2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

数学课时教学设计 课题 二次函数与一元二次 方程、不等式 执教者 教学思路设计 本课以“用函数观点统一‘三个二次’”为贯穿始终的逻辑主线，遵循“情境抽象—零点探源—图象求解—应用巩固”的路径展开。导入环节通过“用栅栏围矩形区域”的实际问题，引导学生列出不等式、抽象出一元二次不等式概念。环节一通过回顾“三个一次”的图象、方程、不等式关系，类比迁移到二次函数，认识二次函数的零点，建立二次函数零点与一元二次方程根的联系。环节二通过探究“三个二次”的关系，借助二次函数图象归纳一元二次不等式在Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情形下的解集规律，总结“化标准—算Δ求根—画草图写解集”的解法步骤。环节三通过典型例题、变式训练与实际应用，巩固解法并体会数形结合、化归与转化思想。最后，通过分层作业引导学生总结反思，实现知识迁移。 学情 分析 1.学生在初中已学习一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的图象关系（“三个一次”），初步积累数形结合的经验；已掌握二次函数的图象与性质、一元二次方程的求根公式与判别式，为本节课的学习提供了知识基础。 2.高一学生具备一定的抽象概括与逻辑推理能力，能够从具体情境中抽象出数学模型，但将二次函数图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集三者建立统一联系仍有困难，容易割裂地看待“三个二次”，需要借助图象直观引导其整体把握。 3.学生对“用函数的观点看方程、不等式”缺乏自觉意识，容易停留在机械记忆解法的层面，对“为什么要借助二次函数图象求解一元二次不等式”理解不深，需要引导其体会数形结合与化归的思想方法。 教材分析 内容要求 1.从函数观点看一元二次方程：会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。 2.从函数观点看一元二次不等式：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，能用集合表示一元二次不等式的解集。（依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》） 教材地位 本节是人教A版必修第一册第二章“一元二次函数、方程和不等式”第2.3节的内容。它上承初中“三个一次”的数形结合思想与本章2.1、2.2节的不等式性质、基本不等式，以二次函数图象为纽带，将一元二次方程、一元二次不等式统一起来，集中体现了函数思想、数形结合思想与化归思想，是学生从“方程视角”走向“函数视角”的关键内容；同时为后续学习函数的零点与方程的解、函数的应用以及导数等内容奠定基础，在高中数学学习中起着承上启下的作用。 教学目标、重难 目标： 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，理解一元二次不等式的概念，体会其现实意义（数学抽象）。 2.理解二次函数零点的概念，掌握一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系，会结合图象判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数（直观想象、逻辑推理）。 3.能借助二次函数图象求解一元二次不等式，并用集合表示解集，理解“三个二次”之间的内在联系，体会数形结合与化归转化思想（数学运算、直观想象）。 重点： 1.一元二次不等式的概念及其实际背景。 2.借助二次函数图象求解一元二次不等式，理解“三个二次”的关系。 难点： 1.理解二次函数零点、一元二次方程根与一元二次不等式解集之间的联系，尤其是Δ=0、Δ<0两种情形下解集的确定。 2.将“三个一次”的已有经验类比迁移到“三个二次”，并形成一般化的解法步骤。 教学资源 PPT课件、GeoGebra动态演示（二次函数图象随判别式变化）、情境与例题学案、实物投影。 解读 方法 教学方法 问题驱动法、启发探究法、数形结合法 学习方法 自主探究法、合作交流法、类比迁移法 教学手段 PPT课件、GeoGebra动态演示，问题任务驱动 教学准备 搜集本节课所需教学资源并整合，针对这一节的内容研读课程标准、教材、学情，设计编写本节课教学方案 教 学 过 程 教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 目标达成 导入 一元二次不等式的实际背景与概念 1.情境呈现：园艺师打算用24 m长的栅栏围一个矩形区域种植花卉，要求围成的区域面积大于20 ㎡。设矩形的一边长为x m，提出问题：另一边长如何表示？面积应满足什么条件？ 2.引导列式：由面积大于20可得x(12－x)>20，即－x²＋12x－20>0，写成标准形式x²－12x＋20<0。 3.提问归纳：这个不等式与一元一次不等式有什么不同？能否给它命名？归纳一元二次不等式的概念（ax²＋bx＋c>0或ax²＋bx＋c<0，a≠0）。 1.根据题意列式并化简，得到不等式x²－12x＋20<0。 2.观察不等式特征，类比一元一次不等式尝试命名，理解一元二次不等式的概念。 从生活情境中抽象出一元二次不等式，理解其概念与现实意义，明确本节课的研究对象。 环节一 二次函数的零点——从“三个一次”到“三个二次” 1.回顾引路：一次函数y＝x－2的图象、一元一次方程x－2＝0的根、一元一次不等式x－2>0的解集有什么关系？（图象与x轴交点的横坐标＝方程的根＝不等式解集的端点） 2.类比提问：能否从二次函数y＝x²－x－2的观点看方程x²－x－2＝0和不等式x²－x－2>0？ 3.给出零点概念：使ax²＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax²＋bx＋c的零点，强调“零点不是点，而是图象与x轴交点的横坐标”。 4.引导归纳：结合图象与判别式，判断一元二次方程实根的存在性及个数（Δ>0两个实根，Δ=0一个实根，Δ<0无实根）。 1.回顾“三个一次”的关系，体会数形结合。 2.类比迁移，提出“从二次函数观点看方程、不等式”的猜想。 3.结合图象归纳零点概念，理解零点与方程根的关系。 4.用判别式判断方程实根的存在性及个数，并在小组内交流。 类比“三个一次”建立二次函数零点与一元二次方程根的联系，发展直观想象与逻辑推理素养。 环节二 “三个二次”的关系——一元二次不等式的图象解法 1.探究任务：借助y＝x²－x－2的图象，求不等式x²－x－2>0与x²－x－2<0的解集。 2.引导观察：图象在x轴上方的部分对应y>0，在x轴下方的部分对应y<0，图象与x轴交点的横坐标即对应方程的根。 3.组织归纳：以二次项系数a>0为例，通过表格归纳Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情形下ax²＋bx＋c>0（<0）的解集规律。 4.总结步骤：解一元二次不等式的一般步骤——“化标准（a>0）→算Δ、求根→画草图、写解集”，强调“Δ>0时大于取两边、小于取中间”。 1.结合图象自主探究，写出不等式解集，并用集合表示。 2.小组合作，完成三种情形下解集的归纳表。 3.总结解法步骤，交流每一步的依据与易错点。 借助图象理解“三个二次”的内在联系，掌握一元二次不等式的图象解法与解集规律，体会分类讨论与数形结合思想。 环节三 应用与巩固——解不等式与实际问题 1.例题示范：解不等式（1）x²－5x＋6>0；（2）9x²－6x＋1>0；（3）－x²＋2x－3>0（先化标准，再求解）。 2.变式练习：解不等式x²－2x＋3>0，辨析Δ<0情形下的解集。 3.回归情境：运用所学解决导入中的“栅栏围矩形”问题，用集合表示解集。 4.点拨提升：强调书写规范，关注二次项系数为负时先化标准、不等号方向变化的问题。 1.独立解答或板演例题，交流解法。 2.完成变式练习，辨析Δ=0、Δ<0情形下解集的确定。 3.解决实际情境问题，体会数学建模与数学应用。 4.回顾总结本节课的知识与方法。 掌握解一元二次不等式的一般步骤，能规范地用集合表示解集，并能解决简单的实际问题。 小结 展示本节课知识框架图（“三个二次”关系图：二次函数图象↔一元二次方程根↔一元二次不等式解集）。 根据框架图巩固本节课知识，构建“三个二次”关系的知识框架。 借助知识框架图，学生能梳理“三个二次”的内在联系，形成结构化认知，体会函数思想。 作业 “三个二次”分层作业 布置分层作业： 1.基础巩固：解不等式（1）3x²－7x＋2<0；（2）－2x²＋x＋3<0。 2.综合探究：已知二次函数y＝x²－3x－4，写出其零点及方程x²－3x－4＝0的根，借助图象求不等式x²－3x－4>0与x²－3x－4<0的解集，并说明“三个二次”之间的关系。 3.实践应用：学校要在一块空地上围成一个面积不小于32 ㎡的矩形场地，栅栏总长为24 m，设一边长为x m，列出不等式并求出解集。 课后独立完成作业，并在下次课交流解法、相互评价。 巩固“三个二次”的关系与解法步骤，检验学生的抽象、运算与应用能力，实现知识迁移。 板书 设计 2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式 一、一元二次不等式：ax²＋bx＋c>0（<0）（a≠0） 二、二次函数的零点：使f(x)＝0的实数x（图象与x轴交点的横坐标） 三、“三个二次”的关系：图象与x轴交点横坐标⇔方程的根⇔不等式解集的端点 四、解法三步骤：化标准（a>0）→算Δ、求根→画草图、写解集 Δ>0：大于取两边，小于取中间；Δ=0：看图象定解集；Δ<0：解集为R或∅ 教学 效果 预测 预计大部分学生能够通过“三个一次”的类比迁移和图象直观，理解“三个二次”的关系，掌握借助二次函数图象求解一元二次不等式的一般步骤，并能用集合规范表示解集。但在Δ=0、Δ<0两种情形下解集的确定、二次项系数为负时先化标准这两点上，部分学生可能仍会出错，需要在后续练习中强化巩固。对“三个二次”关系的深层理解（如解集端点与对应方程根的一致性）部分学生可能停留在表面记忆，需要借助例题变式和实际应用进一步体会数形结合与化归思想。作业环节能较好检验学生的综合运用能力，部分学生可能在建立实际问题的数学模型时表述不够规范，可在下次课进行简要点评。 学科网（北京）股份有限公司 $