广东省东莞市众美中学2026-2027学年度高二上学期第一次月考数学试卷

2026~2027学年度第一学期第一次月考 高二数学 命题人：余波元 说明：本试题共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。贴好条形码。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 参考公式：锥体体积公式V=二Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高. 3 一、选择题：本题共8题，每题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.经过点A(-m,6),B(2,3m)两点的直线的倾斜角是45，则m的值为() A.4 B.2 C.1 D.-2 2.在空间四边形ABCD中，B,F分别为BC,CD的中点，则正-丽+西=(） A.-EF B.BD C.EF D.-BD 3.已知点AL,-1,2)关于：轴的对称点为B,则MB等于() A.2V2 B.26 C.2 D.35 4.已知点A(a,-3,5),B(0,b,2),C(2,7,-),若A,B,C三点共线，则a,b的值分别是（) A.-2,3 B.-1,2 C.1,3 D.-2,2 D 5.如图，E,F分别是正方体ABCD-ABCD的棱AD与A4的中点，则下列判断 正确的是（) A.直线AC与BF是相交直线 B.直线CE与AC互相平行 C.直线DB与AC互相垂直 D.直线CE与BF是异面直线 6.在所有棱长均为2的平行六面体ABCD-ABCD中，∠AAB=∠AMD=∠BMD=60°，则AC的长为() A.25 B.25 C.26 D.6 7.己知点A(0,3),B(3,2),直线1过点P1,且与线段AB有公共点，则直线I的斜率的取值范围是() A.[-2,0u0,2 B.(一o,-2JU2,+0) C.【-2, D.(-0,-21u[吃，+0) 试卷第1页（共4页） 8.半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称 美把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点 P,A,B,C,D为该半正多面体的顶点，若P=a,PB=b,PC=c,则PD=() .-a+b+-c 2 B0- C. D.a+6-8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共24分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知{ā，6，d是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有() A.a,a+b,a+b+d B.atb,b+c,c+a C.a-b,B-c,c-a D.a+b,a-6,36 10.下列说法中，正确的有（) A.直线3x-y-3=0在x轴上的截距为1 B.直线√3x-y+1=0的倾斜角120° C.直线mx+y+3=0(mER)必过定点(0，-3) D.点(5，-3)到直线y+2=0的距离为1 11.正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，E,F,G分别为BC,CC,BB的中点，点P为线段4G上的 动点，则下列结论正确的是() A.三枝锥D-DCB的外接球表面积为4V5π B.三棱锥P-AEF的体积为定值 C.平面AEF截正方体所得的截面周长为3√2+25 D.直线AF与平面BBCC所成角的正弦值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a=33,】 （6=h2则2a+6. 13.在平行六面体ABCD-AB,CD中，若AC=xAB+2yBC+3zCC,则x+y+2= 14.已知向量OA=(1,7),0B=(5,)(0为坐标原点)，设M是直线y=5x上的一点，那么MMB的最小 2 值是 试券第2而（共4而） 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，16,17题各15分，18,19题各17分，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步聚 15.已知△4BC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求： (I)BC所在直线的方程： (2)过点A与BC边平行的直线方程： 16.(1)己知向量ā=(2，-1，-2)，6=(1,1，-4) ①计算2ā-36：②求(a,b) (2)已知向量=(，5-)，6=(（-2,3,5). ①若(a+6)∥a-36),求实数k: ②若(ka+)1(a-36),求实数k 17.如图，在棱长为2的正方体ABCD-4B,CD中，E,F分别是B,C, D CD的中点.求： B (I)异面直线AD与EF所成角的大小： (2)点D到平面CEF的距离： (3)直线AC与平面CEF所成角的正弦值. 试卷第3页（共4项） 18.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，CC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3,点D,E分 别在棱A4和棱CC上，且AD=1,CE=2,M为棱AB的中点 C (I)求证：CM1/平面B,ED: A (2)求直线CM到平面BED的距离： (3)求点4到直线B,E的距离 19.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的 中点 (I)求证：PAW平面BDE: (2)求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值： (3)在棱PB上是否存在点F,使得PB⊥平面DEF?若存在，请求出 PF 的值 PB 若不存在，请说明理由。 试卷第4项（共4页）《2026~2027学年度第一学期第一次月考 高二数学》参考答案 题号 2 3 6 8 9 10 答案 A C A D C C D A AB ACD 题号 11 答案 BC 12.（-4,4,8) 13. 6 14.-8 【分折】设点M的坐标为， 利用向量的坐标运算将MAMB转化为关于x的二次函数，利用二次 函数的性质求出MA.MB的最小值 【详解】设M5则M-（-x7M派=5-x1- -MM=0-5-r7---x-4-8 当x=4时，MA.MB取得最小值-8，故答案为：-8 【点睛】本题考查平面向量数量积的最值的计算，解题的关键利用设点的坐标的方法，将向量的数量积转 化为二次函数，利用二次函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中等题， 15.(1)x+2y-4=0: (2)x+2y+3=0: (3)2x-y+2=0. 【饼解11》闲.园为2小C(-23引所以直线C的家率为x-子一分。 由点斜式可得直线BC的方程为y-1=--2),即x+2y-4=0.7分 -321012 (2)因为所求直线与直线BC平行， 由(1)知可设所求直线方程为x+2y+c=0, 又直线x+2y+c=0过点A(-3,0), 所以将A(-3,0)的坐标代入x+2y+c=0可得-3+0+c=0,解得c=3, 答案第1页（共6页） 所以所求直线方程为x+2y+3=0.-- ---13分 1603io:②a,）-子2)@k=}:@k-96 3 【详解】(1)①因为向量ā=(2，-1，-2)，b=(1,1,-4): 则2a-36=(1,-5,8),所以2a-36=V2+(←52+82=310；-3分 ②由题意可得：i-6=9,d-3,6=32, 则ta- 92 63x322 且a6)e0,,所以a6}- --7分 (2)因为向量d=(1,5,-1),b=（-2,3,5), 则ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),ā-3b=(7,4,-16), ①若(ka+b)1(a-36), 则号2-格，解得= 3： -11分 ②若(a+b)1(a-3b)）, 则7(k-2)-4(5k+3)-16(-k+5)=0,解得k=106 -15分 3 n.肾 时 3)22 3 【详解】(1)以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. z小 D F 由题意得D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),E(1,2,2),F(01,2) 设异面直线AD与EF所成角为0，则cos0=cos AD,EF. 答案第2页（共6页） 因为AD=（-2,0,2),EF=（-1,-1,0), 所以cos0= AD·EF2+0+0_1 ADEF2V2×V22 因为0引 所以0-骨 即异面直线D,与EF所成角的大小为？： -5分 EF.m=0 (2)设平面CEF的法向量为m=(x,y,z),则 CF.m=0 因为EF=(-1,-1,0),CF=(0,-1,2), -x-y=0, 所以 -y+2z=0. 令x=2,则y=-2,z=-1, 所以平面CEF的一个法向量为m=(2,-2,-1). 因为CD=(0,-2,0), 所以点D到平面CEF的距离d= CD-ml0+4+0_4 m 3 =3 即点D到平面CEF的距离为 3 --10分 (3)由(2)得平面CEF的一个法向量为m=(2,-2,-1). 设直线AC与平面CEF所成角为Y,则siny=cosm,AC 因为AC=(-2,2,0), m.AC 所以siny= 4-4+0_22 m4C 3×2W2 3 即直线4C与平面CEF所成角的正弦值为22 -15分 18.(1) 证明：设AD的中点为N,连接MN,则MNI∥BD, 答案第3页（共6页） C 1 又MNE平面BED,BDC平面BED,所以MNI∥平面B,ED: B 连接CN，,因为CEIIND且CE=ND, 所以CNDE是平行四边形，所以CNIIDE, 又CNa平面BED,DEC平面B,ED,以CN∥平面B,ED; 又CNOMN=N,且CNc平面CMN,MNc平面CMN, 所以平面CMN∥平面B,ED,又C,Mc平面CMN, 所以CMI∥平面DBE: Q 3 3)2v30 【详解】(1)略 -5分 (2)由(1)得CM∥平面DB,E, 所以直线C,M到平面B,ED的距离等于点C到平面B,ED的距离， 设C到平面BED的距离为d, 则北a=g·西西 ix2x1x2xl-2 2 3 1 又DE=V5,BE=5,DB=25,所以S4=×25xN2=6, 用以6子解得d= 3 所以直线CM到平面BED的距离为Y6 --11分 3 (3)连接AE,则AE=BE=V5,AB=2N2, 答案第4页（共6页） C B M E D B 设点A到直线B,E的距离为h, 所以×hxB5=x22x5,解得h-20 所以点4到直线BE的距离为230 --17分 5 19.(1) 以D为坐标原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. ZA 则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0) 所以PA=(2,0,-2),DE=(0,1,1),DB=(2,2,0): 设平面BDE的一个法向量为i=(x,y,z), n.DE=y+z=0 则 ,令x=1,则y=-1,z=1, nDB=2x+2y=0 所以平面BDE的一个法向量为i=(1,-1,1): 所以PAn=1×2-1×0+1×(-2)=0,所以PA⊥n。 又PA平面BDE,所以PAW平面BDE; -5分 (2)因为侧棱PD⊥底面ABCD,ADC底面ABCD,所以PD⊥AD, 又因为底面ABCD是正方形，所以DC⊥AD 又PDODC=D,PD,DCC平面PDC,所以AD⊥平面PDC, 所以DA=(2,0,0)是平面PDC的一个法向量.。 由(1)知n=(L,-1,1)是平面BDE的一个法向量 答案第5页（共6页） 设平面BDE与平面DEC的夹角为O, DA.n 2 5 所以cos0=cos DA,n= DA:m2×V1+1+13 所以平面BDE与平面DBC的夹角的余弦值为 -10分 3 (3)因为PB=(2,2,-2),DE=(0,1,1) 所以PB.DE=2×0+2×1-2x1=0,所以PB⊥DE, 假设棱PB上存在点F,使PB⊥平面DEF, 设PF=2PB(0≤2≤1)， 则PF=(21,22,-2),DF=DP+PF=(0,0,2)+(22,22,-22)=(22,22,2-22), 由PF.DF=(2,22,2-22)(2元，2元，-2)=0， 所以42+42-222-2)=0，解得2=写 即在棱PB上存在点F,使得PB⊥平面DEF,此时 PF 1 --17分 PB 3 答案第6页（共6页）