3.1 第3课时 反比例关系（课件）--2026-2027学年人教版数学七年级上册

# 人教版七年级上册数学 3.1 第3课时 反比例关系 专项练习 ## 一\(x\(v\(x、y\)t\)y\)知识梳理 **反比例关系**：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，如果**两个量的乘积始终是定值（$k eq0$）**，这两个量叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系。 用字母表示：$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(x\(y=\)k\)}\)}$（$k$为常数，$k eq0$），变形可得 $\boldsymbol{\(y=\)\dfrac{k}{x}}$。 对比正比例： - 正比例：$\dfrac{y}{x}=k$，**比值一定**；一个变大，另一个跟着变大。 - 反比例：$\(\boldsymbol{\(x\(y=\)k\)}\)$，**乘积一定**；一个变大，另一个反而变小。 判断三要素： ① 两个量相关联；② 一个变化，另一个跟着变；③ **乘积固定不变，不为0**。 > 易错提醒： 1. 必须是**乘积一定**，不是和\(x\(v\(x、y\)t\)y\)差\(x\(v\(x、y\)t\)y\)商一定； 2. $k$不能等于0； 3. 不能只看“一增一减”，一定要验证乘积是否不变。 ## 二\(x\(v\(x、y\)t\)y\)基础巩固（填空题） 1. 如果两个相关联的量$x\(x\(v\(x、y\)t\)y\)y$的____一定（不为0），那么$x\(x\(v\(x、y\)t\)y\)y$成反比例关系，关系式是________。 2. 路程$s$固定，速度$v$与时间$t$满足$\(vt=s\)$，则速度和时间成____比例关系。 3. 长方形面积一定，长和宽成____比例。 4. 已知$\(x\(y=\)24\)$，那么$x$与$y$成____比例；当$\(x=4\)$，$\(y=\)$____。 5. 一批货物总量不变，每天运的吨数和运货天数成____比例。 6. 若$\(y=\)\dfrac{12}{x}$，则$x\(y=\)$____，$x$和$y$成反比例。 ## 三\(x\(v\(x、y\)t\)y\)判断题（对打√，错打×） 1. 总工作量一定，工作效率和工作时间成反比例。（） 2. 圆的周长一定，直径和圆周率成反比例。（） 3. $x\(y=\)15$，$x$与$y$成反比例。（） 4. 一个人的身高和体重成反比例。（） 5. 总价一定，单价与购买数量成反比例。（） 6. $\(y=\)3x$，$x$和$y$成反比例。（） ## 四\(x\(v\(x、y\)t\)y\)选择题 1. 下面各组量，成反比例关系的是（） A. 单价一定，总价和数量 B. 面积一定，长方形长与宽 C. 年龄一定，身高与体重 D. 速度一定，路程与时间 2. 已知$x$与$y$成反比例，当$\(x=3\)$时$\(y=\)8$，则$k$的值是（） A.$11$ B.$24$ C.$\dfrac38$ D.$\dfrac83$ 3. 下列关系式，表示反比例关系的是（） A.$\dfrac{y}{x}=5$ B.$x+\(y=\)10$ C.$x\(y=\)7$ D.$x-\(y=\)2$ 4. 圆柱体积不变，底面积和高（） A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例 D.无法判断 5. 已知$a$\(x\(v\(x、y\)t\)y\)$b$成反比例，下列式子成立的是（） A.$\dfrac{a}{b}=k$ B.$\(a+b=k\)$ C.$\(ab=k\)$ D.$a-b=k$ ## 五\(x\(v\(x、y\)t\)y\)写出关系式并判断是否成反比例 1. 路程120千米，速度$v$，时间$t$ 2. 长方形面积$36\mathrm{cm}^2$，长$a$，宽$b$ 3. 一本书共200页，已读页数$x$，剩余页数$y$ 4. 工作总量60，工作效率$m$，工作时间$n$ ## 六\(x\(v\(x、y\)t\)y\)解答题 1. 一批物资总重180吨，每天运$x$吨，$y$天运完。 （1）写出$\(x,y\)$关系式；（2）判断是什么比例；（3）若每天运30吨，需要几天？ 2. 一个容器要装300$\mathrm{cm^3}$水，底面积$S$，水面高度$h$。 （1）写出$S$与$h$的代数式；（2）判断是否成反比例。 3. 已知$\(x,y\)$成反比例，当$\(x=6\)$，$\(y=\)4$。求当$\(x=8\)$时，$y$的值。 4. 京沪铁路全程1463 km，列车平均速度$v$，运行时间$t$，写出关系式，判断比例关系。 ## 七\(x\(v\(x、y\)t\)y\)能力提升 1. 判断：三角形面积一定，底边长和这条底上的高是否成反比例，说明理由。 2. 已知$(x+2)\(y=\)10$，判断$x\(x\(v\(x、y\)t\)y\)y$是不是成反比例，说明理由。 ## 八\(x\(v\(x、y\)t\)y\)参考答案 ### 一\(x\(v\(x、y\)t\)y\)基础巩固 1. 乘积；$\(\boldsymbol{\(x\(y=\)k\)}\)(k eq0)$ 2. 反 3. 反 4. 反；$6$ 5. 反 6.$12$ ### 二\(x\(v\(x、y\)t\)y\)判断题 1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.× ### 三\(x\(v\(x、y\)t\)y\)选择题 1.B 2.B 3.C 4.B 5.C ### 五\(x\(v\(x、y\)t\)y\)关系式与判断 1.$\(vt=120\)$，乘积定值，**成反比例** 2.$\(ab=36\)$，乘积定值，**成反比例** 3.$x+\(y=\)200$，和一定，**不成反比例** 4.$\(mn=60\)$，乘积定值，**成反比例** ### 六\(x\(v\(x、y\)t\)y\)解答题 1.（1）$x\(y=\)180$；（2）反比例；（3）$180\div30=6$天 2.（1）$\(Sh=300\)$；（2）乘积固定，成反比例 3.$k=6\times4=24$；$\(y=\)\dfrac{24}{8}=3$ 4.$\(vt=1463\)$，乘积固定，$v\(x\(v\(x、y\)t\)y\)t$成反比例 ### 七\(x\(v\(x、y\)t\)y\)能力提升 1. $S=\dfrac12 ah$，$\(ah=2S\)$，面积一定，则$2S$定值，底与高乘积一定，**成反比例**。 2. 不是反比例。反比例要求$x\(x\(v\(x、y\)t\)y\)y$两个变量乘积为常数，本式展开$xy+2\(y=\)10$，$xy$不是定值。 ## 九\(x\(v\(x、y\)t\)y\)易错总结 1. 核心判定口诀：**积定反，商定正；和差一定不成比例**。 2. 圆周率$\pi$是固定常数，不是变量，所以周长一定，直径与$\pi$不成比例。 3. 注意区分：两个量必须都是**变量**，不能一个是固定常数。 4. 写代数式时，记住$\(\boldsymbol{\(x\(y=\)k\)}\)$，变形$\(y=\)\dfrac{k}{x}$，这是后续反比例函数的基础。 下一节是**3.2 代数式的值**，或者把这份反比例练习扩写到1410字，和前面整套试卷统一篇幅？ 人教版（新教材）数学七年级上册 3.1 第3课时 反比例关系 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三章 代数式 1. 能辨别两个成反比例的量，理解反比例关系的概念. 2. 能识别生活具体情景中的反比例关系，并能清晰的描述出来. 3. 从实际问题中抽象出数学的概念，体会数学在生活中的应用. 重点：能理解和表示反比例关系，会计算比例系数. 难点：能从实际问题中抽象出反比例关系并准确表示 出来. 素养目标 新知引入 某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5 m2范围内苹果的识别. （1）该机器人t s能识别多大范围内的苹果？ 本章引言中的问题： t s能识别的范围（单位：m2）是 5×t＝5t. 机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的（等于5）. 因此，机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系. 新知引入 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系. 思考： 如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间有怎样的关系？ 问题：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260 000 m3. 解答下列问题： (1) 根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表 (2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系? 每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 … 造雪天数 … 探究新知 思考：这个问题有哪些量？它们之间什么关系？ 造雪总量，造雪天数，每天造雪量 探究新知 问题：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260 000 m3. 解答下列问题： (1) 根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表 每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 … 造雪天数 52 50 40 … 解：（1）当每天造雪量为5000 m3时，造雪天数为=52； 当每天造雪量为5200 m3时，造雪天数为=50； 当每天造雪量为6500 m3时，造雪天数为=40. 探究新知 问题：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260 000 m3. 解答下列问题： (2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系? 解：（2）造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260000. 例如，5000×52=5200×50=6500×40=260000. 探究新知 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 如果用字母x 和y 表示两个相关联的量，用k 表示它们的积(k是一个确定的值，且 k≠0)，反比例关系可以用 xy=k或来表示，其中k叫作比例系数. 探究新知 说一说：你能说出正、反比例的关系的特点吗？ 若x，y是两个相关联的量 正比例关系： y=kx（k是一个确定的值，且k≠0) 反比例关系： xy=k或（k是一个确定的值，且k≠0) 探究新知 练一练：判断下面各题中的两种量是否成反比例关系. （1）汽车的速度一定，行驶的路程和时间. 答：路程÷时间=速度（一定），成正比例关系，不是反比例关系. （2）住房面积一定，居住人口数和人均住房面积. 答：居住人口数×人均住房面积=住房面积（一定），是反比例关系. （3）生产电脑的台数一定，每天生产的台数和所用天数. 答：每天生产的台数×所用天数=生产电脑的台数（一定），是反比例关系. 探究新知 判断两种量是否成反比例关系的方法 (1)一个量随着另一个量的变化而变化，且变化的方向相反，即一个量随着另一个量的变大而变小； (2)这两个量中相对应的两个数的乘积一定，即xy =k(一定). 探究新知 例：如图 ，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm²，20cm²，30cm²，60cm²。分别往这四个容器中注入300 cm3的水。 (1)四个容器中水的高度分别是多少厘米? (2)分别用 x (单位:cm²)和 y (单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 y 与 x 的关系，y 与 x 成什么比例关系? 分析：这个问题中有三个量：圆柱的体积、底面积和高， 满足的关系为： 圆柱的体积=底面积×高，高=. 探究新知 解: (1)四个容器中水的高度分别为 , ， ， . (2)xy=300，y与x成反比例关系。 注意：抓住圆柱的体积、底面积及高三个量间的关系。 探究新知 思考：生活中，成反比例关系的例子是很常见的。例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系，你还能举出一些例子吗? 长方形的面积一定，长与宽成反比例关系. 铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数成反比例关系. 路程一定，速度与时间成反比例关系. …… 探究新知 1. 下列说法正确的是 ( ) ①用同一种砖铺地，所铺的面积和块数成正比例. ② 小明从家到学校，平均每分钟走的路程和所用的时间成反比例. ③ 正方形的周长和它的边长不成比例. ④ 圆的面积和它的半径不成比例. A.①②③ B.①②④ C.①④ D.②③ B 当堂检测 2. 若 x∶2＝ y∶4 (x，y 均不为 0)，x 和 y 成_____比例； 若 (x，y 均不为 0)， x 和 y 成 比例. 3. 如表，若 x 与 y 成正比例，则 m = ( )； 若 x 与 y 成反比例，则 n = ( ). y 4 6 m x n 4 8 12 6 正 反 当堂检测 4. 用收割机收割一片麦田，每天收割的面积和需要的天数如下表. 120 60 40 20 ··· 1 2 3 6 ··· 每天收割的面积 (公顷) 需要的天数 (1) 表中 和 是相关联的量， 随着 的变化而变化. (2) 表中这两种量相对应的两个数的积是 ，这个积所表示的意义是 . (3) 因为每天收割的面积和需要的天数的 是一定的，所以每天收割的面积和需要的天数成 比例. 每天收割的面积 需要的天数 每天收割的面积 时间 120 麦田的总面积一定 乘积 反 当堂检测 知识点 反比例关系 1.下列等式中，与 成反比例关系的是( ) B A. B. C. D. 举一反三 19 2.下列各组变量中，成反比例关系的是( ) B A.人的身高与年龄 B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C.长方形的周长一定，它的长和宽 D.圆的周长与它的半径 举一反三 20 3.在总价、单价、数量这三个量中，当单价一定时，总价和数量成____ 比例关系；当总价一定时，单价和数量成____比例关系.（填“正”或 “反”） 正 反 举一反三 21 4.下表中和 两个量成反比例关系，请把表格填写完整. 2 40 5 0.1 50 100 0.25 12 举一反三 22 5.（8分）石衡高速开通后，极大方便了两地居民的出行，淇淇了解到 石衡高速主线全长约 ，一辆轿车从石家庄出发开往衡水，轿车到 达衡水所需的时间和行驶的平均速度 之间有怎样的关系？ 解：根据题意，得这辆轿车到达衡水所需时间 与行驶的平均速度 之间的关系式为，和 成反比例关系. 举一反三 23 6. 物理上用压强来表示压力产生的效果，压强越大， 压力的作用效果越明显.对于固体，物体的压力（单位： ）一定时， 压强与受力面积成反比例，其部分对应数值如下表，则 的值为 ( ) 受力面积（单位： ） 10 7 压强（单位： ） 70 98 140 C A.980 B.920 C.14 D.10 举一反三 24 反比例关系 反比例关系 正比例关系与反比例关系的区别 反比例关系的表示方法 课堂小结 谢谢观看 THANKS $