精品解析：江苏省邗江中学2026-2027学年10月学情调研测试高二数学试题

江苏省邗江中学2026～2027学年10月学情调研测试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为复数，，则（ ） A. B. C. D. 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆与x轴相切，则这个圆截y轴所得的弦长为（ ）． A. B. C. 6 D. 8 6. 已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线 C. 上的点到的距离均为. D. 是两条平行直线 8. 已知，则经过两点的直线与圆的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象表示过原点的所有直线 B. 函数的最小值为5 C. 经过点且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线方程为 D. 直线与直线垂直，直线与圆相交 10. 已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（ ） A. B. 的轨迹是 C. 到直线的距离的最大值为 D. 到圆上点的距离的最大值为 11. 已知圆，点在圆上，则（ ） A. 时，圆的半径为 B. 若点在圆上，点在圆上，则的最大值为 C. 不存在直线与圆，都相切 D. 对满足的任意实数，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若点在圆：上，过作圆的切线，则的倾斜角为______． 13. 已知直线与，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的最小值为__________． 14. 已知圆（圆心为点），动点在直线上，过点向圆作两条切线，切点分别为，，则直线恒过定点__________；若直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数，，. （1）若是纯虚数，为实数，求； （2）若，设，求的值. 16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 17. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，点满足，记点的轨迹为． （1）已知直线，若上恰有两个点到直线的距离都为，求实数的取值范围． （2）过点作直线交轨迹于点，，交轴于点． ①若，求直线的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知点，，，，点在圆：上运动． （1）求的最大值和最小值； （2）直线与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； （3）若直线（）将分割成面积相等的两个部分，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省邗江中学2026～2027学年10月学情调研测试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，则， 故，则，故. 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果． 【详解】解：由题意可得直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为， 化为一般式为． 故选：A． 3. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可. 【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， 当时，由直线方程可得斜率，且， ，即，又，， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C. 4. 若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先讨论直线的斜率不存在时，检验两直线是否平行，再讨论直线的斜率存在时，两直线平行，斜率相等，即可求得的值，再利用两条平行线之间的距离公式即可求解. 【详解】由题可知直线的斜率一定存在，且为， 若，则直线的斜率不存在且方程为：，即， 直线：，即， 此时直线与直线不平行，舍去； 若，则直线的斜率存在，且为， ，，即，或， 当时，，，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线平行. 则直线与直线之间距离为：. 故选：C. 5. 若圆与x轴相切，则这个圆截y轴所得的弦长为（ ）． A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得圆的方程，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 因为圆与轴相切，可得，即， 所以圆心到轴的距离为， 则圆截轴所得的弦长为. 故选：D. 6. 已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 7. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线 C. 上的点到的距离均为. D. 是两条平行直线 【答案】C 【解析】 【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，将点坐标代入，得轨迹，结合选项即可得出正确答案. 【详解】设，由，则， 由在直线上，故， 化简得，即的轨迹为直线且与直线平行， 上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 8. 已知，则经过两点的直线与圆的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】判断出经过的直线，求得圆心到直线的距离，并与半径比较，由此确定正确答案. 【详解】依题意，， 所以经过两点的直线为， 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切， 一共有个公共点. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象表示过原点的所有直线 B. 函数的最小值为5 C. 经过点且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线方程为 D. 直线与直线垂直，直线与圆相交 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，表示过原点且斜率存在的直线，不能表示过原点的与轴垂直的直线，A选项错误. 对于B，， 表示点到点的距离与点到点的距离之和. 作点关于轴的对称点，根据对称性质，因此， 根据两点之间线段最短，，当且仅当点为线段与轴的交点时取等号， 而，因此的最小值为，B选项正确. 对于C，当直线的纵横截距都为时，设直线方程为，因为直线经过，得， 此时直线方程为，C选项错误. 对于D，直线的斜率，直线的斜率，， 则直线与直线垂直， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，直线与圆相交，D选项正确. 10. 已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（ ） A. B. 的轨迹是 C. 到直线的距离的最大值为 D. 到圆上点的距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，利用复数模的三角不等式求解判断；对B，由复数的几何意义判断；对CD，数形结合求解判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，设，则， 所以表示点与点距离之和等于2， 所以点的轨迹为线段，即，故B错误； 对于C，由前面知，的轨迹为线段，即， 如图，到直线的最大距离为点到直线的距离，即，故C正确； 对于D，因为点的轨迹为线段，即，且在圆内， 设点到圆上的点的距离为，则 所以到圆上点的距离的最大值为，此时的坐标为，故D错误. 11. 已知圆，点在圆上，则（ ） A. 时，圆的半径为 B. 若点在圆上，点在圆上，则的最大值为 C. 不存在直线与圆，都相切 D. 对满足的任意实数，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】需要先将圆的方程化为标准方程，再根据圆的性质逐一分析选项. 【详解】对于A，当时，圆，化为标准方程为，故半径为，A正确； 对于B，圆，化为标准方程为， 可知圆心为，半径， 圆，化为标准方程为， 可知圆心为，半径， 两圆心距，故的最大值为，故B错误； 对于C，圆，化为标准方程为，可知圆心为，半径， 故圆与圆两圆圆心距， ，故圆与圆内含，则不存在直线与两圆都相切，故C正确； 对于D，圆， 圆心，半径， 表示与点连线的斜率. 圆心到直线的距离为. 由解得或. 因为，关于对称，与关于对称，所以可只分析的情况. 当时，单调递增.所以当时，圆的半径最大. 圆心在直线上运动，所以如图所示当时，直线与切线重合时，斜率取得最小值. 此时，圆，设切线：，即. 所以圆心到切线的距离，化简得：. 所以，结合图形知，即成立，. 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若点在圆：上，过作圆的切线，则的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出过切点的圆半径所在直线斜率即可得解. 【详解】依题意，圆：的圆心，半径，则直线的斜率为， 因此切线的斜率为，其倾斜角为. 故答案为： 13. 已知直线与，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，然后设出直线的纵横截距，利用截距式写出直线的方程，代入定点，找出之间的关系，利用基本不等式求解出最小值即可. 【详解】直线的方程为，整理为， 因为对任意的均成立，，得，即直线过定点. 设，，则. 直线的截距式方程为，直线过定点，. ， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 14. 已知圆（圆心为点），动点在直线上，过点向圆作两条切线，切点分别为，，则直线恒过定点__________；若直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先将圆化为标准方程，从而得到圆心的坐标和半径为，设，从而得到切点弦的直线方程，即可得到直线恒过定点的坐标，再根据圆的性质得到点在以为直径的圆上，进而根据点到直线的距离的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】由圆，则其标准方程为， 则圆心为，半径为， 由动点在直线上，则设， 则切点弦的直线方程为， 整理得， 则，解得，，即直线恒过定点， 又直线和相交于点，即，则点在以为直径的圆上， 所以圆的圆心坐标为，圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数，，. （1）若是纯虚数，为实数，求； （2）若，设，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的概念及复数的模求解即可. （2）根据复数的乘法及复数相等求解即可. 【小问1详解】 因为是纯虚数，为实数，所以，， 解得，，所以. 所以. 【小问2详解】 若，则，， 所以. 又，所以， 所以，解得， 所以. 16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设点B的坐标为，中点M的坐标为，点B在直线上，点M在直线上，列方程求解即可； （2）点A关于直线的对称点为，根据对称列方程求解点的坐标为，再由点斜式即可得解. 【详解】（1）设点B的坐标为则中点M的坐标为 依题意可知，点B在直线上，点M在直线上 则有解得， 即点B的坐标为 （2）设点A关于直线的对称点为， 则在直线上 设点的坐标为，则点的中点坐标为 则有解得 即点的坐标为 直线的斜率为 所以直线的直线方程为 化简得： 即直线的方程为. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，涉及中点坐标的运算及点线对称的求解，属于中档题. 17. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求参数，进而得到圆心和半径，即可得； （2）由题设，讨论直线的斜率，并设，应用弦长公式列方程求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 设圆心为，依题意， 所以，解得或（舍去）， ，则， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由的长度为，则， ①若斜率不存在，则，代入圆得，解得或，显然，符合； ②若斜率存在，设斜率为，则直线，即， 由圆心到直线的距离为，即，所以， 所以，即， 综上，所求直线的方程为或. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，点满足，记点的轨迹为． （1）已知直线，若上恰有两个点到直线的距离都为，求实数的取值范围． （2）过点作直线交轨迹于点，，交轴于点． ①若，求直线的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或. ②是，. 【解析】 【分析】（1）先由直接法求出轨迹的方程，再由题意得到，再结合韦达定理即可求出的范围. （2）①由题中已知条件得到，再结合韦达定理即可求出直线的方程. ②由题中已知条件得到与，，之间的关系，再结合韦达定理即可求出的值. 【小问1详解】 设点坐标为，，， 由，，. 点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 设圆心到直线的距离为，. 由上恰有两个点到直线的距离都为，，， .即实数的取值范围为. 【小问2详解】 ①当直线与轴平行时，易知点，坐标分别为，， ，，不满足. 当直线与轴不平行时，由直线过点，设直线的方程为. 联立方程组，. 设点，坐标分别为，， 直线交轨迹于点，，由韦达定理得，，. 点在轴上，且点，在点的两侧，与的比值等于点与点的纵坐标的绝对值之比. 由，. 联立方程组. 直线的方程为或， 整理得直线的方程为或. ②为定值，探究如下； 如图所示； 由于是直线与轴的交点，将 代入，，即坐标为. 由①知，，，. 由，，，. 由，同理推出. ，. . 19. 已知点，，，，点在圆：上运动． （1）求的最大值和最小值； （2）直线与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； （3）若直线（）将分割成面积相等的两个部分，求的取值范围． 【答案】（1）和； （2）存在，点； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，用的正弦型函数表示所求量，利用正弦函数的性质求出最值. （2）联立直线与圆的方程，利用韦达定理，结合斜率坐标公式列式求解即得. （3）求出直线与轴及直线的交点坐标，确定点在射线上，再按与点的位置关系分类求解即得. 【小问1详解】 依题意，设，则 ， 而，因此， 所以的最大值和最小值分别为和. 【小问2详解】 由消去并整理得，设， ，， 假定在轴上存在定点，使得，设，则， 即，整理得， 则，化简得， 当时，，当时，，因此当时，恒成立， 所以在轴上存在定点，使得，点. 【小问3详解】 的面积，直线交轴于点， 由该直线将分割成面积相等的两个部分，得，，点在射线上（不含点）, 直线，由，解得， 即直线与直线交于， ①若点与点重合，则点为线段的中点，则，解得； ②若点在点和点之间，则，点在点和点之间，， 于是，解得，有，则； ③当点在点的左侧时，则，且，，直线， 此时直线与直线必相交，由，解得， ，即，化简得，则， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，结合图形按点与重合、在与之间和在点左侧分类是求解的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $