精品解析：福建龙岩市第二中学东山校区2026-2027学年第一学期高三第一次月考数学试卷

龙岩二中东山校区2026-2027学年第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，集合，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为 A. B. C. D. 5. 已知命题为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 给出下列三个等式：，，，下列函数中至少满足一个等式的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 有3个实数根 C. 若有4个实数根，从小到大分别为，则 D. 若有8个实数根，则 三、填空题 12. 函数的定义域为________ 13. 函数的图象恒过定点，若对任意正数都有，则的最小值是_____ 14. 是定义在R上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是________． 四、解答题 15. 已知，. （1）分别求、的值； （2）若，且，求的值. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示． （1）请补充完整函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递增区间及值域； （3）根据图象写出使的的取值集合； （4）求出函数在上的解析式； （5）已知函数有三个零点，求实数的取值范围． 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求a，b的值； （2）求该函数的值域： （3）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围． 18. 小明根据某市预报的某天（0～24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择连续函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如图）． （1）求的值； （2）当空气质量指数大于150时，有关部门建议该市市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止某行业施工作业．请你结合小明选择的函数模型，回答以下问题： （ⅰ）某同学该天出发上学，是否应该戴防雾霾口罩？请说明理由； （ⅱ）试问该天之后，该行业可以施工作业的时间最长为多少小时？ 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中东山校区2026-2027学年第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求对数函数的定义域，再依据复合函数“同增异减”的单调性规则，结合内层二次函数的单调性取交集得到结果． 【详解】由题得，， 因为对数函数在单调递增，二次函数在单调递减，在单调递增， 所以函数的单调增区间是． 3. 设集合，集合，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】首先解分式不等式与绝对值不等式分别求出集合、，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：由等价于，解得，即，由，即，解得，所以，所以推不出，由也推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件； 故选：D 4. 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设g(x)＝－f(2－x)，由已知函数图象可知f(1)＝1，令2－x＝1，解得x＝1，故g(1)＝－f(2－1)＝－f(1)＝－1<0，故排除A、C.由已知函数图象可得f(0)＝0，令2－x＝0，解得x＝2，故g(2)＝－f(2－2)＝－f(0)＝0，故排除D.综上选B. 5. 已知命题为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题为真命题，故恒成立， 故恒成立， 设，此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故在上的最小值为， 故. 6. 已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的周期性与奇偶性求解即可 【详解】∵当时，， ∴当时，，即周期为1. ∴， ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 8. 当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数的图象先得到对恒成立， 最后再转化不等式得到并求解即可. 【详解】解：根据与的两个函数图象，如图 要求在上，成立， 所以，即对恒成立， 所以，解得： 故选：B. 【点睛】本题考查含指数对数不等式问题，是中档题. 二、多选题 9. 给出下列三个等式：，，，下列函数中至少满足一个等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、一次函数、幂函数的性质，对各个选项中的函数进行逐一判断，找出至少满足一个等式的函数，从而得出结论. 【详解】对A：，符合； 对B：，符合； 对C：不满足任何一个等式； 对D：，符合. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数、一次函数、幂函数的性质的应用，属于中档题. 10. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 有3个实数根 C. 若有4个实数根，从小到大分别为，则 D. 若有8个实数根，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，B只需代值计算，根据自变量范围进行取舍即得；对于C，则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断C项，对于D，设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或，解得或， 故有、、共三个实数根，故B正确； 对于C，作出函数的图象，由时，， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，，当时，直线与函数均有两个交点， 故由有4个实数根可得，，由图知，， ，则，解得， 又由解得，由解得，则有， 于是，因函数在单调递减，故， 则，故C正确； 对于D，设，则方程即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，则由解得或， 设，依题意，需使，则得， 综上，可得，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 函数的定义域为________ 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 故定义域为． 13. 函数的图象恒过定点，若对任意正数都有，则的最小值是_____ 【答案】2 【解析】 【分析】依据对数的性质可得，然后利用基本不等式“1”的代换计算即可. 【详解】由题可知：函数的图象过定点，所以. 所以，即，则， 所以，当且仅当，即取等号. 故答案为：2. 14. 是定义在R上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的周期为得出，再结合函数的奇偶性确定函数在区间上的零点，注意找全零点，不要漏掉. 【详解】由于函数是定义在R上的以为周期的奇函数，且，则， 可得，， ，则，可得， ，令，可得，， 则， 所以，方程在区间内解有：、、、、、、、、. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 四、解答题 15. 已知，. （1）分别求、的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质可求得的值，利用对数的运算性质可求得的值； （2）利用指数与对数的互化得出，，再利用换底公式、对数的运算性质以及对数与指数的互化可求得的值. 【小问1详解】 解：， . 【小问2详解】 解：，，，因为，则，，从而且， 所以，，则，因此，. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示． （1）请补充完整函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递增区间及值域； （3）根据图象写出使的的取值集合； （4）求出函数在上的解析式； （5）已知函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，值域为 （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的对称性画出轴右侧图象即可； （2）根据（1）所得函数图象写出增区间、值域即可； （3）根据（1）所得函数图象写出不等式的解集即可； （4）根据奇函数的性质，求出的解析式即可； （5）将函数有三个零点，转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，再根据（1）所得函数图象求出实数的取值范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）所得函数图象可知，函数的单调递增区间为，值域为； 【小问3详解】 由（1）所得函数图象可知，使的的取值集合为； 【小问4详解】 设，则.因为当时，， 所以. 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 综上，函数在上的解析式为； 【小问5详解】 将函数有三个零点， 转化为函数的图象与直线有三个不同的交点. 由（1）所得函数图象可知实数的取值范围为. 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求a，b的值； （2）求该函数的值域： （3）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合和，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到，得出为递减函数，结合指数函数的性质，进而求得函数的值域； （3）根据题意，转化为，得到恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为定义域为的函数是奇函数， 所以，解得，即 又由，可得，解得，所以， 经检验，符合题意，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，，可得函数为单调递减函数， 又因为，可得，所以，所以， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 解：对于任意，不等式恒成立， 因为函数为奇函数，可得， 又因为函数为单调递减函数，可得，即恒成立， 又由，所以， 所以实数的取值范围为. 18. 小明根据某市预报的某天（0～24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择连续函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如图）． （1）求的值； （2）当空气质量指数大于150时，有关部门建议该市市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止某行业施工作业．请你结合小明选择的函数模型，回答以下问题： （ⅰ）某同学该天出发上学，是否应该戴防雾霾口罩？请说明理由； （ⅱ）试问该天之后，该行业可以施工作业的时间最长为多少小时？ 【答案】（1） （2）（ⅰ）该同学应该戴防雾霾口罩， 因为当时，， 所以该同学应该戴防雾霾口罩； （ⅱ）12小时 【解析】 【分析】（1）结合图象，进行代值求解； （2）（ⅰ）计算当时进行比较求解； （ⅱ）由进行求解． 【小问1详解】 因为当时，图象过点， 所以，所以， 因为函数连续，所以， 所以．所以； 【小问2详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）令，即，解得． 因为，所以该行业可以施工作业的时间最长为12小时． 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【小问1详解】 由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. 【小问2详解】 对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 【小问3详解】 当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，， 解得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $