精品解析：宁夏回族自治区银川一中2026-2027学年度高二上学期第一次月考数学试卷

银川一中2026/2027学年度（上）高二第一次月考 数学试卷 命题教师：白杰 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件， 所以“”是的充要条件. 2. 若方程表示圆，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 3. 与椭圆有公共焦点的椭圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】椭圆的焦点在轴上，故排除选项A，D． 在椭圆中，；在椭圆中，，故排除选项B； 在椭圆中，，易知中的椭圆符合题意． 4. 已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 5. 已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大面积为3 B. 若，则点的纵坐标为 C. 存在点，使得 D. 的取值范围为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，当位于椭圆的上、下顶点时，的面积最大，求出最大值即可判断；对于B，设，利用余弦定理求出，利用即可判断；对于C，若存在点，则点在以线段为直径的圆上，联立方程判断无解，即可判断；对于D，求出，根据的范围即可判断. 【详解】对于椭圆C：，，，， 对于A，当位于椭圆的上、下顶点时，的面积最大， 所以的面积最大值为，故A错误； 对于B，设，则， 在中，， 即，解得或， 根据对称性，不妨设，则，， ， 又， 所以，解得，故B正确； 对于C，以为直径的圆方程为， 若存在点，使得，则点在以线段为直径的圆上， 联立，方程组无解， 故不存在点，使得，故C错误； 对于D，设点， ， 因为，所以，故D错误. 6. 已知点在直线上运动，点，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D. 7. 已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，过或作轴平行线，它们一定与直线相交，共有两个交点满足题意，然后由直线与 以为直径的圆有交点可得倾斜角的范围． 【详解】当时，直线上不存在，使得为直角三角形， 当，如图，过或作轴平行线，它们一定与直线相交，这就是符合题意的两个， 因为至少有三个，使得为直角三角形， 所以直线与以为直径的圆有公共点，圆心是原点，半径为， 由，解得或， 设直线的倾斜角为，则或， 所以或， 所以倾斜角范围是， 故选：B． 8. 设椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点P是椭圆C上异于，的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则的内切圆半径 ②的最小值为3 ③ ④的取值范围为 ⑤使为直角三角形的点有4个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，求出的面积，根据即可判断；对于②，根据“1”的转换，利用基本不等式即可判断；对于③，设，则，表示出即可判断；对于④，求出，结合即可判断；对于⑤，分为，和三种情况，即可判断. 【详解】对于C：，，， 则， 设，，则， 对于①，在中，由余弦定理得，， 即，即，解得， 的面积，的周长， 所以内切圆半径，故①正确； 对于②， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故②错误； 设，则，即， 对于③，，故③正确； 对于④，，， 所以， 因为，所以，故④错误； 对于⑤，当时，易知点有两个； 当时，易知点有两个； 当时，则点在以线段为直径的圆上， 以线段为直径的圆的方程为， 联立，方程组无解， 即不存在点使得， 综上所述，使为直角三角形的点有4个，故⑤正确. 综上，正确的个数为个. 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为 C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误. 【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误； 因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确； 取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确. 故选：CD 10. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项. 【详解】对于A，圆柱的底面半径是，直径是，所以椭圆的长轴长，，A正确； 对于B，短轴长，则，离心率．B错误； 对于C，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为．C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是．D正确； 故选：ACD． 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离的比值为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知两定点，动点满足条件，其轨迹是曲线，过作直线交曲线于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C： B. 的取值范围是 C. 当直线的斜率时，平分 D. 当点不共线时，面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点间距离公式代入，化简得到曲线C：，当直线垂直于BC时，，所以的取值范围是，由阿波罗尼斯圆的定义化简得到,根据角平分线定理的逆定理，平分；设 ，直线的方程为，代入圆的方程得到 ，利用韦达定理以及弦长公式化简计算即可得到面积的最大值为. 【详解】设动点，因为，所以 ； 化简得到，所以选项A正确； 该圆的圆心为 ,半径为 ， 当直线垂直于BC时， ，， 所以的取值范围是，选项B错误； 由阿波罗尼斯圆的定义， 在曲线C上，故，, 即,根据角平分线定理的逆定理，平分，选项C正确； 设 ，直线的方程为， 代入得到 ， 则，， ， 令 ，则 因为 ，所以当 ，即时面积最大为，选项D正确； 故选：ACD 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 直线过点且在两坐标轴的截距相等，则直线的方程为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线斜截式方程及截距式方程求解即可. 【详解】当直线过原点时：设， 因为直线过点， 所以，解得， 所以，即； 当直线不过原点时：设， 因为直线过点， 所以，解得， 所以，即. 故答案为：或. 13. 若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 【答案】 ①. 16 ②. 25 【解析】 【分析】使用两圆外切的几何条件计算，令，使用的几何意义求解. 【详解】由题意知两圆外切，则圆心距等于，即，故， 则点是圆上的点，圆心是原点，半径为， 设，则， 的几何意义为过点的直线在轴的截距的倍， 当直线与圆相切时，截距的绝对值取最值， 此时，解得或， 则的最大值是，故的最大值为. 14. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在轴的正半轴上，是椭圆上一点，且满足．若的中垂线过点，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线定比分点公式求出点坐标，结合中垂线性质建立参数关系，最后代入椭圆方程求解离心率. 【详解】设（），由得， 整理得. 因的中垂线过点，故，即. 即. 化简得，解得. 从而点的纵坐标平方为，横坐标平方为. 将点坐标代入椭圆方程，得. 两边同乘并利用及变形得. 令，整理得，即. 解得或，因，故，即. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线，试求： （1）与直线的距离为的直线的方程； （2）点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设所求直线的方程为，根据平行直线间的距离公式列出方程求解即可； （2）设对称点，利用垂直时斜率关系以及的中点在直线上列出方程组求解即可. 【小问1详解】 设所求直线的方程为， 由题意，得，解得或， 所以所求直线的方程为或. 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为， 已知直线的斜率为，且的中点在直线上， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为. 16. 已知圆圆心为M，定点，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若点Q是曲线C上一点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点的轨迹为椭圆，写出其方程即可； （2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得，再求三角形面积即可. 【小问1详解】 由已知，故， 所以P点轨迹是以M、N为焦点的椭圆， 设P点轨迹方程为，则， 所以P点轨迹方程为. 【小问2详解】 不妨设，由椭圆定义可得，又， 则在中，由余弦定理可得：， 解得. 故的面积. 17. 已知圆，两点、. （1）若，直线过点且被圆所截的弦长为6，求直线的方程； （2）动点满足，若的轨迹与圆有公共点，求半径的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到圆心到直线的距离为，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情讨论，结合点到直线的距离公式，即可求解； （2）将点代入得轨迹方程，然后利用两圆有公共点列不等式求解即可. 【小问1详解】 若时，圆，可得圆心， 因为直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，所以直线方程为或， 综上可得，所求直线的方程为或. 【小问2详解】 因为动点满足，、， 所以，化简得， 所以动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的轨迹与圆有公共点，所以， 即，解得，所以半径的取值范围. 18. 已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. （1）求曲线E的方程； （2）若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； （3）过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在点，使得x轴平分. 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求曲线方程； （2）根据条件转化为直线上存在一点P，使，转化为点为圆心，为半径的圆与直线有交点，即可列式求解； （3）首先设垂直于轴时，满足条件，当不与轴垂直时，设直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求定点的坐标. 【小问1详解】 设，，则 因为，所以，， 所以，整理为， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 由条件可知，若存在点，使， 所以四边形是正方形，则， 则以点为圆心，为半径的圆与直线有交点， 所以，解得：， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 当直线轴时，两点关于轴对称，则轴正半轴上任意点，使得轴平分； 当直线不与轴垂直时，设，直线为，与曲线联立， 得， ， 设，， ，， 由题可知，，代入，， 化简得，即， 代入韦达定理， 整理为，得， 综上可知，轴上存在点，使得x轴平分. 19. 已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）①②. 【解析】 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由中点条件将  与  的关系转化为直线  与单位圆相交，从而得到 ；再在此范围内分段讨论  的单调性，合并各段值域即得最终取值范围. 【小问1详解】 由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 ①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知， ，所以圆 ，，， 曼哈顿距离： 因为直线  过 ，与圆交于 ，且  为  的中点，设 ，则 ， 由  在圆  上，得 又  在圆上：，两式相减得 因为直线  与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，，  时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 ； 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2026/2027学年度（上）高二第一次月考 数学试卷 命题教师：白杰 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若方程表示圆，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 与椭圆有公共焦点的椭圆是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大面积为3 B. 若，则点的纵坐标为 C. 存在点，使得 D. 的取值范围为 6. 已知点在直线上运动，点，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点P是椭圆C上异于，的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则的内切圆半径 ②的最小值为3 ③ ④的取值范围为 ⑤使为直角三角形的点有4个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为 C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为 10. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离的比值为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知两定点，动点满足条件，其轨迹是曲线，过作直线交曲线于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C： B. 的取值范围是 C. 当直线的斜率时，平分 D. 当点不共线时，面积的最大值为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 直线过点且在两坐标轴的截距相等，则直线的方程为___________ 13. 若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 14. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在轴的正半轴上，是椭圆上一点，且满足．若的中垂线过点，则椭圆的离心率为________． 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线，试求： （1）与直线的距离为的直线的方程； （2）点关于直线的对称点的坐标． 16. 已知圆圆心为M，定点，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若点Q是曲线C上一点，且，求的面积. 17. 已知圆，两点、. （1）若，直线过点且被圆所截的弦长为6，求直线的方程； （2）动点满足，若的轨迹与圆有公共点，求半径的取值范围. 18. 已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. （1）求曲线E的方程； （2）若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； （3）过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $