27.3.1实际问题与反比例函数（1）--教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.3.1 实际问题与反比例函数（1） 课题名称 27.3.1 实际问题与反比例函数（1） 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 实际问题与反比例函数（第一课时） 内容解析 本节课是在学生已经掌握反比例函数的概念、图象与性质的基础上，运用反比例函数模型解决简单实际问题的第一课时。教材以圆柱形煤气储存室、码头装卸货物等实际问题为载体，引导学生经历"审题—找出等量关系—建立反比例函数模型—利用解析式求解—解释实际意义"的完整过程。 从数学内部看，本节是反比例函数概念和性质的直接应用；从外部看，它与物理（圆柱体积、密度）、工程（装卸进度）等实际问题紧密相连，是培养学生数学建模素养的重要素材。与正比例、一次函数解决实际问题相比，反比例函数刻画的是"总量一定时两个变量成反比"这一常见关系。教学中要特别注意引导学生根据实际意义确定自变量的取值范围，并把求出的数学结果还原为实际问题的答案。 目标与目标解析 单元整体目标 本章按照"概念—图象与性质—实际应用"的顺序展开。本课时进入"实际应用"阶段，重点是用反比例函数模型解决简单的实际问题。 对应课标： ① 能从实际问题中抽象出反比例关系，建立反比例函数模型； ② 能用反比例函数解决简单实际问题，能根据实际意义确定自变量的取值范围； ③ 在建模与求解过程中发展数学建模、数学运算与数学抽象素养。 课时目标 1. 能从圆柱体积、装卸货物等实际问题中找出两个变量的乘积为定值的关系，建立反比例函数解析式，发展数学建模素养。 2. 能根据反比例函数的解析式，由一个变量的值求出另一个变量的值；并能根据实际意义确定自变量的取值范围，发展数学运算能力。 3. 能利用反比例函数"在每个象限内 y 随 x 增大而减小"的性质，解决"至少、至多"类的实际问题，体会数学的应用价值。 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能从实际问题中写出两个变量的乘积等于某个不变量（如 S·d=10⁴、v·t=240），并据此列出 形式的解析式。 达成目标2的标志：学生能把已知量代入解析式求出未知量，并能根据实际意义写出自变量的取值范围（如 d>0、t>0），而不是笼统地写 x≠0。 达成目标3的标志：学生能利用反比例函数的增减性，回答"货物不超过5天卸完，每天至少卸多少"这类带有范围要求的问题。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已经系统学习了反比例函数的概念、图象与性质，能熟练判断两个量是否成反比例关系，并有用一次函数、正比例函数解决实际问题的经验，初步掌握"设—列—解—答"的解题步骤。这些都为本节用反比例函数建模打下了基础。 困惑点或探索点 ① 从实际问题中抽象等量关系时，容易找不准"哪个量是定值"；② 求出函数解析式后，常常忘记根据实际意义确定自变量的取值范围；③ 对"至少、至多""不超过"这类范围问题，不会利用反比例函数的增减性转化为不等式求解。 教学重难点 教学重点 从实际问题中抽象出反比例关系，建立反比例函数模型并解决问题。 教学难点 根据实际意义确定自变量的取值范围，并利用增减性解决"至少、至多"类范围问题。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：反比例函数是刻画"总量一定时两个变量此消彼长"的数学模型，在工程、物理、生活中大量存在（如路程一定时速度与时间、总量一定时效率与时间），学它是为了用数学解决真实问题。 学什么：从实际问题中找定值、列反比例函数解析式；由一个量求另一个量；根据实际写自变量范围；用增减性解决范围问题。 怎么学：以教材两个实际例题为载体，采用"教师引导审题—学生独立列式—师生共同求解—反思解题步骤"的方式，通过对比一次函数应用，归纳反比例函数建模的一般步骤；在"范围问题"上借助图象或增减性分析突破难点。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 引入新课 1、 复习引入 师：我们已经学习了反比例函数。谁能说说，什么样的两个量成反比例关系？ 生：两个变量 x、y，如果它们的乘积是一个不为零的常数，即 xy=k（k≠0），那么 y 与 x 成反比例关系。 师：生活中"总量一定，两个量此消彼长"的例子很多：路程一定时，速度越快用时越短；工作总量一定时，效率越高用时越短。这些问题都可以用反比例函数来解决。今天我们就来学习实际问题与反比例函数。 学生能正确说出反比例关系的本质（乘积为定值）； 能举出生活中成反比例的例子。 从反比例关系的本质出发引入，帮助学生建立"找定值"的建模意识，为例题学习做铺垫。 概念探究 例1、例2 实际建模与求解 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 10⁴ m³ 的圆柱形煤气储存室。 （1）储存室的底面积 S（单位：m²）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系？ （2）公司决定把底面积 S 定为 500 m²，施工队施工时应向下挖多深？ （3）当施工队按（2）中的计划挖到地下 15 m 时，因遇到岩石，公司决定把深度改为 12 m，此时底面积应改为多少才能满足需要？ 师：圆柱的体积公式是什么？这里哪个量是定值？ 生：体积=底面积×高（深度），即 S·d=10⁴，体积 10⁴ m³ 是定值。 生：（1）由 S·d=10⁴，得 。∵ 深度 d>0，∴ 自变量 d 的取值范围是 d>0。 生：（2）把 S=500 代入，得 500·d=10⁴，∴ d=20。即应向下挖 20 m。 生：（3）把 d=12 代入 ，得 ≈833.3。即底面积应改为约 833.3 m²。 师：（小结）解决这类问题的关键是先找到"乘积为定值"的等量关系，再写解析式，最后根据实际意义确定范围。 例2 码头工人以每天 30 吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了 8 天。 （1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度 v（单位：吨/天）与卸货时间 t（单位：天）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过 5 天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？ 师：先求什么是定值？ 生：货物总量一定，30×8=240 吨，即 v·t=240。 生：（1）（t>0）。 师：（2）"不超过 5 天卸完"意味着 t 与 v 有什么关系？ 生：∵ v=，且 k=240>0，在 t>0 时 v 随 t 的增大而减小；∴ 当 t≤5 时，v≥=48。即平均每天至少要卸 48 吨。 能从圆柱体积、装卸总量中找出定值（S·d、v·t）； 能正确列出反比例函数解析式并写出自变量范围（d>0、t>0）； 能代入求值； 能利用增减性把"不超过5天"转化为"v≥48"。 例1落实"找定值—列式—求范围—代入求解"的基本建模过程；例2在此基础上增加范围问题，借助增减性突破难点；两题均来自教材，帮助学生体会反比例函数在工程、生活中的应用。 课堂练习 知识巩固 练习1 一个矩形的面积为 24 cm²，相邻两边长分别为 x（cm）和 y（cm）。 （1）写出 y 与 x 之间的函数解析式；（2）求自变量 x 的取值范围；（3）当 x=6 时，y 等于多少？ 生：（1）y=；（2）∵ 边长为正，∴ x>0；（3）当 x=6 时，y==4。 练习2 一定质量的氧气，在某状态下密度 ρ=1.43 kg/m³，体积 V=100 m³。 （1）写出 ρ 与 V 之间的函数解析式；（2）当体积 V=20 m³ 时，密度是多少？ 生：（1）由 ρ·V=m（质量一定），m=1.43×100=143 kg，∴ ρ=（V>0）；（2）当 V=20 时，ρ==7.15 kg/m³。 练习3 某村粮食总产量为 a（a 为常数，单位：吨），设该村人均粮食产量为 y（吨/人），人口数为 x（人）。 （1）写出 y 与 x 的函数解析式；（2）若人均产量要达到 0.4 吨/人，人口数最多为多少？ 生：（1）y=（x>0）；（2）令 y=0.4，得 x==2.5a，即人口数最多为 2.5a 人。 能从几何、物理、生活问题中找出定值并列式； 能写出自变量的实际取值范围； 能代入求值并解决简单的范围问题。 三道练习分别对应几何、物理、生活情境，层层递进；强调"先写范围、再求值"，并对范围问题用增减性或方程求解，巩固建模步骤。 反思总结 学生为主体发言总结 师：请同学们一起回顾，用反比例函数解决实际问题分哪几步？ 生1：审题，找出哪两个变量的乘积是定值； 生2：设未知数，列出反比例函数解析式，并根据实际意义确定自变量的取值范围； 生3：代入已知量求解，必要时利用增减性解决范围问题，最后写出实际答案。 师：本节课还有哪些疑惑？说一说！ 学生能主动归纳"找定值—列式—定范围—求解—作答"的建模步骤； 能提出并交流尚存的疑惑。 通过自主小结把解题步骤结构化，强化数学建模意识，培养归纳与反思习惯。 板书设计 27.3.1 实际问题与反比例函数（1） 用反比例函数解决实际问题的步骤： 1. 审题——找定值（两个变量的乘积为常数）； 2. 列式—— （k 为非零常数）； 3. 定范围——自变量要符合实际意义（如 d>0、t>0）； 4. 求解——代入求值；必要时用增减性解决"至少、至多"问题。 例1：S·d=10⁴； 例2：v·t=240。 建模步骤清晰，例题典型。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $