3.2.2奇偶性（第2课时）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

3.2.2奇偶性（第2课时） 年级 高一 学科 数学 课型 新授课 教材 人教A版必修第一册 教学目标 1.理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的方法，能利用奇偶性分析函数图像性质。 2.借助函数图像抽象出奇偶性概念，体会数形结合思想，提升抽象概括能力。 3.感受数学对称美，体会从特殊到一般的研究思路，培养严谨的数学思维。 教学重点 函数奇偶性的判断方法；利用奇偶性求参数、求解析式、求值；奇偶性与单调性的综合应用。 教学难点 含参奇偶性的分类讨论；分段函数解析式的转化；利用奇偶性和单调性解不等式时，兼顾定义域并正确转化为自变量大小关系。 教材分析 本节为人教A版高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》第二节《函数的基本性质-奇偶性》（第二课时）。核心内容：函数奇偶性的判断，奇偶函数运算性质，利用奇偶性求参数、求解析式、求值，奇偶性与单调性的综合应用。 本课时在第一课时奇偶性定义及图像对称性基础上，围绕“判断—应用—综合”展开。先以定义域关于原点对称为前提，用 或 判断奇偶性；再通过奇偶函数运算性质与含参问题，深化对定义的理解；最后将奇偶性与单调性结合，解决比较大小、解不等式、求对称区间单调性等问题。该内容体现数形结合、分类讨论和等价转化，是函数性质应用的重要载体，也有助于感受数学对称美。教学重点是奇偶性的判断与应用，以及奇偶性与单调性的综合；难点是定义域优先意识和综合问题中的等价转化。 学情分析 学生已学习函数概念、单调性及奇偶性第一课时，掌握一元一次方程、二次函数、多项式运算、绝对值函数等基础，具备初步的代数变形和图像观察能力。对图像对称和用定义判断奇偶性较易上手，但在含参求参数、分段函数求解析式、抽象函数证明中易忽略定义域优先和分类讨论；在奇偶性与单调性综合中，将不等式转化为 并兼顾定义域较困难。偶函数不等式化为绝对值、奇偶函数在对称区间单调性关系也易混淆。因此，教学难点是综合转化与分类讨论，教学中应强化定义域优先、数形结合和规范表达。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾】 【师生活动】 引导学生共同回顾偶函数、奇函数的定义。 强调前提条件：定义域必须关于原点对称（这是必要不充分条件）。 偶函数图像关于y轴对称，满足 f(-x) = f(x)； 奇函数图像关于原点对称，满足 f(-x) = -f(x)，且若0∈I，则 f(0) = 0。 带领学生梳理判断函数奇偶性的流程图（定义域是否关于原点对称 → 代入 f(−x) 比较） 从生活对称现象切入，激活奇偶性定义旧知，明确本课学习方向，感受数学对称美。 探究点1 函数奇偶性的判断与运算性质 【问题引入】 问题1：判断函数奇偶性应满足哪些条件？ 问题2：若函数 是偶函数， 是偶函数，则 是______。 【师生活动】 教师提问，学生用定义列式验证；教师板演奇偶性运算性质表格。 【详细过程】 问题1： 判断奇偶性三条件：①定义域关于原点对称；②计算 ；③比较 与 或 。结论分类：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数。 问题2： 运算性质可由定义证明，如设 ，若 均为偶函数，则 。 【例题巩固】 1、判断下列函数的奇偶性： （1）；（2） ； （3）； （4） 解：（1）定义域为 ，关于原点对称，，故为偶函数。 （2）定义域为 ，关于原点对称，且 ，有 且 ，故既是奇函数又是偶函数。 （3）定义域为 ，不关于原点对称，故为非奇非偶函数。 （4）定义域为 ，关于原点对称。 当 时，，； 当 时，，。综上，为偶函数。 通过定义判断、抽象证明和图象平移，突破“定义域优先”与“代数验证”难点，培养严谨的数学思维。 探究点2 利用奇偶性求参数、解析式与值 【问题引入/新知导出】 问题：若函数具有奇偶性，如何求参数、求另一区间解析式、求对称点函数值？ 【师生活动】 教师引导“定义域含参数先看对称，解析式含参数用 待定系数”； 学生分组完成列式、验证、比较系数。 【技巧点拨】 （1）定义域含参数：奇偶函数定义域为 ，利用 求参数； （2）解析式含参数：根据 或 列式，比较系数； （3）求解析式：“求谁设谁”，转化到已知区间，利用奇偶性写出 或 ； （4）求值：构造奇函数部分，利用 。 【例题巩固】 1.（1）函数 是偶函数，定义域为 ，求 的值； （2）已知函数 是奇函数，则实数 ______。 解：（1）偶函数定义域关于原点对称，，得 。此时 ，。由 ，得 ，故 。 所以 。 （2）由奇函数有 ，即 ，故 。 2.若 是定义在 上的奇函数，当 时，，求 的解析式。 解：（1）当 时，。 当 时，，。 由于 是奇函数，。 故 追问：本例条件不变，求f(－2)的值 =-3。 3.已知 ，，则 ______。 【答案】 通过参数、解析式、求值三类问题，形成利用奇偶性解决代数问题的通法，提升待定系数与转化能力。 探究点3 函数单调性与奇偶性综合 【问题引入】 问题1：已知 是偶函数且在 上单调递减，则 ____。 答案：。 问题2：已知函数 的局部图象，能否求函数的单调区间？ 结论：偶函数在对称区间上单调性相反；奇函数在对称区间上单调性相同。 【师生活动】 教师演示图象，学生填写单调区间。 【详细过程】 偶函数： 单调递减区间：，； 单调递增区间：，。 奇函数： 单调递减区间：，； 单调递增区间：，。 【例题巩固】 1、（1）已知函数 在定义域 上是奇函数，又是减函数，若 ，求实数 的取值范围； （2）定义在 上的偶函数 在区间 上单调递减，若 ，求实数 的取值范围。 解： （1） 由 ，得 。 又 在 上单调递减， 所以 ，解得 ， 即 。 （2）偶函数满足 ，所以 等价于 。 结合定义域得到 ， 解得 即 。 技巧点拨：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。解不等式时要注意函数定义域对参数的限制。 通过图象与代数结合，突破奇偶性、单调性综合应用难点，提升数形结合与严谨推理能力。 课堂小结 板书设计 3.2.2奇偶性（第2课时） 一、判断与分类 前提：定义域关于原点对称 偶函数： 奇函数： 分类：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数 二、奇偶性的应用 1.求参数 o定义域关于原点对称 o由 或 列式 2.求解析式 o求谁设谁 o转化到已知区间 o利用奇偶性写出 或 3.求值 o构造奇、偶部分，利用 4.奇偶性与单调性综合 o奇函数：对称区间单调性相同 o偶函数：对称区间单调性相反 o解不等式注意定义域限制 三、易错提醒 定义域优先，不关于原点对称直接非奇非偶 奇函数若 在定义域内，则 分段函数需分段验证 偶函数不等式： 四、典型题型 判断奇偶性、求参数、求解析式、求值、解不等式、图像补全。 随堂练习 【题型1 函数奇偶性的判断】 1.（1）已知函数 ，若对于任意实数 都有 ，求证： 为奇函数。 （2）若 ，判断其奇偶性。 解：（1）令 ，则 ，所以 。 令 ，则 ，所以 。 又定义域为 ，关于原点对称，故 是奇函数。 （2）①当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)，则函数f(x)为偶函数； ② 当 时，，取 ，得 ， 取 ，得 ， 则 ，， 即 ，，则函数 既不是奇函数也不是偶函数。 综上所述，当 时，函数 既不是奇函数也不是偶函数；当 时，函数 为偶函数。 2、已知 ，则下列函数中为奇函数的是（ B ） A. -1　 B. -2 　C. 　D. +1 解：的图象关于点 中心对称，将其图象向左平移1个单位长度、向下平移2个单位长度后，所得图象关于原点中心对称，所以 -2是奇函数。 【题型2 利用奇偶性求参数、解析式与值】 1.（1）若函数 是偶函数，求 的值； （2）若函数 是奇函数，求 的值。 【答案】， 2.已知 是定义在 上的偶函数，那么 的值是 ______。 【答案】 3.已知 是定义在 上的奇函数，那么 的值是 ______。 【答案】 4.已知函数 为上的偶函数，且当 时，，则当 时，求此时 的解析式。 解：因为当 时，，则 。 因为 为 上的偶函数， 所以当 时，。 5.已知函数 是 上的奇函数，且当 时，，则 在 上的解析式为 ______。 【答案】 6.已知 ，，则 = ______。 【答案】 7.已知 ，，则 = ______。 【答案】 【题型3 函数单调性与奇偶性综合】 1.若对于任意实数 总有 ，且 在区间 上是增函数，则（ D ） A. B. C. D. 2.若偶函数 在区间 上是增函数且最小值是6，则 在 上是（ C ） A. 增函数，最大值是6　 B. 增函数，最小值是6　 C. 减函数，最小值是6　 D. 减函数，最大值是6 3.已知定义在 的奇函数 在区间 上是减函数，若 ，求实数 的取值范围。 解：奇函数在 上也为减函数。由定义域与单调性得 。 解得 ，即 。 4.已知函数f(x)的定义域为[−2，2]，且f(x)在[−2，0]上是增函数，若f(1−m)<f(m)，则实数m的取值范围为（ C ）。 A.(，+∞)　　B.(−∞，)　　C.(，2)　　D.[−2，) 5.若对于任意实数x总有f(−x)=f(x)，且f(x)在区间(−∞，−1)上是增函数，则（ B ）。 A. f(−) < f(−1) < f(2)　　B. f(2) < f(−) < f(−1) C. f(2) < f(−1) < f(−)　　D. f(−1) < f(−) < f(2) 教学反思 本课时以奇偶性的应用为主线，围绕判断、求参、求解析式、求值及与单调性综合展开。目标达成度较高：多数学生能按“定义域优先—验证 ”判断奇偶性，能利用奇偶性转化求解析式和参数。学生学习难点主要在：含参定义域关于原点对称易遗漏；偶函数不等式转化为 后比较绝对值时，忽略定义域限制；奇函数化符号后脱去 ，对单调方向判断不熟练。改进方向：增加“定义域先行”的对比板演和小组纠错；用表格强化“奇同偶反”；在解不等式题中留足建模、讨论时间，训练等价转化与规范书写；作业分层，兼顾基础巩固与探究提升。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $