，并能独立完成该定理的证明（利用 HL）。 2．通过把角平分线的性质改写成"如果……那么……"的形式，经历逆命题的构造过程，发展逆向思维；通过猜想—证明的探索，体会由形到数、由数到形的转化与数形结合。 3．能综合运用角平分线的性质与判定解决简单的证明与计算问题，积累添加辅助线（作垂线段）的经验。 四、教学重点与难点 教学重点：角平分线判定定理的理解、证明及其应用（利用"到角两边距离相等"判定点在角平分线上）。 教学难点：1．角平分线判定定理的证明思路（构造直角三角形，利用 HL 证全等）；2．灵活选用角平分线的性质与判定解决问题，特别是添加"过某点向角的两边作垂线段"这一辅助线；3．区别"角的平分线的判定"与"角的平分线的性质"，正确识别题设与结论。 五、教学准备 直尺、圆规、量角器、三角板、多媒体课件。 六、教学过程 （一）知识回顾（约4分钟） 【教师活动】 上课先把上节课的家底翻出来，我把图挂在黑板上，让学生看着图说。 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何语言：∵点P是∠AOB平分线上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 【追问】 这句话里的"因"是什么、"果"是什么？要是把因和果调一个个儿，新说法还成立吗？ 【学生活动】 回忆角平分线的定义与性质，独立思考后口答，并用几何语言表述。 （二）新知探究（约18分钟） 问1：请将角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），改写成"如果……那么……"的形式． 如果一个点为一个角平分线的点，那么这个点到这个角的两边的距离相等． 问2：交换角的平分线的性质中的题设和结论，你能得到什么结论？ 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问3：这个结论正确吗？ 已知：点P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD=PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°． 在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OP，PD=PE ∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）． ∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB， ∴点P在∠AOB的平分线上． 【教师活动】 证明前我先让学生自己画图、自己想。多数孩子能连出 OP，可往下要用哪条判定就卡住了。我提示一句：现在手里有什么？两个直角、一条公共边、一组相等的垂线段——这不就是斜边直角边吗。HL 一上，全等成立，角就相等了。 角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 应用具备的条件：①位置关系：点在角的内部；②数量关系：该点到角两边的距离相等． 几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE． ∴OP平分∠AOB． 【易错提醒】 两个地方要咬住：一是"点在角的内部"这个位置条件不能省，写在证明开头；二是性质和判定方向相反，用之前先想清楚手里的已知是"角平分线"还是"距离相等"，方向搞反了整道题就拧了。 【学生活动】 在教师引导下把性质改写成"如果……那么……"的形式；尝试交换题设与结论得到逆命题；独立画图、分析已知条件，两人一组交流证明思路，共同完成用 HL 判定全等、进而证明判定定理的过程。 （三）典例分析（约12分钟） 例1 (1)如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=3．当PD的长为＿＿＿3＿＿时，点P在∠AOB的平分线上． (2)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，MN⊥AC且MB=MN，则∠BCM=＿＿＿25°＿＿＿ 【讲解思路】 第（1）问直接用判定，答案一填，关键是让学生把理由说全——两个距离相等，加上点在角的内部，才能下结论。第（2）问藏了一层：MB=MN 说的就是点 M 到 BA 和 AC 的距离相等，由判定得 AM 平分∠BAC，∠A=40°，所以∠MAC=20°，直角三角形里再算出∠BCM。这一问考的就是"从线段相等认出角平分线"的眼力。 例2 如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵BF⊥AC，AB⊥CE， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°． 在△BDE和△CDF中，∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF ∴△BDE≌△CDF（AAS）． ∴DE＝DF． 又∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴AD平分∠BAC． 【易错提醒】 这道题的顺序别搞反：先证一对三角形全等拿到 DE=DF，再由判定说 AD 是角平分线。有的学生上来就想用判定，可"距离相等"这个条件得先挣出来。我让学生在草稿上先写一句"要证 AD 平分∠BAC，只需证 D 到两边距离相等"，把目标定下来再动笔。 例3 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P． 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等； 求证：(2)△ABC的三条角平分线交于一点． (3)若AB=6cm，BC=7cm，AC=5cm，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S₁，S₂，S₃，求S₁:S₂:S₃的比值； (4)若△ABC的周长为18，PD=4，求△ABC的面积． 证明 (1)：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE． 同理PE=PF． ∴PD=PE=PF． 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等． 证明(2)：由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上， ∴△ABC的三条角平分线交于一点． 规律与方法：（1）三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．（2）角平分线性质和判定的应用，常作辅助线为从这一点向角的两边作垂线段． (3) ∵S₁=½×AB·PD=½×6·PD=3PD， S₂=½×BC·PE=½×7·PE=(7/2)PE， S₃=½×AC·PF=½×5·PF=(5/2)PF， 由(1)得，PD=PE=PF ∴S₁:S₂:S₃=3PD:(7/2)PE:(5/2)PF=6:7:5， (4)∵S△ABC=S₁+S₂+S₃ ∴S△ABC=½×AB·PD＋½×BC·PE＋½×AC·PF， 即得：S△ABC=½×(AB＋BC＋AC)×4 ∵△ABC的周长为18 ∴AB＋BC＋AC=18 ∴S△ABC=½×18×4=36 【讲解思路】 这道大题把性质和判定串成一条线：先用性质拿到三条垂线段相等，再用判定说明点 P 也在第三个角的平分线上，三条角平分线交于一点这件事就证出来了。第（3）（4）问把线段的相等换成面积的比，本质还是那条"垂线段相等"，只是套上了面积的壳。我让学生回头数一数：这道题里性质用了几次、判定用了几次？数完他们自己就明白两条定理是怎么搭着用的。 【学生活动】 独立审题，口述判定定理的"两个条件"（在角的内部、到两边距离相等），快速填空，说明每一空的依据；例3分小组分工书写，代表汇报。 （四）变式训练（约10分钟） 1．如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N，PM＝PN．求证：AB＝BC． 证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵PM⊥AD，PN⊥CD，PM＝PN， ∴点P在∠ADC的平分线上， ∴∠ADB＝∠CDB． 在△ABD和△CBD中，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∠ADB=∠CDB ∴△ABD≌△CBD（ASA）． ∴AB＝BC． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，且AE＝EB，DE＝DC，求∠B的度数． 解：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，DE＝DC， ∴∠1＝∠2． 在△AED和△BED中，AE＝BE，∠AED＝∠BED＝90°，ED＝ED ∴△AED≌△BED（SAS）， ∴∠1＝∠B． ∴∠B＝∠1＝∠2． 又∵在Rt△ABC中，∠B＋∠BAC＝90°， 即∠1＋∠2＋∠B＝90°， ∴∠B＝30°． 3．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于点M，M为BC的中点，连接DM．求证： (1)DM平分∠ADC； (2)AD=AB＋CD． 证明(1)：如图，过点M作ME⊥AD于点E， ∵∠B=∠C=90°， ∴MB⊥AB，MC⊥CD， ∵AM平分∠DAB，MB⊥AB，ME⊥AD， ∴ME=MB， 又∵M为BC的中点， ∴MC=MB， ∴ME=MC， ∵MC⊥CD，ME⊥AD， ∴DM平分∠ADC； (2)：在Rt△AME和Rt△AMB中，ME=MB，AM=AM， ∴Rt△AME≌Rt△AMB（HL）， ∴AE=AB， 同理可证DC=DE， ∵AD=AE＋DE， ∴AD=AB＋CD． 【讲解思路】 第1题两条角平分线各管一个角，凑出 ASA 的条件；第2题靠 DE=DC 认出∠1=∠2，再用 SAS 搭桥，最后在内角和里把∠B 抠出来；第3题是这组里最好的一道——过 M 作垂线是关键一步，作完之后性质和 HL 轮番上场，最后把 AD 拆成 AE 加 DE，两段各自换成 AB 和 CD。让学生注意第（2）问的套路：证线段的和，往往就是把长的那条拆成两段，各段再去换。 【学生活动】 独立完成变式1、2、3，注意识别"判定"与"性质"的不同用法，适时添加"作垂线段"的辅助线；小组内交流解法并订正。 （五）当堂检测（约7分钟） 1．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB．下列命题： ①如果OC平分∠AOB，那么PD＝PE； ②如果PD＝PE，那么OC平分∠AOB； ③如果OD＝OE，那么OC平分∠AOB． 其中真命题有（D） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 2．如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∠OPN=60°，则∠AOB=＿＿60°＿＿． 3．如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为＿＿110°＿＿＿＿ 4．如图，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF，BD＝CD，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，BE=CF ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）． ∴DE＝DF． 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC． 【处理方式】 第1题让学生逐条判断并说理由，第③条是坑——OD=OE 说明的是△OPD≌△OPE，其实也能推出 OC 平分∠AOB，这条反而成立，让学生把推理走一遍再下结论；第2、3题口答；第4题抽人板演。 （六）课堂小结（约3分钟） 下课前我把性质和判定并排写在黑板上，让学生自己说两句话有什么不一样、各自怎么用。最后留一句：见角平分线想双垂，见距离相等想角平分线——一正一反，两条路都得熟。 七、板书设计 课题：14.3 角的平分线（第二课时 角平分线的判定） 左侧—— 一、角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 应具备的条件：①位置关系：点在角的内部；②数量关系：该点到角两边的距离相等． 几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE． ∴OP平分∠AOB． 右侧—— 二、例1、例2、例3（标注每一步用的是性质还是判定） 八、作业布置 1．完成课后作业：教材P51练习1、2 2．配套同步分层作业 九、教学反思 这节课"逆命题"那条路走得顺，学生自己把性质倒过来一换，判定就出来了，接着用 HL 证全等也基本没卡壳——上一节课的"作双垂"确实铺垫到位了。倒是"性质还是判定"的分辨比我想的费劲，当堂检测第1题，一半学生没把第③条想透就下了判断。这道题下节课还要重新过，顺便把"由 OD=OE 先证全等再得角相等"这条弯路讲清楚。 变式3那道四边形的题，过点 M 作垂线这一步，独立想到的学生不到三分之一，多数是看了同桌才反应过来。看来辅助线这件事还是得多见多练，我打算在下一章的练习里专门放两道类似的，让"见角平分线作垂线"变成条件反射。时间上，例3（3）（4）两问讲得紧，面积那点事其实学生代数底子够了，下次可以放手让他们自己算，我省下时间给变式训练。 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