专题11 二次函数 （1年汇编）（江苏专用）2026年中考数学真题分类汇编

专题11 二次函数 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 二次函数的图像与性质 2026 南通卷、2026 徐州卷、2026 无锡卷、2026 淮安卷、2026 常州卷 以选择、填空、中档解答题为主；考查抛物线的增减性、顶点、对称轴、图像平移，二次函数与一次函数结合解不等式，根据图像判断相关结论，结合自变量范围比较函数值大小，是二次函数基础核心考点。 考点 02 二次函数与实际问题 2026 镇江卷、2026 淮安卷、2026 盐城卷、2026 南通卷、2026 宿迁卷、2026 无锡卷 多为解答应用题，依托桥拱、火箭升空、铅球投掷、沙包游戏、几何拼接等真实情境，建立抛物线模型，求函数解析式、最值、自变量或函数值，侧重数学建模能力。 考点 03 二次函数与几何图形 2026 苏州卷、2026 连云港卷、2026 扬州卷 题型含选择、填空、解答；常结合矩形、正方形、梯形等几何图形，动点背景下求线段最值、面积函数图像，抛物线与几何图形结合，融合翻折、正方形性质，综合性较强。 考点 04 二次函数综合问题 2026 徐州卷、2026 镇江卷、2026 苏州卷、2026 扬州卷、2026 连云港卷、2026 常州卷 压轴解答题，新定义、动点、图形相似、线段平移、旋转等多模块融合；考查求解析式、自变量区间内的最值、参数范围、存在性问题，对代数运算和几何推理要求高。 考点01 二次函数的图像与性质 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 4．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 5．（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 考点02 二次函数与实际问题 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 2．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 3．（2026·江苏盐城·中考真题）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 4．（2026·江苏南通·中考真题）综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 5．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 6．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 考点03 二次函数与几何图形 1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，四边形中，，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路径向终点运动，同时点从点出发，以同样速度沿边向终点运动．设的面积为，运动时间为（），则关于的函数图象大致为（     ） A．B．C．D． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）如图1，在边长为1的正方形中，E是边上的动点（不与点A，D重合）．将沿翻折，得到．过点F作，，垂足分别为M，N． (1)如图2，若，求的值； (2)如图3，若E为中点，则的长为_______，的长为_______； (3)求点E运动过程中的最大值． 考点04 二次函数综合问题 1．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，我们将经过点且垂直于y轴的直线记作“直线”．如果它与二次函数（a，h，k为常数，且）的图像（顶点记为C）有两个公共点，记为A，B（点A在点B的左侧），，我们称直线为该二次函数图像的截线． 已知二次函数． (1)顶点C的坐标为__________． (2)直线（即x轴）是该二次函数图像的截线．若，求点B的坐标以及a的值． (3)直线是二次函数图像的截线． ①已知，求t的值； ②已知，用含a的代数式表示t；（直接写出结果） ③若直线恰好又是二次函数图像的截线，当时，请直接写出t的取值范围． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R． ①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______； ②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______； ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． (1)直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； (2)若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围； (3)设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的与相似，求点P的坐标． 6．（2026·江苏常州·中考真题）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 4．（2026·江苏盐城·三模）小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2026·江苏泰州·三模）已知点，，在下列某一函数的图像上，且，那么这个函数是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏南通·三模）将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏苏州·三模）已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（     ） A．x1=-，x2= B．x1=，x2= C．x1=2-，x2= D．x1=，x2= 10．（2026·江苏苏州·三模）如图，在矩形中，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（     ） A．3 B．7 C． D． 11．（2026·江苏泰州·三模）若二次函数()的图象经过，，三点，则的值可能是（     ） A． B． C．0 D．3 12．（2026·江苏苏州·二模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；若满足时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是，若点在二次函数的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（     ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 14．（2026·江苏泰州·三模）如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 15．（2026·江苏南通·二模）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点叫做自反点．下列函数的图象中不存在自反点的是（     ） A． B． C． D． 16．（2026·江苏泰州·二模）平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 17．（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数．其图象上有一段连续曲线，对应的自变量取值范围为，且满足．该段曲线被两条平行于轴的直线、完全包含（即曲线上任意一点都在两直线之间或直线上）．若直线与之间的距离为16，则的最大值为（     ） A．8 B．7 C．6 D．4 18．（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 19．（2026·江苏南通·模拟预测）已知二次函数（且为常数），当时的函数值，则当时的函数值与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 20．（2026·江苏南通·三模）如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一动点，过点分别作，，垂足分别为点，，设，．若关于的函数图象如图2所示，点和都在函数图象上，，则下列选项正确的是（     ） A． B．当时， C．点在该函数图象上 D．该函数图象的最高点的纵坐标为 21．（2026·江苏苏州·二模）定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①，②，③若，则，④若该函数图象的对称轴为直线，则，其中正确的是（     ） A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 22．（2026·江苏苏州·二模）已知抛物线向左平移个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物线关于轴对称，则的值是（    ） A．－ B． C．－ D． 23．（2026·江苏连云港·二模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，其中． 若该二次函数的图像的顶点坐标为，则关于这个二次函数的下列结论中： ①；②图像一定不经过第三象限；③；④．正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2026·江苏无锡·二模）若一个函数的图象上存在点，满足，则称该函数为“绝对不动点函数”，这个点为该函数图象上的一个绝对不动点．例如：对于函数图象上的点，因为，则我们称函数为“绝对不动点函数”，点为该函数图象上的一个绝对不动点．下列说法： ①一次函数是“绝对不动点函数”，且只有1个绝对不动点； ②反比例函数一定是“绝对不动点函数”，且一定有4个绝对不动点； ③若二次函数是“绝对不动点函数”，且有4个绝对不动点，则或； ④若二次函数的顶点为绝对不动点，则的取值范围为． 其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 25．（2026·江苏淮安·二模）已知实数，满足，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 26．（2026·河南郑州·模拟预测）如图1，矩形中，点沿从点运动到点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，设点的运动路程为，的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 27．（2026·江苏泰州·一模）一次函数（k、b为常数，k≠0）的图象与二次函数（a为常数，）的图象有两个交点．设两个交点的横坐标分别为、，下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 28．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，，，动点P，Q同时从点出发，动点以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．设运动时间为，的面积为，则与的函数图象应为（    ） A．B．C． D． 29．（2026·江苏扬州·一模）某同学利用计算机软件绘制函数 （m，n为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结论中选项正确的是（   ） A． B． C．该函数自变量x的取值范围为一切实数 D．方程有两个不等实数根 30．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接． ①点E在的内部； ②的长为； ③若P与C重合，则； ④在P的运动过程中，若，则； ⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是． 则正确的选项为（    ） A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 31．（2026·江苏扬州·三模）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 32．（2026·江苏盐城·三模）在中，，的面积是，则的最大值是_________． 33．（2026·江苏宿迁·三模）如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． 34．（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 35．（2026·江苏南京·二模）如图，的顶点，分别在的边，上，，在边上，则的最大值为______． 36．（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 37．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 38．（2026·江苏南通·一模）定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 39．（2026·江苏南通·一模）若时，二次函数的最小值为，则________________． 40．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，D是的中点，M是边上的动点，作，交于点N，延长到点P，使得，则________；当面积最大时，的长等于________． 41．（2026·江苏南京·三模）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 42．（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 43．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知二次函数（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点，且过点． (1)求a与b的关系式． (2)若，当时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． (3)在（2）的条件下，若点，点两点在该函数图象上，且，求t的取值范围． 44．（2026·江苏南通·三模）已知抛物线与轴交于，（点在点的左侧），与轴交于点，且．        (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)如图，若为轴正半轴上一点，作直线，分别与抛物线交于，两点，试判断是否为定值，若其值为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由； (3)如图，，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 45．（2026·江苏盐城·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班男、女生组各需要报9名跳绳同学； （2）每班另选2名摇绳同学； （3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面，摇绳位置之间的水平距离为，且摇绳位置，到地面的距离均为．以地面上的点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 (1)任务一确定长绳形状 根据素材，求出图2中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式． (2)任务二探究站位碰绳问题 该班男生组选取9名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？ 身高（） 人数 2 4 2 1 (3)任务三拟定位置方案 该班女生组挑选出身高都为的9名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持的间距．当9名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围． 46．（2026·江苏苏州·二模）如图1，二次函数（、是常数，）的图像与轴交于点，． (1)填空：_________，_________； (2)若直线与二次函数的图像交于点、． ①若直线上方的抛物线上存在一点，使得的面积最大，求出最大值和点的横坐标； ②如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你求出此定值并说明理由． 47．（2026·江苏盐城·二模）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台一一安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕如图②所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点F处，左端从抛物线上的点D处拉一条绳索固定，交x轴于点G，点E、F在边上，边与平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于2米； 2．与y轴之间的距离为米，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，米，米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 48．（2026·江苏扬州·三模）综合实践 问题情境：校园为优化夜间操场照明，在操场上方架设高空射灯投射装置，灯光在地面形成的照明边界轮廓可近似看作抛物线． 建立如图1所示的平面直角坐标系，该抛物线解析式为，灯光与地面（x轴）交于点和点B，灯光发射口在y轴上的点C处，且发射口高度． (1)直接写出抛物线的解析式及直线的解析式； (2)如图2，该抛物线的顶点D为射灯最高照射点位，为监测灯光边界的地下延伸范围，在边界点A处布设地下预埋激光探测线，其解析式为，探测线与抛物线在第四象限交于点E，求的度数． (3)若点P是该抛物线上任意一点，作轴垂足为点Q，直线交直线于F，再过点F作x轴的垂线垂足为R，为安装照明感应监控设备，要求线段最短，求此时点P的坐标及的最短长度． 49．（2026·江苏盐城·三模）如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点在直线AC上方的抛物线上时，连接、，交于点， 过点作轴的垂线交于点，求的最大值； 若 ，则的取值范围__________； (3)如图2，将抛物线的顶点平移到（0，1），此时新抛物线交轴于、两点（在的左侧），若点为轴上方新抛物线上任意一点，过作直线（直线不与轴垂直）与新抛物线仅有一个公共点，在点的上方是否存在一点，使得直线与、分别交于点、，且为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 50．（2026·江苏镇江·二模）如图，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)如图，将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方的抛物线上的一动点，点关于直线的对应点为点，连接交于点．在点的运动过程中，求线段长度的最大值； (3)若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有两个动点，，（点在点的左侧），、两点之间的图象（含，两点）的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11二次函数 1年真题1年模拟 一年真题分类园 考点01二次函数的图像与性质 1.D 2.B 3.C 4. 【答案】①③④ 5. 【答案】1)-2 (2)t的取值范围为-2<t<0或2<t<4。 3 6)m的值为5· 考点02二次函数与实际问题 1.C 2. 【答案】()建立平面直角坐标系如图： 6 (OD B 3 抛物线表达式为y= x2+6 75 1/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 392 2)拱顶C到水面的距离为75 m 3. 【答案】I)火箭点火后13s降落伞将打开. (2)解：火箭上升过程中，不存在经过5s恰好上升75m的情形；理由如下： 当h=75时，得-t2+26t+1=75, 整理，得2-26t+74=0, :△=(-26)2-4×1×74=380>0 1=26±380-13±95 故方程的两个不相等的实数根为： 2 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：0≤t≤13， 13+V95>13 ∴，t=13+V95 不在范围内，舍去： t=13-95<13 ∴.t=13-V95 在时间范围内， t=13-V95≠5 故火箭上升过程中，不存在经过5s恰好上升75m的情形. 4. 2 【答案】(I)y=- x2 25 、10√2m (2 5. 21 【答案】(1)a=- 160 2/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17 (2) sas-2 90 5 1 -7-9 6a= q= 10或 80 6. 【答案】（①）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 5m 10m 由影意可如。跳物线的顶点坐标是侣2），且经过点Q1) 设抛物线的解析式为'=a(x-3)+2(a≠0) 其中x>0 将点015)代入得：(0-3a+2=1.5 1 解得4=18， 抛物线的解新式为=-3+2(：>0)， 当y=0时，x-3+2=0, 解得x=9或x=-3<0(不符合题意，舍去)， ,9≠10 .沙包不能正好命中靶心. 19 (②)沙包达到最高点时距离地面10米 考点03二次函数与几何图形 1.C 2.A 3. 【答案】5 3/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4. 【答案】(1)1 53 (2)5,5 9 8 考点04二次函数综合问题 1. 【答案】I)a,c的值分别为-1,3 (2)-2或2 6)2-5sn-m≤5-巨成5+V2≤m-m≤2+5 或 2. 【答案】4，-3) (2)点B的坐标 (2,0)a=3 6)0,-6:@1=4 1-3:③-3<1 3 【答案】1)m=-2n=-8 2①n2-1,②m=2W2,m,=-22,m=2V6,m,=-2√6 【答案】0榄物线的函数表达式为'=-+2x+1,顶点坐标为么2) 203sps6②h≥25 4 ③点M的坐标为1-V5,-)或(-2+V5,65-10) 【答案】)y=(x-4)-4=-8x+12.y=-2x+12 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a60≤+号+<76 14 ©)点P的坐标为了0威(9,0) 6. 【答案】)少=r2+3 739 -3W2-39 224)或 2’4 17) 327 8)2'4或(24或(3,18) 一年摸拟练测园 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C A D 0 0 0 D C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D D 0 C 以 A D 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 B D B D B D C D D 0 31.3 32. √2+1 3.80V5 1 34.2n≤1 35.205 36. -3-5<m<0 2 37.①③④ 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 3v10 38. 39.5 40 40.75 41.1)y=- r+10(-10sxs10) (②)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F理由如下： 如图，连接QF, F P E ,点P到点A的水平距离为2m, 5=-8.=0(-9+10=36, :P-83.6) :P2=1.6m, :0(-852) :山高为331m，,山顶F到点A的水平距离为364m. .CE=354. :F354,331 设直线QF为y=xr+b, -8k+b=5.2 k=0.9 354k+b=331,解得：b=12.4, 6/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴直线QF为y=0.9x+12.4 09x+124-(02+10 =0.1x2+0.9x+2.4 =0.1(x2+9x)+2.4 ∴人眼在点处能直接看到山项F ②() 42.①)对称轴x=1,交点坐标 0,11) (②)a>7 3 8)2<a<0 43.(1)b=-2a (2)a=-1 e时1<3 4.(Q)该函数表达式为=r-2x-3 点A坐标为 -1,0) 1 (②)是定值，为g 3) 证明：设M(m,m-2m-3列Na,n2-2m-3) 设直线MN的解析式为y=la+b, mk+b=m2-2m-3 .nk+b=n2-2n-3, 7/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k=m+n-2 解得b=-mn-3, “直线MW的解析式为'=(m+n-2x-m-3。 同理，直线 BN:y=(1+n)x-3n-3 直线CM:y=(m-2x-3 :直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2x-9上， “设直线8V与直线CM的交点坐标为么，21-9) :21-9=(0+nj1-3n-3,21-9=(m-24-3 1=3m-6-6 n-1m-4 ∴.mn=2(m+n)-6 MN:y=(m+n-2)x-2(m+n)+6-3=(m+n)(x-2)-2x+3 直线 :当x=2时，y=1, ÷直线N必经过定点2-) 定点坐标为(2，) 1 45.①)y=- (x-4)2+2 16 (2)不会，理由如下： 物线对应的函数表达式为少6-4+2，对称轴 由题意知，最右侧的同学身高为1.60m,且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为4+4×0.6=6.4. 将x=64代入=心-4+2中附：y=14 8/10 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的16： 即为160x5-15nm 16 .1.64>1.5, ∴当绳子在最高点时，同学们正屈膝落地，长绳不会触碰到最右侧的同学； 64-22<d<2V2 46.1)-1,2 27 2)D。4CP面积最大值为8，点p横坐标为2：②MN长度不变，定值为3√2 4.0p=4+2+1 ②Mp与舞台平面1之间的距离符合要求，素的长度DE=补X 16米. 481)y=22-2x+6,y=x+6 (2)45° 62+0,3)或2-0,3,35 49.1)y=-r-2x+3 204:②0<k 9 16 3)存在， M(0,2) 、1 50.()a=2;y=x-6 9√2 (2)2 9/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2m2-5m+6(ms-2） 3)h= m2-4m+8(-2<m≤2) 1 -2m+6(2<m<3) 10/10 专题11 二次函数 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 二次函数的图像与性质 2026 南通卷、2026 徐州卷、2026 无锡卷、2026 淮安卷、2026 常州卷 以选择、填空、中档解答题为主；考查抛物线的增减性、顶点、对称轴、图像平移，二次函数与一次函数结合解不等式，根据图像判断相关结论，结合自变量范围比较函数值大小，是二次函数基础核心考点。 考点 02 二次函数与实际问题 2026 镇江卷、2026 淮安卷、2026 盐城卷、2026 南通卷、2026 宿迁卷、2026 无锡卷 多为解答应用题，依托桥拱、火箭升空、铅球投掷、沙包游戏、几何拼接等真实情境，建立抛物线模型，求函数解析式、最值、自变量或函数值，侧重数学建模能力。 考点 03 二次函数与几何图形 2026 苏州卷、2026 连云港卷、2026 扬州卷 题型含选择、填空、解答；常结合矩形、正方形、梯形等几何图形，动点背景下求线段最值、面积函数图像，抛物线与几何图形结合，融合翻折、正方形性质，综合性较强。 考点 04 二次函数综合问题 2026 徐州卷、2026 镇江卷、2026 苏州卷、2026 扬州卷、2026 连云港卷、2026 常州卷 压轴解答题，新定义、动点、图形相似、线段平移、旋转等多模块融合；考查求解析式、自变量区间内的最值、参数范围、存在性问题，对代数运算和几何推理要求高。 考点01 二次函数的图像与性质 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 3．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 4．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 5．（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【答案】(1) (2)的取值范围为或． (3)的值为． 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求得的值． （2）先令求得，再令和分别求得的值，最后结合函数图像即可求得的取值范围． （3）先用待定系数法求得直线的函数表达式，从而得到点，，，的坐标，再结合得到，的长，进而得到关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质即可求得当最大时的值． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ， 解得． （2）解：由（1）知，二次函数表达式为． 令，得． 令，得， 解得或． 令，得， 解得或． 如图，结合函数图像可知，当时，函数值介于与5之间，对应的自变量分为两段，当点，在抛物线上，且时，的取值范围为或． （3）解：如图 令，得， 解得或． ． 令，得， ． 设直线的函数表达式为． 将点，的坐标分别代入． 得 解得 直线的函数表达式为． ， ． 由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方， ，， ， ，抛物线开口向下，二次函数在处取得最大值． 又，满足题设条件， 当时，取得最大值，即当最大时，的值为． 考点02 二次函数与实际问题 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 【答案】C 【分析】设，用含的代数式表示六边形面积，利用二次函数性质求最小值. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； ， 同理； ∴ 六边形的面积 ； 点在边上， ， 即， 解得； ，且二次项系数， 当时，取得最小值 33. 2．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 (2)拱顶到水面的距离为 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 3．（2026·江苏盐城·中考真题）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 【答案】(1)火箭点火后降落伞将打开． (2)解：火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形；理由如下： 当时，得， 整理，得， ， 故方程的两个不相等的实数根为：， 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：， ， 不在范围内，舍去； ， 在时间范围内， ， 故火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形． 【分析】（1）将解析式配方，得，根据函数的性质，确定函数取得最大值条件即可； （2）令函数值等于75，建立一元二次方程，求得方程的两个根，根据方程的根，判断是否有一个根是5，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， 当时，函数取得最大值， 故火箭点火后降落伞将打开． （2）解：略． 4．（2026·江苏南通·中考真题）综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 （2）解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 5．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 6．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 考点03 二次函数与几何图形 1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，然后证明，表示出，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则 ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 将代入得，． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，四边形中，，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路径向终点运动，同时点从点出发，以同样速度沿边向终点运动．设的面积为，运动时间为（），则关于的函数图象大致为（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，先求得，，根据三角形的面积公式，分成当在上时，即时，当在上时，即时，当在上且未到达时，即时，当在上且到达后，即时，分别求得函数解析式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 过点作于点， 当在上时，即时，如图所示， ∴， ∴，函数图象为开口向上的抛物线，C，D不符合题意； 当在上时，即时， ∴， ∴，函数图象为直线的一部分， 当在上且未到达时，即时， ∴， ∴， ∴，函数图象为开口向下的抛物线，故B不符合题意； 当在上且到达后，即时， ∴，函数图象为直线的一部分，故A符合题意． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）如图1，在边长为1的正方形中，E是边上的动点（不与点A，D重合）．将沿翻折，得到．过点F作，，垂足分别为M，N． (1)如图2，若，求的值； (2)如图3，若E为中点，则的长为_______，的长为_______； (3)求点E运动过程中的最大值． 【答案】(1)1 (2)， (3) 【分析】（1）根据翻折可得，根据角平分线定理可得平分，可得，进而可得，即可求出的值； （2）根据翻折可得，计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法计算即可，再证得四边形为矩形，，得到，即可解出的长； （3）如图，延长交于，连接，证明，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后表示出后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：延长交于， ∵正方形的边长为1，且E为中点， ∴，，，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，，， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，延长交于，连接 由翻转得，点A，M，F三点共线， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∴，， ∴ ∴ 整理得， ∴ ∵ ∴当时，取得最大值． 考点04 二次函数综合问题 1．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，我们将经过点且垂直于y轴的直线记作“直线”．如果它与二次函数（a，h，k为常数，且）的图像（顶点记为C）有两个公共点，记为A，B（点A在点B的左侧），，我们称直线为该二次函数图像的截线． 已知二次函数． (1)顶点C的坐标为__________． (2)直线（即x轴）是该二次函数图像的截线．若，求点B的坐标以及a的值． (3)直线是二次函数图像的截线． ①已知，求t的值； ②已知，用含a的代数式表示t；（直接写出结果） ③若直线恰好又是二次函数图像的截线，当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)点B的坐标为； (3)①；②；③ 【分析】（1）根据顶点式的性质即可得解； （2）由抛物线对称性可知，对称轴垂直平分弦，即且．先由得，结合算出，得；再将代入解析式即可求出． （3）①将代入抛物线解析式，解得点横坐标，进而得；顶点到直线的竖直距离．由得，列方程求解后舍去顶点值，最终得；②同理求解得出，，代入正切定义化简得，将代入，两边平方后整理等式，即可解出；③先对同理推导得，由得，分、两类解不等式，同时结合“直线与两抛物线均有两个交点”的定义域限制，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，顶点的坐标为； （2）解：∵直线是截线， ∴， 对称轴与交于点，如图： 由二次函数的性质可得，， ∵点的坐标为， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 将代入中， 得 解得； （3）解：①作出二次函数的对称轴交直线于点D，如图： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点为最高点，且直线与抛物线有两个交点， ∴， 将代入中， 得 或 解得或， ∴点B的横坐标为， ∴， 由图可得，， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去），； ②作出二次函数的对称轴交直线于点D，如图： 或 将代入中， 得 或 解得或， ∴点B的横坐标为， ∴， 由图可得，， ∴， ∵直线与抛物线有两个公共点， ∴且， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得； ③作出图象，其对称轴交直线于点， 或 ∴， 将代入中， 得 解得或， ∴点的横坐标为， ∴， 由图可得，， ∴， 由②可得，， ∵和都是锐角，且， ∴， ∴ ， 当时， 解得， ∵两个抛物线都有两个交点， ∴对于，， ∴ 解得， 对于，， ∴ 解得， ∴； 当时， 解得， ∵两个抛物线都有两个交点， ∴对于，， ∴ 解得， 对于，， ∴ 解得， 此时，与且无交集，此情况无解． 综上所述，t的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数新定义题型，通用解题模型为：利用抛物线轴对称性构造直角三角形，将角度条件转化为，实现几何条件代数化．常见错误有忽略直线与抛物线相交的定义域限制、含参不等式未分类讨论的正负．避坑关键：先确定的取值边界，参数问题优先按开口方向分类讨论． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把，代入求解即可； （2）①先求出的最小值为，根据吸收函数定义写出表达式为，根据二次函数的性质得出，化简得，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可； ②过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出，解方程求出A、B两点的横坐标分别是则，根据为“吸收函数”的顶点，得出，根据可求出，结合的面积为4得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得， 解得； （2）解：①， 的最小值为． 由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得． ， ， ，即， 为一次函数的系数即， 考虑到当时，， 但当时，， 故可取， 综上所述，； ②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为． 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：， 即． 解得． ∴点的横坐标分别是 ， 为“吸收函数”的顶点， ， ． ． 的面积． 的面积为， ， 解得． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R． ①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______； ②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______； ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点坐标为 (2)①   ②    ③点M的坐标为或 【分析】（1）将点和分别代入，即可求得抛物线的表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标； （2）①根据题意知点，可得，再分当点N在点M上方的抛物线上时，当点N在点M下方的抛物线上时，两种情况分别求得矩形宽度的最小、最大值即可得出取值范围； ②根据题意得到矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称，再由矩形R的水平宽度，得，进而得，可得矩形R的垂直高度h的取值范围； ③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时， 第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可． 【详解】（1）解：将点和分别代入，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴它的顶点坐标为； （2）①解：根据题意知点， 当时，， ∴， 当点N在点M上方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， ∴点N的纵坐标为2，即，此时，矩形宽度的最小值为； 当点N在点M下方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， 当时，，解得(舍去)或， ∴，此时，矩形宽度的最大值为． 综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是 ； ②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称， ∵矩形R的水平宽度， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴矩形R的垂直高度h的取值范围是； ③解：根据题意设，则， 第一种情况：当，即时，， ∴(舍去)； 第二种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第三种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第四种情况：当时，， ∴(舍去)； 综上，点M的坐标为或． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． (1)直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； (2)若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围； (3)设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点分别代入两次平移后的解析式，解出m的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出解析式即可． （2）设直线l：，根据已知条件得出a的取值范围，再联立直线l与抛物线和直线，得出，根据抛物线可知代入，最后得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可． （3）连接，过点D作轴，垂足为E．根据正切的定义得出，进而可得出点P在点B的左侧．则存在或．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解即可得出答案． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， ∴公共解为， 把代入， 得出抛物线对应的函数表达式为； 令， 则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设的解析式为， 则， 解得 ∴直线对应的函数表达式为． （2）解：如图1，设直线l：， ，， ． ∵直线l与抛物线和直线都相交， ∴可列方程 得． ， ∵抛物线的对称轴是， ， ． 又， ． ∵， ∴抛物线开口向上， 又， ∴当时，y取得最小值为60，当时，y取得最大值为， ． 即． （3）解：如图2，连接，过点D作轴，垂足为E． ∵抛物线， ∴顶点． ∴， 由（1）可知，，，，，，， ∵， ， ． 与相似， ∴点P在点B的左侧． ∴存在或． 当时， 则， 得 ． ∴点． 当时， 有， 得 ， ∴点． 综上，使与相似的点P的坐标为或． 6．（2026·江苏常州·中考真题）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：若点B恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：（不符合题意）， 此时点C的坐标为； 若点C恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移4个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：∵， ∴可设，则， ∴点F的坐标为或 设直线的解析式为， ∴，或 解得：或 ∴直线的解析式为或， ∴， 由旋转的性质得：， 如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用，难度较大． 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 3．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 4．（2026·江苏盐城·三模）小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵将对称轴左侧的图象作关于轴对称， ∴图象关于点中心对称， ∵这20个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……，， ∴， ∵，， ∴当时，，当时，， ∴． 5．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴函数顶点坐标为． ∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得， ∴判别式， 解得． ∵， ∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点坐标在第四象限． 6．（2026·江苏泰州·三模）已知点，，在下列某一函数的图像上，且，那么这个函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性质，结合题干给出的横坐标大小关系和纵坐标的大小要求，逐一排除不符合的选项，即可得到结果． 【详解】解：已知三个点横坐标满足，由，逐一分析选项： A选项，对于，随增大而增大， ， ，不符合要求，排除； B选项，对于，由可知，函数图像开口向上， 当时，， 当时，， 当时，点离对称轴最远，函数值最大，即最大，不符合要求， 当时，点离对称轴最远，函数值最大，即最大，不符合要求，； C选项，对于，函数图象在第一、三象限， 若，则，不符合要求； 若或，随的增大而减小，即，不符合合要求； 若，，不符合合要求； D选项，对于，当时，满足， 前两个点在第二象限，第三个点在第四象限； ，第二象限内随增大而增大， ，且为正数，为负数， 因此满足，符合条件． 7．（2026·江苏南通·三模）将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规则得到新抛物线顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线向左平移个单位，顶点横坐标减，纵坐标不变 ∴新抛物线顶点横坐标为，纵坐标仍为 即新抛物线的顶点坐标为． 8．（2026·江苏苏州·三模）已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 9．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（     ） A．x1=-，x2= B．x1=，x2= C．x1=2-，x2= D．x1=，x2= 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，先由已知点求出二次函数的常数项和对称轴，将所求方程变形为二次函数的形式，结合已知点和对称性即可求出方程的解． 【详解】点在二次函数的图象上， ，二次函数解析式为， ，纵坐标相等， 二次函数的对称轴为直线， 方程变形得，即求二次函数时的值， 点在二次函数图象上， 是方程的一个解， 设方程的另一个解为，由对称性得， 解得， 方程的解为，． 10．（2026·江苏苏州·三模）如图，在矩形中，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（     ） A．3 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】当点F在左侧时，过点作交于，交于点，先证明，得到，设，则．，，当点F在左侧时，则，当点F在右侧时，同理可得，由勾股定理得，然后由求二次函数最值的方法，求解即可． 【详解】解：当点F在左侧时，过点作交于，交于点，如图， ∵矩形， ∴，，，，， ∵， ∴ ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， 设，则． ， ，， 则， ， 当时，的最小值为， 当点F在右侧时，过点作交延长线于，交延长线于点，如图， 同理可得， ， 当时，的最小值为， ∵， ∴长的最小值是． 11．（2026·江苏泰州·三模）若二次函数()的图象经过，，三点，则的值可能是（     ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】先根据二次函数过和求出对称轴，根据判断开口方向，得到开口向上时点到对称轴的距离越远，函数值越大，再比较、两点的函数值大小，推导得到的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：在二次函数，当时，， ∴二次函数过点， 又∵图象过，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，到对称轴的距离为，计算得， ∴， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵点横坐标为，到对称轴的距离为， ∴，解不等式得，观察选项，只有在该范围内，因此的值可能是． 12．（2026·江苏苏州·二模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；若满足时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是，若点在二次函数的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据限变点的定义，分和两类讨论，结合二次函数的增减性求出的范围即可． 【详解】解：首先将二次函数配方得：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小， ∴分两种情况讨论： 1.当时，由限变点定义得， ∵该区间在对称轴左侧，随增大而增大， 当时，；当时，， ∴， ∴； 2.当时，由限变点定义得， ∵对称轴在该区间内， ∴当时，取最大值；当时，取最小值， ∴， ∴； 综上，合并两个区间得的取值范围是． 13．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 14．（2026·江苏泰州·三模）如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据函数图象确定运动停止的时间，结合直角三角形角的性质求出的长，用表示出和的长，利用三角形面积公式建立与的函数关系式，利用二次函数的性质求最大值 【详解】解：设， 在中，，， ，. 点、的速度均为1， 点到达终点需秒，点到达终点需秒. ， 点先到达终点. 由图可知，运动总时间为秒， ， ， 解得， ， 由题意得：，，则， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值， ，且， 当时，． 15．（2026·江苏南通·二模）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点叫做自反点．下列函数的图象中不存在自反点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据自反点定义，自反点坐标满足，若函数图象不存在自反点，则联立函数与得到的方程无实数解，联立方程判断解的情况即可得到结果. 【详解】解：∵自反点的横纵坐标互为相反数， ∴若函数存在自反点，则联立与函数方程有实数解； 对选项A：解，得， 解得，方程有解，存在自反点； 对选项B：联立，得， 即，方程有实根，存在自反点； 对选项C：联立，得， 整理得， 判别式，方程无实根，不存在自反点； 对选项D：联立，得， 整理得， 判别式，方程有实根，存在自反点； ∴不存在自反点的是选项C. 16．（2026·江苏泰州·二模）平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先确定直线的方程，设出抛物线上点的坐标，分别表示出点到直线的距离和的长度，根据题意列等式化简，即可求出的值． 【详解】解：由题意可得，直线轴且过，因此直线的方程为． 设抛物线上任意一点， ∵点到直线的距离与相等， ∴点到直线的距离，由两点间距离公式得 ∵，， ∴， 由，两边同时平方得： 展开得： 整理得：， 该等式对任意恒成立， 因此， 解得． 17．（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数．其图象上有一段连续曲线，对应的自变量取值范围为，且满足．该段曲线被两条平行于轴的直线、完全包含（即曲线上任意一点都在两直线之间或直线上）．若直线与之间的距离为16，则的最大值为（     ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标与开口方向，要使最大，需区间端点对应函数的最小、最大值，结合两直线距离得到的最大值，解方程求横坐标即可得到结果． 【详解】解：， ∵抛物线开口向上，顶点坐标为，且 ∴区间上函数的最小值为，在顶点处取得要使最大，需过顶点，对应函数最大值，两直线距离为，可得 ∴对应的值为， 令，得， 整理得， 解得，， 则取最大值时，，， 可得． 18．（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 【详解】解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． 19．（2026·江苏南通·模拟预测）已知二次函数（且为常数），当时的函数值，则当时的函数值与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用二次函数图象的开口方向、与轴两个交点的距离判断的位置，进而判断函数值符号． 【详解】解：已知二次函数，配方可得， ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向上， ∵时， ∴抛物线与轴有两个不同交点， ∴判别式，得，结合已知，可得， 解方程， 可得两个根为，， 两根的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，可得，则， 又∵， ∴， ∵抛物线开口向上，当时，函数值大于， ∴． 20．（2026·江苏南通·三模）如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一动点，过点分别作，，垂足分别为点，，设，．若关于的函数图象如图2所示，点和都在函数图象上，，则下列选项正确的是（     ） A． B．当时， C．点在该函数图象上 D．该函数图象的最高点的纵坐标为 【答案】D 【分析】根据已知条件得出四边形是矩形，是等腰直角三角形，得出，设，得出，利用二次函数对称性求出，得到函数解析式为，逐一验证选项． 【详解】解：是等腰直角三角形， 四边形是矩形， ， 设，则 ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， ， 已知点和在函数图像上，说明这两点关于对称轴对称，对称轴为， ， 对称轴为，而二次函数的对称轴为， ， ， 即． ∴， A选项错误． ∴函数解析式为，当时，，即，B选项错误． ∴当时，，故点不在图像上，C选项错误． ∴函数顶点纵坐标为4，即最高点的纵坐标为4，D选项正确． 21．（2026·江苏苏州·二模）定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①，②，③若，则，④若该函数图象的对称轴为直线，则，其中正确的是（     ） A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据勾股二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的根的关系，逐项判断，即可． 【详解】解：如图，连接， ∵二次函数是勾股二次函数， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； 设点，则，， ∴m，n为方程的两根， ∴， 当时，， ∴点，即， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴，即， ∵m，n为方程的两根， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 22．（2026·江苏苏州·二模）已知抛物线向左平移个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物线关于轴对称，则的值是（    ） A．－ B． C．－ D． 【答案】D 【分析】先求出原抛物线顶点横坐标，再得到平移后的顶点横坐标，根据对称性质列方程计算即可． 【详解】解：首先将原抛物线配方，得 ∴原抛物线顶点的横坐标为． ∵抛物线向左平移个单位长度，平移后顶点横坐标为原横坐标减， ∴平移后顶点横坐标为． ∵平移后的抛物线与原抛物线关于轴对称， ∴两个顶点关于轴对称，横坐标互为相反数， 可得方程 解得． 23．（2026·江苏连云港·二模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，其中． 若该二次函数的图像的顶点坐标为，则关于这个二次函数的下列结论中： ①；②图像一定不经过第三象限；③；④．正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】已知二次函数顶点坐标为 ，可得开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质逐一判断四个结论即可求解． 【详解】解：∵ 二次函数顶点坐标为，顶点是函数最低点， ∴ ，对称轴为直线. 由对称轴公式，得. 判断①： ∵ ，开口向上，对称轴左侧随增大而减小， ∴ 由得，①正确． 判断②： 举反例，取，代入顶点式， 得，解得， ，此时存在时，即图像经过第三象限，②错误． 判断③： ∵ ，，可以为负，如上述反例中，此时，故不恒成立，③错误． 判断④： ∵ 和时， ，，和关于对称轴对称， ∴ ，得，④正确． 综上，正确的结论共2个． 24．（2026·江苏无锡·二模）若一个函数的图象上存在点，满足，则称该函数为“绝对不动点函数”，这个点为该函数图象上的一个绝对不动点．例如：对于函数图象上的点，因为，则我们称函数为“绝对不动点函数”，点为该函数图象上的一个绝对不动点．下列说法： ①一次函数是“绝对不动点函数”，且只有1个绝对不动点； ②反比例函数一定是“绝对不动点函数”，且一定有4个绝对不动点； ③若二次函数是“绝对不动点函数”，且有4个绝对不动点，则或； ④若二次函数的顶点为绝对不动点，则的取值范围为． 其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据定义，“绝对不动点函数”存在点满足，即或与函数有交点，逐个判断四个结论即可． 【详解】解：由得或，交点即为绝对不动点，逐一判断： ① 对于： 联立得：， 此情况，无解； 联立得：， 解得：，即仅个交点，为 是“绝对不动点函数”，且只有个绝对不动点， 故①正确； ②对于： 联立得：， 解得：， 联立得：， 解得：， 当时，方程有两个实数根，方程无实数根，此时有2个“绝对不动点”， 当时，方程无实数根，方程有两个实数根，此时有2个“绝对不动点”， 因此，该函数总是有2个“绝对不动点”，而不是4个， 故②错误； ③对于： 联立得：， 即， 联立得：， 即， 要有个不同绝对不动点，需两个方程都有两个不等实根， 则判别式， 解得：， 当时，两个方程有公共根，仅得到个不同绝对不动点， 因此，即或， 故③正确； ④对于， 则顶点坐标为， 由于顶点是绝对不动点， 则， 整理得：， 即， ， 故④正确； 综上所述，正确的有：①③④． 25．（2026·江苏淮安·二模）已知实数，满足，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质以及最值，根据已知条件用含的代数式表示，代入所求式子得到关于的二次函数，利用二次函数性质求出最大值，对比选项得到正确结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 将代入得： 二次项系数， ∴ 该二次函数开口向下，存在最大值， 最大值为， 即， 对比选项，只有，符合要求． 26．（2026·河南郑州·模拟预测）如图1，矩形中，点沿从点运动到点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，设点的运动路程为，的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设，，点P的运动路程，则，过Q作交于F，交于E，根据矩形的性质得到，，证明四边形是矩形，得到，根据旋转的性质得到，，进而证明，得到，即，求出的函数解析式，根据函数图象得到、，进而得到，求解即可． 【详解】解：设，，点P的运动路程，则， 过Q作交于F，交于E， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为 ∵二次函数顶点横坐标， ∴， 即， 由函数图象可知，当时，， ∴， 即， 解得（负值舍去）， 即的长为3． 27．（2026·江苏泰州·一模）一次函数（k、b为常数，k≠0）的图象与二次函数（a为常数，）的图象有两个交点．设两个交点的横坐标分别为、，下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】联立两函数解析式得到，由根与系数的关系得到，再根据对应选项中a、b的符号判断的值即可得到答案． 【详解】解：联立两个函数解析式得， ∴， ∴ ∴， ∴， A、当，时，，则，原结论正确，不符合题意； B、当，时，，则，原结论正确，不符合题意； C、当，时，，则，原结论正确，不符合题意； D、当，时，例如取，则此时，原结论错误，符合题意； 28．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，，，动点P，Q同时从点出发，动点以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．设运动时间为，的面积为，则与的函数图象应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，由题意可得，分两种情况：当时，点在上运动，此时，作于点，于点；当时，点在上运动，此时，分别求出关于的函数解析式，结合图象分析即可得出结果． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∵动点P，Q同时从点出发，动点以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．设运动时间为， ∴， 当时，点在上运动，此时，作于点，于点， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴的面积为 ， 当时，点在上运动，此时， ∴， ∴， 作于点，连接，则， ∵， ∴； 综上所述，， 函数图象如图所示： 29．（2026·江苏扬州·一模）某同学利用计算机软件绘制函数 （m，n为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结论中选项正确的是（   ） A． B． C．该函数自变量x的取值范围为一切实数 D．方程有两个不等实数根 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像的性质，y随x的变化趋势，方程根的问题；解题的关键是通过观察函数间断点和变化趋势来判断m，n正负，根据分式分母不为0判断函数值域，代入具体函数值来将方程变形化简． 【详解】解：A.由图像可知，当时， ，分子是一个常数，要使得y的值达到正无穷，只能是分母为0，故，当时，y随x的减小而增大且，分母，故分子也大于0，故， A选项错误． B.由A的分析可知B选项错误． C.由分式的性质知分母不能为0，故，C选项错误． D.由图可知当时，函数与有两个不同交点，即 ，化简得 ，故方程 有两个不同实数根，D选项正确． 30．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接． ①点E在的内部； ②的长为； ③若P与C重合，则； ④在P的运动过程中，若，则； ⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是． 则正确的选项为（    ） A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】D 【分析】①，可知点E在上，答案可求；②由题意，，利用勾股定理可求，故，结论可得；③由锐角三角函数可求，利用平行线和等腰三角形的性质可求，结论可得；④连接，过点A作于K，利用圆周角定理和锐角三角函数求得，则，结论可得；⑤连接，则，可得点N的运动轨迹，根据圆的周长公式，可得点N运动的路径长． 【详解】解：∵， ∴顶点． ∴． 令，则． ∴． ∴． 令，则． 解得：或． ∴． ∴，． ∴． ∴的半径为2． ①，， ∴的半径为2， ∴E点在上．故①不正确； ②连接，则，如图： 在中，， ∴． ∴， ．故②不正确； ③连接，如图： 由②知：． ∵， ∴， ， ， ． ∵P与C重合， ∴．故③正确； ④如图，连接，过点A作于K， ∵， ∴E点在上． ∴． ∵是圆的直径， ∴． ∴． ∴， ． ∵， ∴． ． ∵， ． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴．故④正确； ⑤如图，连接，设的中点分别为G，F，连接交于点R． ∵G，F为的中点， ∴为的中位线． ∴． 连接， ∵N为的中点，M为圆心， ∴． ∴点N的运动轨迹为以为直径的半圆． 即点N的运动轨迹是以点G，F为端点的半圆． ∴点N运动的路径长是．故⑤正确； 综上，正确的选项为③④⑤． 31．（2026·江苏扬州·三模）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，设，，由，可得结合勾股定理可得，易证同理可得，结合可得由三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，设， ， 如图，过点作，垂足为， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积有最大值为， 32．（2026·江苏盐城·三模）在中，，的面积是，则的最大值是_________． 【答案】 【分析】将放置在平面直角坐标系的轴上，根据三角形面积公式得到点的纵坐标，设点的横坐标为，设，整理得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】解：以点B为原点，所在直线为x轴，过点B垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则，，设（）． 由三角形面积公式得， 代入得， 解得， ∴， 即， 设， 由两点间距离公式得：，， ∴， 两边平方得， 整理得， 当时，方程化为， 解得， 存在点，符合题意； 当时，该方程为关于的一元二次方程，为实数， ∴根的判别式， 计算得：即， 当时， 或， ∵， ∴的解集为， ∵， ∴， 故的最大值为． 33．（2026·江苏宿迁·三模）如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． 【答案】 【分析】设菱形的边长为，根据题意求出，代入抛物线的解析式求出，同法求出，推出，进而得到菱形的边长为，即可得出结果. 【详解】解：∵四边形，，…都是菱形，点，，…在轴上， ∴轴，轴，…， 设菱形的边长为， ∵， ∴， ∴，即， ∵点，，，…都在抛物线上， ∴， 解得（舍去）或； ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去） 同法可得：，， ∴， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长是. 34．（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质与区间最值问题，先对二次函数配方得到对称轴和最小值，再根据的不同取值范围分情况讨论，结合二次函数的增减性求出对应区间的最大值和最小值，根据最大值与最小值的差为，筛选出符合条件的的取值范围． 【详解】解： 二次函数开口向上，对称轴为直线，二次函数的最小值为， 对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大 ①当时在范围内，随增大而减小 时取得最大值， 时取得最小值， 由题意得 整理得， 解得与矛盾，此种情况舍去 ②在的情况下，已求得最小值为，根据题意可得最大值必须为 函数在区间上的最大值为两端点函数值的较大者， 因此，需要满足， 解此不等式得 结合本情况的前提， ∴ 综上，的取值范围为 35．（2026·江苏南京·二模）如图，的顶点，分别在的边，上，，在边上，则的最大值为______． 【答案】/0.5 【分析】过点作，交于点、交于点，由平行四边形性质得到，进而判定，，由相似三角形的性质得到，从而由相似三角形面积比等于相似比的平方得到，不妨设，，得到可看作关于的一个二次函数，由二次函数图象与性质求最值即可． 【详解】解：过点作，交于点、交于点，如图所示： ，，， 在中，，则，， ，则， ，即， 则， 不妨设，，则， 即可看作关于的一个二次函数， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 当，有最大值，为， 即的最大值为． 36．（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线上运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时（一个交点），此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（舍去）， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， 则二次函数与矩形有两个交点时，二次函数图象在与矩形第一次相交和与矩形最后一次相交之间，且不包含第一次相交和最后一次相交， ∴． 37．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系． 根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与x轴交点个数，结合二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A，点B关于对称轴对称，结合点A坐标，求出点B坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④． 【详解】解：对于说法①：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∴①正确，符合题意； 对于说法②：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴②错误，不符合题意； 对于说法③：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∵二次函数， ∴， ∴即， ∴③正确，符合题意； 对于说法④：∵该二次函数图象与x轴的两个交点分别为，B， ∴点与点B关于对称轴对称， ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴点， 将点代入二次函数中，得：， 即， ∴④正确，符合题意． 综上，说法正确的是：①③④． 38．（2026·江苏南通·一模）定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】（1）根据“级变点”的定义列出方程，整理得，即可解答； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，根据点Q在反比例函数图象上，代入后推出，再根据两点间距离公式和配方法解出最值即可． 【详解】解：（1）∵点的“级变点”的坐标为， ∴，， ∵为常数，且， ∴将两边乘以k，得， ∴， ∴； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴， 整理得， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 39．（2026·江苏南通·一模）若时，二次函数的最小值为，则________________． 【答案】5 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果. 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ， 解得， ∵ ，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件. 40．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，D是的中点，M是边上的动点，作，交于点N，延长到点P，使得，则________；当面积最大时，的长等于________． 【答案】 /0.75 / 【分析】先通过等腰直角三角形的性质得出相关线段和角度关系，再构造全等三角形证明和，利用三角形的面积公式结合已知条件可得到，接着设未知数，利用勾股定理得到相关线段的表达式，再根据三角形面积公式表示出的面积，最后通过二次函数的性质求出面积最大时的长度． 【详解】解：如图，连接，过点N作于点H，过点B作交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F， ∵等腰直角三角形中，，，D是的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 即， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式应用及二次函数最值问题． 41．（2026·江苏南京·三模）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 【答案】(1) (2)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F.理由如下： 如图，连接， ∵点P到点A的水平距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵山高为，山顶F到点A的水平距离为． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴ ， ∴人眼在点Q处能直接看到山顶F. ②（a） 【分析】（1）如图，以为轴，为轴，建立坐标系，设抛物线为，再利用待定系数法求解即可； （2）①连接，求解，，，求解直线为，计算，进一步结合配方法可得答案； ②（a）如图，连接，过作于，求解，如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即，设，则，可得，可得（a）符合题意；（b）不符合题意；当在段，可得，计算，，时的值，可得（c）（d）都不符合题意. 【详解】（1）解：如图，以为轴，为轴，建立坐标系， ∵，， ∴，，， 设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：. （2）解：①略 ②（a）如图，连接，过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即， 设，则，即， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（与重合）， ∴（a）符合题意； （b）由（a）可得在拱桥的段不存在一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）（d）当在段， ∵，， ∴ 当时， ， 当时， ， 当时， ； ∴（c）（d）都不符合题意. 42．（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)对称轴，交点坐标 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的表达式，转化为顶点式即可得出对称轴为直线，当时，解得，即可得到与轴的交点坐标. （2）根据二次函数的图象和性质，得出满足题意的条件为，且，解得实数的取值范围． （3）根据二次函数的图象和性质，得出函数满足时的函数的值与异号，求得时的函数的值，列关于的不等式并解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，则， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为； （2）解：若对于任意实数，总有， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数， 抛物线开口向上，与轴没有交点， ，且， ， 整理得， 解得， 实数的取值范围是； （3）解：函数的图象与轴交点为，且， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号， 时，， ，或， 解得． 43．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知二次函数（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点，且过点． (1)求a与b的关系式． (2)若，当时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． (3)在（2）的条件下，若点，点两点在该函数图象上，且，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据（1）中的结果，求出函数的对称轴，根据增减性结合题意，列出方程进行求解即可； （3）求出解析式，再求出时自变量的值，再根据，得到关于t的不等式组，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数过点和， ∴将代入函数得； 将和代入函数得， 整理得，即； （2）解：由（1）可知：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵ ， ∴抛物线的图象开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，，值最小， 由题意，， ∴； （3）解：当时，函数解析式为：， ∴当时，解得，， 点，在函数图象上，对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴且且， 解得． 44．（2026·江苏南通·三模）已知抛物线与轴交于，（点在点的左侧），与轴交于点，且．        (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)如图，若为轴正半轴上一点，作直线，分别与抛物线交于，两点，试判断是否为定值，若其值为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由； (3)如图，，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)该函数表达式为，点A坐标为 (2)是定值，为 (3) 证明：设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线， 直线， ∵直线与直线的交点始终在直线上， ∴设直线与直线的交点坐标为， ∴， ， ， ∴直线， ∵当时，， ∴直线必经过定点． 定点坐标为． 【分析】（1）求出点即可得抛物线的解析式，令可得点A的坐标； （2）设（），求出直线，与抛物线联立，求出，同理可求，再由求解即可； （3）求出直线，，的解析式，设直线与直线的交点坐标为，可得，即可解答． 【详解】（1）解：对于，令，则， ， ， 点， ， ， 即该函数表达式为， 令，则， 解得，， 点A坐标为； （2）解：如图， 设（） 设直线， 则， 解得， ∴直线， 与抛物线联立得 整理得 ∴ ∴ ∴ 同理可求直线， 与抛物线联立得 整理得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴是定值，为． （3）略 45．（2026·江苏盐城·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班男、女生组各需要报9名跳绳同学； （2）每班另选2名摇绳同学； （3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面，摇绳位置之间的水平距离为，且摇绳位置，到地面的距离均为．以地面上的点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 (1)任务一确定长绳形状 根据素材，求出图2中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式． (2)任务二探究站位碰绳问题 该班男生组选取9名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？ 身高（） 人数 2 4 2 1 (3)任务三拟定位置方案 该班女生组挑选出身高都为的9名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持的间距．当9名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围． 【答案】(1) (2)不会，理由如下： 由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，对称轴为直线． 由题意知，最右侧的同学身高为，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为． 将代入中得：， 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 即为， ∵， ∴当绳子在最高点时，同学们正屈膝落地，长绳不会触碰到最右侧的同学； (3) 【分析】（1）由题意知，点，，在抛物线上，点C为最高点，抛物线顶点的坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）由题意知，最右侧的同学身高为，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为．将代入中得：，然后得出当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．即为，进行比较即可求解； （3）由（2）知，身高为的同学，此时头顶到地面的高度是，令，解出方程，然后列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，点，，在抛物线上，点C为最高点， ∴抛物线顶点的坐标为． 设抛物线对应的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式为； （2）略 （3）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地， 由（2）知，身高为的同学，此时头顶到地面的高度是， 令，则， 解得：，． 由题意知，左边第一位同学离点O的水平距离d， ∴右边第一位同学离点O的水平距离为， ∵要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶）， ∴， 解得：， ∴左边第一位同学离点的水平距离的取值范围为：． 46．（2026·江苏苏州·二模）如图1，二次函数（、是常数，）的图像与轴交于点，． (1)填空：_________，_________； (2)若直线与二次函数的图像交于点、． ①若直线上方的抛物线上存在一点，使得的面积最大，求出最大值和点的横坐标； ②如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你求出此定值并说明理由． 【答案】(1) (2)①面积最大值为，点横坐标为​；②长度不变，定值为 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）①由（1）得抛物线解析式，联立直线与得：，求出点，设点横坐标为，则，过作轴交于E，则，算出，则，即可求出面积的最大值． ②原抛物线配方得，根据题意可得沿方向平移时，平移满足：向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后抛物线解析式为： ，联立与，整理得，设两根为，由根与系数的关系得：，则 ，，由勾股定理． 【详解】（1）解：将、代入， 得， 解得：． （2）解：①由（1）得抛物线解析式， 联立直线与得：，整理得， 解得：，， ∴点， 设点横坐标为，则， 过作轴交于E， 则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积最大，最大面积， 故面积最大值为，点横坐标为​． ②原抛物线配方得， ∵， ∴沿方向平移时，平移满足：向右平移个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线顶点为， ∴平移后抛物线解析式为： ， 联立与，整理得， 设两根为， 由根与系数关系得：， ∴ ， 又， ∴， 即长度不变，定值为． 47．（2026·江苏盐城·二模）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台一一安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕如图②所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点F处，左端从抛物线上的点D处拉一条绳索固定，交x轴于点G，点E、F在边上，边与平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于2米； 2．与y轴之间的距离为米，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，米，米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 【答案】(1) (2)与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米． 【分析】（1）根据中心对称的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出与舞台平面之间的距离为米，符合要求；再求出时的函数值，得到，再根据，即可求出的长度． 【详解】（1）解：抛物线的顶点，抛物线与抛物线关于点O成中心对称， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将原点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意可得，与舞台平面之间的距离为（米）， 与舞台平面之间的距离要不小于2米，且， 与舞台平面之间的距离符合要求； 与y轴之间的距离为米， ， ， ， 点E、F在边上，边与平行于x轴． ， （米）， 答：与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米． 48．（2026·江苏扬州·三模）综合实践 问题情境：校园为优化夜间操场照明，在操场上方架设高空射灯投射装置，灯光在地面形成的照明边界轮廓可近似看作抛物线． 建立如图1所示的平面直角坐标系，该抛物线解析式为，灯光与地面（x轴）交于点和点B，灯光发射口在y轴上的点C处，且发射口高度． (1)直接写出抛物线的解析式及直线的解析式； (2)如图2，该抛物线的顶点D为射灯最高照射点位，为监测灯光边界的地下延伸范围，在边界点A处布设地下预埋激光探测线，其解析式为，探测线与抛物线在第四象限交于点E，求的度数． (3)若点P是该抛物线上任意一点，作轴垂足为点Q，直线交直线于F，再过点F作x轴的垂线垂足为R，为安装照明感应监控设备，要求线段最短，求此时点P的坐标及的最短长度． 【答案】(1)， (2) (3)或， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解二次函数与一次函数的解析式； （2）首先求出顶点D的坐标，连接，过D作轴于M，由点D、C、A的坐标易得，求得，的值，从而求得的正切值，同理可求得与的正切值相等，即这两个角相等，由此即可求得的度数； （3）连接，易得四边形为矩形，则有，当时，最短，由为等腰直角三角形可求得最短长度，且点F是的中点，由此得其坐标，由点P与点F的纵坐标相同，代入抛物线解析式中求得点P的横坐标，从而得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将B、C两点坐标代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ∴顶点， 连接，过D作轴于M，设直线与y轴交点，如图2， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵直线与y轴交点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当时，最短， ∵， ∴为等腰直角三角形，此时F为线段的中点， ∴最短长度，， ∵轴， ∴P点纵坐标也为3， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或， ∴的最短长度为． 49．（2026·江苏盐城·三模）如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点在直线AC上方的抛物线上时，连接、，交于点， 过点作轴的垂线交于点，求的最大值； 若 ，则的取值范围__________； (3)如图2，将抛物线的顶点平移到（0，1），此时新抛物线交轴于、两点（在的左侧），若点为轴上方新抛物线上任意一点，过作直线（直线不与轴垂直）与新抛物线仅有一个公共点，在点的上方是否存在一点，使得直线与、分别交于点、，且为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①先求得直线的解析式，设，则，进而表示出，根据二次函数的性质，求得最大值； ②过点作轴交于点，证明，根据相似三角形的性质，得出的表达式，进而根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求出的直线方程，联立方程消元，根据只有一个交点，利用的根的判别式建立等式求解，再过作于，分别求出，，最 【详解】（1）解：将、，代入得 解得： ∴ （2）①如图， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设，则 ∴ ∴当时，的最大值为； ②如图，过点作轴交于点， ∵ 当时，， ∴ ∴ ∵轴，轴 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ 对称轴为， 又∵， 抛物线开口向下，当时，有最大值为 ∵ ∴当或时，有最小值为 ∴的取值范围 （3）解：由题意得，新抛物线是：， 令，得，   ，， ， 设 把，代入得 ， ， 同理， 设直线，联立得 直线与抛物线只有一个公共点 ， ， ， 联立解得， 联立解得 过作于，则，， ，同理 ， 要为定值，则， ， ． 50．（2026·江苏镇江·二模）如图，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)如图，将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方的抛物线上的一动点，点关于直线的对应点为点，连接交于点．在点的运动过程中，求线段长度的最大值； (3)若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有两个动点，，（点在点的左侧），、两点之间的图象（含，两点）的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】把点代入，可求出a的值，令，可得点，再利用待定系数法解答即可； （2）根据题意可得为等腰直角三角形，过点P作轴于N，交于点M，则，设点P的坐标为，则点M的坐标为，可得，再证明，结合二次函数的性质解答即可； （3）先确定图象W的组成，再根据m和的大小关系和取值范围，分情况讨论M、N之间图象的最高点和最低点，进而得出h与m的函数解析式． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得： ， ∴点， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为， ∵点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，过点P作轴于N，交于点M，则， 设点P的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∵点关于直线的对应点为点， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 对于，当时，， 根据题意得：图象W由时的抛物线和第三象限的直线部分组成， ∵点，，（点在点的左侧）， ∴，即， 当时，如图2，点M在直线上，点N在抛物线上M、N两点（含M，N两点）之间的图象的最低点为点，最高点为， ∵， ∴； 当时，如图3，图4，点M在直线上或在抛物线段上，点N在抛物线上，M、N两点（含M，N两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，如图5，点M在抛物线上，点N在抛物线上，M、N两点（含M，N两点）之间的图象的最低点为，最高点为， ∵， ∴； 综上所述，． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $