精品解析：河南省驻马店高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

驻马店高级中学2026级第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A. 或 B. C. D. 6. 关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（ ） A. B. C. 关于的一元二次不等式的解集为 D. 关于的一元二次不等式的解集为或 7. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知二次函数对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为10 D. 的最小值为 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（ ） A. 1 B. C. D. 2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 13. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 14. 若对，不等式恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围； 16. 设命题:，使得不等式恒成立；命题：. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式. 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店高级中学2026级第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由 ，得，因为，因此， 因为 ，所以. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】选项：由可知分母，根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数， 不等号方向不变，可得，正确； 选项：计算两个分式的差：， 由，可得，因此差为正，即，错误； 选项：取，满足， 此时，即，不满足错误， 选项：取，满足， 此时，即，不满足，错误. 4. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求解函数定义域为时参数的取值范围，再通过判断两个范围的等价性确定条件类型. 【详解】若函数的定义域为，则不等式对任意恒成立，分情况讨论： 当时，不等式化为，对任意恒成立，满足要求； 当时，为二次函数，需满足， 解得，所以定义域为的充要条件就是，和题设给出的条件完全等价. 因此“”是“函数的定义域为”的充要条件. 5. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围. 【详解】若“，”是真命题， 即判别式，解得：， 所以命题“，”是假命题， 则实数的取值范围为或. 6. 关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（ ） A. B. C. 关于的一元二次不等式的解集为 D. 关于的一元二次不等式的解集为或 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得的解为或，，然后由韦达定理可得关系，可判断各选项正误. 【详解】因的解集为，则，故A正确； 对于B，由题可得的解为或，由韦达定理：，，则，故B正确； 对于C，关于的一元二次不等式可化为：，故C正确； 对于D，关于的一元二次不等式可化为： 或，故D错误. 故选：D. 7. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 8. 已知二次函数对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立得出，可得出，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为二次函数对任意恒成立， 所以，可得， 所以， 当且仅当时，即当或时，上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以  ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C: 因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为10 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】结合给出的条件，利用基本不等式，逐项判断即可. 【详解】因为. 对A：因为， 所以， 所以，即，当且仅当即时取等号.故A正确； 对B：因为，当且仅当，即时取等号，故B错误； 对C：由， 又为正实数，所以，所以，当且仅当即时取等号，故C错误； 对D：由，结合b为正数可得， 所以 ，当且仅当即时取等号，故D正确. 故选：AD 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用绝对值和二次函数的性质，分区间表示，根据定义作出函数的图象，根据 在区间上的值域为，结合图象讨论区间的长度，得出选项. 【详解】利用绝对值和二次函数的性质，分区间表示： 根据定义作出函数的图象（实线部分），其中，. 已知在区间上的值域为： 最小值：仅在的顶点处取得. 最大值：在上解得（）， 或在上解得（）. 故区间的最小长度：区间包含顶点和上的， 即，其长度为，故A对； 中间长度：区间左端点扩展到，此时，即，区间长度为，故B对； 最大长度：区间左端点扩展到，此时，因为时单调递增， 所以区间为，长度为，故C对； 当区间长度为2时，由图象可知，区间包含或的点，故D错. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 13. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得集合是集合的真子集， 则或，解得， 所以实数的取值范围是. 14. 若对，不等式恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式恒成立条件确定与的关系，再通过换元法将代数式转化为二次函数形式，利用基本不等式求最小值. 【详解】由于，不等式恒成立， 所以，且与有相同解，即， 令，则，. 将，代入，得： ， 设，由得，当且仅当时等号成立， 则上式变为， 当（即）时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围； 【答案】（1），或. （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合，再利用并集、补集、交集的定义求解. （2）利用给定并集的结果，结合集合的包含关系求出范围. 【小问1详解】 由，得，则， 当时，，则或， 所以，或. 【小问2详解】 由，得，由（1）知， 当，即时，，满足； 当，即时，则，解得，因此， 所以实数的取值范围为. 16. 设命题:，使得不等式恒成立；命题：. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先求函数在区间上的最大值，再根据恒成立问题求出实数的取值范围. （2）先求出命题，为真为假时，的取值范围，再根据命题，中有且仅有一个为真命题，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 设函数， 函数在区间上单调递减，， 若命题为真命题，即函数在区间上的最大值小于0， 即， 所以实数的取值范围为 【小问2详解】 若命题为真命题，则，若命题为假命题，则. 若命题为真命题，则， 解得：或， 若命题为假命题，则. 命题，中有且仅有一个为真命题，分两种情况： 若真假：则，即； 若假真： 则或 综上可知：实数的取值范围为或. 17. 在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【小问1详解】 由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）4 （3） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； （2）将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （3）分类讨论m的取值范围，解一元二次不等式，即得答案. 【小问1详解】 由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 时，，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. 【小问3详解】 由，得， 当时，即，解集为； 当时，，不等式即为， 解集为； 当时，，不等式即为， 解集为. 故的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 【答案】（1）不是，理由如下： 因为，所以不是“一集合”． （2）； （3），其中. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【小问1详解】 不是“一集合”，理由略； 【小问2详解】 设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． 【小问3详解】 若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $