第1章 图形的相似 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

6.B7.D8.B .四边形APBQ为菱形 微专题10二次函数的图象信息题 '.∠BAQ=∠DAO=45° 1.B2.D3.D。4.A5.A ../PAQ=90° 微专题11二次函数与几何的综合运用 .四边形APBQ为正方形 1.(1),抛物线y=x2+bx十c经过点A(-1,0)和点C(0,-4), ∴.P(1,2),Q(1,-2). {1-+c=0:(b=-3 此时抛物线的平移方式为先将抛 1c=-4, 1c=-4. 物线向左平移2个单位长度，再向 下平移2个单位长度， “抛物线的表达式为y=2-3x-4-(红-是)°-空 ,y=-x2+2x+3=-(x-1)2 +4, “顶点D的坐标为（号，一约） ,抛物线L'的表达式为y=一 (x一1+2)2+4-2 -(x+1)2+2. (2)点A(一1,0)，对称轴为直线x 5.(1)y=x2-2x-3 (2)在y=x2-2x-3中，令x=0,则y=-3,令y=x2 .点B(4,0) 2x一3=0，解得x=3或x=一1， B4,0,D(号，-） .B(3,0),C(0,-3)..OB=OC=3. ../OBC=45°. BD长为定值. 如图所示，当点P在点C上方时， 作点B关于原点的对称点B',则B(一4,0)，连接B'D交 ,∠PBC=15°， y轴于点M,则B'M=BM, ∴.∠OBP=∠OBC-∠PBC=30° .DM+BM=DM+B'M=DB',此时△BDM的周长最 小，设直线DB的表达式为y=kx十n, :OP-OB=3. 3 25 一4k十n=0, k=一 .点P的坐标为(0，一√3)： 221 )号k十n=一5解得 当点P在点C下方时，则∠P'BO=60°， 50 n=- 11 ∴.OP'=√3OB=33. :直线DB的表达式为y=一222- 25 50 点P的坐标为(0，一3√3). 综上所述，点P的坐标为(0，一√3)或(0，一3√3) 令x=0,则y=一点M的坐标为(0，一) 50 .50 6.(1)y=(x-2)2-1或y=x2-4x十3 (2)由题意可得抛物线的对称轴L为直线 2.(1)将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c, :B(3,0),A(1,0).易得C(0,3), C M 得食26，=0解得么二12 1c=-2. ∴.AB=2,BC=W32十32=3W2,AC= 所以二次函数的表达式为y=x2+x一2. √32+1=√10,0C=0B. D (2)设P(m,n),.点P在第二象限，.m<0,n>0. ,.∠OCB=∠OBC=45° 设对称轴与x轴相交于点E,点M的坐标是(2，m), 依题意，得Am=2,即 BD·n 2 拉 .AE=BE=3-2=1,DE=1, S△CDB 2BD·C =2,心00=2. .BD=√DE+BE=√2，∠EDB=45. 当△BDM与△ABC相似时，点D与点B是对应点， .C0=2,.n=2C0=4. 由m2十m-2=4,解得m=-3,m2=2(舍去). ①当BD与AB是对应边时，兴-肥即O-号 3√2 2, 所以点P的坐标为（一3,4）. 3.由A(-1,0),C(0,4)易得a=-1,b=3, 解得DM=3.∴点M的坐标是(2,2)； y=-2+3x十4=-(x-)}'+空对称轴为x= ②当BD与BC是对应边时，X器即DM-=3 23√2 是设点M(号m而点A(-1,0,C0,4), 解得DM= 号点M的坐标是(2，-号)片 则A=(号+1)°+m-空+m,CF=(受-0)°+ 综上所述，点M的坐标是(2,2)或(2，-）： (m-402=(m-40+号，AC=(-1-0)+(0-40=17, 阶段测评7(4.3~4.5) 1.A2.B3.C4.A5.D6.C7.2.6 ①当AM是斜边时，空+=(m-402+号+17，解得m 8.y=2x2-4x-69.k<1且k≠0 12.10 29 10.w=-60x2+1080x+1680011.35 3 Γ8 13.设二次函数表达式为y=ax2+bz十c,依题意，得 ②当CM是斜边时，(m-4)+号-2华+m+17,解得m a-b十c=0, a=1, 4 9a十3b十c=0,解得b=-2, c=-3, (c=-3. 则y=x2-2x-3. ③当AC是斜边时，25+m2+(m一4)2+9=17，解得m 14.(1)证明：对于方程x2一mx十m一1=0， A △=（-m)2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2≥0. =号或m=号 .方程x2-m.x十m-1=0总有实数根， .二次函数y=x2一mx十m一1的图象与x轴总有交点. (2)把(2,4)代入y=x2-mx+m-1中，得4=22-2m+ 综上，点M的坐标为（是，器）或（是，-8）或（号，号） m一1，解得m=一1. 15.(1)设y与x的函数表达式为y=kx十b, 或() 把x=12,y=56;x=20,y=40代入，得 4.(1)y=-x2十2x十3 8+66:解得{合802 (2)存在以A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是以AB为 ∴.y与x的函数表达式为y=一2x十80. 对角线的菱形 (2)设日销售利润为元，根据题意，得 .点A(-1,0),点B(3,0),·AB=4. w=(x-10)·y=-2(x一25)2+450. 如图，当四边形APBQ为菱形时，.OA=OD=1, .当x=25时，w有最大值，最大值为450 .∠DAO=45° ∴.糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最 22 一探究在线·九年 大利润是450元. (3)设日销售利润为元，根据题意，得 “拱桥的抛物线表达式为y=一75x(x一60)，开口向下， 0=(x-10-m)y=(x-10-m)×(-2x+80)=-2x2+ ,.当x=30时，所需的那根钢材支柱最短， (100+2m)x-800-80m. ,糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴.y= 7方×30×(30-60)=12，则20-12=8（米） .:4X(-2)(-800-80m)-(100+2m)2 =392. .所需的最短的那根钢材支柱长8米 4×(-2) 任务2：设拱桥的抛物线表达式为y=ax(x一60)(a≠0)， 化简，得m2一60m+116=0. :根据河面宽60米，钢材支柱将跨径6等分，则需要5根 解得m1=2,m2=58. 钢材支柱， 当m=58时，x=54, ∴.钢材支柱的位置分别为x=10,x=20,x=30,x=40,x 则每盒的利润为54一10一58=一14<0，舍去. =50,又岸边水泥柱高20米， ·m的值为2. .[20-10a(10-60)]+[20-20a(20-60)]+[20 单元综合复习（四）二次函数 30a(30-60)]+[20-40a(40-60)]+[20-50a(50 热门考点突破 1.D2.B3.C4.A5.B 60)门=30，整理，得100+3500a=30,解得a=-50 6.y=2(x一3)2一1（答案不唯一） 7.(1)将点A(-3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c,得 ∴拱桥的抛物线表达式为y=一0x(x一60)， 月+800解得23.y=2+2x-3. 任务3：由抛物线过点(0,0)，抛物线过点(60,0)，设拱桥的 11+b十c=0, 抛物线表达式为y=a'x(x-60)(a≠0)， (2)y=-(x-1)2+4或y=-x2+2x+3 ·钢材支柱将桥面DE和CF各3等分，且相邻两支柱间 8.x1=-1,x2=39.0≤k<4且k≠310.C 的距离为5米， 11.(1)利润Q(元)与售价a(元)的函数表达式为Q=[60 .DE=CF=15,.E(15,20),F(45,20) 2(a-30)](a-20)=-2a2+160a-2400(30a60). 将E(15,20)代入抛物线的表达式，得20=15a'×(15-60), (2)由(1)知，Q=-2a2+160a-2400, 4 135x(x-60). 4 即Q=-2(a一40)2+800， 解得a=一135小抛物线的表达式为y= 当a=40时，Q有最大值，最大值为800， 当x=5,y=一意×5X(6一60)-器，阑材支柱的长度 4 即定价40元时，最大利润是800元， 当a=40时，60-2(a-30)=40(件)， ∴.每天购进该商品40件较好. 为20-0罗（米）. 27 12.(1):篱笆长80m,.AB+BC+CD=80. 当x=10,y=一 35X10×10-60)= 400 .AB=CD=x,BC=y,.x+y+x=80..y=80-2x. 27 ,钢材支柱的长 .墙长42m,.0<80-2x≤42. 解得19≤x<40,.y=80-2x(19≤x<40). 度为20-400=149（米）， 27 27 ∴.矩形面积S=BC·AB=y·x=(80一2x)x -2x2+80x. 当x=50,y=一13×50×(50-60)-9，锅材支柱的长 (2)令S=750,则-2x2+80x=750, 解得x1=25,x2=15. 度为20-9=140（米）， 27 27 .19≤x<40,.x=25. .当x=25时，围成的矩形花圃面积能为750m2. 当x=55,y= 135X55×(55-60)=220 27 钢材支柱的长 (3)S=-2x2+80x= -2(x-20)2+800. ,一2<0，.S有最大值. 度为20 220-320(米)， 2727 又19x<40, ∴.当x=20时，S取得最大值，此时S=800, :需要的锅材支柱的长度为受+罗+罗+罗罗米)。 27 27 ∴.围成的矩形花圃面积存在最大值，且最大值为800， 此时x的值为20m. 第1章学情评估 核心素养提升 1.C2.C3.C4.B5.A6.A7.B8.D9.A 13.4 8」 10.D11.912.分cm13.是14.315.W5-1) 综合与实践 设计抛物线形拱桥 1.C 16.2号 17.√/1318.2 2.(1)结合图象可知，抛物线的对称轴是y轴，与x轴的交点 19.AB∥CD,.∠B=∠D. 坐标是（一140,0），(140,0)，且经过点(70,42).设抛物线 又AB=2CD,BE=2DF 的表达式为y=ax2十c, 402a十c=0解得a=350 "B器=-2 AABEACDP. 1702a+c=42 20.(1)如图，△A1B1C1为所作. c=56. (2)如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（一4，一6）. ∴.y= 350x2+56. (2)当x=0时，y=56. 设存在一根系杆的长度是OC的一半，则这根系杆的长度 是28米， A 当-350x2+56=28时，x=士70v2. ,相邻系杆之间的间距均为5米，最中间系杆OC在y轴上， -2 ∴.每根系杆上的点的横坐标均为整数. 24 而x=土70W2与实际不符. 分 .不存在一根系杆的长度恰好是O℃长度的一半 1 21.(1)a:b:c=3:4:5, 3.任务1：“拱桥的抛物线表达式为y=一75x(x一60)， 设a=3k,b=4k,c=5k(k≠0)， 且以A为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系， a+b-3k+4骏==2 令y=0,则0=一7方x(x-60), c-a 5k-3k 2k 2 (2),abc=3:4:5, 解得x1=0,x2=60,.AB=60. 设a=3k,b=4k,c=5k(k≠0)， ,钢材支柱将跨径4等分，则60÷4=15（米）， 又2b-c=9,∴.2X4k-5k=9, ∴.钢材支柱的位置分别为x=15,x=2×15=30,x=3× ∴，k=3,∴.a=3k=9,b=4k=12,c=5k=15 15=45, ∴.a十2b-3c=9+2×12-3×15=-12. 级数学（上）·XJ一 22.(1):∠ACD=∠B,∠A=∠A, ·△ACD△ABC,AS=AD 17. 1839 AB AC 又AC=2,AD=1,.AB=4,∴.DB=AB-AD=3. 1.1原式=1-×9-1-=子 (2②)：△ACD△ABC,且AS, ∴.△ACD与△ABC的面积的比为1：4， (2②)原式-（）°-2×合×1+8×（合）‘--1+2 23.设运动ts时，矩形CFNM与矩形AEFD相似 由题意，得识-号或只-会 3 20.∠C=90°，AB=5,BC=3, 解得t=4或t=1. 当t=4时，NF=8, AC=AB-BC3 -4.sinA-BC-3 架 21.(1),BD为AC边上的高线，.BD⊥AC, 且四边形CFNM与AEFD都是矩形， Cos∠DBA=号，AB=5,DB=4, ,'.矩形CFNM与矩形AEFD相似. .AD=√AB2-DB2=3. 同理可证当t=1时矩形CFNM与矩形AEFD相似. (2).AC=5,AD=3,..DC=DA+AC=8 24..AD∥EG,∴.∠ADO=∠EGF :DB=4,BD⊥AC,.BC=√DB+DC=4V5. 又.∠AOD=∠EFG=90°， 22.不穿过，理由如下： 北 △AOD∽△EFG.AO-OD 过点A作AD⊥BC,交BC于 EF FG BP 点D,根据题意可知，∠ACD= A0=EF0D_1.8X20=15. 45°，∠ABD=30° FG 2.4 设CD=xkm,则BD=(2.4一 同理，证△BOCc∽△AOD,解得BO=12, x)km, .AB=OA-OB=3(米)..旗杆的高AB为3米. 在Rt△ACD中，∠ACD=45°，则AD=CD=xkm. 25.(1):四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD,∠B=∠D,又 BE=DF, 在Rt△ABD中，tan30°-AD, :△ABE≌△ADF(SAS),∴∠BAE=∠DAF. BD ,'AB∥CD,.∠G=∠BAE=∠DAF, V3 又∠D=∠D,.△AFD∽△GAD. 即2.4-z=号，解得≈0.878， CF DF 经检验，x≈0.878是原方程的解 (2):DF=CF·CD,DF-CD, .AD≈878米， 'AD∥BH,.△CFH∽△DFA. :878米>800米，.公路不穿过纪念园 .CF-CH.CH DF 23.(1)过点A作AE⊥BC,垂足为点E. DF-DADA-CD 在Rt△ABE,Rt△ADE中， .'AD=CD,.'.CH=DF..BE=DF,.'BE=CH 'AE2=AB2-BE2 ,AE2=AD2-ED2, 26.(1)=1 .'.AB2-BE2 =AD-ED2. .BE+ED=BD=4,..BE=4-ED. 9 (2>结论能-k理由：如图②，作GMLAB-于点M, 六(2√10)2-(4-ED)2=62-ED2,即40-16+8ED- ,AE⊥GF,.∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°， ED2=36-ED2. ,∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°， 3 ∠BAE=∠FGM,∴△ABEO△GMR,:.GE=G ·AEAB1 ..ED=3 ,Cos∠ADB=ED= AD 6 4 .∠AMG=∠D=∠DAM=90°， ,.四边形AMGD是矩形， (2)由(1)知，ED=3 ∴6M=AD器-品器= 在Rt△ADE中，AE=V√AD2-ED=/6 (3)如图③，过点D作EF⊥BC,交BC的延长线于点F, 过点A作AEEF,连接AC, ·/ABC=90°，AE⊥EF,EF⊥BC -压 V4 ∴.四边形ABFE是矩形， ∠E=∠F=90°，AE=BF,EF=AB=10. 在Rt△ACE中，：sinC=AE, AC, ,AD=AB,BC=CD,AC=AC,∴.△ACD≌△ACB(SSS), 3 ∴.∠ADC=∠ABC=90°，.∠ADE+∠CDF=90°， .AC=AE AE =35. 冬Zeb28ecor sinC sn6V v3 2 2AE-2DF,DE-2CF. DC=CF2+DF2,∴.25=CF2+(10-2CF)2, 24.a在RIARCD，中co∠ABC-8肥-台， 44 解得CF=5(不合题意，舍去)或CF=3, BC=BC-5 ,BF=BC十CF=8, ∴.CD=√/BC2-BD=√/52-42=3. DNAE84 由(2)的结论可知，AAB105 (2)过点E作EF⊥AB,垂足为点F, 如图. EF⊥BD,.CD∥EF, A E为BC的中点，∴.EF是△BCD 的中位线， EF=CD=×3=,DF=BD= 2×4=2, ∴.AF=AD+DF=8十2=10， 图① 图③ 第2章学情评估 1.A2.C3.A4.D5.B6.D7.A8.B9.B 在Rt△AEF中，tan∠EAB=E 2 3 AF=10=20 10.B1.512.25°13.1214.厘15.>16.1 25.(1)1 4 3 (2)原式=(sin21°+sin289)+(sin22°+sin288)+…+ 一探究在线·九年 sin245°=1+1+.+1+ 2 =4+- 1 ∠DAG=∠FDA=45°， 26.(1)7560 在Rt△CDG中，CG= DG 100 tan∠DCG tan30° =100√3(m), (2)过点A作AE⊥DC于点E, DG 100 由题意，得AE=BC=100米，EC= 在Rt△ADG中，AG tan∠DAG tan45 =100(m), AB=10米. 60y45-N M ∴.AC=AG+CG=100+100W3≈273(m) 在Rt△AED中，∠DAE=30°， (2)过点B作BK⊥AC,延长DF交BK于点M,如图， DE=AE·tan30=100X 由题意，得AK=2BK,∠BDM=11.31°， 3 9(米 :AB=/5BK, 30° .'∠DGK=∠MKG=∠DMK=90°， .四边形DGKM是矩形， CD=DE+EBC-(9gB+10)米。 ∴.MK=DG=100m,设BK=t,则AK=21,GK=GA十 AK=100+2t=DM, 楼CD的高度为(90，万+10)米。 BM=BK-MK=t-100, 在Rt△BDM中，BM=DM·tan∠BDM, (3)过点P作PG⊥BC于点G,交AE于点F, 即t-100=(2t+100)tan11.31°， 则∠PFA=∠AED=90°，FG=AB=10米. =100(tanl1.31°+1) MN∥AE,∴.∠PAF=∠MPA=60° 1-2tanl1.31 .∠ADE=60°，∴.∠PAF=∠ADE. .∠DAE=30°，∴.∠PAD=30° AB=/5BK=5 100(tan11.31+148(m). ∠APD=75°，∴∠ADP=75°.∴∠ADP=∠APD. 1-2tan11.31° 25.(1).Rt△ABD≌Rt△ACE,∠BAD=∠CAE=90°， ∴.AP=AD.∴.△APF≌△DAE(AAS) ∴·AD=AE,AB=AC,BD=CE, .PF=AE=100米..PG=PF+FG=100+10=110(米). ∴.此时无人机距离地面BC的高度为110米. ∠ADE=∠AED=Z(I8O°-∠EAD),∠ABC= 期中学情评估 1.C2.A3.C4.B5.C6.B7.B8.C9.B ∠ACB=2(180-∠BAC), 10.D11.号12.1513. .∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°，∠EAD+∠CAD= ∠CAE=90°， 15,416.917 18.停或9 ∴.∠BAC=∠EAD, :∠BAC=∠EAD,∠ADE=∠AED=∠ABC= ∠ACB, 19.(1)原式= 9)°-2x-1w-21= 1 -√3-(2 △ABCn△ADE,AB=BC AD DE' √3)= 是--2+= 3 AB 2 在Rt△ABD中，tan∠ADB==AD (2)原式=×，5-（号） +1+22=3 2 2 +1+ 又BC=l心-EDE=4. 1 2√2=2+2V2 (2)由(1)易知，△CED是直角三角形， 20.(1)如图所示，△DEF即为所求。 .'tan∠CED=√3，设CD=√3a,ED=a, (2)(1,3)(2,1) 6 .∠CDE=90°， 21.,DE是AB的垂直平分线， ..AD=BD, ∴.CE=√CD2+ED=√（√3a)+a2=2a, 设AD=x,则BD=x, .BD=CE,.'.BD=CE=2a, 0246 ..CD=BD-BC=x-3, .BC=BD-CD=2a-√3a=(2-√3)a, 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC+CD2=AD2； 即（√15）2+(x-3)2=x2, :a∠ADB=A8,△ABCAADE, 解得x=4..CD=1, ·sin∠CAD=CD-l ÷8-8跽=28e=2-5tm∠ADB=2-E 26.(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, 22.(1)证明：CD=CE,∴.∠CED=∠CDE, .∴.∠CAB=∠CBA=45°. :∠AEC=180°-∠CED,∠ADB=180°-∠CDE, ∠APB=∠BPC=135°，∴.∠PAB+∠PBA=45° .∠AEC=∠ADB, ∠DAC=∠B,∴.△ACE△BAD. 支RPCAFCUTA PARA8 (2)由I)知，△ACE∽△BAD. BD (2)∠ACB=90°，AC=BC, CE AD' CE=6,BD=8,AE=4,AD-BDXCE-8X6-12, AB-/AC+--EBC器启 AE 4 .ED=AD-AE=12-4=8. :APB0APAB器-股-后后 23.(1)四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,.△EGC∽△EAB, ∴.PA=√2PB,PB=√2PC .:C 器器即异 _EC 2 ∴.PA=√2XW2PC=2PC=2X3=6. :∠APB=∠BPC=135°，∴∠APC=90° 解得CG=1」 .AC=√PC+PA2=√32+62=3V5 (2)证明：AB∥CD,.△DFG△BFA, (3)过B作BE⊥CD交CD的延长线 漂 于点E, ∠APC=90°. AD∥CB,∴.△AFD△EFB, .∠PAC+∠PCA=90° ,∠PCA+∠BCE=90°， .∠PAC=∠BCE 即AF2=FG·FE. 在△PAC与△ECB中， 24.(1)过点D作DG⊥AC,如图， ∠APC=∠CEB=90°， 由题意，得DG=100m,∠EDC E M PAC-/BCE, 1:2 =30°，∠FDA=45°，EF∥AC, K AC=BC, .∠DCG=∠EDC=30°， ∴.△PAC≌△ECB(AAS).∴.PC=BE 级数学（上）·XJ一 23第1章学情评估 评估内容：图形的相似 (时间：120分钟满分：120分) 、选择题（每小题3分，共30分） 进 1.观察下列每组图形，是相似图形的是 A B 2.下列各组线段，为成比例线段的是 ( A.3 cm,6 cm,7 cm,9 cm B.2 cm,5 cm,0.6 cm,8 cm C.3 cm,10 cm,1.8 cm,6 cm D.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm 杂 3.已知号一岁(x≠0)，则下列式子正确的是 A.= B.y:x=3:2 y 3 C.2x=3y D 4.(中考·河南)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均 数 为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D,E分 封 别是边BA,CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为 1 A. 2 B.1 C.√2 D.3 D 线 第4题图 第5题图 第6题图 北 5.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O,且AB= 4cm,△ABC的面积是△DEF面积的号，则DE的长为 ( A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.18 cm 6.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB, 添加一个条件，不正确的是 ( AB AC B.AP_AB 串串串 A.BP-CB AB AC C.∠APB=∠ABC D.∠ABP=∠C 7.如图，身高为1.6m的小明想测量一下操场边大树的高度， 他沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶 端正好与树的影子顶端重合，测得BC=1.4m,CA=0.7m, 于是得出树的高度为 ) A.3.2m B.4.8m C.6.4m D.8m 第7题图 第8题图 第9题图 8.(中考·包头)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， A,B,C,D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E,连接 AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为 () A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.21 9.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点 D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停 止，点D运动的速度为1cm/s,点E运动的速度为2cm/s. 如果两点同时运动，那么当以点A,D,E为顶点的三角形与 △ABC相似时，运动的时间是 ( A.3s或4.8s B.3s C.4.5s D.4.5s或4.8s 10.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF,以 AF为对角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对 角线AC相交于点H,连接DG.以下四个结论： ①∠EAB=∠GAD;②△AFC∽△AGD; ③2AE=AH·AC;④DG⊥AC 其中正确的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 第10题图 第13题图 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.在比例尺为1：200的地图上，测得A,B两地间的图上距 离为4.5cm,则A,B两地间的实际距离为m. 一探究在线·九年级数学（上）·X一 12.已知△ABCの△A'B'C',AB:A'B'=4:5,△A'B'C中最短边 上的高为2cm,则△ABC中最短边上的高为 13.如图，点E,P,F分别是AB,AC,AD的中点，则四边形 AEPF与四边形ABCD(填“是”或“不是”)位似图形 14.如图，直线l1∥L2∥l3,已知AG=4cm,BG=6cm,CD= 7.5cm,那么CH=cm. 第14题图 第15题图 第16题图 15.(中考·陕西)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚 教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推 广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EF将 矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄 金分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为2米，则线段 BE的长为 米. 16.(中考·东营)如图，在△ABC中，点F,G在BC上，点E,H 分别在AB,AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF,AD 是△ABC的高，BC=8,AD=6,那么EH的长为· 17.(中考·武威)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC= 9cm,点E,F分别在边AB,BC上，AE=2cm,BD,EF交于 点G,若G是EF的中点，则BG的长为 cm. 第17题图 第18题图 18.如图，在△ABC中，BC=6,点E,F分别是AC,AB的中 点，动点P在射线EF上，∠CBP的平分线交CF于点Q, 当CQ=3QF时，BP-FP= 01 三、解答题（共66分） 19.(6分)如图，已知AB∥DC,点E,F在线段BD上，AB= 2DC,BE=2DF.求证：△ABEp△CDF. 20.(6分)（中考·河池）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(2,3),C(1,2). (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1; (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2, 使它与△ABC的位似比为2，并写出点B2的坐标. 2 -8-7-6-5-4-3-2-10 6 21.(8分)已知a:b:c=3:4:5. 1)求±的值： (2)若2b-c=9,求a十2b-3c的值. 22.(8分)如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠B,若AC=2,AD=1. (1)求DB的长； 02 (2)求△ACD与△ABC的面积的比. D 23.(9分)如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=16cm, E,F分别是AB,CD上的点，且AE=DF=8cm,两动点 M,N都以2cm/s的速度分别从C,F两点沿CB,FE向 B,E两点运动，当M,N运动多长时间时，矩形CFNM与 矩形AEFD相似？证明你的结论， A D M 24.(9分)（中考·陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量 一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光 下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD 为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O,C,D,F,G五点在 同一直线上，A,B,O三点在同一直线上，且AO⊥OD,EF ⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB. E 厅而 一探究在线·九年级数学（上）·X灯一 25.(10分)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD 上，BE=FD,AF的延长线交BC的延长线于点H,AE的 延长线交DC的延长线于点G. (1)求证：△AFD∽△GAD; (2)如果DF2=CF·CD,求证：BE=CH. 26.(10分)(1)问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E,Q 分别在边BC,AB上，DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边 CD,AB上，GF⊥AE. I.判断DQ与AE的数量关系：DQ AE; Ⅱ，推断：E的值为一；（无须证明） (2类比探究：如图②，在矩形A5CD中，船=（为常 数).将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点 E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF 于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=90°， AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN,点M,N分别在 边BC,A5上，求的值 图① 图② 图③