专题3.1 勾股定理的探究『重点难点同步培优讲义』导图知识卡片+知识梳理+8个题型讲练+难度分层练 共44题-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本讲义聚焦苏科版八年级上册勾股定理的探究，系统梳理定理的文字语言、符号语言及变式，通过赵爽弦图等方法验证定理，构建从概念理解到8个题型（解三角形、面积计算、线段平方关系等）应用的学习支架，衔接基础与培优内容。 资料以导图指引强化几何直观，精选近年名校真题与易错题进行题型讲练，培养推理意识，分层集训（基础夯实、培优拔高）适配不同学生需求。如题型七结合长方形花圃捷径问题，引导学生用数学语言建模解决实际问题，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

专题3.1 勾股定理的探究『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+难度分层练 共44题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏科版八上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 2 知识点一 勾股定理 2 知识点二 勾股定理的验证 3 考点讲练 真题汇总 4 题型一 用勾股定理解三角形 4 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 4 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 5 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 6 题型五 勾股定理的证明方法 7 题型六 以弦图为背景的计算题 8 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 8 题型八 勾股定理与无理数 10 优选真题 实战演练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 13 知识点一 勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点二 勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 题型一 用勾股定理解三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，求的长． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 【变式训练2】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 【变式训练1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系． 【变式训练2】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【典例精讲】（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【变式训练1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 题型五 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·北京·期中）两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． (1)写出与的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证． 题型六 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【变式训练1】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【变式训练2】（25-26八年级下·四川达州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： (1)如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； (2)求芦苇的长度． 题型八 勾股定理与无理数 【典例精讲】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【基础夯实】 1．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·山东青岛·开学考试）五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，长为的橡皮筋放置在水平的轴上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(     ) A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 5．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，，，平分．M、N分别是、上的点，则的最小值是________． 6．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，点与原点重合，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，与数轴负半轴交于点，则点所表示的数是________． 8．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，． 回答下列问题： (1)_________（填“”“”或“”）； (2)若，，，求小男孩向右移动的距离 9．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中， 是上的一点，连接，作交于点， 交于点，且平分，连接． (1)证明： 垂直平分． (2)若面积为，．求的周长． 10．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）解答以下问题 (1)如图1，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米．（假设绳子是直的） (2)如图2，在中，，，，求的面积． 【培优拔高】 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，点是和中垂线的交点，则的最小值是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 5．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，点O在内，连接，则的长为______． 6．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为________． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，．连接，若，，则________． 8．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）综合探究 (1)【问题探究】如图1，四边形中，，，，，点E是上的一个动点，连接、，则的最小值为______． (2)【问题解决】如图2，某风景区的局部是一个四边形，其中，千米，千米，点E在上，千米，点M是的中点，点F在上，千米．现计划在四边形内部修建游览通道、、、、，使得区域面积区域面积．由于区域地形复杂，修建通道成本较高，请你计算通道的最小长度． 9．（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在五边形中，的面积为与关于所在的直线成轴对称．求的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题3.1 勾股定理的探究『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+难度分层练 共44题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 同学你好，该份讲义用于苏科版新教材八年级上册内容章节学习同步举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏科版八上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 2 知识点一 勾股定理 2 知识点二 勾股定理的验证 3 考点讲练 真题汇总 4 题型一 用勾股定理解三角形 4 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 5 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 7 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 8 题型五 勾股定理的证明方法 10 题型六 以弦图为背景的计算题 12 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 14 题型八 勾股定理与无理数 16 优选真题 实战演练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】 26 知识点一 勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点二 勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 题型一 用勾股定理解三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，求的长． 【答案】的长为. 【详解】解：已知， 是直角三角形，为斜边． 根据勾股定理： ， ∴(边长取正数)． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【详解】解：设斜边长为，则其中一直角边长为． 根据勾股定理可知， 解得：． 【变式训练2】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 【答案】 【分析】利用勾股定理列等式求解，再根据边长为正数取正根即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为， ∴由勾股定理得， 整理得， ∵三角形边长为正数， ∴． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 【答案】 【分析】设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，可得， 根据圆的面积公式以及直角三角形的面积公式，分别求得、、、的面积，即可解答． 【详解】解：如图，设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为， 的三边长分别为，，， ，，，， ； 【变式训练1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系． 【答案】解：如图，记三个圆的半径分别为，，，面积分别为，，， 则，，． 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 【分析】记三个圆的半径分别为，，，面积分别为，，，根据勾股定理得，可以求得． 【变式训练2】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【典例精讲】（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 【变式训练1】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 【变式训练2】如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2． 【答案】 证明：∵ BD⊥AC， ∴ ∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°， ∴ 在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2， 在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2， 在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2， 在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2， ∴ AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴ AD2+BC2＝AB2+CD2． 【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2，继而证得结论 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义，验证三个正整数是否满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即可得到答案． 【详解】解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意； B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意． 【变式训练1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． 题型五 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 【变式训练1】（25-26八年级下·北京·期中）两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论． 【详解】解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得． 【变式训练2】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． (1)写出与的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证． 【答案】(1) ．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：由题意得，，， ， ∵， ∴， 整理，得． 【分析】（1）由题意得，推出，利用等角的余角相等即可求解； （2）利用，结合面积公式列式计算即可得证． 题型六 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 【变式训练1】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级下·四川达州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 【变式训练1】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【答案】 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：的长是点到的距离， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， 答：供水点到喷泉的距离为． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： (1)如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； (2)求芦苇的长度． 【答案】(1)， (2)尺 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺， （2）解：设芦苇长尺， 则水深尺， 在中，， 即， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺． 题型八 勾股定理与无理数 【典例精讲】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知＝，再根据条件：点对应的数是原点，可求出点D表示的数． 【详解】解：∵， ∴＝， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是：． 【变式训练1】（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据数轴上点的位置关系求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为1， 在网格中构造以为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1和3， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点， ∴， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 【变式训练2】（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； 【基础夯实】 1．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：点是的中点，， 垂直平分， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 2．（26-27八年级上·山东青岛·开学考试）五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，长为的橡皮筋放置在水平的轴上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：由题意可知：垂直平分， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 在中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故橡皮筋被拉长了． 4．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 5．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，，，平分．M、N分别是、上的点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明，根据题意，得，故当H，M，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，当时，取得最小值，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 当H，M，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 设，则， 由勾股定理，得，， 故， 解得， 故， 故的最小值是12． 6．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，点与原点重合，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，与数轴负半轴交于点，则点所表示的数是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求解． 【详解】解：由题意知：， 在中，， ∵是以长为半径画弧， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点所表示的数为． 8．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，． 回答下列问题： (1)_________（填“”“”或“”）； (2)若，，，求小男孩向右移动的距离 【答案】(1) (2)小男孩向右移动的距离为. 【分析】（1）根据绳长始终保持不变即可解答； （2）首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意，绳长始终保持不变， 故； （2）解：∵，，，，三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得，， ∵， ∴， 由题意，小男孩向右移动的距离即为的长， 故小男孩向右移动的距离为. 9．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中， 是上的一点，连接，作交于点， 交于点，且平分，连接． (1)证明： 垂直平分． (2)若面积为，．求的周长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴点和点 在的垂直平分线上， ∴垂直平分； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质和判定，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定得到，进而得到，，根据垂直平分线的判定方法可证明结论； （2）首先根据三角形全等的性质证明，再利用面积法求出，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得， ∴，， ， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 10．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）解答以下问题 (1)如图1，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米．（假设绳子是直的） (2)如图2，在中，，，，求的面积． 【答案】(1)船向岸边移动了9米 (2) 【分析】（1）在中，利用勾股定理求得，结合题意得知，再次利用勾股定理求得，根据求解即可； （2）过点作于点，在和中，利用勾股定理得到和，即可列出，解得，利用勾股定理求得，利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中： ∵，米，米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． （2）解：过点作于点，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ 【培优拔高】 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线以及三角形三边关系，确定线段取最小值时的情形，即可求得线段长度的最小值． 【详解】解：在中，，，， ∴，     ∵绕顶点逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 在中，， 当，，三点共线时，点在线段上，即在，中间时，线段有最小值， ． 2．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，点是和中垂线的交点，则的最小值是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，先根据三角形的边长和面积求出高的值，根据垂直平分线的性质和判定，推出，，再根据勾股定理推出有最小值等价于有最小值，即有最小值，即有最小值，根据，推出当三点共线时，，即有最小值，然后求的最小值，根据，即当重合时，有最小值，最小值为，推出，等量代换得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接， ∵，， ∴， ∵点是和中垂线的交点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在中，根据勾股定理可得，， ∴有最小值等价于有最小值，即有最小值，即有最小值， ∵， ∴当三点共线时，，即有最小值， ∵， ∴当重合时，有最小值，最小值为，即有最小值为４，即有最小值， 如图所示， ∴，即， ∴ ∴在中，根据勾股定理可得，， 整理得：，解得：， ∴的最小值是． 3．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得垂直平分，再得到，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵在中，，，， ∴由勾股定理，得， 又∵， ∴，解得， ∴． 4．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【分析】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 5．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，点O在内，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】由且可知为等边三角形，利用旋转变换构造全等三角形，将 和转化到同一个三角形中，结合角度关系发现直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解： ，， ∴将绕点逆时针旋转得到，连接， 如图， ， ，，， 旋转角，， 是等边三角形， ，， ， 在 Rt 中，由勾股定理得． 6．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接、，由直角三角形的性质可得，过点作于点，则，由勾股定理可得，再由垂线段最短即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵，是对角线的中点，， ∴，， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴由垂线段最短可得，当时，有最小值为． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，．连接，若，，则________． 【答案】 【分析】延长与交于点，构造直角三角形和，利用含角的直角三角形性质求出的长，过点作于点，利用勾股定理求出和的长，进而得到的长，最后在中求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点 在中， 在中，， 过点作于点 在中，， 在中，， ，， 点在线段上，且 在中， 8．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）综合探究 (1)【问题探究】如图1，四边形中，，，，，点E是上的一个动点，连接、，则的最小值为______． (2)【问题解决】如图2，某风景区的局部是一个四边形，其中，千米，千米，点E在上，千米，点M是的中点，点F在上，千米．现计划在四边形内部修建游览通道、、、、，使得区域面积区域面积．由于区域地形复杂，修建通道成本较高，请你计算通道的最小长度． 【答案】(1) (2)千米 【分析】（1）作点A关于的对称点G，连接，交于点，则，．作交的延长线于点H，则四边形是长方形，根据即可求解； （2）作于点G，作于点H，由区域面积区域面积求出，延长交于点T，则点N在的角平分线上，证明得千米，千米，证明得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：作点A关于的对称点G，连接，交于点，则，． 作交的延长线于点H，则四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵千米，点M是的中点， ∴千米， ∵千米，， ∴（千米）， ∵千米，千米， ∴（千米）． 作于点G，作于点H， ∵区域面积区域面积， ∴， ∴， ∴， 延长交于点T，则点N在的角平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴千米，千米， ∴千米， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴千米． 9．（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【答案】证明：如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、．先根据证明，则可得，进而可得，同理可得，进而可得，从而可得． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在五边形中，的面积为与关于所在的直线成轴对称．求的长． 【答案】 【分析】先根据三角形的面积求出，再根据勾股定理求出，最后根据轴对称的性质得出结果即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∵与关于所在的直线成轴对称， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null