4.2.2等差数列的通项公式(1)课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第4章　数列 第3课时　等差数列的通项公式(1) 学习目标 1. 掌握求等差数列通项公式的方法——叠(累)加法．　 2. 掌握等差数列的通项公式． 3. 能够灵活运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 预习教材P143～145，思考下面的问题： 1. 等差数列的定义是什么？用符号语言如何表示？(an＋1－an＝d，其中d为常数，n∈N*) 2. 结合函数以及前几节的知识，试推导等差数列的通项公式． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　(教材P143例4改编)在等差数列{an}中，a3＝10, a9＝28，求a12. [处理建议]　根据条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，再根据通项公式求a12. 所以a12＝4＋(12－1)×3＝37. 例 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　① 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量)，通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式． ② 已知等差数列的首项和公差，可以求出数列的任意一项． ③ 已知等差数列的任意两项，可以确定该数列的任意一项． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　 从上面的求解过程可以看到：a3比a1多2个d, a9比a1多8个d，则a9比a3多6个d，即a9＝a3＋6d.若不求出a1，能求出a12吗？ [处理建议]　从项与项的关系进行思考． [规范板书]　解　由a9＝a3＋6d，得d＝3， 所以a12＝a3＋9d＝37(或a12＝a9＋3d＝37)． 变 式1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　(教材P147习题4.2(1)第16题)在等差数列{an}中，ap＝q, aq＝p(p≠q)，求ap＋q. 两式相减得(p－q)d＝q－p. 因为p≠q，所以d＝－1. 所以ap＝a1＋(p－1)(－1)＝q， 从而a1＝p＋q－1， 于是ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝(p＋q－1)＋(p＋q－1)(－1)＝0. 方法2：ap＝aq＋(p－q)d，即q＝p＋(p－q)d， 则(p－q)d＝q－p. 又p≠q，所以d＝－1. 所以ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q(－1)＝0. 变 式2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 在等差数列{an}中，a1＝4, a10＝22，则a3＝___. 所以a3＝a1＋2d＝8. 8 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. (多选)在等差数列{an}中，a5＝10, a12＝31，下列说法中正确的有( ) A. a2＋a16＝44 B. a1＝－2 所以a2＋a16＝a1＋d＋a1＋15d＝2a1＋16d＝44, {an}是一个递增的等差数列. ABD 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　先根据等差数列的前三项求出数列的通项公式，再利用通项公式判断－30是否为该数列中的项．　 [规范板书]　解　不是． 设该等差数列为{an}，公差为d. 而n∉N*，所以－30不是该数列中的项． 例 2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　判断数或代数式是否为数列中的项，要先求出数列的通项公式，再判断数或代数式是否满足数列的通项公式． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (1) 求数列{an}的通项公式． (2) 28是新数列{an}中的项吗？若是，是第几项？ 解得n＝45∈N*， 所以28是新数列{an}中的项，且是第45项． 变 式 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 设等差数列{an}从第n(n≥2)项开始是负数， 又n∈N*，所以n＝23， 因此等差数列{an}从第23项开始是负数． 23 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 A 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，求首项a1和公差d，并作出它的图象． [处理建议]　此数列的通项公式an＝3n＋1是从“问题情境”得到的，结合函数图象的作图步骤进行作图． [规范板书]　解　a1＝3＋1＝4，a2＝3×2＋1＝7, d＝a2－a1＝3. 其图象如图所示． 例 3 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋(a1－d)是关于n的一次式，但等差数列只是其对应一次函数的一系列孤立的函数值；一次函数的定义域是实数集R，图象是一条直线，等差数列的图象只是直线上均匀分布的一些点． 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1) 点(n, an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2) 这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　已知数列{an}的通项公式为an＝kn＋b，其中k, b是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ [处理建议]　利用定义证明． [规范板书]　解　当n≥2时，an－an－1＝(kn＋b)－[k(n－1)＋b]＝k，它为常数，所以数列{an}是等差数列．它的首项为a1＝k＋b，公差为k. [题后反思]　① 若k＝0，数列{an}是公差为0的等差数列，即为常数列b, b, b, …； ② 若k≠0，数列{an}是关于n的一次式，一次项的系数k，即为公差d. 变 式 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 已知数列{an}是等差数列，a4＝15, a7＝27，则过点P(3, a3), Q(5, a5)的直线斜率为( ) A. －4 B. 4 提示　由数列{an}是等差数列， 知an可看作关于n的一次函数， 其图象是一条直线上等间隔的点(n, an)， 因此过点P, Q的直线斜率即为过点(4, a4), (7, a7)的直线斜率． B 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. 已知数列{an}是等差数列，点(n, an)在函数f(x)＝(a2－1)x＋2的图象上，且an＞ an＋1，则实数a的取值范围是( ) A. (1, ＋∞) B. (－∞， 1) C. (－1, 1) D. [－1, 1] 提示　因为点(n, an)在函数f(x)＝(a2－1)x＋2的图象上， 所以an＝(a2－1)n＋2. 又an＞an＋1， 所以{an}是递减的等差数列， 从而a2－1＜0，解得－1＜a＜1， 即实数a的取值范围是(－1, 1)． C 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 课堂小结 1. 等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.掌握其基本应用，并掌握更具一般性的通项公式形式：an＝am＋(n－m)d，掌握“累加法”． 2. 理解等差数列与一次函数的关系：等差数列的通项公式可化为an＝kn＋b, k≠0时是关于n的一次函数，k＝0时是常数函数. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [规范板书]　解　由题意得解得 [题后反思]　通过等差数列的任意两项的关系，可以获得更具一般性的等差数列的通项公式：由(m, n∈N*, m≠n)，得an－am＝(n－m)d，所以an＝am＋(n－m)d. [规范板书]　解　方法1： 提示　由得 C. 公差d＝ D. {an}是一个递增的等差数列 提示　由即得 解得n＝. －30是不是等差数列0, －， －11, …的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 因为a1＝0, a2＝－，所以d＝a2－a1＝－， 从而an＝a1＋(n－1)d＝0＋(n－1)＝－n. 令an＝－n＝－30， (2) 令an＝－＝28， 　在等差数列－5, －3， －2, －， …中每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列{an}． [规范板书]　解　(1) 原数列的公差d＝－3－(－5)＝， 所以新数列{an}的公差d′＝d＝， 从而新数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×＝－. 1. －20是不是等差数列0, －， －7, …的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 解　等差数列0, －， －7, …的通项公式为an＝0－(n－1)＝－n＋. 令－n＋＝－20，解得n＝，不是整数， 所以－20不是等差数列0, －， －7, …的项． 解得＜n≤. 2. 已知等差数列{an}的首项a1＝16，公差d＝－，则该等差数列从第______项开始是负数． 提示　由a1＝16, d＝－， 得an＝a1＋(n－1)d＝－n. 则即 从而＝＋(n－3)·＝，即an＝， 于是a5＝. 3. 在数列{an}中，a3＝2, a7＝1.若为等差数列，则a5等于( ) A. B. C. D. 提示　设等差数列的公差为d. 由题意得＝， ＝1， 而－＝4d，所以d＝＝， 将an＝am＋(n－m)d变形为d＝， d类似于两点坐标确定的斜率？ C. － D. 所以所求直线的斜率k＝＝＝4. $