第13讲 二次函数的图像与性质 2027年中考数学一轮复习讲义

第13讲 二次函数的图像与性质 内 容 导 航 知识点1 二次函数的相关概念 知识点2 二次函数的图像与性质 知识点3 二次函数的图像变换 知识点4 二次函数与方程、不等式 知识点5 二次函数的相关概念 知识点6 二次函数的图像与性质 知识点7 二次函数的图像变换 题型1 二次函数的图象 题型2 二次函数的性质 题型3 二次函数的三种形式 题型4 二次函数图象与系数的关系 题型5 二次函数图象上点的坐标特征 题型6 二次函数图象与几何变换 题型7 待定系数法求二次函数解析式 题型8 二次函数的最值 题型9 抛物线与x轴的交点 题型10 图象法求一元二次方程的近似根 知 识 点 通 关 知识点1 二次函数的相关概念 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 使用条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【解读】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 知识点2 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的图像特征与a，b，c及的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 知识点3 二次函数的图像变换 1. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2. 二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识点4 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 知识点5 二次函数的相关概念 01 二次函数中参数的取值范围 方法：二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2. 易错：忽略二次项系数不能为0的限制条件. 02 待定系数法求函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 知识点6 二次函数的图像与性质 比较二次函数函数值大小 设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. 函数图像的综合判定 解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解. 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 二次函数的对称 1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称的两点纵坐标相同，且这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2)若抛物线上有两点，则抛物线的对称轴方程为x= 3）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 4）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y） 二次函数的最值问题 知识点7 二次函数的图像变换 翻折变换 ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值. 考 点 演 练 题型1 二次函数的图象 【典例1】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＝cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故b＜0， 所以y＝cx2+ax+b的图象大致是：抛物线开口向上，图象与y轴的负半轴相交，对称轴在y轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 【变式1】已知关于x的二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．最小值为1 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1， ∴抛物线的开口向上，A选项不符合题意； 对称轴为直线x＝2，B选项不符合题意； ∴当x＝2时，函数有最小值为1，C选项不符合题意； 当x＜2时，y随x的增大而减小，D选项符合题意． 故选：D． 题型2 二次函数的性质 【典例1】开口向上，顶点坐标为（﹣2，3）的抛物线为（　　） A．y＝2（x﹣2）2﹣3 B．y＝2（x+2）2+3 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣2（x+2）2+3 【答案】B 【解答】解：根据顶点式判断顶点的方法可知， A、抛物线的顶点为（2，﹣3）； B、抛物线的顶点为（﹣2，3）； C、抛物线的顶点为（2，﹣3）； D、抛物线的顶点为（2，3）． 故选：B． 【变式1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为（1，﹣4） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解答】解：将二次函数一般式化为顶点式可得： y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），B、C选项说法正确， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，因此D选项说法错误． 综上，只有D选项符合题意． 故选：D． 题型3 二次函数的三种形式 【典例1】将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：yx2﹣6x+21 （x2﹣12x+36）﹣18+21 （x﹣6）2+3． 故选：D． 【变式1】用配方法将二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣4 C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2+2 【答案】C 【解答】解：y＝﹣x2﹣2x﹣3 ＝﹣[（x+1）2+3﹣1] ＝﹣（x+1）2﹣2． 故选：C． 题型4 二次函数图象与系数的关系 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）2＞b2；④3a+c＜0；⑤a+b＞m（am+b）（m为实数且m≠1）．其中正确的结论有（　　） A．②④⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵1， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故此选项错误； ②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确； ③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；当x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0， ∴（a+c）2＜b2，故此选项错误； ④当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴9a﹣6a+c＜0，得3a+c＜0，故此选项正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时y＝a+b+c， ∴m为实数且m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确． 故选：A． 【变式1】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＞0；②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；③对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≤0；④8a+c＞0．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在x轴上方， ∴a＜0，c＞0， ∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，①错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下， ∴am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0，③正确； 由图象可知x＝﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， ∵b＝﹣2a， ∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，④正确． 故选：B． 题型5 二次函数图象上点的坐标特征 【典例1】已知抛物线y＝2（x+1）2+1经过（2，y1），（1，y2）两点，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵﹣1＜1＜2，（2，y1），（1，y2）在对称轴右侧， ∴y1＞y2． 故选：B． 【变式1】已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x+2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【答案】A 【解答】解：二次函数y＝﹣（x+2）2+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣2， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点（﹣2，y1）距离对称轴有0个单位， （3，y2）距离对称轴有5个单位， （7，y3）距离对称轴有7个单位 ∵1＜4＜5， ∴y1＞y2＞y3， 故选：A． 题型6 二次函数图象与几何变换 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（　　） A．对称轴为直线x＝﹣1 B．顶点在第二象限 C．与直线y＝﹣3a的交点横坐标是﹣2和0 D．若x1＜﹣3＜x2＜﹣2，则y1＞y2 【答案】D 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象向右平移3个单位后得到y＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）﹣3a， 把（0，0）代入得9a﹣3b﹣3a＝0， ∴b＝2a， ∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，故A正确，不合题意； ∴顶点为（﹣1，﹣4a）， ∵a＜0， ∴﹣4a＞0， ∴顶点（﹣1，﹣4a）在第二象限，故B正确，不合题意； 令ax2+2ax﹣3a＝﹣3a，则ax2+2ax＝0， 解得x＝0或x＝﹣2， ∴抛物线与直线y＝﹣3a的交点横坐标是﹣2和0，故C正确，不合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∵x1＜﹣3＜x2＜﹣2， ∴y1＜y2，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，抛物线与抛物线交于点A（1，﹣2），以下结论： ①无论x取何值，y2总是负数； ②抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小； ④当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，n＝﹣2． 下列说法正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②④正确 C．只有③④不正确 D．①②③④都正确 【答案】C 【解答】解：∵， ∴y2的最大值为﹣1， ∴无论x取何值，y2总是负数，故①正确； ∵过A（1，﹣2）， ∴﹣2＝a（1+1）2+2． ∴a＝﹣1， ∴， ∴l1的顶点为（﹣1，2）， ∵， ∴l2顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，故②正确； 由题意得，， 又∵﹣6＜0， ∴当﹣3＜x＜1时，y1﹣y2的值随着x的增大而减小，故③错误； 根据题意得：当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，直线y＝n过l2的顶点或点A， 此时n＝﹣1或n＝﹣2，故④错误． 故选：C． 题型7 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 【答案】B 【解答】解：设抛物线y1为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可得：a＝1， ∴将（﹣1，2）代入可得y＝（x+1）2+2． 故选：B． 【变式1】已知函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（﹣1，﹣2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（　　） A．n＝2 B．n＝1 C．n＝0 D．n＝﹣1 【答案】D 【解答】解：把A（3，2），B（﹣1，﹣2）分别代入y＝ax2+bx+c得， ∴b＝﹣2a+1，c＝﹣3a﹣1， 把C（2，n）代入y＝ax2+bx+c得4a+2b+c＝n， ∴4a+2（﹣2a+1）﹣3a﹣1＝n， ∴an， ∴当n＝2时，a；当n＝1时，a＝0（不符合题意）；当n＝0时，a；当n＝﹣1时，a， ∴当n＝﹣1时，a的值最大． 故选：D． 题型8 二次函数的最值 【典例1】若函数y＝x2+ax+b在0≤x≤1的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【解答】解：对配方得，开口向上，对称轴为直线， 当，即a≥0 时，函数在0≤x≤1，y随着x的增大而增大， ∴当x＝0时，y有最小值，x＝1时，y有最大值， ∴M＝1+a+b，m＝b， ∴M﹣m＝1+a，结果不含b； 当，即a≤﹣2 时，函数在0≤x≤1，y随着x的增大而减小， 当x＝0时，y有最大值，x＝1时，y有最小值， ∴M＝b，m＝1+a+b， ∴M﹣m＝﹣1﹣a，结果不含b； 当﹣1≤a＜0 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在x＝1处取得， ∴， ∴，结果不含b； 当﹣2＜a＜﹣1 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在x＝0处取得， ∴， ∴，结果不含b， 综上，所有情况的M﹣m都只与a有关，不含b，因此M﹣m与a有关，与b无关． 故选：B． 【变式1】如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm．动点P从点A出发，以2mm/s的速度沿边AB向终点B运动；动点Q从点B同时出发，以4mm/s的速度沿边BC向终点C运动．设出发时间为ts．有下列结论： ①当t＝2s时，AP＝CQ；②当1≤t≤5时，△BPQ的最大面积为36mm2；③t有两个不同的值满足△BPQ的面积为四边形APQC面积的．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：由题意得，AP＝2tmm，BQ＝4tmm， ∴CQ＝BC﹣BQ＝（24﹣4t）mm， 当t＝2s时，则AP＝4mm，CQ＝16mm， ∴当t＝2s时，AP≠CQ，故①说法错误； S△BPQ4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36， ∵﹣4＜0， ∴t＝3时，S有最大值36， ∴当1≤t≤5时，△BPQ的最大面积为36mm2，故②符合题意； ∵S△ABC144mm2，S△BPQ＝﹣4t2+24t， △BPQ的面积为四边形APQC面积的， ∴S四边形APQC＝3S△BPQ， ∴3×（﹣4t2+24t）＝144， 整理得t2﹣6t+12＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×12＜0， ∴不存在t的值满足△BPQ的面积为四边形APQC面积的，故③错误； 故选：B． 题型9 抛物线与x轴的交点 【典例1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【解答】解：∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵二次函数的图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错； ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣4a， ∴4a+b＝0，②正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵b＝﹣4a， ∴a﹣4a+c＝0， ∴c＝3a， ∵二次函数图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2， ∴，③正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2， ∴点B的坐标为（3，0）， ∵c＝3a， ∴点C的坐标为（0，3a）， 当x＝2，可得y＝4a+2b+c， 将c＝3a，b＝﹣4a代入，可得y＝﹣a， ∴点P的坐标为 （2，﹣a）， ∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2， ∵∠CPB＝90°， ∴PC2+PB2＝BC2， 可得4+16a2+1+a2＝9+9a2， 解得或， ∵a＜0， ∴，④正确． ④解法二 前面已证c＝3a，设C（0，3a）P（2，﹣a） ∵∠CPB＝90° ∴CP⊥PB ∴直线CP，PB对应一次函数斜率乘积为﹣1 ∴④正确 综上，正确的说法为②③④， 故选：A． 【变式1】关于抛物线y＝x2﹣6x+9，下列说法正确的是（　　） A．顶点坐标为（9，0） B．对称轴是直线x＝6 C．与x轴有两个不同的交点 D．当x＞3时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，a＝1＞0， ∴其开口向上，对称轴为x＝3，其顶点坐标为（3，0），故A、B错误； ∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D正确； 当y＝0时，x2﹣6x+9＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×9＝36﹣36＝0， 则与x轴有两个相同的交点即一个交点，故C错误， 故选：D． 题型10 图象法求一元二次方程的近似根 【典例1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c中部分x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y ﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是（　　） A．0.11＜x＜0.12 B．0.12＜x＜0.13 C．3.87＜x＜3.88 D．3.88＜x＜3.89 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣4ax+c的对称轴为直线x2， ∴（0.12，﹣1.5）关于对称轴的对称点为（3.88，﹣1.5），（0.13，0.9）关于对称轴的对称点为（3.87，0.9）， 由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0， ∴当x取3.87与3.88之间的某个数时，y＝0． ∴方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是3.87＜x＜3.88． 故选：C． 【变式1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间．有下列结论：①2a﹣b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间；③方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根：④a+b＞﹣2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1， ∴1， ∴2a﹣b＝0，故①正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在1和2之间， ∴另一个交点在﹣4和﹣3之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间，故②正确； ∵抛物线与y轴的交点纵坐标是2， ∴抛物线与直线y＝1一定有两个交点， ∴方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根，故③正确； ∵抛物线开口向下，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间， ∴当x＝1时，y＞0， ∴a+b+2＞0， ∴a+b＞﹣2，故④正确． 故选：D． 过 关 验 收 1．已知函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则函数y＝nx+m的图象可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，∵函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）， ∴抛物线与x轴的两个交点横坐标分别是m，n，且m＜0＜n，m＜﹣1， ∴y＝nx+m的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，且在﹣1之下， 故选：D． 2．小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程|x2﹣2x﹣3|＝n的根，他发现方程有四个不等实数根，则n的值可能是（　　） A．0 B．1 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：先看y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4． 这是开口向上的抛物线，顶点为（1，﹣4），与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）， y＝|x2﹣2x﹣3|的图象，是将原抛物线在x轴下方的部分翻折到x轴上方，此时图象的顶点变为（1，4），其余部分不变，如图所示： ， 当n＝0时，直线y＝0与图象交于（﹣1，0）和（3，0），共2个交点， 当0＜n＜4时，直线Y＝n与图象交于4个不同的点， 当n＝4时，直线y＝4与图象交于3个点， 当n＞4时，直线y＝n与图象交于2个点， ∵题目要求方程有四个不等实数根， ∴0＜n＜4，选项中只有n＝1符合条件． 故选：B． 3．抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3） 【答案】C 【解答】解：由y＝（x﹣1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣3）． 故选：C． 4．下列关于抛物线y＝2（x﹣3）2+1的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（﹣3，1） D．x＜3时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解答】解：根据二次函数顶点式 y＝a（x﹣h）2+k 的性质逐项分析判断如下： A、由二次函数解析式可知抛物线开口向上，A错误，不符合题意； B、对称轴为 x＝h＝3，B错误，不符合题意； C、顶点坐标为 （3，1），C错误，不符合题意； D、∵a＞0，开口向上， ∴当 x＜3 时，y随x的增大而减小， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 5．设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 【答案】C 【解答】解：由题意可得： A．若1＜a1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 B．若a1＜1＜a2，如图所示， 则c1＞c2， 故B选项不合题意， C．若a1＜a2＜1，如图所示， ∴c1＜c2，故C选项正确，D选项不正确； 故选：C． 6．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 【答案】B 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2． 故选：B． 7．用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣4 【答案】A 【解答】解：根据题意，y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7， 故选：A． 8．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式 　 ． 【答案】y＝2（x﹣1）2﹣1． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+1 ＝2（x2﹣2x）+1 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1 ＝2（x﹣1）2﹣2+1 ＝2（x﹣1）2﹣1， 故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣1． 9．将二次函数y＝x2﹣6x+8用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式为y＝　 　 ． 【答案】（x﹣3）2﹣1． 【解答】解：y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1， 故答案为：（x﹣3）2﹣1． 10．将二次函数y＝2x2﹣8x+13化成y＝a（x+h）2+k的形式为 　 　　 ． 【答案】y＝2（x﹣2）2+5 【解答】解：y＝2x2﹣8x+13 ＝2（x2﹣4x）+13 ＝2（x2﹣4x+4﹣4）+13 ＝2（x2﹣4x+4）﹣8+13 ＝2（x﹣2）2+5． 故答案为：y＝2（x﹣2）2+5． 11．将抛物线y＝x2﹣4x﹣1化成顶点式为 　 　 　 ． 【答案】y＝（x﹣2）2﹣5． 【解答】解：y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，即y＝（x﹣2）2﹣5， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣5． 12．把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 　 　 　 ． 【答案】y＝2（x+1）2﹣3． 【解答】解：y＝2x2+4x﹣1 ＝2（x2+2x）﹣1 ＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1 ＝2（x+1）2﹣3， 故答案为：y＝2（x+1）2﹣3． 13．将二次函数y＝x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 　 　　 ． 【答案】y＝（x﹣4）2﹣17． 【解答】解：y＝x2﹣8x﹣1＝x2﹣8x+16﹣16﹣1＝（x﹣4）2﹣17， 故答案为：y＝（x﹣4）2﹣17． 14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象，求当﹣2＜x＜2时，y的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）见解答； （3）﹣5＜x≤4． 【解答】解；（1）y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3 ＝﹣（x﹣1）2+4； （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）， 如图， （3）∵当x＝﹣2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5， 当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3， 而x＝1时，y有最大值，最大值为4， ∴当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为﹣5＜x≤4． 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（1，4），C（0，3）． （1）求出此二次函数的解析式，并把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）请在坐标系内画出这个函数的图象，并根据图象写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（1，4），C（0，3）分别代入解析式y＝ax2+bx+c，得， ， 解得，， 则函数解析式为y＝﹣x2+2x+3． 即y＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x2﹣2x+1﹣4）＝﹣（x﹣1）2+4； （2）根据y＝﹣（x﹣1）2+4可知， 其顶点坐标为（1，4）， 又当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， x1＝﹣1，x2＝3． 则图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）． 当x＝0时，y＝3． 故函数图象与y轴的交点为（0，3）．故可得函数图象为： 根据图象写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围x＜﹣1或x＞3． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B．b＜10 C．abc＜0 D．a+b+c＝2 【答案】B 【解答】解：把（1，2）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），得a+b+c＝2，故D正确，不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵， ∴b＞0． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故C正确，不符合题意； ∵， ∴b＜2a， ∵a+b+c＝2， ∴a+b＝2﹣c， ∵c＜0， ∴a+b＝2﹣c＞2， ∴a+2a＞2， ∴，故A正确，不符合题意； 取a＝6，b＝11，满足b＜2a＝12，c＝2﹣a﹣b＝﹣15＜0， 此时b＝11＞10， ∴b＜10不一定成立，故B错误，符合题意． 故选：B． 17．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c为常数，且a＜0）的图象经过点P（﹣1，m2+4）、Q（t，4m），则t的取值范围是（　　） A．t≥﹣1 B．t≤3 C．t≤﹣1或t≥3 D．﹣1≤t≤3 【答案】C 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 对于开口向下的抛物线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 由条件可知m2+4﹣4m＝（m﹣2）2≥0， 即yP≥yQ， ∴点Q到对称轴x＝1的距离大于等于点P到对称轴的距离， ∵点P到对称轴的距离为|﹣1﹣1|＝2， ∴|t﹣1|≥2， 解得t≤﹣1或t≥3． 故选：C． 18．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 【答案】C 【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0）， 平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3）， 又因为平移不改变二次项系数， 所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2﹣3． 故选：C． 19．将抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6进行平移得抛物线C′：y＝﹣x2+2，点P（m，5）在抛物线C上，对应点P′在抛物线C′上，则点P′的横坐标可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：∵抛物线C的顶点为（3，6），抛物线C′的顶点为（0，2）， ∴平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， ∵点P（m，5）在抛物线C上，平移后对应点为P′， ∴P′的坐标为（m﹣3，5﹣4），即（m﹣3，1）， ∵P′在抛物线C′上， 将P′（m﹣3，1）代入y＝﹣x2+2得：1＝﹣（m﹣3）2+2， 整理得（m﹣3）2＝1， 解得m＝2或m＝4， 则m﹣3的值可以是﹣1或1， 因此点P′的横坐标可以是﹣1或1，选项A符合． 故选：A． 20．将抛物线y＝x2+2x﹣1向左平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（2，﹣2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，1） 【答案】C 【解答】解：将原抛物线配方为顶点式可得y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣2）， 由二次函数图象的平移法则可知抛物线向左平移3个单位，顶点横坐标减3，纵坐标不变， ∴新抛物线顶点横坐标为﹣1﹣3＝﹣4，纵坐标仍为﹣2， 即新抛物线的顶点坐标为（﹣4，﹣2）． 故选：C． 21．新定义：对于给定的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把形如的函数称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“关联函数”，运用此定义解决下列问题： 已知二次函数y＝x2+2x+3． （1）请写出这个二次函数的“关联函数”的表达式 　 ； （2）若点A（﹣1，m）和点B（n，6）在这个二次函数的“关联函数”的图象上，请写出直线AB与该“关联函数”图象的交点坐标（除了A、B两点）　 　 ． 【答案】（1）y； （2）（，）． 【解答】解：（1）由y＝x2+2x+3 得a＝1，b＝2，c＝3， 代入关联函数定义， x≥0时，y＝1×x2﹣2x+3＝x2﹣2x+3， x＜0 时，y＝﹣1×x2﹣2x+3＝﹣x2﹣2x+3， 关联函数表达式为y， 故答案为：y； （2）点A（﹣1，m），x＝﹣1＜0， 代入y＝﹣x2﹣2x+3，m＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝﹣1+2+3＝4，A（﹣1，4）， B（n，6）： 分两种情况： ①n≥0 时，n2﹣2n+3＝6，解得n＝3（n＝﹣1 舍去）， ②n＜0 时，﹣n2﹣2n+3＝6，判别式＝4﹣12＝﹣8＜0无实根，得B（3，6）， 设直线AB解析式 y＝kx+d，代入A（﹣1，4），B（3，6）， 解得， 直线AB：y＝0.5x+4.5． 联立直线AB的解析式与关联函数， 当x＜0时， 解得或（舍去）， 当x≥0时， 解得（舍去）或x（舍去）， 故答案为：（，）． 22．四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝7cm，BC＝10cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA，边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝4s时，BN＝DM； ②当1≤t≤2.5时，△BMN的最大面积为25cm2； ③当t为2s和3.6s时，满足△BMN的面积为16cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解答】解：当t＝4s时，BN＝BC﹣CN＝10﹣4＝6（cm）， ∵点M的运动轨迹是BA﹣AD，以2cm/s的速度运动，AB＝5cm， ∴点M在BA上的运动时间为， 当t＝4s时，点M在AD上， ∴DM＝AD﹣AM＝7﹣2×（4﹣2.5）＝4（cm）， ∴BN≠DM，故①错误； 当1≤t≤2.5时，CN＝tcm，BN＝BC﹣CN＝（10﹣t）cm，BM＝2tcm， ∴， 当t＝2.5时，△BMN的面积取得最大值18.75cm2，故②错误； 当t＝2s时，， 当t＝3.6s时，BN＝BC﹣CN＝10﹣3.6＝6.4（cm）， 而点M此时在AD上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个， 故选：C． 23．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【答案】D 【解答】解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n， ∴n＝﹣m+2， ∴mn+1 ＝m（﹣m+2）+1 ＝﹣m2+2m+1 ＝﹣（m﹣1）2+2； 所以mn+1有最大值2， 故选：D． 24．已知抛物线y＝ax2+ax+1的开口向下，关于x的方程ax2+ax+1＝0的解，下列说法正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法判断 【答案】C 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+ax+1开口向下， ∴a＜0， ∴关于x的方程ax2+ax+1＝0是一元二次方程， ∵a＜0， ∴a2＞0，﹣4a＞0， ∴Δ＝a2﹣4•a•1＝a2﹣4a＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 25．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法不正确的是（　　） A．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝4 B．当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴 C．抛物线的顶点坐标是（m，m﹣4） D．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2 【答案】D 【解答】解：先对抛物线配方得：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4＝（x﹣m）2+m﹣4， 抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m， 逐一判断选项：选项A：若抛物线与x轴只有一个公共点，则根的判别式Δ＝0，∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+m﹣4）＝﹣4m+16， 令Δ＝0，解得m＝4，∴A说法正确， 选项B：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，对称轴为x＝0，即y轴， ∴B说法正确， 选项C：由顶点式y＝（x﹣m）2+m﹣4可知，抛物线顶点坐标为（m，m﹣4）， ∴C说法正确， 选项D：计算两点到对称轴x＝m的距离：点A到对称轴的距离为|（m﹣2）﹣m|＝2， 点B到对称轴的距离为|（m+1）﹣m|＝1， ∵抛物线开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，2＞1， ∴y1＞y2，故D说法不正确， 故选：D． 26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 又∵b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴bc＞0，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确，符合题意； ∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间，故③正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为a+b+c， ∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≤a+b+c， ∴对于任意实数m，am2﹣a≤b﹣bm，即a（m+1）（m﹣1）≤b（1﹣m），故④正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴a﹣b+c＜0， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a﹣b+2＜0， 又b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+2＜0， ∴，故⑤正确，符合题意． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 二次函数的图像与性质 内 容 导 航 知识点1 二次函数的相关概念 知识点2 二次函数的图像与性质 知识点3 二次函数的图像变换 知识点4 二次函数与方程、不等式 知识点5 二次函数的相关概念 知识点6 二次函数的图像与性质 知识点7 二次函数的图像变换 题型1 二次函数的图象 题型2 二次函数的性质 题型3 二次函数的三种形式 题型4 二次函数图象与系数的关系 题型5 二次函数图象上点的坐标特征 题型6 二次函数图象与几何变换 题型7 待定系数法求二次函数解析式 题型8 二次函数的最值 题型9 抛物线与x轴的交点 题型10 图象法求一元二次方程的近似根 知 识 点 通 关 知识点1 二次函数的相关概念 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 使用条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【解读】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 知识点2 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的图像特征与a，b，c及的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 知识点3 二次函数的图像变换 1. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2. 二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识点4 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 知识点5 二次函数的相关概念 01 二次函数中参数的取值范围 方法：二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2. 易错：忽略二次项系数不能为0的限制条件. 02 待定系数法求函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 知识点6 二次函数的图像与性质 比较二次函数函数值大小 设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. 函数图像的综合判定 解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解. 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 二次函数的对称 1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称的两点纵坐标相同，且这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2)若抛物线上有两点，则抛物线的对称轴方程为x= 3）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 4）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y） 二次函数的最值问题 知识点7 二次函数的图像变换 翻折变换 ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值. 考 点 演 练 题型1 二次函数的图象 【典例1】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＝cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知关于x的二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．最小值为1 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 题型2 二次函数的性质 【典例1】开口向上，顶点坐标为（﹣2，3）的抛物线为（　　） A．y＝2（x﹣2）2﹣3 B．y＝2（x+2）2+3 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣2（x+2）2+3 【变式1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为（1，﹣4） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 题型3 二次函数的三种形式 【典例1】将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】用配方法将二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣4 C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2+2 题型4 二次函数图象与系数的关系 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）2＞b2；④3a+c＜0；⑤a+b＞m（am+b）（m为实数且m≠1）．其中正确的结论有（　　） A．②④⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 【变式1】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＞0；②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；③对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≤0；④8a+c＞0．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5 二次函数图象上点的坐标特征 【典例1】已知抛物线y＝2（x+1）2+1经过（2，y1），（1，y2）两点，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【变式1】已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x+2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 题型6 二次函数图象与几何变换 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（　　） A．对称轴为直线x＝﹣1 B．顶点在第二象限 C．与直线y＝﹣3a的交点横坐标是﹣2和0 D．若x1＜﹣3＜x2＜﹣2，则y1＞y2 【变式1】如图，抛物线与抛物线交于点A（1，﹣2），以下结论： ①无论x取何值，y2总是负数； ②抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小； ④当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，n＝﹣2． 下列说法正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②④正确 C．只有③④不正确 D．①②③④都正确 题型7 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 【变式1】已知函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（﹣1，﹣2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（　　） A．n＝2 B．n＝1 C．n＝0 D．n＝﹣1 题型8 二次函数的最值 【典例1】若函数y＝x2+ax+b在0≤x≤1的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【变式1】如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm．动点P从点A出发，以2mm/s的速度沿边AB向终点B运动；动点Q从点B同时出发，以4mm/s的速度沿边BC向终点C运动．设出发时间为ts．有下列结论： ①当t＝2s时，AP＝CQ；②当1≤t≤5时，△BPQ的最大面积为36mm2；③t有两个不同的值满足△BPQ的面积为四边形APQC面积的．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型9 抛物线与x轴的交点 【典例1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【变式1】关于抛物线y＝x2﹣6x+9，下列说法正确的是（　　） A．顶点坐标为（9，0） B．对称轴是直线x＝6 C．与x轴有两个不同的交点 D．当x＞3时，y随x的增大而增大 题型10 图象法求一元二次方程的近似根 【典例1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c中部分x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y ﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是（　　） A．0.11＜x＜0.12 B．0.12＜x＜0.13 C．3.87＜x＜3.88 D．3.88＜x＜3.89 【变式1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间．有下列结论：①2a﹣b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间；③方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根：④a+b＞﹣2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 过 关 验 收 1．已知函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则函数y＝nx+m的图象可能正确的是（　　） A． B． C． D． 2．小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程|x2﹣2x﹣3|＝n的根，他发现方程有四个不等实数根，则n的值可能是（　　） A．0 B．1 C．4 D．5 3．抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3） 4．下列关于抛物线y＝2（x﹣3）2+1的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（﹣3，1） D．x＜3时，y随x的增大而减小 5．设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 6．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 7．用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣4 8．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式 　 ． 9．将二次函数y＝x2﹣6x+8用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式为y＝　 　 ． 10．将二次函数y＝2x2﹣8x+13化成y＝a（x+h）2+k的形式为 　 　　 ． 11．将抛物线y＝x2﹣4x﹣1化成顶点式为 　 　 　 ． 12．把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 　 　 　 ． 13．将二次函数y＝x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 　 　　 ． 14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象，求当﹣2＜x＜2时，y的取值范围． 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（1，4），C（0，3）． （1）求出此二次函数的解析式，并把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）请在坐标系内画出这个函数的图象，并根据图象写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B．b＜10 C．abc＜0 D．a+b+c＝2 17．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c为常数，且a＜0）的图象经过点P（﹣1，m2+4）、Q（t，4m），则t的取值范围是（　　） A．t≥﹣1 B．t≤3 C．t≤﹣1或t≥3 D．﹣1≤t≤3 18．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 19．将抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6进行平移得抛物线C′：y＝﹣x2+2，点P（m，5）在抛物线C上，对应点P′在抛物线C′上，则点P′的横坐标可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20．将抛物线y＝x2+2x﹣1向左平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（2，﹣2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，1） 21．新定义：对于给定的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把形如的函数称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“关联函数”，运用此定义解决下列问题： 已知二次函数y＝x2+2x+3． （1）请写出这个二次函数的“关联函数”的表达式 　 ； （2）若点A（﹣1，m）和点B（n，6）在这个二次函数的“关联函数”的图象上，请写出直线AB与该“关联函数”图象的交点坐标（除了A、B两点）　 　 ． 22．四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝7cm，BC＝10cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA，边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝4s时，BN＝DM； ②当1≤t≤2.5时，△BMN的最大面积为25cm2； ③当t为2s和3.6s时，满足△BMN的面积为16cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 23．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 24．已知抛物线y＝ax2+ax+1的开口向下，关于x的方程ax2+ax+1＝0的解，下列说法正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法判断 25．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法不正确的是（　　） A．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝4 B．当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴 C．抛物线的顶点坐标是（m，m﹣4） D．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2 26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 学科网（北京）股份有限公司 $