29.2.2 圆心角教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

2026-10-14

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29.2.2 圆心角教学设计

课题	29.2.2 圆心角	学科	数学
年级	九年级	教材版本	人教版（2024）
课时	1 课时	课型	新授课
教学目标	1. 了解圆心角的概念及圆的旋转不变性，体会圆的对称美；2. 掌握弧、弦、圆心角之间的关系定理，并能灵活运用定理及其推论解决有关的证明与计算问题；3. 通过操作、观察、实验的方法发现问题，培养探究问题、解决问题的能力；通过分析、推理、归纳等活动，发展空间直观想象、逻辑推理及概括问题的能力.
教学重点	探索同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系，并利用其解决问题.
教学难点	弧、弦、圆心角之间的关系定理的证明；使用定理时，弧、弦、圆心角之间的关系的灵活转换.

教学过程

教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
环节一温故知新	一、温故知新 1．能够　　　　的两个圆叫作等圆，在同圆或等圆中，能够　　　　　　的弧叫作等弧. 答案：重合；互相重合. 2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 3．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 4．垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 5．把一个图形绕着某一个点旋转　　　　，如果旋转后的图形能够与原来的图形　　　　，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 答案：180°；重合. 【师生活动】学生独立思考后回答，教师给出答案，并展示中心对称图形的例子. 【设计意图】带领学生复习圆的相关概念、圆的轴对称性和中心对称图形的概念，巩固基础，为本节课研究圆的旋转不变性和弧、弦、圆心角之间的关系做好准备.	学生填空回顾等圆与等弧、圆的轴对称性、垂径定理及其推论和中心对称图形的概念，为研究圆的旋转不变性作准备.	复习圆的相关概念、圆的轴对称性和中心对称图形的概念，通过填空诊断学情，为探索弧、弦、圆心角之间的关系做好铺垫.
环节二圆心角的概念	二、圆心角的概念【过渡】在圆的有关性质的研究中，其对称性发挥着重要作用. 前面，我们利用圆的轴对称性，得到了垂径定理. 本节课研究与圆有关的角，先考虑角的顶点在圆心这种特殊位置的情形.	学生结合图形理解圆心角的概念，通过判断练习辨析“角的顶点是否在圆心”，明确	先给出圆心角的概念，再通过判断练习巩固概念，帮助学生抓住“顶点在圆心”这

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

环节一
温故知新

一、温故知新

1．能够　　　　的两个圆叫作等圆，在同圆或等圆中，能够　　　　　　的弧叫作等弧.

答案：重合；互相重合.

2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

3．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

4．垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

5．把一个图形绕着某一个点旋转　　　　，如果旋转后的图形能够与原来的图形　　　　，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

答案：180°；重合.

【师生活动】学生独立思考后回答，教师给出答案，并展示中心对称图形的例子.

【设计意图】带领学生复习圆的相关概念、圆的轴对称性和中心对称图形的概念，巩固基础，为本节课研究圆的旋转不变性和弧、弦、圆心角之间的关系做好准备.

学生填空回顾等圆与等弧、圆的轴对称性、垂径定理及其推论和中心对称图形的概念，为研究圆的旋转不变性作准备.

复习圆的相关概念、圆的轴对称性和中心对称图形的概念，通过填空诊断学情，为探索弧、弦、圆心角之间的关系做好铺垫.

环节二
圆心角的
概念

二、圆心角的概念

【过渡】在圆的有关性质的研究中，其对称性发挥着重要作用. 前面，我们利用圆的轴对称性，得到了垂径定理. 本节课研究与圆有关的角，先考虑角的顶点在圆心这种特殊位置的情形.

学生结合图形理解圆心角的概念，通过判断练习辨析“角的顶点是否在圆心”，明确

先给出圆心角的概念，再通过判断练习巩固概念，帮助学生抓住“顶点在圆心”这

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教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
	【新知】我们把顶点在　　　　的角叫作圆心角. 答案：圆心. 如图，∠AOB 为⊙O 的圆心角. 圆心角∠AOB 所对的弦为 AB，所对的弧为. 圆心角∠AOB 【练习】判断下列各图中的角是不是圆心角. 判断哪些角是圆心角【师生活动】学生独立思考后回答. 答案：第2、4个图中的角是圆心角（顶点在圆心）；第1、3、5个图中的角不是圆心角（顶点不在圆心）. 【设计意图】先给出圆心角的概念，再通过练习进行巩固，突出“顶点在圆心”这一本质特征.	圆心角所对的弦与弧.	一本质特征.
环节三圆的旋转对称性	三、圆的旋转对称性【问题】剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？【师生活动】学生先自己操作，教师进行演示，然后小组讨论，得出结论. 【答案】把圆绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合. 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 【思考】把圆绕圆心旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗？圆绕圆心旋转任意角度	学生动手旋转圆形纸片，发现圆绕圆心旋转 180°及任意角度后都与原图形重合，理解圆的中心对称性与旋转不变性.	通过操作与动画演示，让学生认识圆的中心对称性和旋转不变性，体会圆的对称美，为证明弧、弦、圆心角之间的关系定理奠定基础.

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

【新知】我们把顶点在　　　　的角叫作圆心角.

答案：圆心.

如图，∠AOB 为⊙O 的圆心角. 圆心角∠AOB 所对的弦为 AB，所对的弧为.

圆心角∠AOB

【练习】判断下列各图中的角是不是圆心角.

判断哪些角是圆心角

【师生活动】学生独立思考后回答.

答案：第2、4个图中的角是圆心角（顶点在圆心）；第1、3、5个图中的角不是圆心角（顶点不在圆心）.

【设计意图】先给出圆心角的概念，再通过练习进行巩固，突出“顶点在圆心”这一本质特征.

圆心角所对的弦与弧.

一本质特征.

环节三
圆的旋转
对称性

三、圆的旋转对称性

【问题】剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？

【师生活动】学生先自己操作，教师进行演示，然后小组讨论，得出结论.

【答案】把圆绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合. 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.

【思考】把圆绕圆心旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗？

圆绕圆心旋转任意角度

学生动手旋转圆形纸片，发现圆绕圆心旋转 180°及任意角度后都与原图形重合，理解圆的中心对称性与旋转不变性.

通过操作与动画演示，让学生认识圆的中心对称性和旋转不变性，体会圆的对称美，为证明弧、弦、圆心角之间的关系定理奠定基础.

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教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
	【师生活动】教师进行演示，学生根据动画独立思考，得出结论. 【新知】圆的旋转对称性：圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形. 【设计意图】让学生探索圆的旋转对称性，知道圆是中心对称图形，圆心是对称中心，体会圆的对称美.
环节四关系定理及其推论	四、弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论【问题】如图，在⊙O 中，当圆心角∠AOB＝∠A′OB′时，它们所对的和、弦 AB 和 A′B′相等吗？为什么？同圆中的两个圆心角【师生活动】教师展示旋转的过程，学生根据动画得出结论：＝，AB＝A′B′. 教师提示：要证明弧相等，目前仅有两种方法：（1）根据定义，证明弧重合；（2）利用垂径定理. 【答案】证明：将∠AOB 连同、弦 AB 绕圆心 O 旋转，使射线 OA 与 OA′重合. ∵∠AOB＝∠A′OB′，∴射线 OB 与 OB′重合. 又 OA＝OA′，OB＝OB′，∴点 A 与 A′重合，点 B 与 B′重合. 因此，与重合，AB 与 A′B′重合，即＝，AB＝A′B′. 【思考】在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O′B′，你发现的相等关系是否依然成立？等圆中的两个圆心角【师生活动】教师进行演示，学生根据动画独	学生观察旋转过程得出等弧等弦的结论，通过填空师生共建定理，验证交换题设与结论后的两个新命题并证明，归纳“知一推二”，通过反例练习理解定理的前提条件.	借助旋转与动画，让学生在观察讨论的过程中探索出弧、弦、圆心角之间的关系定理，经历“定理—交换命题—推论”的完整探究，发展逻辑推理与概括能力，并通过反例强化前提条件.

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

【师生活动】教师进行演示，学生根据动画独立思考，得出结论.

【新知】圆的旋转对称性：圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形.

【设计意图】让学生探索圆的旋转对称性，知道圆是中心对称图形，圆心是对称中心，体会圆的对称美.

环节四
关系定理
及其推论

四、弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论

【问题】如图，在⊙O 中，当圆心角∠AOB＝∠A′OB′时，它们所对的和、弦 AB 和 A′B′相等吗？为什么？

同圆中的两个圆心角

【师生活动】教师展示旋转的过程，学生根据动画得出结论：＝，AB＝A′B′.

教师提示：要证明弧相等，目前仅有两种方法：（1）根据定义，证明弧重合；（2）利用垂径定理.

【答案】证明：将∠AOB 连同、弦 AB 绕圆心 O 旋转，使射线 OA 与 OA′重合. ∵∠AOB＝∠A′OB′，∴射线 OB 与 OB′重合. 又 OA＝OA′，OB＝OB′，∴点 A 与 A′重合，点 B 与 B′重合. 因此，与重合，AB 与 A′B′重合，即＝，AB＝A′B′.

【思考】在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O′B′，你发现的相等关系是否依然成立？

等圆中的两个圆心角

【师生活动】教师进行演示，学生根据动画独

学生观察旋转过程得出等弧等弦的结论，通过填空师生共建定理，验证交换题设与结论后的两个新命题并证明，归纳“知一推二”，通过反例练习理解定理的前提条件.

借助旋转与动画，让学生在观察讨论的过程中探索出弧、弦、圆心角之间的关系定理，经历“定理—交换命题—推论”的完整探究，发展逻辑推理与概括能力，并通过反例强化前提条件.

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