精品解析：福建厦门市海沧区北附学校2026-2027学年第一学期10月学业诊断九年级数学试题

厦门市海沧区北附学校 2026—2027学年第一学期10月学业诊断 九年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 2. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 6. 在一次体育活动中，北附学校九年级某班同学跳绳次数的箱线图如图所示，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. 163 B. 150 C. 151.5 D. 140 7. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 抛物线的顶点坐标是______． 10. 若是方程的一个根，则m的值为______． 11. 若方程的两个根是，，则_______． 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 13. 二次函数（a，b，c是已知数，且）的x与y的部分对应值如表，则当时，___ ． x … 0 1 2 3 … y … 7 6 7 … 14. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______． 16. 北附学校“研究性”学习小组对校园某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果，如果用x作为这条路线长度的近似值，要使最小，则x的值是_______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，的对角线，交于点，过点且分别与，交于点、． 求证：． 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在图中画出该函数的图象； （3）根据（2）中的图象，当时，请直接写出y的取值范围． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率． 22. 如图，为正方形的对角线． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，求的度数． 23. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 24. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出一条函数的性质：______． （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 25. 抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． （1）求点C的坐标； （2）点D是第一象限内抛物线上的动点，当面积最大时，求D的坐标； （3）若直线与抛物线交于P，Q两点（P，Q都不与A，B重合），直线分别与y轴交于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市海沧区北附学校 2026—2027学年第一学期10月学业诊断 九年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， 解得，. 2. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 3. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对称轴公式求抛物线对称轴即可． 【详解】解：由题意，抛物线对称轴为直线． 5. 若点，，都在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各点的横坐标分别代入计算，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴ ． 6. 在一次体育活动中，北附学校九年级某班同学跳绳次数的箱线图如图所示，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. 163 B. 150 C. 151.5 D. 140 【答案】D 【解析】 【分析】箱线图是一种通过五个关键统计量（最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值）和异常值标识来展示数据分布的统计图表，据此求解即可． 【详解】解：由箱线图可得，这组数据的第一四分位数是140． 7. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 8. 抛物线的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故选项A错误，不符合题意； 由图象得：，， ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， 即，故C结论正确，符合题意； 当时，，故D结论错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 10. 若是方程的一个根，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握根的定义． 根据方程根的定义，将已知根代入方程求解参数． 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以代入得， 即， 所以， 因此， 故答案为：2． 11. 若方程的两个根是，，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：若方程的两个根是，，则． 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以菱形的边长为5． 13. 二次函数（a，b，c是已知数，且）的x与y的部分对应值如表，则当时，___ ． x … 0 1 2 3 … y … 7 6 7 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握关于对称轴对称的点的纵坐标相等是解题的关键．根据表格数据，二次函数对称轴为，利用二次函数的对称性及点，即可求出答案． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值均为7， 故对称轴为， ， 由点可得，当时，， 故答案为：． 14. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，即可得出结果. 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解为. 16. 北附学校“研究性”学习小组对校园某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果，如果用x作为这条路线长度的近似值，要使最小，则x的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，运用完全平方公式展开，二次函数图象的性质进行判定即可． 【详解】解：设， ∴， 整理得，， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，取到最小值， ∴当时，最小． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解： ，，， ， ，； 【小问2详解】 解：， , 或， ，． 18. 如图，的对角线，交于点，过点且分别与，交于点、． 求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．由平行四边形的性质可得，，进而得到，证明即可求解． 【详解】略 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在图中画出该函数的图象； （3）根据（2）中的图象，当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】（1）； （2）函数图象如下： （3）． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据第（1）问中求得的函数解析式可化为顶点式，得出顶点坐标，进而画出函数图象； （3）先计算出当时的函数值，再根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解：， 列表： 0 3 0 0 3 描点，连线，函数图象；略 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， ，顶点坐标为，即时，有最小值为， ∴根据图象得：当时，y的取值范围为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 21. 近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】由平均增长率问题列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值，舍去）， ∴该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 答：该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为． 22. 如图，为正方形的对角线． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，直线和点即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，是对角线， ， 平分， ， ， 直线，即， ． 23. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 24. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出一条函数的性质：______． （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 【答案】（1）0 （2） 根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示． （3）图象关于轴对称（答案不唯一） （4）①3，3；② 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的单调区间，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，； 故答案为：0． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，③函数有最小值． 故答案为：图象关于轴对称（答案不唯一）； 【小问4详解】 解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程有3个实数根， 故答案为：3，3； ②由函数图象知：关于的方程有4个实数根， 的取值范围是， 故答案为：． 25. 抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． （1）求点C的坐标； （2）点D是第一象限内抛物线上的动点，当面积最大时，求D的坐标； （3）若直线与抛物线交于P，Q两点（P，Q都不与A，B重合），直线分别与y轴交于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明：该抛物线的解析式为， ∵直线与抛物线交于两点， ∴可设， ∵， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴， ∴． 令， 整理得， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式进行求解即可； （2）先求出，，连接，设，利用即可表示出的面积，利用二次函数的性质求其最值即可； （3）将抛物线的解析式配为，设，，根据可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，从而可得，可得，再联立和抛物线的方程消去y得到关于x的方程，利用韦达定理即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴； 【小问2详解】 解：令，得， 解得， ∴，， 如图，连接，设， ， ， ， ∴当时，面积最大， 时，， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $