2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1　等式　一元二次方程的解集及其根与系数的关系（教学设计） 人民教育出版社B版《普通高中教科书·数学》必修第一册 一、课题基本信息 课题：2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 教材版本：人民教育出版社B版《普通高中教科书·数学》必修第一册（2019课标） 册次：必修第一册（第二章　等式与不等式） 年级：高一年级 课时：2.1.2（第二章第2课时） 课型：新授课 教学内容：用配方法推导一元二次方程的求根公式，判别式与根的情况，根与系数的关系（韦达定理）及其应用 二、教材内容分析 本课时承接2.1.1的因式分解法，系统解决一元二次方程ax的平方加bx加c等于0（a不等于0）的解法问题。教材先用配方法推导求根公式，再引入判别式判别根的情况，最后给出根与系数的关系，三者构成“解一元二次方程”的完整知识体系。 求根公式的推导过程本身是一次完整的代数变形训练：将ax的平方加bx加c等于0通过移项、配方转化为（x加2a分之b）的平方等于4a的平方分之（b的平方减4ac），再分类讨论开方。这一过程集中体现了配方法的本质与分类讨论思想。 判别式delta等于b的平方减4ac决定根的情况：delta大于0时有两个不相等的实数根，delta等于0时有两个相等的实数根，delta小于0时没有实数根。 根与系数的关系（韦达定理）：若x1、x2是方程ax的平方加bx加c等于0（a不等于0）的两个根，则x1加x2等于负a分之b，x1乘x2等于a分之c。该结论在初中为选学内容，高中阶段正式学习并应用于求值、构造方程等问题。 教学时以“因式分解法解不了的方程怎么办”为驱动问题，让学生经历“特例尝试—一般化推导—公式应用”的完整过程，体会从特殊到一般的数学思想。 三、学情分析 学生已在2.1.1学习了因式分解法，能解部分一元二次方程，但遇到不能因式分解的方程（如x的平方减2x减1等于0）时没有通法，产生认知需求。 学生初中接触过配方法解简单方程，但熟练度不足，对“配成完全平方”的本质理解不透，常出现配方时忘记两边同加常数或符号错误。 高一学生具备一定的代数变形能力，但推导一般公式时的字母运算（含参数a、b、c）有畏难情绪，需要教师分步引导、板演示范。 四、教学目标（核心素养导向） 【数学运算】 1. 掌握一元二次方程的求根公式，能用公式法熟练求解并写出解集。 【逻辑推理】 2. 能借助配方法推导求根公式，理解判别式与根的情况之间的逻辑关系。 【数学抽象】 3. 掌握根与系数的关系，能由方程的根求系数式子的值，体会代数式变形的抽象力量。 【直观想象】 4. 能借助图象（抛物线）直观理解判别式与根的个数的对应关系。 五、教学重点、难点 教学重点：求根公式的推导与应用；判别式的意义；根与系数的关系。 教学难点：用配方法推导求根公式过程中对a、b、c的符号处理；韦达定理的灵活应用。 六、教学准备 多媒体课件（演示配方法动画）、学案（含推导留白与练习）、投影设备。 课前要求学生复习完全平方公式与配方法，完成学案回顾题：用配方法解x的平方加4x加1等于0。 七、教学过程 本课时按“情境导入—公式推导—性质探究—例题精讲—练习巩固”推进，五个环节共45分钟。 环节：情境导入（约5分钟） 教师出示问题：用因式分解法解方程x的平方减2x减1等于0，学生尝试后发现无法分解，教师追问：是否所有一元二次方程都能用因式分解法求解？如果不能，有没有一个通用的方法？ 学生讨论后明确：需要寻找一种对一切一元二次方程都适用的解法，由此引出求根公式。 设计意图：制造认知冲突，激发学生探索通法的欲望，明确本课目标。 环节：新知探究（约13分钟） 活动一：回顾配方法。教师带领学生用配方法解x的平方减2x减1等于0：移项得x的平方减2x等于1，两边同加1得（x减1）的平方等于2，开方得x等于1加减根号2，解集为（1减根号2，1加根号2）。 活动二：一般化推导。教师设问：把系数换成a、b、c，即解ax的平方加bx加c等于0（a不等于0）。师生共同完成：两边同除以a，移项，配方，得（x加2a分之b）的平方等于（4a的平方）分之（b的平方减4ac）。 活动三：分类讨论。教师引导：右边分母4a的平方恒正，分子的符号决定方程是否有解，于是令delta等于b的平方减4ac，分三种情况讨论开方，得到求根公式x等于2a分之（负b加减根号delta）。 设计意图：由特殊到一般，由具体到抽象，让学生在教师的引导下完整经历公式的生成过程，理解“为什么有这个公式”而非死记硬背。 环节：例题精讲（约11分钟） 例1：用公式法解方程（1）2x的平方减3x加1等于0；（2）x的平方减2x减1等于0。教师示范格式：先确定a、b、c，计算delta，代入公式，写出解集，强调格式规范。 例2：不解方程，判断方程3x的平方加2x加1等于0的根的情况。学生计算delta等于4减12等于负8小于0，得出没有实数根，教师顺势小结判别式的三种情形。 例3：已知方程2x的平方加kx减3等于0的一个根为1，求k的值及方程的另一个根。先代入求k，再用韦达定理求另一根，体会根与系数关系的简便性。 设计意图：例题覆盖公式法求解、判别式判断、韦达定理应用三类基本问题，每题后都追问解集，落实本课目标。 环节：课堂练习（约10分钟） 练习1（板演）：用公式法解方程x的平方加3x减1等于0，写出解集。 练习2（口答）：判断下列方程的根的情况：x的平方减4x加4等于0；x的平方加x加2等于0。 练习3（合作探究）：已知方程x的平方加px加q等于0的两根为2和负3，求p、q的值。学生分别用韦达定理与代入法求解并比较。 练习4（拓展思考）：不解方程，求方程x的平方加3x减1等于0的两根的平方和。教师提示先用韦达定理得两根之和与两根之积，再通过（x1加x2）的平方减2x1x2转化。 教师巡视，投影典型错误（如delta计算错误、开方漏正负号），当堂纠正。 环节：小结作业（约6分钟） 小结：学生归纳本课三个核心内容：求根公式及其使用条件、判别式与根的情况、根与系数的关系；教师强调公式法“先定abc、再算delta、后代公式”的操作流程。 布置作业（分层见后），并预告下节课学习不等式的性质，提示学生对比等式与不等式的异同。 八、板书设计 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、求根公式：x等于2a分之（负b加减根号delta），delta等于b的平方减4ac 二、判别式：delta大于0两个不相等实根；delta等于0两个相等实根；delta小于0无实根 三、根与系数的关系：x1加x2等于负a分之b；x1乘x2等于a分之c 四、解题步骤：定abc→算delta→代公式→写解集 九、作业设计 【基础作业】1. 用公式法解方程并写出解集：（1）x的平方减4x减5等于0；（2）2x的平方加4x加1等于0。 【提高作业】2. 不解方程，判断方程x的平方减2x加3等于0的根的情况；3. 已知方程x的平方加mx加2等于0的一个根为1，求m的值及另一根。 【拓展作业】4. 已知x1、x2是方程2x的平方加3x减1等于0的两根，不求根，求（x1减x2）的平方的值；5. 思考：利用根与系数的关系，能否构造一个以2和负1为根的一元二次方程？ 十、教学反思 公式推导环节学生参与度高，多数学生能跟上配方的每一步，但个别学生对“两边同除以a”后常数项的处理仍有困惑，课后通过学案二次巩固。 韦达定理的应用超出预期顺利，练习3中学生能主动选择简便方法，说明“比较两种方法”的设计有效。 拓展练习4的“两根平方和”在课内时间不足，转为课后思考并附提示，下节课开头用两分钟讲评，避免学生挫败。 学科网（北京）股份有限公司 $