第2章 14 专题强化练5 圆系方程、圆的切线系方程的应用（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 聚焦圆系与切线系方程应用，通过解题模板系统梳理方法，构建从方程表示到位置关系的知识逻辑链，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆系方程应用|题1-2|参数法设方程、直径最小圆判定|从基础圆方程到系方程构建，体现特殊到一般推理| |切线系方程应用|题4、8|切线系几何意义（距离公式）|切线系与定圆的对应关系，强化数形结合| |多圆位置关系|题3、5-7|圆心轨迹分析、位置关系判定|圆系参数变化对位置关系的影响，培养动态思维|

专题专项练 专题强化练5　圆系方程、圆的切线系方程的应用 1.(2026天津华辰学校月考)过两圆x2+y2+2x-4y-4=0和x2+y2-4x+2y+2=0的交点,且圆心在直线x+2y+2=0上的圆的方程为(　　) A.x2+y2-8x+6y+6=0　　 B.x2+y2-4x+4y+6=0 C.x2+y2-8x+6y-6=0　　 D.x2+y2-4x+4y-6=0 2.(2026河南周口多校联考)经过直线2x-y+3=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的两个交点,且面积最小的圆的方程是(　　) A.+=　　 B.+= C.+=　　 D.+= 3.(多选题)(2026江西萍乡上栗中学月考)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是(　　) A.这组圆的圆心始终在一条直线上 B.存在定直线与这组圆中的每个圆都相切 C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.这组圆中的所有圆均不经过点(3,0) 4.(多选题)(2026湖北武汉第一中学月考)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ<2π).下列四个命题中正确的是(　　) A.存在一个圆与所有直线均相交 B.存在一个圆与所有直线均不相交 C.存在一个圆与所有直线均相切 D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 5.(多选题)(2026黑龙江大庆第四中学月考)已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-3)2+(y-4)2=m(m>0),直线l:y=kx+2(k∈R),下列结论正确的是(　　) A.若直线l与圆O相切,则k=± B.若k=,则圆O上到直线l的距离等于的点恰有3个 C.若圆O与圆C恰有三条公切线,则m=4 D.若P为圆O上的点,当m=9时,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则∠APB可能为 6.(多选题)(2026江苏淮安淮阴中学月考)已知圆Ck:x2+y2-2kx-4y+5k-2=0,点P(x0,y0)在圆Ck上,k为实数,下列说法正确的有(　　) A.k=0时,圆C0的半径为 B.若点A在圆C1上,点B在圆C4上,则|AB|的最大值为3+ C.不存在直线与圆C4,C5都相切 D.对满足1<|2k-5|≤3的任意实数k,都有≥24-16 7.(2026辽宁大连联考)已知圆M:(x-1-cos θ)2+(y-2-sin θ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0,有下面五个命题: ①对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点; ②存在实数k与θ,直线l和圆M相切; ③存在实数k与θ,直线l和圆M相离; ④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切; ⑤对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切. 其中真命题的序号是　　　　.  8.(2025浙江杭州期中)已知acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0(a≠b),对任意a,b∈R,经过两点(a,a2),(b,b2)的直线与一定圆相切,则该圆的方程为　　　　　　　　.  答案与分层梯度式解析 专题专项练 专题强化练5　圆系方程、圆的切线系方程的应用 1.A 2.C 3.ABD 4.ABC 5.ABD 6.AC 1.A　设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y-4+λ(x2+y2-4x+2y+2)=0,则(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2-4λ)x-(4-2λ)y-4+2λ=0, 则圆心坐标为,代入直线方程x+2y+2=0,可解得λ=-, 故所求圆的方程为-x2-y2+12x-9y-9=0,即x2+y2-8x+6y+6=0. 解题模板　常见的圆系方程 1.以(a,b)为圆心的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0),与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0(D2+E2-4λ>0). 2.过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R). 3.过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)或x2+y2+D2x+E2y+F2=0.为了避免讨论,可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)]=0. 2.C　解法一:由题可知,当所求圆的直径就是已知圆与直线相交所得的弦时,所求圆的面积最小. 圆x2+y2+2x-4y+1=0即(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心坐标为(-1,2),半径为2, 圆心到直线2x-y+3=0的距离d==, 则弦长为2×=, 过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心且和直线2x-y+3=0垂直的直线方程为y-2=-(x+1),即x+2y-3=0, 则所求面积最小的圆的圆心为直线2x-y+3=0与直线x+2y-3=0的交点,联立后解方程组可得圆心为, ∴所求面积最小的圆的方程为+==. 解法二:设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,即(x+λ+1)2+=(λ+1)2+-3λ-1, 设该圆的半径为r,r>0, 则r2=(λ+1)2+-3λ-1=λ2+λ+4=+, 当λ=-时,r2取得最小值,此时圆的面积最小,∴所求面积最小的圆的方程为+=. 3.ABD　对于A,圆Ck的圆心为(k,k),始终在直线y=x上,A正确; 对于B,存在直线m:y=x±2,圆心(k,k)到m的距离d==2,又圆Ck的半径r=2,所以这组圆中的每一个圆都与m相切,B正确; 对于C,将(2,2)代入圆Ck的方程,得k2-4k+2=0,因为Δ=16-8=8>0, 所以该方程有两个不相等的实数解,因此经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误; 对于D,将(3,0)代入圆Ck的方程,得2k2-6k+5=0,因为Δ'=-4<0,所以该方程无实数解, 所以这组圆中的所有圆均不经过点(3,0),D正确. 4.ABC　易知点(0,2)到M中每条直线的距离d==1,即M中的每条直线都是圆x2+(y-2)2=1的切线,所以存在圆心为(0,2),半径大于1的圆与M中所有直线均相交,故A正确; 由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交,故B正确; 由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线均相切,故C正确; 因为M中的直线与以(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,所以不妨取M中的直线AB,AC,BC,DE,它们围成正三角形ADE与正三角形ABC,如图,△ABC与△ADE的面积不相等,故D错误. 知识拓展　圆的切线系方程 直线方程(x-a)cos θ+(y-b)sin θ=r(其中a,b,r均为实常数,且r>0,θ∈R)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆的切线系. 事实上,点(a,b)到此直线的距离d==r,即此切线系中的每条直线都是圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线. 5.ABD　易知圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1, 圆心O到直线l的距离d=. 对于A,因为直线l与圆O相切,所以d==1,解得k=±,A正确; 对于B,当k=时,圆心O到直线l的距离d=,又r1-d=, 故圆O上到直线l的距离等于的点恰有3个,B正确; 对于C,圆C:(x-3)2+(y-4)2=m的圆心为C(3,4),半径r2=,若圆O与圆C恰有三条公切线,则两圆外切,即=1+,解得m=16,C错误; 对于D,当m=9时,圆C:(x-3)2+(y-4)2=9,如图, 当点P在P1位置上时,|P1C|=|OC|-r1=4,此时∠A1P1C>,当点P在P2位置上时,|P2C|=|OC|+r1=6,此时∠A2P2C<, 所以必然有某位置使得∠APC=,即∠APB=,故D正确. 6.AC　对于A,当k=0时,圆C0:x2+y2-4y-2=0,化成标准方程为x2+(y-2)2=6,故半径为,A正确. 对于B,圆C1:x2+y2-2x-4y+3=0,化成标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2,可知圆心为C1(1,2),半径r1=, 圆C4:x2+y2-8x-4y+18=0,化成标准方程为(x-4)2+(y-2)2=2,可知圆心为C4(4,2),半径r4=, 两圆圆心距d==3, 因为d=3>r1+r4=2,所以两圆外离,故|AB|的最大值为d+r1+r4=3+2,故B错误. 对于C,圆C5:x2+y2-10x-4y+23=0,化成标准方程为(x-5)2+(y-2)2=6,可知圆心为C5(5,2),半径r5=, 故圆C4与圆C5的圆心距d'==1, 又r5-r4=->d'=1,故圆C4与圆C5内含,则不存在直线与两圆都相切,故C正确. 对于D,圆Ck:x2+y2-2kx-4y+5k-2=0即(x-k)2+(y-2)2=k2-5k+6, 圆心为Ck(k,2),半径r=, 易知=表示点P(x0,y0)与点连线的斜率t,记M. 圆心Ck(k,2)到直线x=的距离为=>,则圆Ck与此直线相离. 由1<|2k-5|≤3解得1≤k<2或3<k≤4. 因为k2-5k+6=-,其对应函数的图象关于直线k=对称,且1≤k<2与3<k≤4也关于直线k=对称,所以可只分析3<k≤4的情况. 当3<k≤4时,y=k2-5k+6=-单调递增,所以当k=4时,圆Ck的半径最大. 而圆心Ck(k,2)在直线y=2上运动,如图所示,当k=4,直线PM与切线MA重合时,斜率取得最小值. 此时圆Ck:(x-4)2+(y-2)2=2,设切线MA:y=t,即tx-y-t=0. 圆心(4,2)到切线MA的距离为=,化简得t2-24t+8=0, 所以t==12±2,结合图形知t=12-2<24-16,即≥24-16不成立,故D错误. 7.答案　①②④ 解析　对于①②③,由题可知圆M的圆心为M(1+cos θ,2+sin θ),半径r=1,直线l的方程可以写成y=k(x-1)+2,可得直线l过定点(1,2),记A(1,2),易知点A在圆M上,所以直线l与圆M相切或相交,故对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点, 存在实数k与θ,直线l和圆M相切, 不存在实数k与θ,直线l和圆M相离,①②是真命题,③是假命题. 对于④,当直线l与圆M相切时,点A恰好为直线l与圆M的切点,故直线AM与直线l垂直, 当k=0时,直线AM与x轴垂直,则1+cos θ=1,即cos θ=0,解得θ=k'π+(k'∈Z),故存在θ使得直线l与圆M相切; 当k≠0时,若直线AM与直线l垂直,则cos θ≠0, 直线AM的斜率kAM===tan θ, 所以kAM·k=-1,即tan θ=-, 对任意的k≠0,均存在实数θ,使得tan θ=-,从而使得直线AM与直线l垂直. 综上所述,对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,④是真命题. 对于⑤,点M(1+cos θ,2+sin θ)到直线l的距离d=,令θ=0,则当k=0时,d=0;当k≠0时,d=<1,故当θ=0时,d<1恒成立,即直线l与圆M必相交,故此时不存在实数k,使得直线l与圆M相切,⑤是假命题. 综上可得,真命题的序号是①②④. 8.答案　x2+y2=4 解析　∵acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0,a≠b, ∴(a,a2),(b,b2)都在直线xcos θ+ysin θ-2=0上, 故经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的方程是xcos θ+ysin θ-2=0,(切线系方程) 易知点(0,0)到该直线的距离d==2, 故所求圆的方程为x2+y2=4. 7 学科网（北京）股份有限公司 $