精品解析：安徽宿州市第二初级中学2026－2027学年度第一学期阶段学业质量调研九年级数学试题卷

宿州二初中2026-2027学年度第一学期阶段学业质量调研 九年级数学试题卷 一、单项选择题（每题4分，计40分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，所以此题可根据“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行配方即可． 【详解】解：由题意可得：一元二次方程，配方后可变形为； 故选A． 3. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分对角 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线互相平分且相等，正方形的对角线互相平分，相等且垂直，所以它们都具有的性质是对角线互相平分． 4. 在四边形中，，下列选项中，不能判定四边形是矩形的是( ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可； 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，， ， ， 平行四边形是矩形，故选项B符合题意； C、， ， ， ， 四边形是平行四边形，，故选项C不符合题意； D、， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 选项D不符合题意； 故选：C． 5. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∵原方程为， ∴是原方程的一个近似解， 故选：D． 6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 7. 如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，由直角三角形斜边上的中线的性质得，所以，又， 则，然后通过等边对等角得，最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 已知实数a，b，c满足，，则下列结论成立的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用等式代换，消去等式中的实数c，再代入中，可判断，再消去等式中的实数b，代入中，再结合一个数的平方为非负数即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，，，选择B选项． 9. 如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（ ） A. B. 的大小 C. D. 四边形的周长 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，连接，，， A、点在上运动，点在上运动， 不是定值该选项错误； B、的大小会随点、的运动而改变，故该选项错误； C、在矩形中，与交于点， ， ， ，， ， ， 为定值，故该选项正确； D、四边形的周长会随点、的运动而改变，故该选项错． 10. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 二、填空题（每题5分，计20分） 11. 已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知菱形两条对角线的长度，利用菱形面积公式，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，直接计算即可． 【详解】解：∵这个菱形两条对角线长分别为和， ∴这个菱形的面积为． 12. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由平均增长率问题的解法直接求解即可． 【详解】解：由题意可得． 13. 如图所示，正方形的面积为16，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，根据正方形性质得、关于对称，则，即可得 ，根据两点之间线段最短即可得当、、三点共线时， 最小，最小为，根据正方形面积为16即可求出为4，再根据是等边三角形，可求得为4，即可得的最小值为4. 【详解】解：如图， 连接，根据正方形性质得、关于对称，则：， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，即最小，此时，， ∵正方形的面积为16， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为4. 14. 对于任意一个正整数，我们规定：对进行运算，得到整数＝个位数字的1次方＋十位数字的2次方＋百位数字的3次方＋千位数字的4次方＋……，即对于从右开始的第位上的数字，其指数为．例如：．且规定两位数用表示，三位数用，…… 根据以上材料，解决下列问题． （1）计算：______． （2）若一个三位数满足（，，，为整数），且，则满足条件的三位数之和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据定义进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：（1）； （2）由题意得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴当时，则，此时这个三位数是；当时，则，此时这个三位数是； ∴满足条件的三位数之和为． 三、（本题共两小题，每题8分，计16分） 15. 解方程 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， 或， ， ． 16. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】利用韦达定理，先根据两根之和求出另一个根，再根据两根之积求出的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， 在方程中，，， 两根之和， ∴． ∴． 四、（本题共两小题，每题8分，计16分） 17. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接．求证：． 【答案】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形中，， 即， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵菱形中，， ∴． 【解析】 【分析】由菱形的性质和矩形的判定，证明四边形是矩形，即可得到． 【详解】略 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根大于3，求的取值范围． 【答案】 （1）证明：∵ ， ∵无论取何值时，， ∴原方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式与一元二次方程根个数的关系，判断判别式的大小即可得到答案； （2）通过因式分解得到两根，再根据有一个根大于3求解即可得到答案； 【详解】（1）略 （2）∵原方程可化为， ∴，， ∵该方程有一个根大于3， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的个数与判别式的关系、因式分解法求解二元一次方程，掌握判别式，方程有两个实数根是解题的关键． 五、（本题共两小题每题10分，计20分） 19. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB=∠CBD， 又∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， 同理：AB=BC，∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是菱形，BD=6， ∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3， ∵∠ADB=30°， ∴cos∠ADB=， ∴AD=． 20. 如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个米的小门，设篱笆长为米． （1）若矩形鸡舍面积为平方米，求篱笆的长； （2）求能围成矩形鸡舍的最大面积． 【答案】（1）篱笆的长度为米 （2）矩形鸡舍面积的最大值是平方米 【解析】 【分析】（1）由题意列一元二次方程求解即可； （2）根据题意得出，由二次函数图象与性质分析求解即可． 【小问1详解】 解：米， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：篱笆的长度为米； 【小问2详解】 解：矩形鸡舍的面积为， 由可知抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，，此时，符合题意， ∴矩形鸡舍面积的最大值是平方米． 六、（本题12分） 21. 若m，n为正实数，，是关于的方程的一正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：∵是关于的方程的一正实根， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 解得：或， ∵m，n为正实数，， ∴． 七、（本题12分） 22. 喜迎国庆，河南省实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价； 任务3 判断每件智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现？若能，求出销售价；若不能，请说明理由． （利润率＝） 【答案】（1）降价8元，则每天销售智能摆件的利润为1152元； （2）希望每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大，则每件智能摆件的销售价应该定为75元； （3）不能，理由如下： 设每件智能摆件降价元， ∵为了保证每件智能摆件的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件智能摆件的利润率不低于，小华每天不能获得1200元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件智能摆件降价元，根据“为了保证每件智能摆件的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售智能摆件的利润为元； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠力度最大， ∴， ∴每件智能摆件的销售价应该定为元； （3）略 八、（本题14分） 23. 综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，点E为对角线上的一动点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）猜想证明：证明四边形是正方形． （2）解决问题：求的度数． （3）解决问题：已知，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：过作于点，于点， ∵正方形， ∴， ∴，，则， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过作于点，于点，由，得到，即可求解； （2）证明，得到， （3）由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出的长，最后由，得到，即可求解，注意分情况讨论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形为正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：过作于点，于点，由（1）得正方形，， ①当在线段上时， ∵正方形，正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当在延长线上时，如图： ∵正方形，正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿州二初中2026-2027学年度第一学期阶段学业质量调研 九年级数学试题卷 一、单项选择题（每题4分，计40分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分对角 4. 在四边形中，，下列选项中，不能判定四边形是矩形的是( ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 5. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b，c满足，，则下列结论成立的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（ ） A. B. 的大小 C. D. 四边形的周长 10. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，计20分） 11. 已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为________． 12. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为_________． 13. 如图所示，正方形的面积为16，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为_________． 14. 对于任意一个正整数，我们规定：对进行运算，得到整数＝个位数字的1次方＋十位数字的2次方＋百位数字的3次方＋千位数字的4次方＋……，即对于从右开始的第位上的数字，其指数为．例如：．且规定两位数用表示，三位数用，…… 根据以上材料，解决下列问题． （1）计算：______． （2）若一个三位数满足（，，，为整数），且，则满足条件的三位数之和为______． 三、（本题共两小题，每题8分，计16分） 15. 解方程 16. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 四、（本题共两小题，每题8分，计16分） 17. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接．求证：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根大于3，求的取值范围． 五、（本题共两小题每题10分，计20分） 19. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长． 20. 如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个米的小门，设篱笆长为米． （1）若矩形鸡舍面积为平方米，求篱笆的长； （2）求能围成矩形鸡舍的最大面积． 六、（本题12分） 21. 若m，n为正实数，，是关于的方程的一正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． 七、（本题12分） 22. 喜迎国庆，河南省实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价； 任务3 判断每件智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现？若能，求出销售价；若不能，请说明理由． （利润率＝） 八、（本题14分） 23. 综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，点E为对角线上的一动点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）猜想证明：证明四边形是正方形． （2）解决问题：求的度数． （3）解决问题：已知，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $