精品解析：北京市陈经纶中学分校2026-2027学年度第一学期九年级数学9月阶段学习效果监测

北京市陈经纶中学分校 2026-2027学年度第一学期九年级数学9月阶段学习效果监测 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值． 【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， ∴函数有最小值为6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值． 3. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两点横坐标代入反比例函数解析式，求出与的值后比较大小． 【详解】解：把代入，得. 把代入，得. ∵， ∴． 4. 将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到抛物线． 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程二次项系数不为0，且方程有两个相等的实数根时根的判别式等于0列方程求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 把，，代入得 解得． 6. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 故选：． 7. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 是关于x的一元二次方程的一个根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向和顶点坐标判断A，根据对称轴和图像经过求得B，由，可得当时，，判断C，根据关于对称轴的对称点为：，判断D． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为，过点， ∴，，故A错误； ∴对称轴为， ∴； ∵经过点，， ∴ ∴，故B错误， ∵， ∴ 当时，，故C错误 ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵点在此抛物线上， ∴在此抛物线上，即， ∴即是关于x的一元二次方程的一个根，故D正确， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线对称轴为直线，因此原抛物线与平移后的抛物线与轴的交点横坐标之和均等于，即，当时，抛物线开口向上，向上平移后与轴的交点距离对称轴更近，因此根差减小，即；当时，抛物线开口向下，向上平移后与轴的交点距离对称轴更远，因此根差增大，即，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴ 原抛物线与轴交点和关于对称，即， 同理，向上平移后抛物线与轴交点和也关于对称，即， ∴， 当时，抛物线开口向上，向上平移后，与轴交点向对称轴靠近， ∴ 根差减小，即； 当时，抛物线开口向下，向上平移后，与轴交点远离对称轴， ∴ 根差增大，即， 综上，只有选项符合题意， 故选：． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，接利用关于原点对称点的性质 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程的一个根为，将其代入方程得到关于的方程，再结合一元二次方程二次项系数不为0的限制条件求解即可． 【详解】解：把代入方程得 解得或 ∵原方程是关于的一元二次方程 ∴二次项系数，即 因此的值为． 11. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 12. 已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握时，函数开口向上，有最小值；时，函数开口向下，有最大值． 【详解】∵二次函数有最大值， ∴二次函数的二次项系数小于0，可设二次函数的解析式为， 又∵它的图象经过点， ， ， 二次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则该方程的另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴该方程的另一个根是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根为则． 14. 如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A．若的面积为3，则k的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数中比例系数的几何意义，理解k的几何意义是解本题的关键． 根据值的几何意义，得到的面积等于，进行求解即可． 【详解】解： 由题意，得的面积为， ∴； ∵反比例函数过第一象限， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 【答案】1（答案不唯一，可取大于0的任何数） 【解析】 【分析】抛物线的对称轴是，根据和抛物线的对称性，点关于对称轴的对称点为，且，根据抛物线过x轴上的两点及点可知抛物线开口向下，结合二次函数的图像可以判断n符号，即可解答此题． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 关于直线的对称点为， ， ， 抛物线开口向下， 在抛物线上， 当时， 可取大于0的任意一个数， 故答案为： 1（答案不唯一，可取大于0的任何数）． 如图所示， 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性，根据抛物线轴对称的性质是解本题的关键． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 【答案】 ①. ① ②. 1010 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， 故答案为：①； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1010． 三、解答题（本题共52分，第17-22题每题5分，第23-24题每题7分，第25题8分） 17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 【答案】， 【解析】 【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程． 【详解】解：(x－2）(x+1)=0， ∴x－2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题． 18. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点坐标代入两个函数解析式求出值即可； （2）当时，，，根据题意，解出不等式解集即可． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点， ，， 正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值， ， 解得． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的根的判别式即可． （2）根据根的判别式，结合根的整数性质，根与系数关系定理，解答即可，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键． 【小问1详解】 ∵方程，， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 ∵的两个实数根分别是，，且， ∴， ∵， ∴， ∵为符合条件的最小整数， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴或， ∴或（舍去）， 故． 20. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值． x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）y=-（x+1）2+4；（2）n<-5． 【解析】 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（1，0）代入求出a即可； （2）根据抛物线与一次函数有公共点，联系根的判别式求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点（-2，3），（0，3），（-1，4）， ∴抛物线的对称轴为直线x==-1，顶点坐标为（-1，4）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4， 把（1，0）代入得a（1+1）2+4=0，解得a=-1， ∴抛物线解析式为y=-（x+1）2+4； （2）∵二次函数的图象与直线有两个交点， ∴-（x+1）2+4=n，即， ∴△=，解得n<4， ∴n的取值范围为n<4， ∵AB=， ∴>6，解得n<-5， 综上n的取值范围为n<-5． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 21. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理． 22. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以． 【详解】解：设彩色纸带的宽为， 根据题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去)． 答：彩色纸带的宽为． 23. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米． d（米） … 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … h（米） … 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度； （3）求起跳点A距离地面的高度； （4）在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？ 【答案】（1） 如图所示. （2）4.75米 （3）米 （4）不成功；应调节人梯到起跳点的水平距离为米或米才能成功． 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接； （2）根据表格中的数据或函数图象分析的最大值即可； （3）利用待定系数法求出函数的解析式，令，求； （4）对比表格中的数据可知时，故不成功，只需计算当时的大小，由此可知调节人梯的方案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，演员身体距离地面的最大高度为米. 【小问3详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得． 该抛物线为． 当时，． 起跳点离地面的高度为米． 【小问4详解】 解：由表格可知，当时，，故不成功． 令，即， 解得或． 应调节人梯到起跳点的水平距离为米或米才能成功． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的作图，解决本题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴； （2）若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【答案】（1）此二次函数图象的对称轴是直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键． （1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得； （2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【小问1详解】 解：对于二次函数， 当时，， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴是直线． 【小问2详解】 解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 25. 在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，． （1）如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）连接，依题意补全图2．若，求的大小． 【答案】（1） ， 证明：连接，如图1． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ． ． ． 是等边三角形． ，． 中，，， ． 依题意，得，点在上． ． ． ． ． ． 在中，． ． ． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质与直角三角形的性质得，再根据正切三角函数定义求解即可得出结论． （2）方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2，先证明，再证明，得．从而得出．即可求解． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．先证明，再证明．得．即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意补全图2，如图． 方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2． ， ． ， 是等边三角形． ，． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ， ． ， ． ． ， ． ，， ． ． ． ． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ． ， ． ． ，， ． ． ． 由（1）可得． 为中点， ． ． ，，， ． ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正切三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切三角函数等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市陈经纶中学分校 2026-2027学年度第一学期九年级数学9月阶段学习效果监测 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 3. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 是关于x的一元二次方程的一个根 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为________． 11. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 12. 已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式________________． 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则该方程的另一个根是___________． 14. 如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A．若的面积为3，则k的值为_______． 15. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 三、解答题（本题共52分，第17-22题每题5分，第23-24题每题7分，第25题8分） 17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 18. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值． 20. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值． x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围． 21. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 23. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米． d（米） … 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … h（米） … 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度； （3）求起跳点A距离地面的高度； （4）在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？ 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴； （2）若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 25. 在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，． （1）如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）连接，依题意补全图2．若，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $