专题34 探究弹力与弹簧伸长的关系——2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册（知识精讲+专项训练）

专题34 探究弹力与弹簧伸长的关系 必备知识 一、实验目的和方法 目的：验证。 方法：图像法处理数据 高中阶段，只要是描点作图，一定是直线，而不是折线或曲线！ 图像法：根据图像验证一次关系或求斜率和截距。 作图时让尽量多的点落在直线上，线外点尽量均匀分布两侧，误差过大的点要舍去。 二、实验器材 铁架台、弹簧、毫米刻度尺、钩码若干、坐标纸、铅笔。 三、实验原理 弹簧弹力：以钩码为研究对象，。 形变量：直接作差，。 看关系：作图。 四、实验步骤 (1) 安装实验装置； (2) 竖直悬挂测弹簧原长； (3) 挂一个钩码，静止后测长度，记录与； (4) 逐个增加钩码个数，重复实验，记录数据； 0 1 2 3 4 5 0 0 (5) 数据处理：利用表里的数据作图。 五、注意事项 (1) 为了不超过弹簧的弹性限度，钩码不要过重且不能一次挂很多； (2) 要先竖直悬挂然后再测原长； (3) 尽量用轻质弹簧； (4) 作图时千万不要连点作折线，要作直线。让尽量多的点落在图线上，线外的点均匀分布两侧，误差过大的点要舍去； (5) 计算时注意、的单位。 【典例1】如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个未知质量但质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与形变量的关系。 (1) 为完成实验，除了图甲中提供的实验器材，还需要的实验器材有：______、______。 (2) 实验中需要测量的物理量有：________________________________________。 (3) 为完成该实验，设计的实验步骤如下： A. 以弹簧形变量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组 对应的点，作拟合直线如图乙所示； B. 记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度，测量出一个钩码的重力； C. 将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺； D. 依次在弹簧下端挂上 1 个、2 个、3 个、4 个……钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，记录在表格内，然后取下钩码； E. 以弹簧形变量为自变量，写出弹力与弹簧形变量的关系式。首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数； F. 解释函数表达式中常数的物理意义； G. 整理仪器。 请你将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：________________________。 (4) 若实验开始时将图甲中的指针从 P 位置往下挪到 Q 位置，其余实验步骤不变且操作正确，则测量得到弹簧的劲度系数将________（选填"变大""不变"或"变小"）。 【答案】 (1) 刻度尺；弹簧测力计 (2) 所挂钩码的重力、弹簧原长、弹簧挂不同个数的钩码时所对应的长度 (3) CBDAEFG (4) 不变 【解析】 (1)(2) 实验探究 与 的关系，需要围绕 和 获取数据。弹簧弹力 通过钩码重力表示，故需用弹簧测力计测钩码重力；弹簧形变量 由原长与挂钩码时的长度之差得到，故需用刻度尺测量。 (3) 实验顺序为：安装器材 → 进行实验 → 处理数据 → 整理器材。先安装 C、B，再做实验 D，然后图像法处理数据并解释表达式 A、E、F，最后整理仪器 G，故为 CBDAEFG。 (4) 指针从 P 挪到 Q，只是测得的原长偏大。设弹簧长度为 、原长为 ，由胡克定律：，，两式求差得 。原长与各次长度同时增加同一常量，形变量差值及图线斜率不变，故劲度系数不变。 【反思】判断测量值偏大偏小的通用思路：写出待测量表达式 → 分析直接测量量的偏差 → 判断偏差是否影响结果；无影响则结果不变，有影响再据表达式判断偏大或偏小。 【典例2】某同学探究弹簧弹力与形变量的关系。 (1) 将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧。弹簧轴线和刻度尺都应在________（选填"水平"或"竖直"）方向。 (2) 弹簧自然悬挂，待弹簧________时，长度记为 ；弹簧下端挂上砝码盘时，弹簧长度记为 ；在砝码盘中每次增加 10 g 砝码，弹簧长度依次记为 至 。数据如下表。 代表符号 数值/cm 25.35 27.35 29.35 31.30 33.4 35.35 37.40 39.30 表中有一个数值记录不规范，代表符号为________。由表可知所用刻度尺的最小分度为________。 (3) 如图甲所示是该同学根据表中数据作出的图线，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与________（选填""或""）的差值。 (4) 由图甲可知弹簧的劲度系数为________ N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为________ g。（结果保留 2 位有效数字，重力加速度 g 取 9.8 N/kg） (5) 如图乙所示是另一组同学实验得到弹簧弹力 F 与弹簧伸长量 x 的 F-x 图线，由此可求出该组同学所用弹簧的劲度系数为________ N/m（结果保留 3 位有效数字），图线不过原点的原因是________________________________。 【答案】 (1) 竖直 (2) 静止；；1 mm (3) (4) 4.9；10 (5) 200；弹簧自身有重力，弹簧不受拉力时已有伸长量 【解析】 (1) 为保证弹簧拉力与砝码盘和砝码的重力大小相等，弹簧轴线应在竖直方向；为准确测量弹簧长度，刻度尺也应在竖直方向。 (2) 弹簧静止时记录原长；表中 与其他数据有效数字位数不同，记录不规范。规范数据读至 cm 的两位小数，最后一位为估读值，倒数第二位对应最小分度，故刻度尺最小分度为 1 mm。 (3) 图甲中所挂砝码质量为 0 时 x 为 0，故 。 (4) 由 ，图线斜率为 。劲度系数 ；砝码盘质量 。 (5) 斜率表示劲度系数：。当外力 F=0 时弹簧已因自身重力产生初始伸长，故图线不过原点。 【反思】①弹簧竖直悬挂时，弹簧自身重力会带来初始伸长，是 F-x 图像不过原点的常见原因；②胡克定律 F=kx 中 x 是形变量（伸长量/压缩量），不是弹簧总长；③劲度系数 k 等于 F-x 图线斜率，与截距无关。 【典例3】某学习小组利用如图甲所示装置测弹簧的劲度系数。内壁光滑且足够长的有机玻璃圆筒竖直放置在水平桌面上，圆筒里放入 5 个不吸水、不沾水的硬质小球及被小球压缩的轻质弹簧，小球的直径略小于筒的内径。现向筒内缓慢注水，待水刚好没过第一个小球稳定后，用刻度尺测出此时弹簧的长度并记录；继续缓慢注水，记录水没过小球的个数 N 和小球静止时对应的弹簧长度 l。已知弹簧原长为 10 cm，每个小球浸没于水中受到浮力的大小为 0.2 N。测量的数据和计算的弹簧形变量如表所示。 水没过小球个数 N 1 2 3 4 5 弹簧长度 l/cm 4.16 4.78 5.49 6.11 6.72 弹簧形变量 x/cm 5.84 5.22 （　） 3.89 3.28 (1) 当水浸没小球的个数 N=3 时，弹簧的形变量 x = ________ cm。 (2) 在图乙中描出另外的 3 个点，作出小球个数 N 和弹簧的形变量 x 的关系图线。 (3) 根据 N-x 图线，计算弹簧的劲度系数 k = ________ N/cm。（结果保留 2 位有效数字） 【答案】 (1) 4.51 (2) 描点作图，用直线拟合各点（图略） (3) 0.31（0.30 ~ 0.32 均可） 【解析】 (1) 弹簧形变量 = 原长 − 弹簧现长。N=3 时弹簧长度为 5.49 cm，故 x = 10 cm − 5.49 cm = 4.51 cm。 (2) (3) 由胡克定律推论 ，注意横轴数据不从 0 开始：。 【反思】弹簧被压缩时，形变量 x = 原长 − 现长；利用 与图像斜率求 k 时，不必纠结初始状态，只看变化量即可。 1．在“探究弹力与弹簧伸长的关系”的实验中。 （1）关于操作步骤先后顺序，下列说法正确的是__________。 A．先测量原长，后竖直悬挂 B．先竖直悬挂，后测量原长 C．先后顺序对实验结果无影响 D．先后顺序对实验结果的影响程度取决于弹簧的自重 （2）为了探求弹簧弹力F和弹簧伸长量x的关系，李强同学选了甲、乙两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图所示的图像，从图像上看，该同学没能完全按实验要求做，使图像上端成为曲线，图像上端成为曲线是因为______________________________________。这两根弹簧的劲度系数分别为：甲弹簧为__________N/m，乙弹簧为__________N/m。若要制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧__________（填“甲”或“乙”）。 （3）以下是一位同学准备完成的实验步骤，请你帮这位同学按操作的先后顺序，用字母排列出来是__________。 A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组数据（x，F）对应的点，并用平滑的曲线连结起来 B．记下弹簧不挂钩码时，其下端在刻度尺上的刻度L0 C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一刻度尺 D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码，并分别记下钩码静止时，弹簧下端所对应的刻度并记录在表格内，然后取下钩码 E.以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与弹簧伸长量的关系式 F.解释函数表达式中常数的物理意义 （4）下表是这位同学探究弹力大小与弹簧伸长量之间的关系所测的几组数据： 弹力（F/N） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 弹簧原来长度（L0/cm） 15 15 15 15 15 弹簧后来长度（L/cm） 16.2 17.3 18.5 19.6 20.8 弹簧伸长量（x/cm） ______ ______ ______ ______ ______ 请你算出每一次弹簧伸长量，并将结果填在上表的空格内；在下图的坐标上作出F—x图线____________；并写出曲线的函数表达式（x用cm作单位）：__________，其中常数的物理意义表示：__________。 【答案】 BD/DB 弹簧已经超过了弹簧的弹性限度 66.7 200 甲 CBDAEF 1.2 2.3 3.5 4.6 5.8 见解析 弹簧的劲度系数 【知识点】探究弹簧弹力与形变量的关系 【详解】（1）[1]为了准确测量弹簧的原长，并消除重力带来的影响，应先将弹簧竖直悬挂，再测原长，BD正确；故选BD。 （2）[2]向上弯曲的原因是超出了弹性限度，弹力不再呈线性变化； [3] 该图像中纵坐标为伸长量，横坐标为拉力，斜率的倒数为劲度系数，由此可求出 [4] 斜率的倒数为劲度系数，由此可求出 [5]由于甲的劲度系数小，因此其精度高，故选弹簧甲做精度较高的弹簧测力计。 （3）[6]首先组装器材，即C，然后进行实验，先要记下不挂砝码时的长度，然后再依次挂上1个、2个、3个、4个……钩码，下端所对应的刻度并记录在表格内，然后取下钩码，即BD，最后数据处理，首先建立直角坐标系，用描点法得出对应的函数关系，并解释相关物理量的意义，即为AEF。所以先后顺序为CBDAEF； （4）[7] 形变量为 [8] 形变量为 [9] 形变量为 [10] 形变量为 [11] 形变量为 [12] [13] 根据图像，该直线为过原点的一条直线，即弹力与伸长量成正比，即 [14]式中的常数表示弹簧的劲度系数，表示使弹簧每伸长或压缩0.01 m（1 cm）所需的拉力，大小为0.43N。 2．在“探究弹力与弹簧伸长的关系”的实验中。 （1）关于操作步骤先后顺序，下列说法正确的是___________ A．先测量原长，后竖直悬挂 B．先竖直悬挂，后测量原长 C．先后顺序对实验结果无影响 D．先后顺序对实验结果的影响程度取决于弹簧的自重 （2）为了探求弹簧弹力F和弹簧伸长量x的关系，李强同学选了甲、乙两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图所示的图像，从图象上看，该同学没能完全按实验要求做，使图像上端成为曲线，图象上端成为曲线是因为___________。若要制作一个精确度较高的弹簧秤，应选弹簧___________（填“甲”或“乙”） 【答案】 BD 弹簧已经超过了弹簧的弹性限度 甲 【知识点】探究弹簧弹力与形变量的关系 【详解】（1）[1]为了准确的测量弹簧的原长，并消除重力带来的影响，应先将弹簧悬挂，在则原长，故BD符合题意，AC不符合题意； （2）[2][3]向上弯曲说明 不再成立，只要原因是超出了弹簧的弹性限度； 注意该图中纵坐标是弹簧的伸长量，横坐标为拉力，斜率的倒数为劲度系数，由此可求出 由图可知，甲的劲度系数小，因此其精度高，若要制作一个精确度较高的弹簧秤，应选弹簧甲。 3．在“探究弹力与弹簧伸长的关系”的实验中． （1）关于操作步骤先后顺序，下列说法正确的是_____ A．先测量原长，后竖直悬挂     B．先竖直悬挂，后测量原长 C．先后顺序对实验结果无影响   D．先后顺序对实验结果的影响程度取决于弹簧的自重 （2）为了探求弹簧弹力F和弹簧伸长量x的关系，李强同学选了甲、乙两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图所示的图象，从图象上看，该同学没能完全按实验要求做，使图象上端成为曲线，图象上端成为曲线是因为____________________．这两根弹簧的劲度系数分别为：甲弹簧为_____N/m（结果保留3位有效数字）．若要制作一个精确度较高的弹簧秤，应选弹簧_____（填“甲”或“乙”）． 【答案】 BD 超过弹簧的弹性限度 66.7 甲 【知识点】探究弹簧弹力与形变量的关系 【详解】（1）[1] 为了准确测量弹簧的原长，并消除重力带来的影响，应先将弹簧悬挂，再测原长，故BD符合题意，AC不符合题意； （2）[2] 向上弯曲的原因是超出了弹性限度； [3] 注意该图象中纵坐标为伸长量，横坐标为拉力，斜率的倒数为劲度系数，由此可求出 [4] 由图可知，甲的劲度系数小，因此其精度高，若要制作一个精确度较高的弹簧秤，应选弹簧甲． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题34 探究弹力与弹簧伸长的关系 必备知识 一、实验目的和方法 目的：验证。 方法：图像法处理数据 高中阶段，只要是描点作图，一定是直线，而不是折线或曲线！ 图像法：根据图像验证一次关系或求斜率和截距。 作图时让尽量多的点落在直线上，线外点尽量均匀分布两侧，误差过大的点要舍去。 二、实验器材 铁架台、弹簧、毫米刻度尺、钩码若干、坐标纸、铅笔。 三、实验原理 弹簧弹力：以钩码为研究对象，。 形变量：直接作差，。 看关系：作图。 四、实验步骤 (1) 安装实验装置； (2) 竖直悬挂测弹簧原长； (3) 挂一个钩码，静止后测长度，记录与； (4) 逐个增加钩码个数，重复实验，记录数据； 0 1 2 3 4 5 0 0 (5) 数据处理：利用表里的数据作图。 五、注意事项 (1) 为了不超过弹簧的弹性限度，钩码不要过重且不能一次挂很多； (2) 要先竖直悬挂然后再测原长； (3) 尽量用轻质弹簧； (4) 作图时千万不要连点作折线，要作直线。让尽量多的点落在图线上，线外的点均匀分布两侧，误差过大的点要舍去； (5) 计算时注意、的单位。 【典例1】如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个未知质量但质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与形变量的关系。 (1) 为完成实验，除了图甲中提供的实验器材，还需要的实验器材有：______、______。 (2) 实验中需要测量的物理量有：________________________________________。 (3) 为完成该实验，设计的实验步骤如下： A. 以弹簧形变量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组 对应的点，作拟合直线如图乙所示； B. 记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度，测量出一个钩码的重力； C. 将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺； D. 依次在弹簧下端挂上 1 个、2 个、3 个、4 个……钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，记录在表格内，然后取下钩码； E. 以弹簧形变量为自变量，写出弹力与弹簧形变量的关系式。首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数； F. 解释函数表达式中常数的物理意义； G. 整理仪器。 请你将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：________________________。 (4) 若实验开始时将图甲中的指针从 P 位置往下挪到 Q 位置，其余实验步骤不变且操作正确，则测量得到弹簧的劲度系数将________（选填"变大""不变"或"变小"）。 【典例2】某同学探究弹簧弹力与形变量的关系。 (1) 将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧。弹簧轴线和刻度尺都应在________（选填"水平"或"竖直"）方向。 (2) 弹簧自然悬挂，待弹簧________时，长度记为 ；弹簧下端挂上砝码盘时，弹簧长度记为 ；在砝码盘中每次增加 10 g 砝码，弹簧长度依次记为 至 。数据如下表。 代表符号 数值/cm 25.35 27.35 29.35 31.30 33.4 35.35 37.40 39.30 表中有一个数值记录不规范，代表符号为________。由表可知所用刻度尺的最小分度为________。 (3) 如图甲所示是该同学根据表中数据作出的图线，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与________（选填""或""）的差值。 (4) 由图甲可知弹簧的劲度系数为________ N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为________ g。（结果保留 2 位有效数字，重力加速度 g 取 9.8 N/kg） (5) 如图乙所示是另一组同学实验得到弹簧弹力 F 与弹簧伸长量 x 的 F-x 图线，由此可求出该组同学所用弹簧的劲度系数为________ N/m（结果保留 3 位有效数字），图线不过原点的原因是________________________________。 【典例3】某学习小组利用如图甲所示装置测弹簧的劲度系数。内壁光滑且足够长的有机玻璃圆筒竖直放置在水平桌面上，圆筒里放入 5 个不吸水、不沾水的硬质小球及被小球压缩的轻质弹簧，小球的直径略小于筒的内径。现向筒内缓慢注水，待水刚好没过第一个小球稳定后，用刻度尺测出此时弹簧的长度并记录；继续缓慢注水，记录水没过小球的个数 N 和小球静止时对应的弹簧长度 l。已知弹簧原长为 10 cm，每个小球浸没于水中受到浮力的大小为 0.2 N。测量的数据和计算的弹簧形变量如表所示。 水没过小球个数 N 1 2 3 4 5 弹簧长度 l/cm 4.16 4.78 5.49 6.11 6.72 弹簧形变量 x/cm 5.84 5.22 （　） 3.89 3.28 (1) 当水浸没小球的个数 N=3 时，弹簧的形变量 x = ________ cm。 (2) 在图乙中描出另外的 3 个点，作出小球个数 N 和弹簧的形变量 x 的关系图线。 (3) 根据 N-x 图线，计算弹簧的劲度系数 k = ________ N/cm。（结果保留 2 位有效数字） 1．在“探究弹力与弹簧伸长的关系”的实验中。 （1）关于操作步骤先后顺序，下列说法正确的是__________。 A．先测量原长，后竖直悬挂 B．先竖直悬挂，后测量原长 C．先后顺序对实验结果无影响 D．先后顺序对实验结果的影响程度取决于弹簧的自重 （2）为了探求弹簧弹力F和弹簧伸长量x的关系，李强同学选了甲、乙两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图所示的图像，从图像上看，该同学没能完全按实验要求做，使图像上端成为曲线，图像上端成为曲线是因为______________________________________。这两根弹簧的劲度系数分别为：甲弹簧为__________N/m，乙弹簧为__________N/m。若要制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧__________（填“甲”或“乙”）。 （3）以下是一位同学准备完成的实验步骤，请你帮这位同学按操作的先后顺序，用字母排列出来是__________。 A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组数据（x，F）对应的点，并用平滑的曲线连结起来 B．记下弹簧不挂钩码时，其下端在刻度尺上的刻度L0 C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一刻度尺 D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码，并分别记下钩码静止时，弹簧下端所对应的刻度并记录在表格内，然后取下钩码 E.以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与弹簧伸长量的关系式 F.解释函数表达式中常数的物理意义 （4）下表是这位同学探究弹力大小与弹簧伸长量之间的关系所测的几组数据： 弹力（F/N） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 弹簧原来长度（L0/cm） 15 15 15 15 15 弹簧后来长度（L/cm） 16.2 17.3 18.5 19.6 20.8 弹簧伸长量（x/cm） ______ ______ ______ ______ ______ 请你算出每一次弹簧伸长量，并将结果填在上表的空格内；在下图的坐标上作出F—x图线____________；并写出曲线的函数表达式（x用cm作单位）：__________，其中常数的物理意义表示：__________。 2．在“探究弹力与弹簧伸长的关系”的实验中。 （1）关于操作步骤先后顺序，下列说法正确的是___________ A．先测量原长，后竖直悬挂 B．先竖直悬挂，后测量原长 C．先后顺序对实验结果无影响 D．先后顺序对实验结果的影响程度取决于弹簧的自重 （2）为了探求弹簧弹力F和弹簧伸长量x的关系，李强同学选了甲、乙两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图所示的图像，从图象上看，该同学没能完全按实验要求做，使图像上端成为曲线，图象上端成为曲线是因为___________。若要制作一个精确度较高的弹簧秤，应选弹簧___________（填“甲”或“乙”） 3．在“探究弹力与弹簧伸长的关系”的实验中． （1）关于操作步骤先后顺序，下列说法正确的是_____ A．先测量原长，后竖直悬挂     B．先竖直悬挂，后测量原长 C．先后顺序对实验结果无影响   D．先后顺序对实验结果的影响程度取决于弹簧的自重 （2）为了探求弹簧弹力F和弹簧伸长量x的关系，李强同学选了甲、乙两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图所示的图象，从图象上看，该同学没能完全按实验要求做，使图象上端成为曲线，图象上端成为曲线是因为____________________．这两根弹簧的劲度系数分别为：甲弹簧为_____N/m（结果保留3位有效数字）．若要制作一个精确度较高的弹簧秤，应选弹簧_____（填“甲”或“乙”）． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $