第55讲 圆的方程与位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆的方程与位置关系核心考点，按考情分析、知识清单、典题精练、高考真题系统架构，通过考点梳理、方法总结、真题演练环节，帮助学生构建从概念到应用的完整知识体系，突破直线与圆位置关系等难点。 资料以几何直观与逻辑推理为核心，创新设计分层典题（如切线方程求解、弦长计算等21种考法），通过垂径定理推导弦长公式等教学活动，培养学生数学思维与模型意识。真题对接近三年考题，配合即时方法指导，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供精准参考。

第55讲 圆的方程与位置关系 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 4 考点一：圆的方程及其充要条件 4 考点二：点与圆的位置关系 6 考点三：直线与圆的位置关系判断 7 考点四：圆的切线与切点弦问题 8 考点五：直线与圆相交的弦长与面积问题 11 考点六：圆与圆的位置关系及公切线、公共弦问题 12 考点七：圆系方程与圆过定点问题 14 考点八：与圆有关的轨迹问题 15 考点九：与圆有关的对称问题 16 考点十：数形结合与圆中的最值、范围问题 17 四、高考真题 20 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第7题 单选题 5分 直接考察 圆与直线的位置关系 2026 第11题 多选题 6分 直接考察 直线与圆相交的弦长问题 近三年共考查2次，2025年以单选题形式直接考查（5分），2026年以多选题形式直接考查（6分），2024年未考查. 2. 命题角度与特色 （1） 重点考查直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相交时的弦长计算. （2） 常结合图形的几何性质（如圆心到直线的距离、垂径定理）进行综合考查，对数形结合能力要求较高. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握圆的标准方程与一般方程，能够准确求出圆心坐标和半径. （2） 深刻理解直线与圆的位置关系，熟练运用几何法（圆心到直线的距离与半径的关系）解决弦长、切线及最值问题. 二、知识清单 1. 圆的基本概念 （1） 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. （2） 阿波罗尼斯圆：在平面内，到两个定点 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹是一个圆. 2. 圆的方程 （1） 圆的标准方程：，圆心坐标为 ，半径为 . （2） 圆的一般方程：，圆心坐标为 ，半径 . （3） 圆的直径式方程：若 ，则以线段 为直径的圆的方程是 . （4） 圆的参数方程： ① 的参数方程为 （ 为参数）. ② 的参数方程为 （ 为参数）. （5） 圆系方程： ① 过直线 与圆 交点的圆系方程为 . ② 过两圆 与 交点的圆系方程为 （其中 ）. 3. 点与圆的位置关系判断 （1） 点 与圆 的位置关系： ① 点 在圆外. ② 点 在圆上. ③ 点 在圆内. （2） 点 与圆 的位置关系： ① 点 在圆外. ② 点 在圆上. ③ 点 在圆内. 4. 直线与圆的位置关系及其判断 直线与圆的位置关系有 3 种：相离、相切和相交. （1） 几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心 到直线 的距离 ： ① 直线与圆相交，交于两点 ，. ② 直线与圆相切. ③ 直线与圆相离. （2） 代数法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由 ， 消元得到一元二次方程 或 ，判别式为 ，则： ① 直线与圆相交. ② 直线与圆相切. ③ 直线与圆相离. 5. 圆的切线、切点弦与切线长 （1） 圆的切线方程： ① 过圆 上一点 的圆的切线方程为 . ② 过圆 上一点 的圆的切线方程为 . ③ 过圆 上一点 的圆的切线方程为 . （2） 圆的切点弦方程： ① 过圆 外一点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则过 两点的直线（即切点弦）方程为 . ② 过圆 外一点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切点弦方程为 . （3） 圆的切线长公式： ① 过圆 外一点 作圆的切线，切线长为 . ② 过圆 外一点 作圆的切线，切线长为 . 6. 两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆 的半径分别是 （不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则： （1） 两圆相离. （2） 两圆外切. （3） 两圆相交. （4） 两圆内切. （5） 两圆内含（ 时两圆为同心圆）. 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 （6） 两圆的公共弦方程： 若两圆 与 相交，则两圆方程相减即可得到公共弦所在的直线方程：. （7） 两圆正交： 若两圆的半径分别为 ，圆心距为 ，当两圆相交且在交点处的切线互相垂直时，称两圆正交.两圆正交的充要条件是 .对于一般方程，两圆正交的充要条件是 . 三、典题精讲 考点一：圆的方程及其充要条件 考法1：待定系数法求圆的方程 1.（2026·河北百师联盟·一模）若圆 与 轴相切，则实数 的值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】16 【思路】将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，利用圆与 轴相切时半径等于圆心纵坐标的绝对值，即可解出参数的值. 【解析】由 ，可得 ， 方程表示圆，则可得圆心为 ，半径为 ， 由圆与 轴相切，则可得 ，解得 . 考法2：利用几何性质求外接圆方程 2.德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”(也称“米勒定理”)：若点 是 的 边上的两个定点， 是 边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与边 相切于点 时， 最大.在平面直角坐标系中，已知点 ，，点 是 轴负半轴的一个动点，当 最大时， 的外接圆的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据米勒定理，当视角最大时，三角形的外接圆与 轴负半轴相切.结合已知两定点坐标求出圆心所在的直线，再利用相切条件求出半径和圆心坐标，即可得到外接圆方程. 【解析】由米勒定理知当 最大时， 的外接圆与 轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限， 因为点 ，， 所以圆心在直线 上， 又圆与 轴负半轴相切， 所以圆的半径为 3， 设圆心为 ，， 则 ，解得 ， 又 ， 所以 ， 所以 的外接圆的方程是 ， 故选：A. 考法3：二元二次方程表示圆的充要条件 3.“”是“方程 表示圆”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【思路】将二元二次方程化为圆的标准方程形式，利用二元二次方程表示圆的充要条件（即等号右侧常数大于0）求出参数的取值范围，再结合集合的包含关系判断充分必要性. 【解析】因为方程 ，即 表示圆， 等价于 ，解得 或 . 故“”是“方程 表示圆”的充分不必要条件. 故选：A. 【考点一 方法总结】 1. 待定系数法求圆方程：若已知圆上三点坐标，常设圆的一般方程；若已知圆心坐标或圆心所在直线，常设圆的标准方程. 2. 利用几何性质求圆方程：圆心必在弦的垂直平分线上；若圆与直线相切，则圆心到切线的距离等于半径，且过切点的半径所在直线与切线垂直. 3. 二元二次方程表示圆的充要条件：方程 表示圆的充要条件是 . 考点二：点与圆的位置关系 考法4：点与圆的位置关系判断 4.（2026·湖北·模拟）（多选）已知点 ，， 为圆 上一点，则（　　） A. 点 在圆 外 B. 的最大值为 6 C. D. 的最大值为 9 【答案】ABD 【思路】利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断点与圆的位置关系；利用圆的几何性质求圆上点到圆外定点距离的最值；设出动点坐标，利用两点间距离公式转化为代数表达式，结合解析式求最值. 【解析】对于 A，，所以 在圆 外，A 正确； 对于 B，，B 正确； 对于 C，当 时，，，，C 错误； 对于 D，设 ，则 ，故 ， ，所以 ，当且仅当 时取得，D 正确. 故选：ABD. 【考点二 方法总结】 1. 点与圆的位置关系判断：将点 代入圆的标准方程，若 ，则点在圆外；等于 在圆上；小于 在圆内. 2. 圆上点到圆外定点距离的最值：设圆心为 ，半径为 ，圆外一点为 ，圆上动点为 ，则 的最大值为 ，最小值为 . 考点三：直线与圆的位置关系判断 考法5：直线与圆的位置关系判断 5.（2024·江西吉安·联考）已知圆 与直线 有公共点，则整数 的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【思路】将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心和半径.直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式解出斜率的范围，再结合整数条件求出结果. 【解析】由题意可知圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ， 所以 ，得 ，即 ， 可得 ，又 ，故 . 故选：B. 6.（2026·河南新乡·三模）（多选）已知圆 ，直线 ，则下列说法正确的是（　　） A. 存在实数 ，使得圆 关于 对称 B. 若 与圆 相切，则 C. 存在实数 ，使圆 上存在点 到 的距离为 6 D. 若 与圆 相交于 两点，且 ，则 【答案】CD 【思路】圆关于直线对称等价于直线过圆心；直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径；圆上点到直线距离的最值可通过圆心到直线距离加减半径求得；结合弦长、半径与圆心距构成的直角三角形，利用距离公式求解参数. 【解析】对于A，若圆 关于直线 对称，则直线 必过圆心 ， 代入直线方程得 ，不成立，故不存在实数 使得圆 关于 对称，A错误； 对于B，圆心 到直线 的距离 ， 若 与圆 相切，则 ，即 ，解得 ，B错误； 对于C，圆心 到直线 的距离 ， 圆 上的点到直线 的最大距离为 ， 当 时，，此时圆 上的点到直线 的最大距离为 ，最小距离为 ， 故圆 上存在点 到 的距离为 6，C正确； 对于D，若 与圆 相交于 两点，且 ， 则圆心 到直线 的距离 ， 即 ，解得 ，D正确. 故选：CD. 【考点三 方法总结】 1. 直线与圆的位置关系判断：优先使用几何法，即计算圆心到直线的距离 ，通过比较 与半径 的大小关系来判断（ 相交， 相切， 相离）. 2. 含参直线与圆的位置关系：若直线方程中含有参数，可先求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.若定点在圆内，则直线与圆必相交. 考点四：圆的切线与切点弦问题 考法6：圆的切线方程的求解 7.（2026·浙江绍兴·模拟）已知圆 ，过点 作圆 的两条切线，则这两条切线的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用圆的切线性质，连接圆心、切点与圆外一点构成直角三角形.通过计算线段长度得出切线与中心连线的夹角，进而求出两条切线的夹角. 【解析】由圆的方程 可知，圆心为 ，半径 . 因为点 ，所以 . 设过点 的两条切线分别与圆 相切于点 ， 在 中，， 所以 . 根据圆的切线性质可知，这两条切线的夹角为 . 故选：D. 8.（2026·山东枣庄·模拟）过点 作圆 的切线，切点分别为 ，则直线 的方程为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用圆外一点与圆心连线为直径的圆与原圆相交，两圆方程作差即可得到公共弦（即切点弦）所在的直线方程. 【解析】圆 的圆心为 ，半径 . 以 为直径的圆的方程为 ， 即 ①， 圆 的方程展开为 ②， 两圆相交于 两点，将①②两式相减可得公共弦 所在直线的方程， 即 ，化简得 . 考法7：圆的切线长及相关最值问题 9.（2026·安徽黄山·检测）（多选）点 在直线 上，过 作圆 的切线 （ 为切点），则下列结论正确的是（　　） A. 圆心 的坐标为 B. 圆 上的点到直线 距离的最大值为 C. 的最小值为 3 D. 的最大值为 1 【答案】ABD 【思路】将圆的一般方程化为标准方程求出圆心和半径；利用圆心到直线的距离加半径求圆上点到直线的最大距离；利用切线长公式结合点到直线的距离求切线长的最小值；通过直角三角形中的三角函数关系，利用基本不等式求夹角正弦值的最大值. 【解析】A，由圆 ，可化为 ，所以圆 的圆心为 ，正确； B，圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 上的点到直线 最大距离为 ，正确； C，由切线长公式，可得 ，所以 的最小值为 1，错误； D，如图所示，连接 ，则 ，设 ，则 ， 在直角 中，设 ，则 ，且 ， 因为 ， 令 ，则 ，则 ， 又因为 ，当且仅当 时，即 时，即 时，等号成立， 所以 ，即 的最大值为 1，正确. 故选：ABD. 10.（2026·安徽合肥·三模）已知点 为圆 上任意一点，过点 分别向直线 和 作垂线，垂足分别为 ，.则 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】18 【思路】分析两直线的方程，发现它们互相垂直且均过同一定点.利用矩形性质将垂线段乘积转化为点到定点距离的平方，再结合圆上点到定点距离的最值求出结果. 【解析】圆 的圆心 ，半径 ，由题意 互相垂直且均经过定点 ， 因此 ，，经检验等号成立. 考法8：切点弦方程及相关计算 11.若圆 关于直线 对称，动点 在直线 上，过点 引圆 的两条切线 ，切点分别为 ，则直线 恒过定点 ，点 的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】圆关于直线对称说明直线过圆心，代入圆心坐标求出参数.利用切点弦所在直线的求法（两圆方程作差）得到切点弦方程，分离参数即可求出直线恒过的定点. 【解析】由题意可知：圆 的圆心在直线 上， 即有 ， 设点 ，则 ， 故以 为直径的圆的方程为：， 将 和 相减， 即可得直线 的方程，即 ， 则直线 恒过定点 ， 故选：C. 【考点四 方法总结】 1. 圆的切线方程求解：若已知切点，可直接利用切线公式；若已知过圆外一点，务必先判断切线斜率是否存在，设出直线方程后利用圆心到直线的距离等于半径求解，若求得一个斜率，则另一条切线斜率不存在. 2. 切线长与切点弦问题：过圆外一点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切线长 （ 为圆心）；切点弦 所在直线方程可通过以 为直径的圆与原圆方程作差求得. 考点五：直线与圆相交的弦长与面积问题 考法9：直线与圆相交的弦长问题 12.（2026·山东枣庄·检测）直线 被圆 截得的弦长为（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【思路】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合半径，利用勾股定理（垂径定理）即可求出弦长. 【解析】圆心 到直线 的距离 ， 所以弦长为 . 故选：C. 考法10：圆内接三角形及四边形面积问题 13.已知圆 的方程为 ，若直线 与圆 相交于 两点，则 的面积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】12 【思路】先求出圆心到直线的距离，结合圆的半径利用勾股定理求出弦长，再将距离作为三角形的高，利用面积公式求解. 【解析】圆 ，得圆心为 ，半径为 ， 圆心到直线的距离 ，因此 ， 所以 . 故答案为：12. 【考点五 方法总结】 1. 直线与圆相交的弦长问题：优先利用垂径定理及勾股定理，即半弦长、弦心距 和半径 构成的直角三角形，弦长 . 2. 圆内接三角形面积问题：求出弦长后，将弦长作为三角形的底，圆心或圆上动点到弦所在直线的距离作为高，转化为求点到直线距离的最值问题. 考点六：圆与圆的位置关系及公切线、公共弦问题 考法11：两圆位置关系的判断 14.（2025·安徽皖北协作体·一模）圆 与圆 的位置关系是（　　） A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 内含 【答案】A 【思路】分别求出两圆的圆心坐标和半径，计算两圆心之间的距离，将其与两圆半径之和及半径之差的绝对值进行比较，从而判断两圆的位置关系. 【解析】圆 与圆 的半径分别为 1，4，圆心坐标分别为 ， 则 ，故圆 与圆 的位置关系是内切. 故选：A. 考法12：两圆的公共弦问题 15.（2026·湖北襄阳·检测）圆 与圆 的公共弦长为（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【思路】将两圆的方程作差，消去二次项得到公共弦所在的直线方程，再利用圆心到直线的距离和半径，通过勾股定理求出公共弦长. 【解析】已知两圆方程：圆 ，圆心 ，半径 ，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程 ， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心 到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长 . 16.（2026·湖北襄阳·模拟）（多选）已知点 ，圆 ，则（　　） A. 圆 与圆 公共弦所在直线的方程为 B. 直线 与圆 总有两个交点 C. 圆 上任意一点 都有 D. 是 的等差中项，直线 与圆 交于 两点，当 最小时， 的方程为 【答案】BCD 【思路】利用两圆方程相减求公共弦方程判断A；通过直线恒过定点且定点在圆内判断B；设出动点坐标代入距离关系式化简判断C；利用等差中项性质找到直线恒过的定点，结合垂径定理确定弦长最小时直线的斜率，进而求出直线方程判断D. 【解析】对 A：两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：；错误 对 B： 过定点 ，而 在圆 的内部，所以直线 与圆 总有两个交点，正确； 对 C：设 ，由 可得： 化简可得：，所以满足条件的 轨迹就是圆 ，正确； 对 D：因为 是 的等差中项，所以 （不同时为 0） 所以 可化为 ，即 可令 ， 解得 ，则直线 过定点 ， 设 的圆心为 ， 当 与直线 垂直时， 最小，此时 ， 即 ，得 ，结合 所以 ，解得 ， 直线 的方程为 .正确 故选：BCD. 考法13：两圆的公切线问题 17.（2026·河南T8联考·联考）已知圆 与圆 有且仅有三条公切线，则 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【思路】两圆有且仅有三条公切线，说明两圆外切.分别求出两圆的圆心和半径，利用圆心距等于两圆半径之和，列出方程即可解出参数. 【解析】圆 的标准方程为 ， 圆 的圆心为 ，半径为 . 又圆 的圆心为 ，半径为 . 两圆的圆心距为 . 两圆有且仅有三条公切线， 两圆外切， ，解得 . 【考点六 方法总结】 1. 两圆位置关系的判断：分别求出两圆的圆心和半径，计算圆心距 ，将其与 及 进行比较. 2. 公共弦与公切线问题：两相交圆的方程相减，消去二次项即得公共弦所在直线方程；两圆公切线条数由位置关系决定，外离有4条，外切有3条，相交有2条，内切有1条. 考点七：圆系方程与圆过定点问题 考法14：利用圆系方程求圆的方程 18.经过直线 与圆 的交点，且过点 的圆的方程为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】设出过直线与圆交点的圆系方程，将已知点的坐标代入求出参数，再将参数代回圆系方程并化简即可. 【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为： 所求圆过点 解得 所以圆的方程为 ，化简得 . 故答案为：. 考法15：圆过定点问题 19.对任意实数 ，圆 恒过定点，则定点坐标为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 或 【思路】将圆的方程按参数 进行整理，提取出不含 的部分和含有 的部分.要使方程对任意 恒成立，只需让这两部分同时为0，解方程组即可得到定点坐标. 【解析】，即 ， 令 ，解得 ，，或 ，， 所以定点的坐标是 或 . 故答案为： 或 . 【考点七 方法总结】 1. 圆系方程的应用：过直线与圆交点的圆系方程可设为 ，代入已知点坐标即可求出参数. 2. 圆过定点问题：将圆的方程按参数整理成 的形式，令 且 ，解方程组即可求出恒过的定点坐标. 考点八：与圆有关的轨迹问题 考法16：动点轨迹方程的求解 20.（2025·江西九师联盟·检测）已知点 是圆 上的两个动点， 为原点，点 共线，点 为 的中点，则点 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】利用垂径定理得出圆心与弦中点连线垂直于弦，从而得到动点与两定点连线互相垂直，动点轨迹为以两定点连线为直径的圆.结合原圆的范围限制，求出轨迹圆在原圆内的圆弧长度. 【解析】由题意知 ，，点 的轨迹是以 为直径的圆 在圆 内的部分，两圆交点分别为 ，，则 ，所以点 的轨迹长度为 ，故选 C. 考法17：相关点法求轨迹方程 21.（2025·广东江门·模拟）（多选）已知曲线 ，则（　　） A. 曲线 关于 轴对称 B. 曲线 围成图形的面积为 C. 曲线 上的点到点 的距离最大值为 D. 若点 是曲线 上的点，则 的最大值为 1 【答案】AD 【思路】通过代数替换验证曲线的对称性判断A；去绝对值将曲线转化为两段圆弧，结合图形求面积判断B；利用圆的几何性质求圆弧上点到定点距离的最值判断C；将代数式转化为过曲线上点与定点连线的斜率，利用数形结合求最值判断D. 【解析】对于 A，令 是曲线 上的任意一点，即 ， 则 成立，即点 在曲线 上，因此曲线 关于 轴对称，A 正确； 当 时，，即 ，是以 为圆心， 2 为半径的圆在直线 及上方的半圆，当 时，， 即 ，是以 为圆心， 为半径的圆在直线 及下方部分， 对于 B，曲线 在直线 及上方的半圆面积为 ，B 错误； 对于 C，曲线 在直线 及下方部分上的点与点 的距离最大值为 ，C 错误； 对于 D， 表示曲线 上的点 与点 确定直线 斜率的 ， 观察图形知，当过点 的直线与曲线 在 轴下方部分相切时，直线 斜率最大， 设此切线方程为 ，则 ，解得 ，所以 的最大值为 1，D 正确. 故选：AD. 【考点八 方法总结】 1. 动点轨迹方程的求解：若动点满足某种明确的几何性质（如到两定点距离之比为常数、动点与两定点连线互相垂直等），可直接利用几何性质转化为代数方程. 2. 相关点法求轨迹：若动点 随已知曲线上的点 运动，可先找出两点坐标间的关系，将 用 表示，再代入已知曲线方程化简. 考点九：与圆有关的对称问题 考法18：圆的对称问题 22.已知圆 与直线 相切，则圆 关于直线 对称的圆的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用圆与直线相切求出参数 ，得到对称轴方程.圆关于直线对称，其半径不变，只需利用点关于直线对称的求法求出原圆心关于直线的对称点作为新圆心，即可写出对称圆的方程. 【解析】由圆 的圆心为原点 ，半径为 5， 又圆 与直线 相切， 则 到直线 的距离为 ， 则 ，解得 ， 设过 且与 垂直的直线为 ， 则 ， 联立 ， 得直线 与 的交点为 ， 设圆心 关于点 的对称点为 ， 由中点公式有 ， 所以圆心 关于点 的对称点为 ， 因此圆 关于直线 对称的圆的方程为：， 故选：D. 【考点九 方法总结】 1. 圆的对称问题：圆关于直线对称，其半径保持不变，只需利用点关于直线对称的求法，求出原圆心关于对称轴的对称点作为新圆心，即可写出对称圆的方程. 考点十：数形结合与圆中的最值、范围问题 考法19：利用数形结合判断曲线交点个数 23.若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】将直线方程转化为过定点的形式，将曲线方程两边平方转化为半圆.利用数形结合，找出直线过半圆端点和与半圆相切的临界状态，求出对应的斜率，进而确定斜率的取值范围. 【解析】直线 恒过定点 ， 曲线 表示以点 为圆心，半径为 1，且位于直线 右侧的半圆 (包括点 ，). 当直线 经过点 时， 与曲线 有两个不同的交点，此时 ，直线记为 ； 当 与半圆相切时，由 ，得 ，切线记为 . 分析可知当 时， 与曲线 有两个不同的交点， 故选：A. 考法20：圆上点到直线距离的定值点个数问题 24.（2026·河北NT名校·检测）若圆 上到直线 的距离为 的点有且仅有 2 个，则半径 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】求出圆心到直线的距离，结合圆上点到直线距离的最值公式，根据符合条件的点有且仅有2个，列出关于半径的不等式组求解. 【解析】由题意，圆心为 ，则圆心 到直线 的距离 ， 要使圆 上到直线 的距离为 的点有且仅有 2 个， 则 ，即半径 的取值范围是 .故选 C. 25.（2025·江西·联考）若圆 上恰有三个不同的点到直线 的距离为 1，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】圆上恰有三个不同的点到直线的距离为定值，说明圆心到直线的距离加上半径等于该定值.求出圆心到直线的距离，进而求出半径，再根据圆的标准方程解出参数. 【解析】由题可知， 的圆心坐标为 ，且圆心到 的距离 ， 因为圆 上恰有三个不同的点到直线 的距离为 1， 所以圆 的半径为 ，即 ，所以 . 考法21：与圆有关的距离最值问题 26.（2026·河北黄骅中学·一模） 是圆 上的动点， 是直线 上的动点，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】圆上动点到直线上动点的最小距离等于圆心到直线的最小距离减去半径.先利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，再通过二次函数配方求出其最小值，最后减去半径即可. 【解析】由题意得，圆 的圆心为 ，半径 . 圆心到直线 的距离 ， 当且仅当 时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以 的最小值为 . 故选：C. 27.（2026·湖北云学联盟·模拟）（多选）已知圆 ，直线 ，则（　　） A. 直线 恒过定点 B. 当 时，直线 与圆 相切 C. 存在实数 ，使得直线 与圆 相交于 两点，且 D. 若直线 与圆 交于 两点，则 面积的最大值为 【答案】AC 【思路】分离参数求出直线恒过的定点判断A；将 代入直线方程，求圆心到直线的距离判断B；求出直线被圆截得的最短弦长，与所给弦长比较判断C；利用面积公式将面积表示为圆心到直线距离的函数，结合距离的取值范围求最值判断D. 【解析】直线 恒过定点 ，由于 ，所以定点在圆 内， 当直线 垂直于定点与圆心的连线时，弦长最短， 定点与圆心距离 ，最短弦长为 ， 因为 ，所以存在实数 ，使得直线 与圆 相交于 两点，且 ， 三角形 的面积 ， 当 时，面积最大为 2，但 ，所以面积最大值取不到，D错误. 故选：AC. 【考点十 方法总结】 1. 数形结合判断交点个数：将代数方程转化为几何图形（如半圆、过定点的直线），在坐标系中画出图像，寻找直线过端点或与圆相切的临界状态. 2. 圆中的距离最值与范围问题：圆上动点到直线距离的最值公式为 （ 为圆心到直线的距离）；求圆上到某直线距离为定值的点的个数时，可将定值与 及 进行比较. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷·第7题）若圆 上到直线 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意， 在圆 中，圆心 ，半径为 ， 到直线 的距离为 1 的点有且仅有 2 个， ∵圆心 到直线 的距离为：， 故由图可知， 当 时， 圆 上有且仅有一个点（A点）到直线 的距离等于 1； 当 时， 圆 上有且仅有三个点（B，C，D点）到直线 的距离等于 1； 当则 的取值范围为 时， 圆 上有且仅有两个点到直线 的距离等于 1. 故选：B. 2.（2026·全国一卷·第11题）（多选）已知圆 ，圆 ，圆 ，直线 与 均有两个交点.记 被 截得的弦长分别为 、、，则（　　） A. 可以取任意实数 B. 满足 的直线 共有 3 条 C. 满足 的直线 多于 3 条 D. 当 时， 的最大值为 【答案】BCD 【解析】已知三个圆均为半径 的等圆，圆心分别为 、、，利用弦长公式 （ 为直线 到对应圆心的距离，且 以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 记直线 到 的距离分别为 ，则 ，，. ∵直线与三个圆均有两个交点， ∴，，，对应弦长为 . A：∵解 ，得 ， 解 ，得 ， 不妨取 ， ∵， ∴，记 ， 解 ，得 ，记 ， 当 ，即 时，， 此时不存在这样的直线 与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵， ∴. 由 得 ，平方得 ，即 或 . ①当 时，直线为 ，由 得 ，解得 ， 此时 ，符合条件，对应直线 1 条. ②当 时，直线为 ，由 得 ，解得 ， 此时 ，符合条件，对应直线 2 条. 综上，共 3 条直线满足条件，B正确. C：令 ， ∴，， 令 ，则 ， ∴. 令 ，即 ， 平方整理可得 ，解得 或 ，即 或 ， 经验证，此时 均小于 1，满足题目要求，此时已有 4 条直线，多于 3 条，C正确. D：当 时，，， ∴，， 令 ，则 ， ∴. 设 ，求导得 ， 令 得 ，此时 取最大值 ， ∴ 的最大值为 ，D正确. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第55讲 圆的方程与位置关系 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 4 考点一：圆的方程及其充要条件 4 考点二：点与圆的位置关系 5 考点三：直线与圆的位置关系判断 6 考点四：圆的切线与切点弦问题 6 考点五：直线与圆相交的弦长与面积问题 7 考点六：圆与圆的位置关系及公切线、公共弦问题 7 考点七：圆系方程与圆过定点问题 8 考点八：与圆有关的轨迹问题 9 考点九：与圆有关的对称问题 9 考点十：数形结合与圆中的最值、范围问题 10 四、高考真题 11 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第7题 单选题 5分 直接考察 圆与直线的位置关系 2026 第11题 多选题 6分 直接考察 直线与圆相交的弦长问题 近三年共考查2次，2025年以单选题形式直接考查（5分），2026年以多选题形式直接考查（6分），2024年未考查. 2. 命题角度与特色 （1） 重点考查直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相交时的弦长计算. （2） 常结合图形的几何性质（如圆心到直线的距离、垂径定理）进行综合考查，对数形结合能力要求较高. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握圆的标准方程与一般方程，能够准确求出圆心坐标和半径. （2） 深刻理解直线与圆的位置关系，熟练运用几何法（圆心到直线的距离与半径的关系）解决弦长、切线及最值问题. 二、知识清单 1. 圆的基本概念 （1） 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. （2） 阿波罗尼斯圆：在平面内，到两个定点 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹是一个圆. 2. 圆的方程 （1） 圆的标准方程：，圆心坐标为 ，半径为 . （2） 圆的一般方程：，圆心坐标为 ，半径 . （3） 圆的直径式方程：若 ，则以线段 为直径的圆的方程是 . （4） 圆的参数方程： ① 的参数方程为 （ 为参数）. ② 的参数方程为 （ 为参数）. （5） 圆系方程： ① 过直线 与圆 交点的圆系方程为 . ② 过两圆 与 交点的圆系方程为 （其中 ）. 3. 点与圆的位置关系判断 （1） 点 与圆 的位置关系： ① 点 在圆外. ② 点 在圆上. ③ 点 在圆内. （2） 点 与圆 的位置关系： ① 点 在圆外. ② 点 在圆上. ③ 点 在圆内. 4. 直线与圆的位置关系及其判断 直线与圆的位置关系有 3 种：相离、相切和相交. （1） 几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心 到直线 的距离 ： ① 直线与圆相交，交于两点 ，. ② 直线与圆相切. ③ 直线与圆相离. （2） 代数法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由 ， 消元得到一元二次方程 或 ，判别式为 ，则： ① 直线与圆相交. ② 直线与圆相切. ③ 直线与圆相离. 5. 圆的切线、切点弦与切线长 （1） 圆的切线方程： ① 过圆 上一点 的圆的切线方程为 . ② 过圆 上一点 的圆的切线方程为 . ③ 过圆 上一点 的圆的切线方程为 . （2） 圆的切点弦方程： ① 过圆 外一点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则过 两点的直线（即切点弦）方程为 . ② 过圆 外一点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切点弦方程为 . （3） 圆的切线长公式： ① 过圆 外一点 作圆的切线，切线长为 . ② 过圆 外一点 作圆的切线，切线长为 . 6. 两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆 的半径分别是 （不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则： （1） 两圆相离. （2） 两圆外切. （3） 两圆相交. （4） 两圆内切. （5） 两圆内含（ 时两圆为同心圆）. 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 （6） 两圆的公共弦方程： 若两圆 与 相交，则两圆方程相减即可得到公共弦所在的直线方程：. （7） 两圆正交： 若两圆的半径分别为 ，圆心距为 ，当两圆相交且在交点处的切线互相垂直时，称两圆正交.两圆正交的充要条件是 .对于一般方程，两圆正交的充要条件是 . 三、典题精练 考点一：圆的方程及其充要条件 考法1：待定系数法求圆的方程 1.（2026·河北百师联盟·一模）若圆 与 轴相切，则实数 的值是＿＿＿＿＿＿. 考法2：利用几何性质求外接圆方程 2. 德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”(也称“米勒定理”)：若点 是 的 边上的两个定点， 是 边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与边 相切于点 时， 最大.在平面直角坐标系中，已知点 ，，点 是 轴负半轴的一个动点，当 最大时， 的外接圆的方程是（　　） A. B. C. D. 考法3：二元二次方程表示圆的充要条件 3.“”是“方程 表示圆”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点一 方法总结】 1. 待定系数法求圆方程：若已知圆上三点坐标，常设圆的一般方程；若已知圆心坐标或圆心所在直线，常设圆的标准方程. 2. 利用几何性质求圆方程：圆心必在弦的垂直平分线上；若圆与直线相切，则圆心到切线的距离等于半径，且过切点的半径所在直线与切线垂直. 3. 二元二次方程表示圆的充要条件：方程 表示圆的充要条件是 . 考点二：点与圆的位置关系 考法4：点与圆的位置关系判断 4.（2026·湖北·模拟）（多选）已知点 ，， 为圆 上一点，则（　　） A. 点 在圆 外 B. 的最大值为 6 C. D. 的最大值为 9 【考点二 方法总结】 1. 点与圆的位置关系判断：将点 代入圆的标准方程，若 ，则点在圆外；等于 在圆上；小于 在圆内. 2. 圆上点到圆外定点距离的最值：设圆心为 ，半径为 ，圆外一点为 ，圆上动点为 ，则 的最大值为 ，最小值为 . 考点三：直线与圆的位置关系判断 考法5：直线与圆的位置关系判断 5.（2024·江西吉安·联考）已知圆 与直线 有公共点，则整数 的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 6.（2026·河南新乡·三模）（多选）已知圆 ，直线 ，则下列说法正确的是（　　） A. 存在实数 ，使得圆 关于 对称 B. 若 与圆 相切，则 C. 存在实数 ，使圆 上存在点 到 的距离为 6 D. 若 与圆 相交于 两点，且 ，则 【考点三 方法总结】 1. 直线与圆的位置关系判断：优先使用几何法，即计算圆心到直线的距离 ，通过比较 与半径 的大小关系来判断（ 相交， 相切， 相离）. 2. 含参直线与圆的位置关系：若直线方程中含有参数，可先求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.若定点在圆内，则直线与圆必相交. 考点四：圆的切线与切点弦问题 考法6：圆的切线方程的求解 7.（2026·浙江绍兴·模拟）已知圆 ，过点 作圆 的两条切线，则这两条切线的夹角为（　　） A. B. C. D. 8.（2026·山东枣庄·模拟）过点 作圆 的切线，切点分别为 ，则直线 的方程为＿＿＿＿＿＿. 考法7：圆的切线长及相关最值问题 9.（2026·安徽黄山·检测）（多选）点 在直线 上，过 作圆 的切线 （ 为切点），则下列结论正确的是（　　） A. 圆心 的坐标为 B. 圆 上的点到直线 距离的最大值为 C. 的最小值为 3 D. 的最大值为 1 10.（2026·安徽合肥·三模）已知点 为圆 上任意一点，过点 分别向直线 和 作垂线，垂足分别为 ，.则 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 考法8：切点弦方程及相关计算 11.若圆 关于直线 对称，动点 在直线 上，过点 引圆 的两条切线 ，切点分别为 ，则直线 恒过定点 ，点 的坐标为（　　） A. B. C. D. 【考点四 方法总结】 1. 圆的切线方程求解：若已知切点，可直接利用切线公式；若已知过圆外一点，务必先判断切线斜率是否存在，设出直线方程后利用圆心到直线的距离等于半径求解，若求得一个斜率，则另一条切线斜率不存在. 2. 切线长与切点弦问题：过圆外一点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则切线长 （ 为圆心）；切点弦 所在直线方程可通过以 为直径的圆与原圆方程作差求得. 考点五：直线与圆相交的弦长与面积问题 考法9：直线与圆相交的弦长问题 12.（2026·山东枣庄·检测）直线 被圆 截得的弦长为（　　） A. B. 2 C. D. 4 考法10：圆内接三角形及四边形面积问题 13.已知圆 的方程为 ，若直线 与圆 相交于 两点，则 的面积为＿＿＿＿＿＿. 【考点五 方法总结】 1. 直线与圆相交的弦长问题：优先利用垂径定理及勾股定理，即半弦长、弦心距 和半径 构成的直角三角形，弦长 . 2. 圆内接三角形面积问题：求出弦长后，将弦长作为三角形的底，圆心或圆上动点到弦所在直线的距离作为高，转化为求点到直线距离的最值问题. 考点六：圆与圆的位置关系及公切线、公共弦问题 考法11：两圆位置关系的判断 14.（2025·安徽皖北协作体·一模）圆 与圆 的位置关系是（　　） A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 内含 考法12：两圆的公共弦问题 15.（2026·湖北襄阳·检测）圆 与圆 的公共弦长为（　　） A. 2 B. C. D. 4 16.（2026·湖北襄阳·模拟）（多选）已知点 ，圆 ，则（　　） A. 圆 与圆 公共弦所在直线的方程为 B. 直线 与圆 总有两个交点 C. 圆 上任意一点 都有 D. 是 的等差中项，直线 与圆 交于 两点，当 最小时， 的方程为 考法13：两圆的公切线问题 17.（2026·河南T8联考·联考）已知圆 与圆 有且仅有三条公切线，则 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【考点六 方法总结】 1. 两圆位置关系的判断：分别求出两圆的圆心和半径，计算圆心距 ，将其与 及 进行比较. 2. 公共弦与公切线问题：两相交圆的方程相减，消去二次项即得公共弦所在直线方程；两圆公切线条数由位置关系决定，外离有4条，外切有3条，相交有2条，内切有1条. 考点七：圆系方程与圆过定点问题 考法14：利用圆系方程求圆的方程 18.经过直线 与圆 的交点，且过点 的圆的方程为＿＿＿＿＿＿. 考法15：圆过定点问题 19.对任意实数 ，圆 恒过定点，则定点坐标为＿＿＿＿＿＿. 【考点七 方法总结】 1. 圆系方程的应用：过直线与圆交点的圆系方程可设为 ，代入已知点坐标即可求出参数. 2. 圆过定点问题：将圆的方程按参数整理成 的形式，令 且 ，解方程组即可求出恒过的定点坐标. 考点八：与圆有关的轨迹问题 考法16：动点轨迹方程的求解 20.（2025·江西九师联盟·检测）已知点 是圆 上的两个动点， 为原点，点 共线，点 为 的中点，则点 的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 考法17：相关点法求轨迹方程 21.（2025·广东江门·模拟）（多选）已知曲线 ，则（　　） A. 曲线 关于 轴对称 B. 曲线 围成图形的面积为 C. 曲线 上的点到点 的距离最大值为 D. 若点 是曲线 上的点，则 的最大值为 1 【考点八 方法总结】 1. 动点轨迹方程的求解：若动点满足某种明确的几何性质（如到两定点距离之比为常数、动点与两定点连线互相垂直等），可直接利用几何性质转化为代数方程. 2. 相关点法求轨迹：若动点 随已知曲线上的点 运动，可先找出两点坐标间的关系，将 用 表示，再代入已知曲线方程化简. 考点九：与圆有关的对称问题 考法18：圆的对称问题 22.已知圆 与直线 相切，则圆 关于直线 对称的圆的方程为（　　） A. B. C. D. 【考点九 方法总结】 1. 圆的对称问题：圆关于直线对称，其半径保持不变，只需利用点关于直线对称的求法，求出原圆心关于对称轴的对称点作为新圆心，即可写出对称圆的方程. 考点十：数形结合与圆中的最值、范围问题 考法19：利用数形结合判断曲线交点个数 23.若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 考法20：圆上点到直线距离的定值点个数问题 24.（2026·河北NT名校·检测）若圆 上到直线 的距离为 的点有且仅有 2 个，则半径 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 25.（2025·江西·联考）若圆 上恰有三个不同的点到直线 的距离为 1，则 ＿＿＿＿＿＿. 考法21：与圆有关的距离最值问题 26.（2026·河北黄骅中学·一模） 是圆 上的动点， 是直线 上的动点，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 27.（2026·湖北云学联盟·模拟）（多选）已知圆 ，直线 ，则（　　） A. 直线 恒过定点 B. 当 时，直线 与圆 相切 C. 存在实数 ，使得直线 与圆 相交于 两点，且 D. 若直线 与圆 交于 两点，则 面积的最大值为 【考点十 方法总结】 1. 数形结合判断交点个数：将代数方程转化为几何图形（如半圆、过定点的直线），在坐标系中画出图像，寻找直线过端点或与圆相切的临界状态. 2. 圆中的距离最值与范围问题：圆上动点到直线距离的最值公式为 （ 为圆心到直线的距离）；求圆上到某直线距离为定值的点的个数时，可将定值与 及 进行比较. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷·第7题）若圆 上到直线 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2.（2026·全国一卷·第11题）（多选）已知圆 ，圆 ，圆 ，直线 与 均有两个交点.记 被 截得的弦长分别为 、、，则（　　） A. 可以取任意实数 B. 满足 的直线 共有 3 条 C. 满足 的直线 多于 3 条 D. 当 时， 的最大值为 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $