第34讲 两条直线的位置关系讲义- 2027届高三数学一轮复习

第34讲 两条直线的位置关系 内 容 导 航 知识点1 两条直线的位置关系 知识点2 直线的交点与方程组解的关系 知识点3 距离公式 知识点4 对称问题 知识点5 直线的交点及其应用 知识点6 点到直线的距离公式 题型1 两条直线的交点坐标 题型2 两点间的距离公式 题型3 点到直线的距离公式 题型4 两条平行直线间的距离 知 识 点 通 关 知识点1 两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 必记结论 (1)两条直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. (2)两条直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 知识点2 直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 必记结论 过直线与的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1+λ(A2x＋B2y＋C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 知识点3 距离公式 （1）两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. 知识点4 对称问题 （1）点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). （2）设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 必记结论 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 知识点5 直线的交点及其应用 方法技巧 三种常见的直线系 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 知识点6 点到直线的距离公式 方法技巧 利用距离公式的关注点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 考 点 演 练 题型1 两条直线的交点坐标 【典例1】若点P（1，3）既是A（a1，b1），B（a2，b2）所连线段的中点，又是直线l1：a1x+b1y﹣10＝0与l2：a2x+b2y﹣10＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（　　） A．x+3y﹣10＝0 B．3x+y﹣10＝0 C．x﹣3y＝0 D．3x﹣y＝0 【答案】D 【解答】解：直线l1：a1x+b1y﹣10＝0与直线l2：a2x+b2y﹣10＝0的方程相减， 可得过两直线交点的直线方程为（a1﹣a2）x+（b1﹣b2）y＝0， 把点P（1，3）代入，可得（a1﹣a2）+3（b1﹣b2）＝0， 因为是A（a1，b1），B（a2，b2）， 所以， 因为P（1，3）是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是y﹣3＝3（x﹣1）， 即3x﹣y＝0． 故选：D． 【变式1】若直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+y﹣m﹣2＝0，设l1与l2的交点为P，O为坐标原点，则|OP|的取值范围为（　　） A．[2，4] B．（2，4] C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+y﹣m﹣2＝0，设l1与l2的交点为P， 联立得出， ∴， ∵m2≥0，∴m2+1≥1，∴，∴， ∴． 故选：D． 题型2 两点间的距离公式 【典例1】著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离结合上述观点，可得f（x）的最小值为（　　） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：f（x）， 可得x轴上的点P（x，0）到定点A（﹣5，1）和B（﹣3，2）的距离之和的最小值， 设A关于x轴的对称点A'（﹣5，﹣1），则|PA|+|PB|＝|PA'|+|PB|≥|A'B| ，当且仅当A'，B，P三点共线取等号， 所以|PA|+|PB|的值最小为． 故选：C． 【变式1】已知点A（x1，y1），B（x2，y2），定义为A，B的“镜像距离”．若点A，B在曲线y＝1﹣e2﹣x上，则dAB的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：因为y＝1﹣e2﹣x，所以e2﹣x＝1﹣y， 所以2﹣x＝ln（1﹣y），所以x＝2﹣ln（1﹣y）， 所以y＝1﹣e2﹣x的反函数为y＝2﹣ln（1﹣x）． 因为B（x2，y2）在曲线y＝1﹣e2﹣x上， 所以C（y2，x2）在曲线y＝2﹣ln（1﹣x）． 相当于y＝1﹣e2﹣x上的点A（x1，y1）与y＝2﹣ln（1﹣x）上的点C（y2，x2）的距离． 利用反函数的性质可得y＝1﹣e2﹣x与y＝2﹣ln（1﹣x）的图象关于y＝x对称， 所以AC与y＝x垂直时，dAB取得最小，等于点B到直线y＝x距离的2倍． 因为y＝2﹣ln（1﹣x），所以y′． 令1，解得x＝0，所以y＝2， 所以与直线y＝x平行，且与y＝2﹣ln（1﹣x）相切的切点坐标为（0，2）， 切点到直线y＝x的距离为， 所以dAB的最小值为2． 故选：D． 题型3 点到直线的距离公式 【典例1】已知直线l：x﹣y﹣2＝0，圆C关于y轴对称，且过点A（﹣1，3），B（1，1），则圆C上的点到l的距离的最大值与最小值之和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，因为圆C关于y轴对称， 所以设圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2， 因为圆C过点A（﹣1，3），B（1，1）， 所以，解得b＝2＝r2， 所以圆心与半径分别为， 所以C到l的距离为， 所以圆C上的点到l的距离的最大值与最小值分别为， 其和为． 故选：D． 【变式1】已知点A（1，0），B（4，4）到直线l的距离分别为3，4，则符合条件的直线l的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：， 点A、B到直线l的距离分别为3和4，且3+4＝7＞5， 则直线l不能与线段AB相交，只能在两点的同侧， 以A为圆心、半径3作圆，方程为（x﹣1）2+y2＝9， 以B为圆心、半径4作圆，方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16， 两圆的圆心距为5，而半径和3+4＝7＞5，半径差4﹣3＝1＜5， 故两圆相交，因此它们的公切线有2条，这两条公切线就是满足条件的直线l． 故选：B． 题型4 两条平行直线间的距离 【典例1】若两平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是，则m+n＝（　　） A．﹣2 B．﹣12 C．12 D．14 【答案】C 【解答】解：因为平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是， 所以，解得m＝﹣2， 即直线为：x﹣2y+2＝0，即2x﹣4y+4＝0， 故，解得n＝14（n＝﹣6舍）． 所以m+n＝12． 故选：C． 【变式1】已知直线l1：x﹣ay﹣1＝0与l2：2x+y＝5平行，则两直线间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为直线l1：x﹣ay﹣1＝0与l2：2x+y﹣5＝0平行， 所以2，解得，则直线l1为，即2x+y﹣2＝0， 则两直线间的距离． 故选：D． 过 关 验 收 1．已知点P（3，﹣1）和Q（﹣1，2），直线l：ax+2y﹣1＝0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a≤3 B．a≤1或a≥3 C．a≤1 D．a≥3 【答案】B 【解答】解：记：f（x，y）＝ax+2y﹣1，由题意得： f（3，﹣1）f（﹣1，2）≤0，即（3a﹣3）（﹣a+3）≤0， 即（a﹣1）（a﹣3）≥0， 解得：a≤1或a≥3， 故选：B． 2．已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【解答】解：因为三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分， 所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交， 当三条直线交于一点时，联立可得x＝y＝2，此时2+2k＝0，即k＝﹣1， 当两条平行线与第三条直线相交时，可得l1∥l3或l2∥l3， 所以k＝﹣2或k＝0． 故选：C． 3．若直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点在直线y＝x+2上，则实数k＝（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点， 满足：，解得， 由于该点在直线y＝x+2上， 故，解得k＝4． 故选：A． 4．记号max{a，b}表示a、b中取较大的数，如max{1，2}＝2．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”．已知点O为坐标原点，点C在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点A在直线3x+4y﹣10＝0上，则d（C，A）+d（C，O）的最小值为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：设点C（x，y），与点C的切比雪夫距离为R的点构成了一个以点C为中心，边长为2R的正方形， 要让R最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即（x﹣R，y﹣R）或（x+R，y+R）， 代入直线方程可得3（x﹣R）+4（y﹣R）﹣10＝0或3（x+R）+4（y+R）﹣10＝0， 于是有，即d（C，A）的最小值为， 由圆的圆心为（1，1）且半径为1可知圆在第一象限，所以有x≥0，y≥0， 则d（C，O）＝max{|x﹣0|，|y﹣0|}＝max{x，y}， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当3x+4y≤10且x≥y时，， 当3x+4y≤10且x≤y时，， 即当3x+4y≤10时，当且仅当x＝y时取等号， 当x＝y时，联立x＝y和圆的方程得到（x﹣1）2+（x﹣1）2＝1，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当3x+4y＞10时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，f（x，y）的最小值也即d（C，A）+d（C，O）的最小值为． 故答案为：． 5．直线l1：y＝m（x﹣2）+2与直线l2：x+my﹣2m﹣4＝0交于M（x，y）点，则的取值范围为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：对于直线l1：y＝m（x﹣2）+2，令x﹣2＝0，得y＝2， 即直线过定点A（2，2）， 且直线l1为：mx﹣y﹣2m+2＝0， 对于直线l2：x+my﹣2m﹣4＝0，化简得x﹣4+m（y﹣2）＝0， 由y﹣2＝0，得x＝4，即直线过定点B（4，2）， 且直线l2的方程为：x+my﹣2m﹣4＝0， 因为m×1﹣m×1＝0，即这两条直线垂直， 所以M（x，y）点的轨迹为以AB为直径的圆，除去A点， AB中点坐标为（3，2），|AB|＝2， 所以以AB为直径的圆方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1， 即M（x，y）点的轨迹方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，x≠2， 因为 的几何意义为（x，y），（2，0）两点连线的斜率， 由图可知：直线CA：x＝2与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切， 过C作圆的切线CD，设斜率为k，直线方程为y＝k（x﹣2）， 即kx﹣y﹣2k＝0，由圆心到直线的距离等于半径可得：， 解得：， 由图形可知：的取值范围是． 故答案为：． 6．已知直线l过点P（0，1），并与直线l1：x﹣3y+10＝0和l2：2x+y﹣8＝0分别交于点A，B（如图），若线段AB被点P平分，求直线l的方程． 【答案】x+4y﹣4＝0． 【解答】解：设l2上的点B（m，8﹣2m）， ∵P（0，1）为AB的中点， ∴A（﹣m，2m﹣6）， ∵点A在直线l1：x﹣3y+10＝0上， ∴﹣m﹣3（2m﹣6）+10＝0，解得m＝4， ∴B（4，0），A（﹣4，2）， 故直线l的方程为x+4y﹣4＝0． 7．已知菱形ABCD的中心为点M（﹣2，0），AB边所在直线的方程是x﹣y+4＝0，对角线AC所在直线的方程是x+2y+2＝0． （1）求对角线BD所在直线的方程； （2）求BC边所在直线的方程． 【答案】（1）2x﹣y+4＝0． （2）7x﹣y+4＝0． 【解答】解：（1）菱形ABCD的中心为点M（﹣2，0），AB边所在直线的方程是x﹣y+4＝0，对角线AC所在直线的方程是x+2y+2＝0． 四边形ABCD为菱形，则ABCD的对角线互相垂直，即AC⊥BD， 因为对角线AC所在直线的方程是x+2y+2＝0，可设BD：2x﹣y+n＝0， 把M（﹣2，0）代入直线BD的方程2x﹣y+n＝0，解得n＝4， 所以直线BD的方程为2x﹣y+4＝0． （2）联立方程组，解得，即， 设C点的坐标为（x0，y0）， 因为M（﹣2，0），且M为AC的中点，可得且， 解得，即， 再联立方程组，解得x＝0，y＝4，即B（0，4）， 所以BC边所在的直线方程为，即7x﹣y+4＝0． 8．平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为lAD：x﹣4y+5＝0，lAB：2x+y﹣8＝0，两条对角线交点为P（0，﹣1）， （1）求边BC所在直线方程； （2）求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）x﹣4y﹣13＝0； （2）36． 【解答】解：（1）AD，AB所在的直线分别为lAD：x﹣4y+5＝0，lAB：2x+y﹣8＝0， 联立，得，∴A（3，2）， ∵P（0，﹣1）为对角线的交点，即AC的中点， 由中点坐标公式得C（﹣3，﹣4）， ∵kBC＝kAD，∴， 由点斜式直线方程可得， 即lBC：x﹣4y﹣13＝0； （2）由，得∴B（5，﹣2）， ∴， 由点到直线的距离公式可得， ∴． 9．已知点P（x，y）在一次函数y＝﹣2x+4的图像上运动，当它的横、纵坐标之积最大时，点P的坐标（　　） A． B．（1，2） C． D．（2，1） 【答案】B 【解答】解：点P（x，y）在一次函数y＝﹣2x+4的图像上运动， ∴点P（x，y）在y＝﹣2x+4上， ∴P（x，y）横纵坐标乘积为xy＝x（﹣2x+4）＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2， 当x＝1时，xy有最大值2， 将x＝1代入y＝﹣2x+4，得y＝2， ∴当点P的横、纵坐标之积最大时点P坐标为（1，2）． 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列两个命题： ①对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）； ②已知点P（3，1）和直线l：2x﹣y﹣1＝0，则． 则下列正确的是（　　） A．①和②都是真命题 B．①真②假 C．①假②真 D．①和②都是假命题 【答案】A 【解答】解：①对任意三点A，B，C，若A，B，C不共线，且△ABC中C为锐角或钝角， 由矩形CMNK或矩形BMNK，d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）； 对任意三点A，B，C，若A，B，C共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），如图， 结合三角形的相似可得d（A，C），d（C，B），d（A，B）为AN，CM，AK， 或CN，BM，BK，则d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）； 若B，C或A，C对调，可得d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）． 综上所述，对任意的三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B），命题①正确； ②设点Q是直线y＝2x﹣1上一点，且Q（x，2x﹣1）， 可得d（P，Q）＝max{|x﹣3|，|2﹣2x|}， 由|x﹣3|≥|2﹣2x|，解得，即有d（P，Q）＝|x﹣3|， 当时，d（P，Q）取得最小值； 由|x﹣3|＜|2﹣2x|，解得或x＜﹣1，即有d（P，Q）＝|2x﹣2|， 所以d（P，Q）的范围是，无最值； 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故②正确． 故选：A． 11．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣2），C（1，4）． （Ⅰ）设D为AC的中点，求直线BD的方程； （Ⅱ）求△ABC的面积． 【答案】（Ⅰ）5x+3y﹣9＝0； （2）8． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，A（﹣1，2），C（1，4），则D的坐标为（0，3）， 又由B（3，﹣2），则kBD， 则直线BD的方程为y﹣3（x﹣0），变形可得5x+3y﹣9＝0； （2）根据题意，A（﹣1，2），B（3，﹣2），C（1，4）， 则|AB|4，|AC|2，|BC|2， 易得|AB|2+|AC|2＝|BC|2，则∠A＝90°， 故△ABC的面积S|AB|×|AC|＝8． 12．在直角坐标系中，已知两点A（4，3）、B（0，1），点C为x轴上一动点． （1）若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，求点C的坐标； （2）已知点D（6，t），问是否存在实数t，使得四边形ABCD为平行四边形？如果存在求出实数t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，0）或（3，0）； （2）存在；t＝2． 【解答】解：（1）设点C（x，0），则， 因为△ABC是以AB为斜边的直角三角形，故， 故，解得x＝1或x＝3， 故点C的坐标为（1，0）或（3，0）； （2）假设存在实数t，使得四边形ABCD为平行四边形，设C（m，0）， 则， 因为四边形ABCD为平行四边形，故，即（﹣4，﹣2）＝（m﹣6，﹣t）， 故，解得， 即存在实数t＝2，使得四边形ABCD为平行四边形． 13．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8＝0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16＝0， （1）若l1与l2相交，求实数t的值； （2）若l1与l2平行．求实数t的值并求出此时两直线间的距离． 【答案】（1）t≠8且t≠﹣5； （2）t＝﹣5；． 【解答】解：（1）若直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8＝0与直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16＝0相交， 则6（t+6）≠（t﹣1）（t+4）， 解得t≠8且t≠﹣5， 所以实数t的取值为（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，8）∪（8，+∞）； （2）由直线l1与l2平行，得， 解得t＝﹣5， 此时l1：3x﹣3y﹣4＝0，即，直线l2：x﹣y+16＝0， 所以直线l1与l2间距离． 14．已知直线l过点A（2，﹣3）． （1）若直线l在y轴上的截距为3，求直线l的方程； （2）若直线l与直线2x+y+b＝0（b＜0）平行，且两条平行线间的距离为，求b． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+3， ∵直线l过点A（2，﹣3），∴﹣3＝2k+3，求得k＝﹣3， ∴直线l的方程为y＝﹣3x+3，即3x+y﹣3＝0． （2）若直线l与直线2x+y+b＝0（b＜0）平行，可设直线l的方程为2x+y+b＝0， ∵两条平行线间的距离为，∴，求得b＝﹣6， 故直线l的方程为2x+y﹣6＝0． 15．已知直线l：ax﹣y+2﹣a＝0恒过点P，且与x轴，y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求点P的坐标； （2）当点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程； （3）当|PA|•|PB|取得最小值时，求△AOB的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）直线l：ax﹣y+2﹣a＝0，整理可得：a（x﹣1）﹣y+2＝0， 可得直线恒过P（1，2）； （2）要使点O到直线l的距离最大，则OP⊥l，可得|OP|， 即O到直线l的距离， 两边平方可得：，整理得4a2+4a+1＝（2a+1）2＝0， 所以， 所以，即x+2y﹣5＝0． （3）由题意，直线的截距均不为0，由题意和（1）可得A（，0），B（0，2﹣a），且a≠0、a≠2， 因为P（1，2），所以|PA|2，|PB|， 所以，仅当a＝±1时等号成立， 所以a＝±1时|PA|•|PB|取最小值， 当a＝1，则A（﹣1，0），B（0，1），此时△AOB的面积为； 当a＝﹣1，则A（3，0），B（0，3），此时△AOB的面积为； 所以△AOB的面积为或． 16．已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0），求： （1）边AB所在直线的方程； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）x+y﹣4＝0； （2）12． 【解答】解：（1）根据A（0，4），B（﹣2，6），可得直线AB：， 化简为一般式方程，可得AB：x+y﹣4＝0； （2）根据题意，点C（﹣8，0）到直线AB的距离， 结合， 可得△ABC的面积． 17．已知过点P（4，3）的直线l与x，y轴的正半轴相交于点A（a，0），B（0，b）． （1）若a＝2b，求直线l的方程； （2）若a＜b，且△AOB的面积为27，求坐标原点O到直线l的距离． 【答案】（1）x+2y﹣10＝0；（2）． 【解答】解：（1）设直线l的方程为（b＞0）， ∵点P（4，3）在直线l上，∴，∴b＝5， ∴直线l的方程为，即x+2y﹣10＝0； （2）∵a＜b，∴设直线l的方程为（0＜a＜b）， ∵直线l过P（4，3），∴， 又△AOB的面积为，∴， ∴直线l的方程为3x+2y﹣18＝0 ∴原点O到直线l的距离d． 18．已知直线l的倾斜角为α，，且这条直线经过点． （1）求直线l的方程． （2）直线恒过定点B，求点B到直线l的距离． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：由题可得，α∈[0，π），则，， ∴直线l的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得，即， ∴所求直线l的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴直线经过定点， 则点到直线的距离， ∴B到直线l的距离为． 19．若两平行直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0之间的距离是，则m+n＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵两直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0平行， ∴﹣n﹣2＝0，解得n＝﹣2． 又两平行直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0之间的距离是， ∴，解得m＝2． ∴m+n＝0． 故选：A． 20．已知直线l1：x+ay+1＝0，l2：2x+4y+3＝0，且l1∥l2，则l1与l2的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为直线l1：x+ay+1＝0，l2：2x+4y+3＝0，且l1∥l2， 所以，解得a＝2， 所以直线l1的方程为x+2y+1＝0，可化为2x+4y+2＝0， 故l1与l2的距离为． 故选：A． 21．若直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：kx+y﹣2＝0（k∈R）平行，那么这两条直线之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：kx+y﹣2＝0平行， 可得，解得k＝﹣2． 所以直线l2：﹣2x+y﹣2＝0，即2x﹣y+2＝0． 直线l1与直线l2之间的距离d． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第34讲 两条直线的位置关系 内 容 导 航 知识点1 两条直线的位置关系 知识点2 直线的交点与方程组解的关系 知识点3 距离公式 知识点4 对称问题 知识点5 直线的交点及其应用 知识点6 点到直线的距离公式 题型1 两条直线的交点坐标 题型2 两点间的距离公式 题型3 点到直线的距离公式 题型4 两条平行直线间的距离 知 识 点 通 关 知识点1 两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 必记结论 (1)两条直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. (2)两条直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 知识点2 直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 必记结论 过直线与的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1+λ(A2x＋B2y＋C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 知识点3 距离公式 （1）两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. 知识点4 对称问题 （1）点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). （2）设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 必记结论 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 知识点5 直线的交点及其应用 方法技巧 三种常见的直线系 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 知识点6 点到直线的距离公式 方法技巧 利用距离公式的关注点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 考 点 演 练 题型1 两条直线的交点坐标 【典例1】若点P（1，3）既是A（a1，b1），B（a2，b2）所连线段的中点，又是直线l1：a1x+b1y﹣10＝0与l2：a2x+b2y﹣10＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（　　） A．x+3y﹣10＝0 B．3x+y﹣10＝0 C．x﹣3y＝0 D．3x﹣y＝0 【变式1】若直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+y﹣m﹣2＝0，设l1与l2的交点为P，O为坐标原点，则|OP|的取值范围为（　　） A．[2，4] B．（2，4] C． D． 题型2 两点间的距离公式 【典例1】著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离结合上述观点，可得f（x）的最小值为（　　） A．5 B． C． D．2 【变式1】已知点A（x1，y1），B（x2，y2），定义为A，B的“镜像距离”．若点A，B在曲线y＝1﹣e2﹣x上，则dAB的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 题型3 点到直线的距离公式 【典例1】已知直线l：x﹣y﹣2＝0，圆C关于y轴对称，且过点A（﹣1，3），B（1，1），则圆C上的点到l的距离的最大值与最小值之和等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知点A（1，0），B（4，4）到直线l的距离分别为3，4，则符合条件的直线l的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 两条平行直线间的距离 【典例1】若两平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是，则m+n＝（　　） A．﹣2 B．﹣12 C．12 D．14 【变式1】已知直线l1：x﹣ay﹣1＝0与l2：2x+y＝5平行，则两直线间的距离为（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．已知点P（3，﹣1）和Q（﹣1，2），直线l：ax+2y﹣1＝0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a≤3 B．a≤1或a≥3 C．a≤1 D．a≥3 2．已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．无数个 3．若直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点在直线y＝x+2上，则实数k＝（　　） A．4 B．2 C． D． 4．记号max{a，b}表示a、b中取较大的数，如max{1，2}＝2．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”．已知点O为坐标原点，点C在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点A在直线3x+4y﹣10＝0上，则d（C，A）+d（C，O）的最小值为 　 　 ． 5．直线l1：y＝m（x﹣2）+2与直线l2：x+my﹣2m﹣4＝0交于M（x，y）点，则的取值范围为　 　 ． 6．已知直线l过点P（0，1），并与直线l1：x﹣3y+10＝0和l2：2x+y﹣8＝0分别交于点A，B（如图），若线段AB被点P平分，求直线l的方程． 7．已知菱形ABCD的中心为点M（﹣2，0），AB边所在直线的方程是x﹣y+4＝0，对角线AC所在直线的方程是x+2y+2＝0． （1）求对角线BD所在直线的方程； （2）求BC边所在直线的方程． 8．平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为lAD：x﹣4y+5＝0，lAB：2x+y﹣8＝0，两条对角线交点为P（0，﹣1）， （1）求边BC所在直线方程； （2）求平行四边形ABCD的面积． 9．已知点P（x，y）在一次函数y＝﹣2x+4的图像上运动，当它的横、纵坐标之积最大时，点P的坐标（　　） A． B．（1，2） C． D．（2，1） 10．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列两个命题： ①对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）； ②已知点P（3，1）和直线l：2x﹣y﹣1＝0，则． 则下列正确的是（　　） A．①和②都是真命题 B．①真②假 C．①假②真 D．①和②都是假命题 11．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣2），C（1，4）． （Ⅰ）设D为AC的中点，求直线BD的方程； （Ⅱ）求△ABC的面积． 12．在直角坐标系中，已知两点A（4，3）、B（0，1），点C为x轴上一动点． （1）若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，求点C的坐标； （2）已知点D（6，t），问是否存在实数t，使得四边形ABCD为平行四边形？如果存在求出实数t的值；如果不存在，请说明理由． 13．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8＝0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16＝0， （1）若l1与l2相交，求实数t的值； （2）若l1与l2平行．求实数t的值并求出此时两直线间的距离． 14．已知直线l过点A（2，﹣3）． （1）若直线l在y轴上的截距为3，求直线l的方程； （2）若直线l与直线2x+y+b＝0（b＜0）平行，且两条平行线间的距离为，求b． 15．已知直线l：ax﹣y+2﹣a＝0恒过点P，且与x轴，y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求点P的坐标； （2）当点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程； （3）当|PA|•|PB|取得最小值时，求△AOB的面积． 16．已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0），求： （1）边AB所在直线的方程； （2）求△ABC的面积． 17．已知过点P（4，3）的直线l与x，y轴的正半轴相交于点A（a，0），B（0，b）． （1）若a＝2b，求直线l的方程； （2）若a＜b，且△AOB的面积为27，求坐标原点O到直线l的距离． 18．已知直线l的倾斜角为α，，且这条直线经过点． （1）求直线l的方程． （2）直线恒过定点B，求点B到直线l的距离． 19．若两平行直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0之间的距离是，则m+n＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2 20．已知直线l1：x+ay+1＝0，l2：2x+4y+3＝0，且l1∥l2，则l1与l2的距离为（　　） A． B． C． D． 21．若直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：kx+y﹣2＝0（k∈R）平行，那么这两条直线之间的距离为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $